Feuille d’exercices 14 : matrices.
Exercice 1
Indiquer et effectuer tous les produits possibles entre deux des matrices suivantes.
A=
1 2 3 2 0 1
; B =
1 1
−1 2
; C =
2 1 1 −1 0 0 1 1
; D=
2 5 3 −1 4 −2
; E =
1 1 3
2 2 5
−1 −1 −3
Exercice 2
Résoudre l’équationX2−2X =
−1 0 6 3
d’inconnue X ∈M2(R).
Exercice 3
Déterminer l’ensemble des matricesM ∈M2(R)qui commutent avec A=
1 2 2 3
.
Exercice 4
On poseA =
1 0 1 0 1 0 1 0 1
.Calculer An pour tout n∈N.
Exercice 5
On note A=I2+B, où B =
4 −4 4 −4
. Calculer B2. En déduire An pourn∈N.
Exercice 6
On considère la matrice A deM3(R) définie par A=
2 2 3 0 2 2 0 0 2
.
En écrivantA = 2I3+B, où B est une matrice à préciser, calculer An pour toutn ∈N.
Exercice 7
On poseA =
2 −2 2 1
.
1) Montrer queA est inversible et calculer A−1. 2) Exprimer A2 en fonction deA et I2.
3) À l’aide de cette relation, retrouver le résultat de la question 1).
Exercice 8
Inverser (lorsque cela est possible) les matrices suivantes : 3 4
5 6
;
1 0 3 0 1 1 0 0 2
;
1 0 1
2 −1 1
−1 1 −1
;
1 1 −1 2 0 1 2 1 −1
;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
.
Exercice 9
Soit A la matrice de M3(R)définie par :
A=
2 −2 1 2 −3 2
−1 2 0
.
1) CalculerA2+ 2A−3I3. En déduire queA est inversible et calculer A−1.
2) Montrer que, pour toutn ∈N, il existe des réels an et bn tels que An=anA+bnI3. 3) Déterminer le terme général des suites(an) et(bn).
Exercice 10
Pour toutm ∈R, on pose
A=
1 2 m 3 4 2 2 3 −1
. Pour quelles valeurs du paramètre m la matrice A est-elle inversible ?
Exercice 11
On considère la matrice A deM3(R) définie par A=
0 1 3 0 0 2 0 0 0
. 1) La matriceA est-elle inversible ?
2) CalculerA3 et retrouver le résultat de la question précédente.
Exercice 12
Pour toutθ ∈R, on poseR(θ) =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
1) En utilisant le déterminant, montrer que, pour tout θ∈R, R(θ) est inversible et donner [R(θ)]−1. 2) Soitθ etθ0 deux réels. CalculerR(θ)R(θ0).
3) CalculerR(0).
4) À l’aide des questions 2) et 3), retrouver le résultat de la question 1).
Exercice 13
Déterminer le rang des matrices suivantes :
1 1 3 1 2 5
−1 1 1
;
2 3 −1 0
−3 1 0 2
−4 5 1 4
.
Exercice 14
Déterminer, selon les valeurs de λ∈R le rang de la matrice suivante :
A=
λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ
.
Exercice 15
Soit A etB deux matrices symétriques de Mn(K).
À quelle condition (nécessaire et suffisante) surA et B la matrice AB est-elle symétrique ?
Exercice 16
On note A=
0 1 2 −1
et P =
1 −1 1 2
.
1) Vérifier que P est inversible et donner son inverse.
2) Calculer la matriceD=P−1AP.
3) CalculerDn puis en déduire An, pour tout n ∈N.
Exercice 17
On considère les matrices A=
2 0 −1
−4 0 2 0 0 1
etP =
1 1 0
−2 −2 1 0 1 0
.
1) Montrer queP est inversible et calculerP−1. 2) Calculer la matriceD=P−1AP.
3) Calculer, pour tout n∈N, Dn.
4) En déduire, pourn ∈N, l’expression deAn.
Exercice 18
On considère la matrice A=
1 −1
−1 1
. 1) CalculerAn pour toutn ∈N.
2) On considère les suites (un) et(vn) définies paru0, v0 ∈R et les relations de récurrence : ( un+1 =un−vn
vn+1 =−un+vn
.
Pourn ∈N, on note Xn = un
vn
. Établir une relation entreXn+1,A et Xn. 3) En déduire, pourn ∈N, l’expression deun et vn en fonction deu0, v0 et n.
Exercice 19
Soit U =
0 0 5 1 0 2 0 1 0
1. Calculer U2 et U3.
2. Exprimer U3 sous la forme aU2+bU +cI3 avec(a, b, c)∈R3. 3. En déduire que U est inversible et déterminer U−1.
Exercice 20
Résoudre dansM2(R) N2 = 02,2.
Exercice 21
SoitN une matrice nilpotente (cf exercice précédent) etptel queNp = 0. Soitm∈N. Exprimer la matrice (In+N)m en fonction deIn, N, N2,· · ·Np−1.
Calculer A10 oùA=
1 2 1 0 1 −1 0 0 1
.
Exercice 22
Pour chacune des matrices suivantes déterminer son rang et les solutions de l’équation AX = 04,1. Dans le cas où elles sont inversibles calculer leur inverse
1 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 3
4 4 4 0 4 2 3 3 1 3 4 4 5 1 5 4 4 5 1 5
2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 6 2 0 4
8 16 68 76 2 4 16 18 2 5 20 23 8 16 69 77
2 4 13 9 13 0 2 6 4 6 0 0 1 1 1 2 4 14 10 14
Exercice 23
Soit M =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
1. Calculer M2,M3 et M4.
2. Calculer le produit (I3+M +M2)(I3−M).
3. En déduire que I3−M est inversible et déterminer son inverse.
4. Soit (x, y)∈R2. Déterminer trois suites (an)n∈N, (bn)n∈N et (cn)n∈N telles que, pour tout n ∈ N, on ait
(xI3+yM)n =anI3+bnM +cnM2
5. On considère les suites (un)n∈N, (vn)n∈N et(wn)n∈N définies par récurrence par
un+1 = 2un+vn
vn+1 = 2vn+wn
wn+1 = 2wn
u0 = 1, v0 = 0, w0 =−1 Exprimer un,vn et wn en fonction den.
Exercice 24
Discuter en fonction des paramètres(m, a)∈C2 du rang des matrices suivantes
m 1−m 1 +m 0 1−m m
0 0 m
m 1−m 1−m 4m
1 a m a 1 m 1 1 1
a−m a−1 a+ 1 a−2−m
Réponse de l’exercice 19
1. On a
U2 =
0 5 0 0 2 5 1 0 2
U3 =
5 0 10 2 5 4 0 2 5
2. On a U3 = 2U+ 5I3
3. De la question précédente on déduit que U(U2−2I3) = 5I3. D’où U
U2−2I3 5
=I3
Ainsi U est inversible etU−1 = U2−2I3
5 .
Réponse de l’exercice 20 Posons
N = a b
c d On a alors
N2 =
b×c+a2 b×d+a×b c×d+a×c d2+b×c
= 02,2
On en tire le système suivant
bc+a2 = 0 bd+ab= 0 cd+ac= 0 d2+bc= 0
D’où
a2 =d2 =−bc b(a+d) = 0 c(a+d) = 0 On a alors trois cas possibles :
— a =d6= 0 et alors on obtient b=c= 0 et a2 = 0, ce qui est absurde.
— a =d6= 0, on a alors b×c= 0 d’où les deux formes de matrices suivantes N1 =
0 b 0 0
b ∈R etN2 = 0 0
c 0
c∈R
— a =−d6= 0,on en tireb×c=−a2 6= 0 et donc b6= 0. On obtient alors la forme suivante de matrice
N3 =
a b
−a2 b −a
(a, b)∈R2
En conclusion les matrices N telles que N2 = 02,2 (on dira que N est nilpotente) sont de l’une des trois formes suivantes
N1 = 0 b
0 0
N2 = 0 0
c 0
N3 =
a b
−a2 b −a
(a, b, c)∈R3
Réponse de l’exercice 21
In et N commutent, on peut donc utiliser la formule du binôme de Newton. On sait que Np = 0 d’où, pour toutk >p, Nk = 0. On a alors
(In+N)m =
m
X
k=0
m k
NkInm−k =
m
X
k=0
m k
Nk =
min(m,p−1)
X
k=0
m k
Nk
Dans notre exemple on a A=I3+N où N =
0 2 1 0 0 −1 0 0 0
. On a
N2 =
0 0 −2 0 0 0 0 0 0
N3 = 0 D’où
A10= (I3+N)10 = 10
0
N0+ 10
1
N + 10
2
N2 =
1 20 −80 0 1 −10 0 0 1
Réponse de l’exercice 22
— Soit A=
1 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 3
Pour s’épargner de refaire deux fois de suite les même calcul on va directement appliquer l’algorithme de Gauss-Jordan sur la matrice augmentée.
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 3 0 0 0 1
L4 ←L4−L1
L3 ←L3−L1
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 0 1 2 −1 0 0 1
L4 ←L4−L3
L4 ← 1 2L4
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −1
2 1 2
On voit dès à présent que A est de rang 4 et est donc bien inversible.
L2 ←L2−2L4 L2 ←L2−L3 L1 ←L1−L4
1 0 0 0 1 0 12 −12 0 1 0 0 1 1 0 − 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −12 12
L’inverse de A est donc A−1 =
1 0 12 −12 1 1 0 −
−1 0 1 0 0 0 −12 12
L’équation AX = 04,1 est, commeA est inversible, équivalente àX =A−104,1 et admet donc comme unique solution 04,1.
— Soit B =
4 4 4 0 4 2 3 3 1 3 4 4 5 1 5 4 4 5 1 5
B n’est pas une matrice carrée, il est donc impossible queB soit inversible.
On va appliquer l’algorithme du pivot de Gauss pour simultanément trouver le rang deB et résoudre l’équation BX = 0
4 4 4 0 4 0 2 3 3 1 3 0 4 4 5 1 5 0 4 4 5 1 5 0
L4 ←L4−L3
L1 ← 1 4L1 L3 ←L3−4L1 L2 ←L2−2L1
1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 . 0 0 0 0 0
On peut maintenant lire le rang de B, B est de rang 3.
L2 ←L2−L3 L1 ←L1−L3
L1 ←L1+L2
1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 . 0 0 0 0 0
On obtient alors l’écriture matricielle du système
x1−x4 = 0 x2 = 0
x3+x4+x5 = 0
qui a pour ensemble de solutions
S = {(x4,0,−x4−x5, x4, x5), (x4, x5)∈R2}
— Soit C=
2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 6 2 0 4
.
On applique l’algorithme de Gauss-Jordan
2 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 6 2 0 4 0 0 0 1
L1 ←L1−L2
1 0 0 0 1 −1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 6 2 0 4 0 0 0 1
L2 ←L2−L1
L4 ←L4−6L1
1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 1 −1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 4 −6 6 0 1
L4 ←L4−2L2
1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 1 −1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 2 −4 10 0 1
On voit que C est de rang 4 et est donc inversible
L4 ← 1 2L4 L3 ←L3−L4
L2 ←L2−L4
1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 1 −3 0 −12 0 0 1 0 2 −5 1 −12 0 0 0 1 −2 5 0 12
C est donc inversible d’inverse C−1 =
1 −1 0 0 1 −3 0 −12 2 −5 1 −12
−2 5 0 12
L’équationCX = 04,1 est, commeC est inversible, équivalente àX =C−104,1 et admet donc comme unique solution 04,1.
— Soit D=
8 16 68 76 2 4 16 18 2 5 20 23 8 16 69 77
8 16 68 76 1 0 0 0 2 4 16 18 0 1 0 0 2 5 20 23 0 0 1 0 8 16 69 77 0 0 0 1
L1 ← 1 8L1 L2 ←L2−2L1 L3 ←L3−2L1 L4 ←L4−8L1
1 2 172 192 18 0 0 0 0 0 −1 −1 −14 1 0 0 0 1 3 4 −14 0 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 1
L2 ↔L3
L4 ←L4+L3
1 2 172 192 18 0 0 0 0 1 3 4 −14 0 1 0 0 0 −1 −1 −14 1 0 0 0 0 0 0 −54 0 0 1
On voit alors que D est de rang 3 et n’est donc pas inversible.
Pour résoudre DX = 04,1 on applique l’algorithme du pivot de Gauss en reprenant les mêmes opérations, on aboutit alors à la formulation matricielle suivante
1 2 172 192 0 0 1 3 4 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0
L3 ← −L3
L2 ←L2−3L3
L1 ←L1− 172 L3
1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
L1 ←L1−2L2
1 0 0 −1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
On obtient alors l’écriture matricielle du système
x1 −x4 = 0 x2 +x4 = 0 x3 +x4 = 0 qui a pour ensemble de solutions
S ={(x4,−x4,−x4, x4), x4 ∈R}
— Soit E =
2 4 13 9 13 0 2 6 4 6 0 0 1 1 1 2 4 14 10 14
E n’est pas une matrice carrée, il est donc impossible que E soit inversible. On utilise la méthode du pivot de Gauss pour trouver le rang de E et résoudre EX = 04,1.
2 4 13 9 13 0 0 2 6 4 6 0 0 0 1 1 1 0 2 4 14 10 14 0
L4 ←L4−L1
L4 ←L4−L3
2 4 13 9 13 0 0 2 6 4 6 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
E est ainsi de rang 3.
L2 ←L2−6L3 L1 ←L1−13L3
2 4 0 −4 0 0 0 2 0 −2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
L1 ←L1−2L2
2 0 0 0 0 0 0 2 0 −2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
On obtient l’écriture matricielle du système
2x1 = 0 2x2−2x4 = 0 x3+x4+x5 = 0
qui a pour ensemble de solution
S ={(0, x4,−x4−x5, x4, x5), (x4, x5)∈R2}
Réponse de l’exercice 23
1. On a
M2 =
0 0 1 0 0 0 0 0 0
M3 = 03,3 M4 = 03,3 2. On a
(I3+M +M2)(I3−M) =I3−M +M −M2+M2 −M3 =I3−M3 =I3
3. Puisqu’il existe une matrice B telle que (I3−M)B =I3 alors I3 −M est inversible et son inverse est B =I3 +M +M2.
4. Soit(x, y)∈R2etn ∈N. Pourn= 0on a(xI3+yM)0 =I3, pourn= 1on a(xI3+yM)1 =xI3+yM xI3 et yM commutent. Pour hn > 2 on peut donc utiliser le binôme de Newton pour développer (xI3+yM)n . On a alors
(xI3+yM)n=
n
X
k=0
n k
(yM)k(xI3)n−k
=
2
X
k=0
n k
(yM)k(xI3)n−ken effet, sik >3on a Mk = 0
= n
0
xnI3+ n
1
xn−1yM + n
2
xn−2y2M2
=xnI3+nxn−1yM +n(n−1)
2 xn−2y2M2
5. Soit n∈N etUn =
un vn wn
. On a
Un+1 =
2 1 0 0 2 1 0 0 2
Un= (2I3+M)Un
Par une récurrence simple (cf. exercice précédent) on a alors Un= (2I3+M)nU0
Or
(2I3+M)n= 2nI3+n2n−1M + n(n−1)
2 2n−2M2 =
2n n2n−1 n(n−1)2n−3 0 2n n2n−1
0 0 2n
Ainsi
Un =
2n n2n−1 n(n−1)2n−3 0 2n n2n−1
0 0 2n
1 0
−1
=
2n−(n−1)n2n−3
−n2n−1
−2n
D’où, pour n ∈N, on a
un = 2n−(n−1)n2n−3 vn=−n2n−1
wn=−2n
Réponse de l’exercice 24
• La matrice A=
m 1−m 1 +m 0 1−m m
0 0 m
est déjà sous forme triangulaire. Si m 6∈ {0,1} alors A est de rang 3.
— Si m = 0 alors A =
0 1 1 0 1 0 0 0 0
. En faisant L2 ← L2−L1 on obtient
0 1 1 0 0 −1 0 0 0
qui est de rang 2. Ainsi A est de rang 2si m= 0.
— Sim= 1 alorsA=
1 0 2 0 0 1 0 0 1
En faisantL3 ←L3−L2 on obtient
1 0 2 0 0 1 0 0 0
qui est de rang 2. Ainsi A est de rang 2si m= 1.
• Soit B =
m 1−m 1−m 4m
. On calcule le rang deB via un pivot de Gauss.
L1 ←L1+L2
1 1 + 3m 1−m 4m
L2 ←L2−(1−m)L1
1 1 + 3m
0 −1 + 2m+ 3m2(1 + 3m)(1−m)
On voit alors que B va être de rang 1si−1 + 2m+ 3m2 = 0, c’est-à-dire si m∈
−1,1 3
et de rang 2 sinon.
• Soit C=
1 a m a 1 m 1 1 1
L3 ↔L1
1 1 1 1 a m a 1 m
L2 ←L2−L1 L3 ←L3−aL1
1 1 1
0 a−1 m−1 0 1−a m−a
L3 ←L3+L2
1 1 1
0 a−1 m−1 0 0 2m−a−1
Ainsi, si a 6= 1 et m 6= a+ 1
2 alors C est de rang 3. Si a 6= 1 et m = a+ 1
2 alors C est de rang 2.
Enfin si a= 1 alors on obtient
1 1 1
0 0 m−1 0 0 2(m−1)
qui est de rang 2si m6= 1 et de rang 1si m= 1.
• Soit D=
a−m a−1 a+ 1 a−2−m
Plutôt que d’appliquer une méthode du pivot de Gauss (ce qui marcherait) on va changer de méthode en utilisant divers résultats du cours.
D est une matrice 2×2, son rang est alors0,1 ou2
— D est de rang 0si et seulement si D= 0 ce qui est impossible
— D est de rang 2si et seulement si elle est inversible, c’est-à-dire si et seulement si det(D)6= 0.
On a
det(D) = (a−m)(a−2−m)−(a+ 1)(a−1) =m2−2am+ 2m−2a+ 1 = (m+ 1)(m−2a+ 1)
— D est de rang 1dans les autre cas.
Ainsi D est de rang1si m=−1ou si m 6=−1 eta= m+ 1
2 et de rang2 si m6=−1 eta 6= m+ 1 2 .
