Correction de l’interrogation écrite n◦8
Exercice 1 a) lim
n→+∞un= lim
n→+∞(−n3) donc lim
n→+∞un=−∞. b) lim
n→+∞2 = 2, lim
n→+∞1 = 1 et lim
n→+∞
1
n = 0 donc, par somme, lim
n→+∞2 + 1
n = 2 et, par différence, lim
n→+∞
1
n −1 = −1. On conclut que, par produit, lim
n→+∞un=−2 . e) lim
n→+∞un= lim
n→+∞
n2
2n3 = lim
n→+∞
1
2n donc lim
n→+∞un = 0 . f) Pour tout n∈N,
un=√
n+ 3−√ n=
√
n+ 3−√ n √
n+ 3 +√ n
√n+ 3 +√
n = (n+ 3)−n
√n+ 3 +√
n = 3
√n+ 3 +√ n. Or, lim√
n+ 3 +√
n = +∞ donc, par quotient, limun = 0 .
g) Pour tout n ∈ N, (−1)n > −1 donc n+ (−1)n > n−1. Or, lim
n→+∞n−1 = +∞ donc, d’après le théorème de comparaison, lim
n→+∞un = +∞.
h) Pour tout n ∈N, −1 6sinn 6 1 donc, comme n2 + 1 >0, −1
n2+ 1 6 sinn
n2+ 1 6 1 n2+ 1. Or, lim
n→+∞
−1
n2+ 1 = lim
n→+∞
1
n2+ 1 = 0 donc, d’après le théorème d’encadrement, lim
n→+∞un= 0 . Exercice 2
1. Un tirage est une combinaison de 3 boules parmi les 8 boules de l’urne. Il y a donc 8
3
!
tirages différents possibles. Parmi ceux-ci, il y en a 5 3
!
qui sont constitués de 3 boules rouges. Ainsi, par équiprobabilité, la probabilité de tirer 3 boules rouges est
5
3
8
3
= 10 56 = 5
28.
2. Pour déterminer une anagramme de ELEVE, on peut :
• déterminer la place des trois 3 : il y a 5 3
!
= 10 choix possibles ;
• ensuite, placer les lettres L et V dans les deux places restantes : il y a 2! = 2 choix possibles.
Ainsi, le nombre d’anagramme du mot ELEVE est 10×2 = 20.
Autre méthode. On peut aussi placer les deux lettres L et V : il y a 5×4 = 20 choix possibles et ensuite les trois autres places sont prises par les 3 E (il n’y a donc qu’un choix possible). Ainsi, on retrouve que le nom d’anagramme du mot ELEVE est 20×1 = 20.
