lim sup n

IP-1 Année 2004-2005

Fiche n^o1, éléments de correction

Pour faciliter le repérage par rapport à la fiche, les exos non corrigés figurent ici seulemnt par leur numéro. Les énoncés des exercices corrigés ou pour lesquels on donne des indications détaillées sont repris pour faciliter la lecture.

Ex 1.

Ex 2.

Ex 3.

Soient (a_n) et (b_n) deux suites d’éléments de R. 1) Montrer que lim sup

n→+∞

(−a_n) =−lim inf

n→+∞a_n. 2) Montrer que lim sup

n→+∞

(a_n+b_n) ≤ lim sup

n→+∞

a_n+ lim sup

n→+∞

b_n, à condition qu’aucune des sommes concernées ne soit de la forme « ∞ − ∞». Donner un exemple montrant que l’inégalité peut être stricte.

3) Lorsque a_n ≤ b_n pour tout n, montrer que lim inf

n→+∞ a_n ≤ lim inf

n→+∞b_n. Donner un exemple où les limites inférieures sont égales, bien que a_n< b_n pour tout n.

Solution de l’ex. 3.

1) On rappelle d’abord que

lim supa_n = lim

n→+∞sup

k≥n

a_k = inf

n≥1sup

k≥n

a_k, (1)

lim infa_n = lim

n→+∞inf

k≥na_k = sup

n≥1

k≥ninf a_k (2)

On rappelle aussi que si E ⊂R,

sup{−x; x∈E} = −infE (3)

inf{−x; x∈E} = −supE (4)

En utilisant (1)–(4), on obtient : lim sup

n→+∞

(−a_n) = inf

n≥1sup

k≥n

(−a_k) = inf

n≥1

− inf

k≥na_k

=−sup

n≥1

k≥ninf a_k=−lim inf

n→+∞ a_n.

2) En supposant qu’aucune des sommes concernées ne s’écrit «∞ − ∞», on pour tout n∈N,

sup

k≥n

(a_k+b_k)≤sup

k≥n

a_k+ sup

k≥n

b_k,

inégalité dans R. Le premier comme le second membre sont décroissants en n, donc convergents dans R. En faisant tendre n vers +∞, on obtient (cf. la première égalité dans 1) :

lim sup

n→+∞

(a_n+b_n)≤lim sup

n→+∞

a_n+ lim sup

n→+∞

b_n.

Pour un exemple où l’inégalité est stricte, prendre a_n = (−1)ⁿ et b_n = −a_n. Alors le premier membre vaut 0et le second vaut 2.

3) Pour tout n≥1, tout j ≥n, on aa_j ≤b_j, d’où

k≥ninf a_k≤b_j.

Cette inégalité étant vérifiée pour tout j ≥ n et le premier membre ne dépendant pas dej, on en déduit

k≥ninf a_k≤ inf

j≥nb_j.

Cette dernière inégalité étant vraie pour tout n ≥ 1, on en déduit en faisant tendre n vers +∞

lim infa_n= lim

n→+∞inf

k≥na_k ≤ lim

n→+∞inf

j≥nb_j = lim infb_n.

Voici un exemple où les limites inférieures sont égales que bien que a_n < b_n pour tout n : a_n = (−1)ⁿ, b_n =a_n+ 1/n, les deux limites inférieures valent−1.

Ex 4.

Ex 5. Cardinalité

Ex 6. Soientf etgdeux applications deΩdansR. Vérifiez les affirmations suivantes.

1)

ω∈Ω; max f(ω), g(ω)

≥ε =n

ω∈Ω; f(ω)≥εo

∪n

ω∈Ω; g(ω)≥εo .

2)

ω∈Ω; min f(ω), g(ω)

≥ε =n

ω ∈Ω; f(ω)≥εo

∩n

ω ∈Ω; g(ω)≥εo .

3)

ω∈Ω; f(ω) +g(ω)≥ε ⊂n

ω∈Ω; f(ω)≥ ε 2

o∪n

ω∈Ω; g(ω)≥ ε 2

o . Solution de l’ex. 6.

Les égalités d’évènements des deux premières questions découlent immédiatement des équivalences suivantes :

max f(ω), g(ω)

≥ε ⇔ f(ω)≥ε ou g(ω)

≥ε, min f(ω), g(ω)≥ε ⇔ f(ω)≥ε et g(ω)≥ε.

Pour la question 3), notons A :=

ω ∈ Ω; f(ω) +g(ω) ≥ ε , B :=

ω ∈ Ω; f(ω) ≥ ε/2 et C :=

ω ∈ Ω; g(ω) ≥ ε/2 . Soit ω un élément quelconque de A, on a donc

f(ω) +g(ω) ≥ ε. Supposons que cet ω n’appartienne pas à B ∪C, il appartiendrait alors à son complémentaire B^c ∩C^c et on aurait alors f(ω) < ε/2 et g(ω)< ε/2, d’où f(ω) +g(ω)< ε, ce qui contredirait l’appartenance deω àA. On a ainsi vérifié que tout ω ∈A appartient nécessairement à B∪C, autrement dit que A⊂B∪C.

Ex 7. On effectue une suite infinie de tirages du loto. Pour tout i∈N^∗, on note : A_i :={Sortie de la boule n^o13 au i-ème tirage}.

1) Exprimer à l’aide d’opérations ensemblistes sur lesA_i l’évènement « le n^o13 sort pour la première fois au cinquième tirage ».

2) Définir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique chacun des événements :

E₁ :=^+∞∩

i=5A_i, E₂ := 4 i=1∩ A^c_i

∩ +∞

∩

i=5 A_i

, E₃ := ∪

i>4A_i, E₄ :=^+∞∪

i=1A^c_2i. 3) On pose C_n = ∩

i>nA_i. Montrer que la suite (C_n) est croissante (i.e. que pour tout n ≥ 1, C_n est inclus dans C_n+1). Caractériser d’une phrase ne comportant pas de vocabulaire mathématique l’événement C := ∪

n≥1C_n. 4) Écrire à l’aide des A_i les événements :

Bn := {Le n^o13 sort au moins une fois au delà du n-ième tirage}

B := {Sur l’ensemble des tirages, le n^o13 sort une infinité de fois}

Solution de l’ex. 7.

1) A^c₁∩A^c₂∩A^c₃∩A^c₄ ∩A₅.

2) E₁ est l’évènementà partir du 5-ième tirage, la boule n^o13 sort à chaque tirage.

E2 est l’évènement la boule n^o13 sort pour la première fois au 5-ième tirage et sort à chacun des tirages suivants.E₃ est l’évènement la boule n^o13 sort au moins une fois au delà du 4-ième tirage. E₄ est l’évènement il y a au moins un tirage de rang pair qui ne fournisse pas la boule n^o13.

3) C est l’évènement réalisation de tous les A_i à partir d’un certain rang.

4) B_n = ∪

i>nA_i. Dire que le treize sort une infinité de fois équivaut à pour tout n il existe un rang i > n tel que le tirage n^oi fournisse le treize. D’où en traduisant le quantificateur ∀par une intersection et le quantificateur ∃ par une réunion,

B = ∩

n≥1 ∪

i>nA_i. Ex 8.

Ex 9. Soit f une fonction Ω→R. Justifiez l’égalité : ω ∈Ω; f(ω)>0 = ∪

n≥1

ω∈Ω; f(ω)≥1/n .

Solution de l’ex. 9.

Notons A:=

ω ∈Ω; f(ω)>0 et A_n:=

ω ∈Ω; f(ω)≥1/n . Soit ω un élément quelconque de A, alors f(ω) > 0, donc il existe au moins un n = n(ω) (en fait une infinité) tel que 0 < 1/n ≤ f(ω). Alors ω appartient au A_n correspndant, donc aussi à la réunion de tous les A_i. Ceci étant vrai pour tout ω_inA, nous venons de vérifier l’inclusion :

A ⊂ ∪

n≥1A_n.

Pour obtenir l’inclusion inverse, il suffit de remarquer que pour tout n≥1,A_n ⊂A. De ces deux inclusions découle l’égalité d’ensembles A= ∪

n≥1A_n.

Ex 10. On considère une suite de fonctions (fn)n≥1 : Ω →R, ω 7→ fn(ω). On pose pour toutε >0 et toutk ∈N^∗ :

Bε,k ={ω ∈Ω; |fk(ω)|< ε}.

1) On fixe ε >0. Ecrire à l’aide d’opérations ensemblistes sur les B_ε,k, l’ensemble : A_ε,n ={ω∈Ω; ∀k ≥n, |f_k(ω)|< ε}.

2) Même question pour :

A_ε ={ω ∈Ω; ∃n(ω), ∀k ≥n(ω), |f_k(ω)|< ε}.

3) Montrer que l’ensemble :

A={ω ∈Ω; lim

k→+∞f_k(ω) = 0}

peut s’écrire à l’aide d’opérations ensemblistes sur une suite d’ensembles du type B_ε,k. Solution :cet exercice contient une partie de la preuve de la loi forte des grands nombres.

Voir mon polycopié de Deug Introduction au Calcul des Probabilités, th. 6.5 et lire une partie de la preuve pp. 125–126.

Ex 11.

Ex 12.

Ex 13. On suppose que P etQsont deux probabilités sur (Ω,F)vérifiant P ≤Q, ce qui signifie : ∀A∈ F, P(A)≤Q(A). Montrer qu’alors P =Q (égalité de deux fonctions d’ensembles).

Indication : F est stable par complémentaire.

Ex 14. Soit (A_n)n≥1 une suite d’événements ayant chacun une probabilité 1 (on rap- pelle que P(A_n) = 1 n’implique pasA_n= Ω). On note Aleur intersection. Que peut-on dire de P(A)?

Indication : majorer P(A^c).

Ex 15.

Ex 16.

Ex 17.

Ex 18.

On effectue des lancers répétés d’une paire de dés et on observe pour chaque lancer lasomme des points indiqués par les deux dés. On se propose de calculer de deux façons la probabilité de l’événement E défini ainsi : dans la suite des résultats observés, la première obtention d’un 9 a lieu avant la première obtention d’un 7.

1) Quelle est la probabilité de n’obtenir ni 7 ni9 au cours d’un lancer ?

2) Première méthode : On note F_i ={obtention d’un 9 au i-ème lancer} et pour n > 1,E_n ={ni 7 ni9 ne sont obtenus au cours desn−1 premiers lancers et len-ième lancer donne 9}. Dans le cas particulier n= 1, on pose E₁ =F₁.

a) Exprimer E à l’aide d’opérations ensemblistes sur les E_n (n ≥ 1). Exprimer de même chaque E_n à l’aide des F_i et des H_i ={ ni 7 ni 9 au i-ème lancer}.

b) CalculerP(E_n) en utilisant l’indépendance des lancers.

c) CalculerP(E).

3) Deuxième méthode : On note G₁ ={ obtention d’un 7 au premier lancer}.

a) Donner une expression de P(E) en utilisant le conditionnement par la partition {F₁, G₁, H₁}.

b) Donner sans calcul les valeurs de P(E | F₁), P(E | G₁) et expliquer pourquoi P(E |H₁) =P(E).

c) En déduire la valeur deP(E).

Solution d l’ex. 18

1) P(ni 7ni 9 en 1 lancer) = 13/18. On trouve ce résultat en prenant comme es- paceΩ₁ ={1, . . . ,6}² muni de l’équiprobabilité (chaque couple de résultats a une chance sur 36 de se réaliser).

2) On admet l’existence d’un(Ω,F, P)modélisant les lancers répétés indépendants des dés (On peut prendre Ω = Ω^N₁^∗, la définition de F et de P étant plus délicate).

a) E = ∪

n≥1E_n et E_n= ∩

i<nH_i∩F_n

b) Par indépendance des lancers, les évènementsH₁, . . . , Hn−1, F_nsont mutuellement indépendants, d’où

P(E_n) =Y

i<n

P(H_i)P(F_n) = 1 9

13 18

n−1

,

formule valable pour tout n ≥1, le cas n= 1 se réduisant à E₁ =F₁ et P₁(F₁) = 1/9.

c) Les E_n étant deux à deux disjoints, on a par σ-additivité deP :

P(E) =P

k∈∪N^∗

E_k

= X

k∈N^∗

P(E_k) =

+∞

X

k=1

1 9

13 18

k−1

= 1 9

1

1− ¹³₁₈ = 2 5. 3)

a) P(E) = P(E |F₁)P(F₁) +P(E |G₁)P(G₁) +P(E |H₁)P(H₁)

b) P(E |F₁) = 1,P(E |G₁) = 0 etP(E |H₁) = 0, cette dernière égalité traduisant

« l’absence de mémoire » due à l’indépendance des lancers.

c) De a) et b) on déduit queP(E) = P(F₁) +P(E)P(H₁) = ¹₉+¹³₁₈P(E). Finalement

1− 13 18

P(E) = 1

9 d’où P(E) = 1 9 × 18

5 = 2 5. Ex 19.

Ex 20. L’avancement de certains jeux se fait selon la règle suivante : le joueur lance deux dés et avance son pion d’un nombre de cases donné par la somme des points obtenus. S’il a obtenu un double, il peut rejouer et avancer encore et ainsi de suite tant qu’il obtient des doubles.

Le corrigé détaillé de cet exercice (ancien sujet d’examen en Deug) fait l’objet d’un document séparé