Exercices et corrigés

(1)

Yverdon-les-Bains, le 21 septembre 2011

Département TIN (Techniques industrielles)

Filières Microtechnique, Électronique – Automatisation Industrielle, et Ingénierie de Gestion

Exercices et corrigés

Motorisation et Commande des Machines

www.iai.heig-vd.ch

Bernard Schneider

(2)

des erreurs ou lui proposeront des améliorations.

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Toutes propositions d’améliorations et de corrections seront les bienvenues.

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Table des matières

Chapitre 1 Réducteurs et cinématique ... 5

1.1 Étude d’un déplacement ... 5

1.2 Rapport de réduction ... 6

1.3 Réducteur pour l’entraînement de papier ... 7

1.4 Question de quadrants ... 7

1.5 Calcul d’un réducteur pour bande transporteuse ... 8

1.6 Charge d’un moteur avec crémaillère ... 9

1.7 Rapport de réduction optimal ... 10

Chapitre 2 Moteur DC ... 13

2.1 Vitesse d’un moteur DC à vide et en charge ... 13

2.2 Caractérisation d’un moteur DC par 2 essais ... 14

2.3 Rendement d’un moteur DC ... 15

2.4 Allure du courant dans un moteur DC bloqué ... 16

2.5 Vitesse et courant d’un petit moteur DC ... 20

2.6 Freinage d’urgence d’un moteur DC ... 22

Chapitre 3 Moteur synchrone ... 24

3.1 Moteur synchrone alimenté à fréquence constante... 24

3.2 Moteur synchrone en régime nominal ... 24

3.3 Accélération d’un servomoteur « brushless » ... 25

Chapitre 4 Moteur asynchrone ... 26

4.1 Pôles et glissement d’un moteur asynchrone ... 26

4.2 Couple et vitesse d’un moteur asynchrone ... 26

4.3 Moteur asynchrone utilisé à charge réduite ... 27

4.4 Moteur asynchrone en régime de freinage ... 28

4.5 Moteur asynchrone à 50 Hz et à 60 Hz ... 29

4.6 Microcentrale hydraulique ... 30

4.7 Moteur asynchrone entraînant une pompe ... 31

4.8 Système de bobinage ... 32

Chapitre 5 Choix d’un entraînement ... 36

5.1 Table tournante ... 36

5.2 Dimensionnement thermique d’un servomoteur ... 37

5.3 Validation thermique pour un moteur ... 39

5.4 Calcul de productivité ... 40

5.5 Entraînement d’une tourelle ... 41

(4)

5.6 Entraînement pour découpe de papier ... 43

5.7 Calcul d’une crémaillère pour moteur pas-à-pas ... 47

Chapitre 6 Considérations d’énergie et de puissance ... 49

6.1 Puissance d’alimentation et résistance de freinage ... 49

6.2 Calcul de la résistance de freinage ... 50

Chapitre 7 Profils de mouvements ... 54

7.1 Déplacement optimal avec profil vitesse triangulaire ... 54

7.2 Déplacement optimal avec profil vitesse trapézoïdal ... 55

7.3 Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt  arrêt ... 58

7.4 Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt  vitesse fixe ... 63

7.5 Déplacement avec profil en polynôme 3-4-5 ... 65

7.6 Déchargeur de cartons ... 66

7.7 Influence du profil de mouvement sur le choix d’un moteur ... 69

7.8 Influence du profil de mouvement sur l’échauffement d’un moteur ... 70

Chapitre 8 Mouvements multiaxes ... 73

8.1 Presse à découper une bande ... 73

8.2 Presse à découper une bande – cadence plus lente ... 75

8.3 Presse à découper une bande – bande moins épaisse ... 76

8.4 Découpe de carton ... 77

8.5 Poinçonneuse à 2 axes ... 80

8.6 Découpeuse Laser à 2 axes ... 81

8.7 Synchronisation d’un esclave sur un maître « réel » ... 83

8.8 Synchronisation d’un esclave sur un maître « virtuel » ... 84

8.9 Couteau volant ... 84

8.10 Mise en phase d’un axe esclave sur un maître ... 87

(5)

Chapitre 1 Réducteurs et cinématique

1.1 Étude d’un déplacement

Une machine doit souder des écrous (inserts) à la distance D les uns des autres, sur une bande métallique qui défile à vitesse constante V.

V D

vdispo soudure (t)

Pour chaque écrou, le dispositif de soudure accélère pour être synchrone avec la bande, reste à cette vitesse pendant la durée tsoudure (durée de la soudure), puis s’arrête. La valeur de l’accélération est A.

Le dispositif de soudure retourne alors à son point de départ, avec un profil de vitesse triangulaire, caractéri- sé par la même accélération A.

Valeurs numériques : V 0,5m/s; D12cm; t_soudure75ms; A24m/s²

a) De quelle distance se déplace le dispositif de soudure pendant chacun de ses déplacements aller, à profil de vitesse trapézoïdal ?

b) Quelle est la durée du mouvement de retour, à profil de vitesse triangulaire ? c) Quelle vitesse max. Vretour atteint-il pendant ce retour ?

d) Quel est le temps disponible pour la saisie de l’écrou suivant, entre le retour à la position initiale et le départ du nouveau cycle ?

 Réponse – a

Le profil de vitesse au cours du temps est le suivant :

t V

t

soudure

t

cycle

0

Vretour

(6)

Distance parcourue pendant le déplacement « aller » :

mm

 Réponse – b

Au retour, la distance parcourue est identique, au signe près. C’est impératif, sinon, à la longue, le système d’inserts sortirait de sa plage de travail.

 Réponse – c

Au retour, le profil de vitesse est en triangle. Nous avons : ( )

Nous en déduisons :

√

D’où la vitesse max. au retour :

 Réponse – d

Le temps de cycle est donné par :

Si nous déduisons le temps nécessaire pour les déplacements « aller » et « retour », il reste à disposition :

( )

1.2 Rapport de réduction

Un moteur tourne à 1’450 min^-1 et entraîne sa charge par l’intermédiaire d’une courroie crantée. Le pignon sur le moteur compte 17 dents, celui sur la charge en compte 37.

Quelle sera la vitesse à vide de la charge ?

(7)

 Réponse

La vitesse de la charge se calcule en tenant compte du nombre de dents des pignons :

1.3 Réducteur pour l’entraînement de papier

On souhaite entraîner du papier à la vitesse de 190 m/min avec un cylindre de 20 cm de diamètre. La vitesse max. du moteur électrique d’entraînement est de 3'200 tr/min. Quel réducteur proposez-vous ?

 Réponse

302 1

3' 200 10,58

M L

L M

Z N

Z  N  

On pourrait choisir un entraînement à vis sans fin, le pignon moteur ayant 11 dents ou plus.

On pourrait également choisir un réducteur à deux étages de 36 : 11 = 3,27 dents chacun, l’ensemble se comportant comme un réducteur de 3,27² = 10,7.

On pourrait aller encore sur le site d’un fabriquant de réducteur pour faire son choix en fonction des réducteurs préférentiels, afin de réduire les délais d’approvisionnement et les coûts.

1.4 Question de quadrants

Un moteur électrique doit équiper un convoyeur qui, toutes les 2 secondes, doit avancer de 50 cm. Expliquer dans quel(s) quadrant(s) il fonctionnera ? Quelles conséquences faut-il en tirer pour le choix du réducteur et de l’accouplement ?

 Réponse

Le mouvement du convoyeur est mono directionnel. Par contre, il doit très souvent accélérer et freiner. Il est peu judieux d’utiliser un frein mécanique car il s’usera trop rapidement. Donc, c’est le moteur qui devra freiner la charge. Le couple fourni par le moteur sera donc positif à l’accélération, et négatif au freinage.

Ainsi, l’entraînement doit pouvoir fonctionner dans les 2 quadrants de droite (vitesse positive).

Le moteur supporte ce régime sans problème. Par contre, il faudra choisir un réducteur qui ne pose pas de problèmes de jeux. Un système à courroie crantée pourrait faire l’affaire.

(8)

1.5 Calcul d’un réducteur pour bande transporteuse

Une bande transporteuse est entraînée par un moteur, par l’intermédiaire d’un réducteur (voir figure ci- dessous). Les caractéristiques sont les suivantes :

 Diamètre du tambour entraînant la bande : d = 250 mm

 Vitesse de la bande : v = 75 m/min

 Force de traction exercée par le tambour sur la bande : F = 2400 N

 Rendement du réducteur : ηR = 80%

 Vitesse nominale du moteur : NM nom = 1'455 tr/min

 Rendement du moteur : ηM = 87%

a) Quel doit être le rapport du réducteur entre le moteur et le tambour ? b) Quel est le couple que doit fournir le moteur ?

c) Quel est la puissance électrique absorbée par le moteur ?

La vitesse du tambour est liée à celle de la bande transporteuse. Donc :

On en déduit le rapport de réduction :

1' 455

=15,24 95,5

mot tamb

i N

 N 

Le couple que doit fournir le tambour est lié à la force exercée par la bande transporteuse. Donc : 300 Nm

tamb 2

T   F d

Tenant compte du rendement du réducteur, on en déduit le couple que doit fournir le moteur : 24, 6 Nm

tamb mot

R

T T

i 

 



M

bande tambour

(9)

La puissance mécanique fournie par le moteur vaut : 1' 455

24, 6 24, 6 152, 4 3'750 W

méc mot mot 30

P T 



  ^



  

Tenant compte du rendement du moteur, la puissance électrique qu’il consomme vaut : 3'750

4 '310 W 0,87

méc él

mot

P P

  

1.6 Charge d’un moteur avec crémaillère

La tête d’impression d’une imprimante à jet d’encre est mue horizontalement par un entraînement rotatif- linéaire de type pignon – crémaillère. L’équipage mobile (tête et dispositif d’entraînement) pèse 800 g et doit être accélérée à 25 m/s². La crémaillère à un pas de 2,0 mm et le pignon d’entraînement compte 38 dents.

L’inertie du moteur est de 150 ∙ 10^-6 kgm².

a) Que vaut l’inertie équivalente de cette charge, rapportée au moteur.

b) Quel est le couple moteur nécessaire pour accélérer cette charge (hypothèses : frottements nuls).

L’inertie de la charge, rapportée au moteur, se calcule par :

2 2

6 2

38 0, 002

0,8 117 10 kgm

2 2

M

L équiv L

Z p

J m

 

  

   

       

A remarquer que cette inertie est proche de celle du moteur. Le rapport de réduction est donc proche de l’idéal.

L’accélération du moteur est donnée par :

2 2 2

25 2 '067 rad/s 38 0, 002

mot M

Z p a

 

     

 

Le couple moteur nécessaire pour accélérer la tête d’impression se calcule par :

  

^{150 10} ⁶ ^{117 10}⁶



^2'067 ^{0,552 Nm}

mot mot L équiv mot

T  J J    ^   ^  

(10)

1.7 Rapport de réduction optimal

Un servomoteur de 4,9 Nm nominal peut tourner jusqu’à 4'500 tr/min. Son inertie Jmot = 6,3 kg∙cm². Il en- traîne une charge rotative à l’aide d’un réducteur à courroie crantée.

La charge doit constamment accélérer de 1’370 tr/min à 1’830 tr/min, puis revenir à 1'370 tr/min. Elle ne fait donc qu’accélérer et freiner, à accélération constante. Son inertie est de 12,6 kg∙cm². On suppose que tous les frottements sont négligeables, donc que le couple transmis par le moteur ne sert qu’à accélérer et freiner la charge, suivant son sens.

Est-ce que le moteur convient, et quel rapport de réduction choisir ?

Application réelle : Il s’agit d’une machine à découper des feuilles de papier aux formats A4, A5, et lon- gueurs spéciales. Celles-ci, imprimées en continu mais pas encore découpées, avancent à vitesse constante.

Un ciseau rotatif découpe chaque page à la bonne longueur. Sa circonférence est légèrement supérieure à la longueur d’une page. En réalité, pendant la découpe (env. 5% du tour), la vitesse tangentielle du ciseau rotatif doit être égale à celle du papier. Sur le reste du tour, il doit accélérer et freiner pour être prêt à couper la page suivante au bon endroit. Pour ne pas trop compliquer cet exercice, on considère que la découpe est ins- tantanée.

 Réponse

Chaque rotation d’un tour correspond à un cycle de la machine (à une feuille découpée), donc à la rotation d’un tour du couteau. Nous avons :

⏟

En convertissant les vitesses indiquées en [rad/s], nous obtenons :

( )

Comme le moteur est continuellement en train d’accélérer et de freiner, le couple d’accélération, identique au couple de freinage (au signe près), ne doit pas dépasser le couple nominal du moteur.

1^er choix envisageable : Le moteur tourne exactement à sa vitesse max. de 4'500 tr/min lorsque la charge (le ciseau rotatif) tourne à 1’830 tr/min. Le rapport de réduction ne doit en aucun cas dépasser :

On pourrait choisir des pignons pour obtenir un rapport proche de cette valeur limite, par exemple :

L’inertie totale, vue du moteur, sans compter le réducteur lui-même, vaut alors :

|

Lorsqu’on accélère la charge de 1'370 à 1’830 tr/min en ms, sont accélération vaut :

( )

(11)

Le couple d’accélération vaut donc :

|

Ce couple d’accélération étant requis en permanence pour accélérer et pour décélérer, il ne devrait pas dépasser le couple nominal du moteur. Comme celui-ci vaut 4,9 Nm, nous pouvons conclure qu’avec ce réducteur, le moteur ne convient pas. Essayons un autre rapport de réduction.

2^ème choix envisageable : On choisit le rapport de réduction optimal :

√

Concrètement, on choisit le rapport 24 : 17 = 1,41. On a ainsi :

|

Le couple d’accélération vaut donc :

|

Nous constatons qu’avec ce rapport de réduction, le couple d’accélération est inférieur de 6,5% au couple nominal, et que le moteur convient.

Autres choix envisageables : Il est possible de déterminer dans quelle fourchette de valeurs le rapport de réduction peut être choisi, de manière à ce que le couple d’accélération ne dépasse pas le couple nominal du moteur.

Pour ce faire, déterminons analytiquement la valeur du couple d’accélération (du moteur) en fonction du rapport de réduction i :

( )

Lorsque i est proche de zéro, la valeur de tend vers l’infini (effet du terme en 1/i). De même, lorsque i tend vers l’infini, la valeur de tend aussi vers l’infini (effet du terme en i). Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur optimale « » pour laquelle la valeur de est minimale. Il s’agit de celle prise en considération auparavant, comme 2^ème choix envisageable :

√

Pour déterminer dans quelle marge on peut choisir i autour de , sans dépasser la limite de couple du moteur, il suffit de résoudre l’inéquation du 2^ème degré suivante :

( )

(12)

( )

Nous pouvons maintenant introduire les valeurs numériques :

⏟

√( )

Nous obtenons 2 valeurs limites :

{

L’inéquation est satisfaite pour toutes valeurs de i comprise entre ces 2 limites.

Choix final : Le choix final du rapport de réduction doit tenir compte des critères techniques suivants :

 critère de vitesse, impératif : (sinon, la cadence ne sera pas atteinte à cause de la limite de vitesse du moteur) ;

 critère de couple, impératif : (sinon, la moteur chauffera trop à cause du couple d’accélération, qui sera supérieur à sa limite de couple) ;

 critère d’optimisation du couple, souhaitable (non impératif) : .

Dans cet exercice, le rapport de réduction optimum répond à tous les critères. Ce pourrait ne pas toujours être le cas. Cela illustre le principe selon lequel les applications où les couples d’accélération et de freinage prédominent (peu de frottements, peu de couple d’usinage), le moteur sera toujours le mieux utilisé lorsque le rapport de réduction est choisi de manière à ce que l’inertie de la charge, vue du moteur, soit identique à l’inertie du moteur.

Dans les limites calculées, nous pouvons choisir i librement, indépendamment de , tenant compte d’autres contraintes comme la logistique (type de réducteur déjà utilisé sur une autre machine), le prix, ou le maintien d’une réserve d’évolution de la machine vers, par exemple, des vitesses de production plus élevées.

(13)

Chapitre 2 Moteur DC

2.1 Vitesse d’un moteur DC à vide et en charge

Un moteur DC à aimants permanents a comme caractéristiques :

 kE = 50 V par 1000 tr/min

 kT = 0,48 Nm/A

 Ri = 0,9 

Calculer la vitesse max. qu’il peut atteindre avec un variateur pouvant fournir au maximum 150 VDC : a) lorsqu’il est à vide, en négligeant les pertes internes par frottement ;

b) lorsqu’il est chargé à son couple nominal de 5 Nm.

A vide et en négligeant les frottements internes, couple et courant sont nuls :

0 0 A

0, 48

em o

T

I T

 k  

Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. L’équation électrique du moteur est alors :

E 1000 i

U k  N  R I

Donc :

150 50 0,9 0 50

1 000 1 000

o o

N N

' '

     

On en tire la vitesse à vide du moteur : 1 000 150

3 000 rpm

o 50

N '  '

 

Remarque : En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant due à la marge d’erreur sur les coefficients kT et kE :

60 150 60

312,5 2 984 rpm 2 0, 48 2

No '

 

    

En charge et en négligeant les frottements internes : 5 10, 4 A

0, 48

e C

T

I T

k  

(14)

charge charge

50 50

150 0,9 10, 4 9,375

1 000 1 000

N N

' '

 

    

On en tire la vitesse en charge du moteur :

 

charge

1 000 150 9,375

2 812 rpm 50

N '   '

 

Remarque : En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant due à la marge d’erreur sur les coefficients kT et kE :



^{150 9,375}



60 60

293, 0 2 798 rpm

2 0, 48 2

Nc '

 

     

2.2 Caractérisation d’un moteur DC par 2 essais

On souhaite caractériser un petit moteur DC à aimants permanents. Pour ce faire, on procède à 2 essais suc- cessifs :

a) Le moteur est chargé, à l’arrêt, par un couple de 0,105 Nm. Il est alimenté par une source de 6,4 V, et on mesure son courant Ia = 910 mA.

b) Le moteur à vide est alimenté par une source de 24 VDC. On mesure alors son courant Ib = 80 mA, et sa vitesse qui vaut 1'940 tr/min.

Déterminer sa résistance Ra, sa constante de couple kT et sa constante de vitesse kE. Déterminer le couple de frottement interne Tfrott.

L’essai en charge à l’arrêt permet de déterminer les caractéristiques suivantes :

0,105

0,115 Nm/A 0,91

a T

a

k T

 I  

[ ] 0,115 Vs/rad

E SI T

k k 

[ ] [ ]

1'000 2 1'000 2

0,115 12, 08 V/1000 rpm

60 60

E usuel E SI

k k 







    

(15)

L’essai à vide permet de confirmer ces résultats, et en particulier qu’en unités SI, :

[ ]

23, 44 1'000

12, 08 V/1000rpm 1'940

E usuel

k 

 

Le couple de frottement interne s’obtient directement à partir du courant : 0,115 0, 08 0, 0092 Nm

frott T a

T k  I  

2.3 Rendement d’un moteur DC

Quel est le rendement du moteur de l’exercice précédent (2.2), lorsqu’il est alimenté à 24 VDC et chargé à 0,105 Nm, et en tenant compte du couple de frottement interne Tfrott ?

 Réponse

A charge nominale, le couple électromagnétique doit compenser le couple à l’arbre et les frottements internes. Donc :

0,105 0, 009 0,114 Nm

Tem   

Le courant d’induit vaut alors :

La puissance électrique fournie vaut :

La vitesse vaut :

La puissance mécanique disponible vaut :

0,105 148 15,5 W

méc arbre

P T  



 

Le rendement du moteur vaut ainsi : 15, 5

23,8 65%

méc élec

P

  P  

(16)

 

²

2 7, 03 0,99 6,9 W

Joule

P  R I   

0, 0092 148 1, 4 W

frott frott

P T    

La somme de ces pertes est égale à la différence entre Pélec et Pméc , aux erreurs d’arrondis près.

2.4 Allure du courant dans un moteur DC bloqué

Un moteur (Maxon A-max 26/110209) est connecté soudainement à une alimentation de 12 V. Ses caracté- ristiques sont les suivantes :

 Ualim = 12 V

 Inom = 629 mA

 Ri = 7,41 Ω

 Li = 0.77 mH

 therm = 12,4 s

 Tnom = 0,0157 Nm

 Jmot = 1,3 · 10^-6 kgm²

 Inertie de la charge : Jcharge = 3,9 · 10^-6 kgm²

a) Considérant que le moteur est bloqué mécaniquement, exprimer et représenter le courant en fonction du temps.

b) Combien de temps peut-on maintenir ce moteur ainsi alimenté, avec son rotor bloqué, avant que sa température interne dépasse sa température limite de fonctionnement ?

Courant établi, on libère soudainement le moteur de l’exercice précédent.

c) Déterminer les constantes kT et kE.

d) Exprimer et représenter sa vitesse en fonction du temps, en négligeant tous les frottements.

e) Exprimer et représenter cette même vitesse, mais en considérant qu’il y a en plus un frottement visqueux B_ω = 6,8 · 10^-6 Nm·s/rad.

 Préalable mathématique

Dans le monde réel, plusieurs régimes transitoires peuvent être décrits par la solution d’une équation différentielle d’ordre 1, de la forme :

( )

Supposons que la solution de cette équation soit : ( ) ( ) ( )

(17)

( ) ( )

Montrons que la solution proposée satisfait l’équation différentielle.

La dérivée de ( ) est : ( )

( ) ( ) ( )

En introduisant la solution ( ) et sa dérivée dans l’équation différentielle, nous obtenons pour son terme à gauche du signe « = » :

( ) [ ( ) ( )]

[( ) ( )] [ ( ) ]

En remplaçant et par leurs valeurs supposées, ce terme est nul. La solution proposée satisfait l’équation différentielle est bien vérifiée. Comme il ne peut y avoir qu’une seule solution, nous avons trouvé LA solution.

Dans tous les problèmes de régimes transitoires d’ordre 1, il convient donc de poser l’équation différentielle sous la forme susmentionnée. La solution est alors immédiate.

On part de l’équation électrique du moteur DC :

( ) ⁱ( ) ( )

i i i E

U R i t L di t k t

dt



     

Comme la vitesse est nulle (rotor bloqué), la tension induite est également nulle. L’établissement du courant dans ce moteur est du même type que dans une bobine (inductance et résistance en série). On peut donc en conclure :

( ) 1 ^él

t

i ti I e ^





 

   

Avec :

(18)

Le courant s’établit à une valeur I_ égale à 2,57 fois le courant nominal. Le moteur s’échauffera trop.

Si le moteur (avec rotor bloqué) était alimenté avec son courant nominal, sa température se stabiliserait à sa valeur de fonctionnement admissible



_nominal.

En le connectant à une alimentation de 12 V, son courant atteint rapidement 2,57 fois son courant nominal.

En maintenant ce courant, ses pertes thermiques, qui se calculent par la formule P_th R_aI_a², sont 63

, 6 57 ,

2 ²  plus importantes. Sa température interne, qui augmente exponentiellement, chercherait à atteindre 6,63 fois sa température de fonctionnement normale. Autant dire qu’il finirait par se détruire.

L’évolution de la température interne répond à l’équation :











 







 _ ^ ^{th erm}

t

e

t  ^

( ) 1

On a calculé que 



_6,63



_nominal, et on cherche à savoir après combien de temps on atteint

nominal

)

(





 t . Il nous faut donc résoudre l’équation











 









 ^ ^{th erm}

t

e ^



_nominal 6,63 _nominal 1

On constate qu’il n’est même pas nécessaire de connaître la valeur de cet échauffement normal



_nominal. Il suffit de savoir que cette valeur est définie. Elle est déterminée par le concepteur du moteur, mais pas toujours publiée.

On en tire :

s 0 , 2 4 , 12 164 , 63 0

, 6 1 1

ln    



 



 



 _therm

t



On connait le couple et le courant nominal du moteur. On peut en tirer : 0, 0157

0, 0250 Nm/A 0, 629

nom T

nom

k T

 I  

Les équations électrique et cinématique du moteur sont toutes deux des équations différentielles d’ordre 1 (l’accélération est la dérivée de la vitesse). En les combinant, nous obtenons normalement une équation différentielle d’ordre 2. Elle pourrait se résoudre en passant, par exemple, par la transformée de Laplace.

Dans le cas des petits moteurs DC comme celui-ci, nous pouvons cependant négliger les phénomènes transitoires du courant lorsque nous nous intéressons à l’évolution de la vitesse. Ce faisant, nous n’avons qu’une équation différentielle d’ordre 1 à résoudre, dont la solution est :

( ) 1 ^méc

t

t e ^

 _ ^ ^ ^

 

(19)

12 481 rad/s 0, 0250

E T

U U

k k

_   



^{1,3 3,9 10}



⁶ ^{7, 41}

61, 7 ms 0, 0250 0, 0250

tot i méc

T E

J R

k k

  ^  ^ ^ ^ ^ 

 

Cette constante de temps est appelée « constante de temps mécanique du moteur ». Nous remarquons qu’elle est environ 600 fois plus grande que la constante de temps électrique. Cette grande différence est caractéristique des petits moteurs DC. Lorsque cette différence peut être démontrée comme dans le cas présent, l’hypothèse simplificatrice que nous avons faite, à savoir négliger les phénomènes transitoires du courant, est parfaitement justifiée.

 Réponse – e

Un frottement visqueux est linéaire, proportionnel à la vitesse. Il s’ajoute au couple d’accélération :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

em acc frott tot T

d t

T t T t T t J B t k i t

dt ^

 

       

Tenant compte du faite que k_E k_T, l’équation électrique du moteur devient alors :

1 ( )

( ) ( )

i tot T

T

d t

U R J B t k t

k dt ^

  

 

       

( ) ( ) 0

tot i i

T

T T

J R d t B R

k t U

k dt k



^  ^



 

     

 

La solution est :

( ) ( ) avec :

2 2 6

12 0, 0250

' 444 rad/s

0, 0250 6,8 10 7, 41

T

T i

U k k B_ R

_  ^  ^ _ 

    

 

⁶

2 2 6

1,3 3,9 10 7, 41

57,1 ms 0, 0250 6,8 10 7, 41

tot i méc

T i

J R

k B_ R

  ^  ^ ^ ^ _^ 

    

La vitesse se stabilise à une vitesse un peu plus faible que si les frottements sont nuls.

La constante de temps mécanique est réduite proportionnellement. On peut justifier ce résultat par le fait que la dérivée de la vitesse à l’instant t = 0 ne dépend pas des frottements. La constante de temps correspond à l’instant où les asymptotes de l’exponentielle se croisent. Si l’asymptote horizontale est plus basse de x%, la constante de temps est donc plus faible de x%.

(20)

2.5 Vitesse et courant d’un petit moteur DC

On considère un petit moteur DC à aimants permanents (type Maxon A-max 26/110211), caractérisé comme suit :

 Unom = 15 V

 Inom = 338 mA

 Ra = 25,8 Ω

 La = 2,57 mH

 KT = KE = 0,0467 Nm/A

 Jm = 1,25 ∙ 10^-6 kg∙m²

 therm = 12,4 s

Il entraîne une charge inertielle pure, caractérisée par Jext = 8 ∙ Jm . On néglige tous les frottements.

Ce moteur est connecté soudainement à une alimentation de 15 V, et se met donc à tourner.

a) A quelle valeur sa vitesse se stabilisera-t-elle ?

b) Quelle est la valeur du courant consommé par le moteur, lorsque la vitesse est ainsi stabilisée ? c) Après combien de temps le moteur atteint-il une vitesse égale ou supérieure à 2'000 tr/min ?

d) Quel est le rapport, à 5% près, entre le courant de pointe absorbé par le moteur au début du démar- rage, et son courant nominal ?

Longtemps après que la vitesse se soit stabilisée, et en maintenant la tension d’alimentation constante, on freine ce moteur avec un couple inconnu, mais rigoureusement constant. On constate que sa vitesse diminue, et se stabilise à nouveau. On mesure alors un courant de 450 mA.

e) A quelle valeur la vitesse le moteur se stabilise-t-elle alors ? f) Quelle est la valeur du couple constant qui freine le moteur ?

g) Pourquoi ne doit-on pas laisser trop longtemps le moteur fonctionner à ce régime ?

h) En supposant que le moteur était à température ambiante au démarrage, pendant combien de temps peut-on le laisser fonctionner à ce régime sans risque ?

A vitesse stabilisée, la tension induite et le courant sont constants. Comme, en plus, les frottements sont supposés nuls, le couple électromagnétique est également nul. La vitesse se stabilise ainsi à :

15 321 rad/s 0, 0467

E

U

_  k  

A vide et en négligeant les frottements internes, couple et courant sont nuls :

0 0 A

0, 48

em o

T

I T

 k  

(21)

La constante de temps électrique du moteur vaut : 2,57 10 3

99 μs 25,8

i él

i

L



 R  ^ ^ 

La constante de temps mécanique du moteur vaut :

 

⁶

2

1 8 1, 25 10 25,8

133 ms 0, 0467

tot i méc

T E

J R

k k

  ^  ^{ } ^ ^ ^ 



Vu la grande différence entre ces 2 constantes de temps, on peut traiter séparément les régimes transitoires de courant et de tension.

En radian/seconde, la vitesse de 2'000 tr/min correspond à : 2 '000

209 rad/s 30



 

L’équation de vitesse est donc :

0,133 209

209 321 1 0,133 ln 1 140 ms

321

t

e t

 

    

           

A la mise sous tension, le moteur est arrêté. Le courant croît exponentiellement à sa valeur de court-circuit, avec une constante de temps égale à



_él. Au fur et à mesure que le moteur prend de la vitesse et que la tension induite se soustrait de la tension d’alimentation, le courant décroit exponentiellement, avec une constante de temps égale à



_méc.

La valeur max. du courant est donc sa valeur de court-circuit :

max

15 581 mA

i 25,8 I U

 R  

Lorsque la vitesse s’est stabilisée, le courant est également constant. La vitesse se calcule par : 15 25,8 0, 45

' ' 72, 6 rad/s

0, 0467

i i

i i E

E

U R I

U R I k

_ _ ^{ }k ^ ^

       

 Réponse – f

Le couple est proportionnel au courant, et on sait que celui-ci vaut 450 mA. Donc : 0, 0467 0, 45 0, 021 Nm

em T i

T k  I  

(22)

 Réponse – g

Le courant de 450 mA est de 33% supérieur au courant nominal. L’échauffement du moteur est approximativement proportionnel au carré du courant. Si on maintenait ce courant trop longtemps, l’échauffement serait ainsi 77% supérieur à l’échauffement normal, car 1,33² = 1,77. Il est probable que ceci détruirait le moteur.

 Réponse – h

La constante de temps thermique du moteur est beaucoup plus grande que les constantes de temps mécanique et électriques. On peut donc considérer que l’échauffement du moteur est décrit par une équation différentielle d’ordre 1, dont la solution est :

( ) 1 ^therm

t

t e ^

 _ ^ ^ ^

     

 

Comme le moteur est surchargé de 33% en courant, on a :

nominal 1, 77



_



   

nominal



 est l’échauffement que le moteur supporte à coup sûr, et qui ne doit pas être dépassé. On calcule le temps nécessaire pour atteindre cette température en situation de surcharge comme suit :

1, 77 1 12, 4 ln 1 1 10,3 s

1, 77

therm

t

nom nom e ^ t

 

 

    

             

2.6 Freinage d’urgence d’un moteur DC

Une machine comporte un moteur DC à aimants permanents pour l’entraînement d’une table. Il est alimenté par un servo amplificateur, dont la tension de sortie UDC varie entre -130 V et +130 V pendant le fonctionnement normal de la machine.

Le moteur est du type PARVEX RS640E. Ses caractéristiques sont : Tnom = 13 Nm ; kT = 0,47 Nm/A ; kE = 49,2 [V / 1'000 tr/min] ; Ra = 0,12  ; JM = 0,0083 kgm².

Pour assurer l’arrêt d’urgence en cas de panne, et plutôt que d’ajouter un frein mécanique, on prévoit un dispositif permettant de court-circuiter ce moteur. Ce procédé présente l’avantage de fonctionner même si le servo amplificateur tombe en panne, ce qui améliore la sécurité de la machine.

Cependant, pour ne pas risquer d’endommager le réducteur (vis à bille), le couple de freinage ne doit en aucun cas excéder 3 fois le couple nominal du moteur. Pour limiter ce couple, on limite le courant de freinage en ajoutant une résistance Rfrein dans le circuit d’urgence, comme représenté ci-dessous.

R M

f

UDC

(23)

machine ?

b) Quelle est la valeur max. que le courant peut atteindre au moment du freinage ? c) Quelle valeur ohmique proposez-vous pour la résistance Rfrein , et pourquoi ?

La vitesse max. possible est atteinte lorsque le moteur est alimenté à 130 V, alors qu’il n’est pas chargé du tout. Cette vitesse vaut :

max max

130 2 '643

1'000 2 '643 rpm 278 rad/s

49, 2 30

N N 

    

La donnée du problème précise que le couple ne doit en aucun cas dépasser le triple du couple nominal. Le courant max. admissible vaut donc :

3 13 3 83, 0 A 0, 47

nom admissible

T

I T

k

    

Dans le pire des cas, le moteur est à vitesse max. lorsqu’il faut le freiner. On sait que cette vitesse correspond à une tension induite égale à la tension max. d’alimentation, soit 130 V.

Lorsque le moteur est court-circuité par la résistance Rfrein, le courant n’est limité que par cette résistance, qui est en série avec la résistance interne du moteur. On obtient donc :

max max 130

0,12 1, 45

83

i i

adm frein i

i frein adm

U U

I I R R

R R I

        



En admettant que les résistances de puissance qui conviennent à ce genre d’application sont spécifiées avec une précision de ±10%, il convient de chercher dans le catalogue une résistance dont la valeur ohmique nominale est supérieure à 1,6 Ω.

(24)

Chapitre 3 Moteur synchrone

3.1 Moteur synchrone alimenté à fréquence constante

A quelle vitesse tourne un moteur synchrone alimenté en 50 Hz, équipé de 24 pôles ?

 Réponse

Ce moteur a 12 paires de pôles. Il tourne donc 12 fois plus lentement qu’un moteur à 1 paire de pôles, soit à n = 3'000 / 12 = 250 r/min.

3.2 Moteur synchrone en régime nominal

Un moteur synchrone de puissance nominale 22 kW est alimenté au réseau triphasé européen 400 V / 50 H), et comporte 2 paires de pôles (p = 2). Son rendement est de 92% et son cos vaut 0,87. Déterminer sa vitesse de rotation, son couple à l’arbre, sa puissance active et son courant de phase.

 Réponse

Pour la vitesse de rotation, nous avons, à choix :

[ ] [ ]

[ ]

Pour insister sur la différence, calculons également la pulsation de l’alimentation :

[ ] [ ]

La puissance nominale d’un moteur étant toujours donnée « à l’arbre », le couple nominal vaut :

( )

[ ] La puissance électrique (active) consommée vaut :

( ) ( )

[ ] Son courant de phase vaut :

( )

√ [ ]

(25)

3.3 Accélération d’un servomoteur « brushless »

Un servomoteur synchrone à aimants permanents « AC brushless » a une constante de couple kT = 1,02 Nm/Arms. Son courant nominal IN = 2,9 Arms. Son inertie JM = 3,3 kg·cm². A vide, et sans dépas- ser son couple nominal, combien de temps lui faut-il pour accélérer de 0 à 3'000 tr/min ?

 Réponse

Le couple nominal de ce moteur vaut : L’accélération est donnée par la loi de Newton :

La vitesse à atteindre vaut :

La durée de l’accélération vaut donc :

(26)

Chapitre 4 Moteur asynchrone

4.1 Pôles et glissement d’un moteur asynchrone

Un moteur asynchrone alimenté en 50 Hz tourne à 720 min^-1. Calculer le nombre de pôles et son glissement (en % de la vitesse synchrone).

Quelle est la fréquence des courants induits dans son rotor ?

 Réponse

Il faut d’abord chercher quelle vitesse synchrone est légèrement au-dessus de la vitesse 720 min^-1. Il s’agit de la vitesse synchrone d’un moteur à 4 paires de pôles, qui est de 750 min^-1. Ce ne peut pas être un moteur à 3 paires de pôles, car sa vitesse synchrone de 1'000 min^-1 serait beaucoup trop grande (on sait que le glissement est de quelques pour cent, mais en aucun cas 33%).

Le glissement s est de 30 min^-1, soit 4,0%.

Les courants induits au rotor ont une fréquence égale à la différence de vitesse entre le champ tournant et le rotor, soit 4% de la fréquence d’alimentation. Elle vaut donc 2 Hz.

4.2 Couple et vitesse d’un moteur asynchrone

Soit un moteur asynchrone de 22 kW, dont la vitesse nominale est de 1’420 min^-1. Son rendement est de 91%, et son facteur de puissance de 0,85. On l’alimente en triphasé 400 V – 50 Hz.

a) Quel est son glissement à charge nominale ? b) Quel est son courant nominal ?

Ce moteur a certainement 2 paires de pôles. Sa vitesse synchrone est de 1'500 min^-1. Le glissement à régime nominal

vaut :

Nous pouvons aussi exprimer ce glissement en tr/min :

(27)

La puissance nominale de 22 kW est la puissance disponible à l’arbre. La puissance électrique nominale vaut :

Son courant de phase vaut donc :

√ ( )

√

4.3 Moteur asynchrone utilisé à charge réduite

Le moteur de l’exercice 4.2, alimenté par le réseau triphasé 400 V – 50 Hz, entraîne une charge à vitesse constante en lui transmettant un couple de 55 Nm.

a) A quelle vitesse tourne-t-il ?

b) En admettant que son rendement est le même à charge réduite qu’à pleine charge (91%), déterminer la puissance active qu’il consomme.

c) En admettant que la puissance réactive est la même à charge réduite qu’à pleine charge (exercice ci- dessus), déterminer son courant de phase et son facteur de puissance.

Dans la zone de fonctionnement du moteur asynchrone (vitesse proche de la vitesse synchrone), le glissement est proportionnel au couple fourni. Il faut donc déterminer le rapport entre le couple fourni (55 Nm) et le couple nominal.

On en tire le glissement, exprimé en [tr/min] :

A cette vitesse, la puissance mécanique délivrée vaut :

Tenant compte du rendement, la puissance électrique active consommée vaut :

(28)

A régime nominal (22 kW à l’arbre), la puissance apparente peut être déterminée à partir de la puissance active (exercice précédent). Nous avons :

( )

Nous en tirons la puissance réactive consommée à régime nominal :

√ √ A la puissance réduite indiquée, le moteur consomme :

Nous en déduisons la puissance apparente :

√ √

Nous en tirons le courant de phase et le facteur de puissance à charge réduite : √

√

Nous remarquons que le facteur de puissance s’est fortement dégradé, et que le courant de phase a diminué dans une proportion bien moindre que la réduction de charge.

4.4 Moteur asynchrone en régime de freinage

Le moteur de l’exercice 4.2 est utilisé pour un ascenseur. Quelle sera sa vitesse à la descente ?

 Réponse

Dans l’ l’exercice 4.2, le moteur est utilisé à charge nominale, et convertit de l’énergie électrique en énergie mécanique. A la descente, le moteur fonctionne dans l’autre sens, mais en frein (générateur). Il tournera donc à une vitesse légèrement supérieure à sa vitesse synchrone. Comme le poids déplacé est supposé inchangé, le glissement est identique, mais change de signe.

La vitesse du moteur vaut donc :

( )

(29)

4.5 Moteur asynchrone à 50 Hz et à 60 Hz

La machine utilisant le moteur de l’ l’exercice 4.2 doit être exportée aux USA, et fonctionner sous 480 V / 60 Hz.

Comment fonctionnerait le moteur dans ces conditions ? Que faire ?

 Réponse

La plupart des moteurs calculés pour 400 VAC / 50 Hz supportent également 480 VAC / 60 Hz. Il faut cependant s’en assurer, et surtout vérifier que les spécifications écrites du fournisseur le garantissent (homologation).

Si le moteur est connecté directement à l’alimentation (application tout ou rien), l’augmentation de fréquence provoquera une augmentation de la vitesse synchrone à :

( ) _{( )} ^{( )}

( )

Le glissement restant à peu près inchangé (80 tr/min), sa vitesse avec le même couple serait donc de 1'720 tr/min. Même un transformateur 480 / 400 VAC ne changerait rien.

Le couple du moteur ne doit pas dépasser sa valeur nominale à 50 Hz. S’il entraîne par exemple un ventilateur, il faudra compenser l’augmentation de la vitesse en modifiant le pas de l’hélice, de manière à ce que le flux d’air reste le même. Si le moteur entraîne sa charge par un réducteur, il faudra modifier le rapport de réduction pour que la vitesse de la charge n’augmente pas.

Si ces modifications mécaniques ne sont pas possibles, il faudra ajouter un variateur de fréquence pour limiter la vitesse du moteur à 1’420 tr/min.

Si le moteur est utilisé avec un variateur de fréquence, il faudra vérifier que cet appareil est capable de fonctionner sous 480 VAC (ce n’est pas toujours le cas). Sinon, il faudra le remplacer par un variateur qui supporte cette tension, ou ajouter un transformateur 480 / 400 VAC. Le moteur ne verra aucune différence.

S’il y a plusieurs moteurs dans le même cas, on pourrait alimenter la machine par l’intermédiaire d’un convertisseur de fréquence 60 / 50 Hz, qui adapterait également la tension. Cet appareil est assez coûteux, mais au moins, il n’y aurait pas d’autres frais d’adaptation ni d’effets de surprise.

(30)

4.6 Microcentrale hydraulique

Dans une microcentrale électro-hydraulique, un moteur asynchrone est entraîné directement par la turbine pour produire de l’énergie électrique. Avec un débit d’eau constant, la vitesse de turbine est de 392 tr/min.

Le moteur est connecté au réseau industriel 400 V à 50 Hz, triphasé.

a) Le champ tournant est-il plus grand, égal, ou plus petit que la vitesse de la turbine ? b) Quel nombre de pôles est le plus favorable à votre avis ?

c) Quel est alors le glissement du moteur ?

d) Quelle est la puissance électrique fournie, sachant que l’on mesure un courant de phase Irms = 12,5 A, et que le moteur est caractérisé par un facteur de puissance cosφ = 0,86 ?

e) Quelle est le couple mécanique fourni par la turbine au moteur, sachant que le rendement du moteur est de 94%, et que la turbine tourne exactement à 392 rpm ?

Le moteur tourne à la même vitesse que la turbine. Comme il fonctionne en générateur, il doit tourner plus rapidement que le champ tournant. Donc, le champ tournant doit tourner plus lentement.

392 tr/min correspond à 6,53 tr/s. S’il n’y avait pas de glissement, le nombre de paires de pôles idéal vaudrait :

Comme il y a du glissement, et surtout comme le nombre de paires de pôles doit être un nombre entier, nous avons le choix entre 7 et 8. Comme le champ tournant doit être plus lent que le rotor, nous devons choisir p = 8. Ainsi, la vitesse du champ tournant vaut :

Le glissement vaut :

√

(31)

4.7 Moteur asynchrone entraînant une pompe

Un château d’eau est alimenté depuis une nappe phréatique. La différence de niveau est de 67 m. Le débit doit pouvoir atteindre au minimum 55 m³ par heure.

Pour fournir ce débit, la pompe doit être entraînée à une vitesse de 690 tours par minute. Elle peut tourner plus vite, mais sans dépasser 900 tours par minute. Son rendement est de 81%.

La pompe est entraînée directement, donc sans réducteur, par un moteur asynchrone, lui-même alimenté directement par le réseau 400 V / 50 Hz / triphasé. Il est caractérisé comme suit :

 Puissance et nombre de pôles : à déterminer

 Rendement – identique pour tous les modèles : 92%

 Facteur de puissance (cosφ) – identique pour tous les modèles : 0,84

 Glissement à couple nominal – identique pour tous les modèles : 4,5%

a) Quel nombre de paires de pôles convient le mieux, et pourquoi ? Valeurs possibles : 1, 2, 3 ou 4.

b) Suite à ce choix, quel est le débit de la pompe ? Hypothèses simplificatrices :

 Le débit de la pompe est proportionnel à sa vitesse.

 On admet que le glissement du moteur est égal à son glissement nominal, même si le couple qu’il four- nit n’est pas exactement égal à son couple nominal.

c) Quel doit être la puissance nominale du moteur ?

Valeurs possibles (normalisées) : 7,5 kW, 15 kW, 22 kW ou 37 kW

d) Dans ces conditions de fonctionnement, quel est le courant de phase du moteur ?

 Réponse – a Valeur min. :

   

60 1 60 50 1 0, 045

690 4,15

M 690

f s

N p

p

     

    

Valeur max. :

   

60 1 60 50 1 0, 045

900 3,18

M 900

f s

N p

p

     

    

On choisit la valeur entière p4.

(32)

Le débit de la pompe est proportionnel à sa vitesse, donc à la vitesse du moteur, qui est fixé par la fréquence de son alimentation. Nous avons donc :

   

60 1 60 50 1 0, 045

716 rpm

M 4

f s

N p

     

  

55 716 3

57,1 m /h D 690

 

Puissance utile (fournie par la pompe) :

/

57,1 1'000

9,81 67 10 ' 424 W 3'600

utile kg s

P  D g h      

Puissance fournie par le moteur à la pompe : 12 '869 W

utile

arbre nom

pompe

P P P





 

On choisit :

15 kW Pnom  _.

Puissance électrique consommée :

13'988 W 3 cos

arbre

électrique comp

moteur

P P U I 

     

On en tire :

13'988

24, 0 A

3 cos 3 400 0,84

électrique comp

I P

U



  

   

4.8 Système de bobinage

Une machine enroule du papier qui défile à la vitesse constante de 480 m/min. Le support vide du rouleau a un diamètre de 30 cm. Le rouleau plein a un diamètre de 1,1 m.

Le rouleau est entraîné par un moteur et un réducteur. La vitesse du moteur est réglée en permanence pour garantir la vitesse constante du papier, tout en tirant celui-ci avec une force de 400 N.

Le moteur est de type asynchrone à 2 paires de pôles. Le catalogue du fournisseur indique que les puissances nominales (à l’arbre) suivantes sont disponibles, en [kW] : 1,1 – 2,2 – 4,0 – 7,5 – 15 – 22 – 37.