lim sup A n = \

El´ ements de correction du devoir maison, jeudi 22 octobre 2015 N1MA5012 - Int´ egration Exercice 1

Rappel : Soit (A n ) une suite de parties de Ω. On pose

lim sup A n = \

n



 [

k≥n

A k



 et lim inf A n = [

n





\

k≥n

A k



 .

On remarque que x ∈ lim sup A k si et seulement si x ∈ A k pour une infinit´ e d’indices k et que x ∈ lim inf A k si et seulement si x appartient ` a tous les A k sauf peut-ˆ etre un nombre fini.

1. Soit Ω un ensemble et (A _n ) une suite de parties de Ω. D´ eterminer lim sup A _n et lim inf A _n dans les cas

— (A n ) est monotone (par rapport ` a l’ordre partiel d’inclusion) Si (A _n ) est croissante alors pour tout entier n, S

k≥n A _k = S

k≥0 A _k et T

k≥n A _k = A _n . D’o` u lim sup A _n = S

k≥0 A _k = lim inf A _n = lim A _n . Si (A _n ) est d´ ecroissante alors pour tout entier n, S

k≥n A _k = A _n et T

k≥n A _k = T

k≥0 A _k . D’o` u lim sup A _n = T

k≥0 A _k = lim inf A _n = lim A _n .

— A _2n = B et A _2n+1 = C o` u B, C sont deux parties de Ω.

Pour tout entier n, S

k≥n A _k = B ∪ C et T

k≥n A _k = B ∩ C puisqu’il y a toujours au moins un indice pair et un indice impair. D’o` u

lim sup A n = B ∪ C lim inf A n = B ∩ C.

— les A _n sont deux ` a deux disjoints.

En utilisant la remarque donn´ ee en rappel, si les A n sont deux ` a deux disjoints alors il est impossible d’appartenir ` a une infinit´ e de A k , d’o` u

lim sup A n = lim inf A n = ∅.

Dans la suite de l’exercice on suppose que l’on a (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et que pour tout entier n, A _n ∈ T .

1. Justifier que lim sup A n et lim inf A n sont dans T .

Ces deux ensembles sont des intersections et r´ eunions d´ enombrables d’´ el´ ements de la tribu donc sont dans la tribu.

2. Montrer que µ(lim inf A n ) ≤ lim inf µ(A n ) (“propri´ et´ e de Fatou”).

Notons A n = T

k≥n A k , alors (A n ) n est une suite croissante d’´ el´ ements de T (cf. A n = A n ∩A n+1 ) et par propri´ et´ e d’une mesure

µ [

n

A n

!

= lim

n µ (A n ) .

De plus pour tout entier k ≥ n, A n ⊂ A k d’o` u µ (A n ) ≤ inf _k≥n µ(A k ) et µ(lim inf A _n ) ≤ lim

n

k≥n inf µ(A _k )

= lim inf µ(A _n ).

3. On suppose de plus qu’il existe B dans T tel que µ(B ) < +∞ et pour tout entier n, A _n ⊂ B (donner un exemple de mesure pour laquelle cette condition est toujours v´ erifi´ e). Montrer que lim sup µ(A n ) ≤ µ(lim sup A n ).

Pour que la condition soit toujours v´ erifi´ ee, il suffit de prendre une mesure finie (par exemple une mesure de probabilit´ e).

En travaillant avec B n = B \ A n on a (B n ) n suite croissante de T et avec la propri´ et´ e de Fatou µ(lim inf B n ) ≤ lim inf µ(B n ). (1) lim inf B _n = B \ lim sup A _n et µ(B) ´ etant fini,

µ(lim inf B _n ) = µ(B) − µ(lim sup A _n ). (2) De mˆ eme

lim inf µ(B _n ) = lim inf(µ(B) − µ(A _n )) = µ(B) − lim sup µ(A _n ). (3)

L’in´ egalit´ e demand´ ee est obtenue avec (1), (2) et (3).

4. Soit (Ω, A, µ) un espace mesur´ e, µ(Ω) < +∞. On consid` ere une suite (A n ) n∈ N d’´ el´ ements de A telle que P

n≥0 µ(A _n ) < +∞. Montrer que µ(lim sup A _n ) = 0.

On note pour tout entier n, A n = ∪ k≥n A _k . La suite (A n ) _n est d´ ecroissante, par propri´ et´ e d’une mesure finie (rappel : ce r´ esultat n’est pas vrai en g´ en´ eral)

0 ≤ µ(lim sup A _n ) = µ \

n

A n

!

= lim

n µ(A n ) ≤ lim

n

X

k≥n

µ(A _k ).

On reconnait dans le terme de droite de l’in´ egalit´ e ci-dessus, la limite du reste d’une s´ erie conver- gente, cette limite est nulle.

Exercice 2

Soit (Ω, T ) un espace mesurable et (f n ) une suite de fonctions d´ efinies sur Ω, ` a valeurs r´ eelles et mesurables ( R est muni de la tribu bor´ elienne). On note A = {x ∈ Ω : (f n (x)) n converge}.

1. Rappeler la d´ efinition de suite de Cauchy.

Une suite (u _n ) _n est de Cauchy si

∀ε > 0, ∃n ε ∈ N , ∀n ≥ n ε , ∀p ∈ N , |u n+p − u n | < ε ou encore de fa¸con ´ equivalente

∀q ∈ N ^∗ , ∃n q ∈ N , ∀n ≥ n q , ∀p ∈ N , |u n+p − u n | < 1 q . 2. Exprimer A ` a l’aide des ensembles A n,p,q = {x ∈ Ω : |f n (x) − f n+p (x)| < ¹ _q }.

Toute suite convergente est de Cauchy et dans R , qui est complet (pour la valeur absolue), toute suite de Cauchy converge d’o` u

A = {x ∈ Ω : (f n (x)) n est de Cauchy}

= \

q∈ N

[

N ∈ N

\

n≥N

\

p∈ N

A _n,p,q

3. En d´ eduire que A appartient ` a T .

A _n,p,q = (f _n − f _n+p ) ⁻¹ (] − ¹ _q , ¹ _q [), ] − ¹ _q , ¹ _q [ est un ouvert de R donc un bor´ elien. Les fonctions sont mesurables de (Ω, T ) dans ( R , B( R )), donc pour tous entiers n, p et q, A _n,p,q est un ´ el´ ement de T .

Une tribu ´ etant stable par intersection et r´ eunion d´ enombrable, A appartient ` a T . Exercice 3

On consid` ere B la tribu bor´ elienne de R , et E un ensemble bor´ elien de mesure de Lebesgue finie : λ(E) < ∞.

Dans la correction puisqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´ e ici, on parlera de fonction mesurable sans pr´ eciser que c’est pour la tribu des bor´ eliens.

1. On prend E = [0, 1] et g une fonction en escalier sur [0, 1], ` a valeurs dans R . Montrer que pour tout ε > 0, il existe un compact K ⊂ E tel que λ(E \ K) ≤ ε et que g _|K soit continue sur K.

g fonction en escalier sur [0, 1] donc il existe une subdivision finie de l’intervalle, 0 = x 0 < x 1 <

· · · < x n = 1 et une famille de r´ eels (a i ) 1≤i≤n tels que

∀i ∈ {1, . . . n} g(x) = a _i ∀x ∈]x i−1 , x _i [

Soit ε > 0 arbitraire et 0 ≤ α < _n ¹ min{ε, x _i − x _i−1 1 ≤ i ≤ n} ; on pose K = S

1≤i≤n [x _i−1 +

α

2 , x i − ^α ₂ ]. K est une union finie d’intervalles ferm´ es, born´ es de R donc est un compact de R et par construction λ([0, 1] \ K) = nα < ε.

Les intervalles [x _i−1 + ^α ₂ , x i − ^α ₂ ] sont 2 ` a 2 disjoints pour 1 ≤ i ≤ n et g _|K est constante sur chaque intervalle, la fonction est donc continue sur K.

2. Soit g une fonction mesurable ´ etag´ ee ` a valeurs r´ eelles d´ efinie sur E. Montrer que pour tout ε > 0,

il existe un compact K ⊂ E tel que λ(E \ K) ≤ ε et que g _|K soit continue sur K.

g fonction ´ etag´ ee sur E donc il existe une partition finie de E d’ensembles mesurables (A i ) 1≤i≤n

et une famille de r´ eels (a _i ) _1≤i≤n tels que

g =

n

X

i=1

a i 1 ^A

Pour tout i, A _i est contenu dans E donc est de mesure de Lebesgue finie, d’o` u

∀i : 1 ≤ i ≤ n ∃K i compact, K _i ⊂ A _i et λ(A _i \ K _i ) ≤ ε/n En prenant K = S

1≤i≤n K i on a K compact comme union finie de compacts. Les compacts K i

sont 2 ` a 2 disjoints pour 1 ≤ i ≤ n et g _|K est constante sur chaque K i , la fonction est donc continue sur K. Enfin

λ(E \ K) = λ( [

1≤i≤n

(A i \ K i )) ≤

n

X

i=1

λ(A i \ K i ) ≤ ε.

3. Pour cette question on consid` ere le cas particulier o` u E = [0, 1] et on prend pour g la fonction indicatrice de [0, 1] \ Q . Construire

` a la main

un compact K ⊂ E tel que λ(E \ K) ≤ ε et tel que la restriction de g ` a K soit constante ´ egale ` a 1 (et donc continue). (Indication : en utilisant la d´ enombrabilit´ e de Q trouver un ouvert contenant Q de mesure plus petite que ε.)

On cherche ` a construire un ouvert O contenant Q ∩[0, 1] et qui est de mesure de Lebesgue inf´ erieure ou ´ egale ` a ε.

Q ∩ [0, 1] ´ etant d´ enombrable ou peut l’´ ecrire

Q ∩ [0, 1] = {x _i ; i ∈ N }.

On pose O = S

i∈ N ]x _i − ₂

^ε , x _i − ₂

^ε [. O est une union d’ouverts donc est ouvert et par σ- additivit´ e de la mesure de Lebesgue

λ(O) ≤

+∞

X

i=0

ε 2 ⁱ⁺¹ = ε.

K = [0, 1] \ O est ferm´ e et born´ e dans R donc compact et λ([0, 1] \ K) = λ(O) ≤ ε. De plus, par construction K ⊂ [0, 1] \ Q , d’o` u g _|K = 1.

4. Soit g une fonction mesurable ` a valeurs r´ eelles d´ efinie sur E. En utilisant la question 2. et le th´ eor` eme d’Egoroff (´ enonc´ e ci-dessous), montrer que pour tout ε > 0, il existe un bor´ elien A ⊂ E tel que λ(A) ≤ ε et que g _|E\A soit continue sur E \ A.

g = g ⁺ − g ⁻ avec g ⁺ = sup{g, 0} et g ⁻ = sup{−g, 0}, g ´ etant mesurable et le sup de fonctions mesurables l’´ etant aussi, g ⁺ et g ⁻ sont des fonctions mesurables et positives.

On sait que pour toute fonction mesurable positive, il existe une suite de fonctions ´ etag´ ees qui converge simplement vers cette fonction. On note (f n ) n et (h n ) n deux suites de fonctions ´ etag´ ees qui convergent respectivement vers g ⁺ et g ⁻ . On pose pour tout entier n, g _n = f _n − h _n , alors la suite de fonctions ´ etag´ ees (g _n ) _n converge simplement vers g sur E.

Soit ε > 0 donn´ e, avec le th´ eor` eme d’Egoroff (rappel λ(E) < ∞) il existe un bor´ elien B tel que λ(B) ≤ ε/2 et (g _n ) _n converge uniform´ ement vers g sur E \ B.

Avec ce qui a ´ et´ e montr´ e ` a la question 2 pour les fonctions ´ etag´ ees, pour tout entier n, il existe un compact K _n tel que g _n|K

n

est continue sur K _n et λ(E \ K _n ) ≤ ₂

^ε . En posant K = T

n∈ N K _n et A = (E \ K) ∪ B, on a A bor´ elien comme intersection et r´ eunion d´ enombrable de bor´ eliens et

λ(A) ≤ λ(E \ K) + λ(B) ≤

+∞

X

n=0

ε

2 ⁿ⁺² + ε/2 ≤ ε.

De plus E \ A ⊂ K donc la suite (g n |E\A ) n est une suite de fonctions continues sur E \ A.

Enfin E \ A ⊂ E \ B donc la suite (g n |E\A ) n converge uniform´ ement vers g _|E\A sur E \ A et, avec ce qui pr´ ec` ede, la fonction g _|E\A est continue sur E \ A.

Exercice 4

On rappelle que pour une fonction continue et positive l’int´ egrale de Riemann g´ en´ eralis´ ee et l’int´ egrale

de Lebesgue coincident.

1. Donner un exemple de fonction positive, continue et int´ egrable sur R et telle que f (x) ne tend pas vers 0 lorsque x tend vers +∞.

Soit la fonction affine par morceaux d´ efinie par (faire un dessin)

f (x) =







n ² (x − n) + 1 pour x ∈ [n − _n ¹

, n], n ≥ 2

−n ² (x − n) + 1 pour x ∈ [n, n + _n ¹

], n ≥ 2 0 sinon

Alors f est bien continue et positive sur R , f (x) n’a pas de limite lorsque x tend vers +∞ et Z +∞

−∞

f (x) dx =

+∞

X

n=2

1

n ² < +∞.

2. Soit f une fonction d´ efinie sur R , ` a valeurs positives, continue et int´ egrable. Soit (λ n ) une suite de r´ eels strictement positifs tels que P ∞

0 1

λ

< ∞. Montrer que la fonction x 7→ P ∞

0 f (λ n x) est int´ egrable sur R .

Pour tout entier n, f(λ n ·) est une fonction ` a valeurs positives et mesurable car elle est continue sur R . Avec le corolaire pour les s´ eries du th´ eor` eme de convergence monotone

Z

R

∞

X

0

f (λ n x)

! dx =

∞

X

0

Z

R

f (λ n x) dx.

En utilisant que l’int´ egrale de Lebesgue et que l’int´ egrale de Riemann g´ en´ eralis´ ee co¨ıncident ici, ainsi que le changement de variable u = λ _n x (cf. λ _n > 0) on a

Z

R

∞

X

0

f (λ n x)

! dx =

∞

X

0

Z +∞

−∞

f (u) 1 λ n

du =

∞

X

0

1 λ n

! Z +∞

−∞

f (u) du < +∞.

La fonction x 7→ P ∞

0 f(λ n x) est int´ egrable sur R . 3. En d´ eduire que pour presque tout r´ eel x, lim

n→+∞ f (λ n x) = 0.

On sait qu’une fonction int´ egrable est finie pour presque tout r´ eel x donc la s´ erie converge pour presque tout x. Le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente tend vers 0, en cons´ equence pour presque tout r´ eel x, lim

n→+∞ f(λ n x) = 0.