L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚14 Matrices
Exercice 214 : Soient les matricesA,B,C,D,E,F etGd´efinies par :
A=
1 −2 3
2 0 −4
2 1 1
B =
2 1 −2
1 3 0
0 0 5
C=
0 −2 1
−2 1 23 1 −1 0
D=
1 3
−2 −1
1 5
E=
2 1 1
−1 2 1
F=
1 3 2 1
G=
2 0 7 −4
.
1. Calculer les combinaisons lin´eaires de matrices suivantes.
(a) K= 2A+ 3B−C
(b) L= 3(A−2B) + 2(3B+C)−(2A+C)
(c) M = (A−2(C+A−B)) + ((4A−3C)−(2B−5C−3A)) 2. R´esoudre les ´equations suivantes d’inconnueM ∈ M3(R).
E1 : A−2M =B E2 : 2A+ 3(M−B)−C= 5(M +C)−3B.
3. R´esoudre le syst`eme d’´equations suivant, d’inconnuesM, N ∈ M2(R).
S :
M − N = F
2M + N = G
4. Calculer les produits matriciels suivants, lorsqu’ils sont d´efinis.
(a)AB (b)BA (c)AD (d)DA (f)EA (g)ED (h)DE (i)EBD
F Exercice 215 : Soient A, B∈ Mn(R) o`un∈N∗. Montrer que :
Aet B commutent ⇐⇒(A+B)2=A2+ 2AB+B2.
Exercice 216 1. SoitA=
−1 −1 −1
−1 0 0
2 0 1
.
(a) CalculerA3.
(b) En d´eduire queAest inversible et donnerA−1.
2. SoitA=
2 1 −4 0 1 −2 1 1 −3
.CalculerA3 et en d´eduire queAn’est pas inversible.
3. SoitA=
1 0 2
1 2 −2
1 −1 1
.
1
(a) CalculerA3−4A2+A+ 6I3.
(b) En d´eduire queAest inversible et donnerA−1.
F Exercice 217 : SoitA∈ Mn(R) o`u n∈N∗ et soit P =
k
X
i=0
aiXi un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´ek∈N∗ tel que P(A) = 0. On suppose quea06= 0.
Montrer queA est inversible et exprimerA−1 en fonction deAet des coefficients deP.
Exercice 218 : SoitA=
−5 2 2
−3 1 1
−9 4 4
.
1. ´Etudier l’inversibilit´e deA.
2. CalculerA2 etA3.
3. En d´eduire la valeur deAn pour toutn∈N∗.
F Exercice 219 : SoitA=
−1 0 1
0 0 0
1 0 −1
.
1. CalculerA2,A3,A4 et ´enoncer une conjecture sur la valeur deAn pour n∈N∗ quelconque.
2. D´emontrer la conjecture faite en 1 par r´ecurrence.
Exercice 220 : Pour chacune des matrices suivantes, d´eterminer si elle est inversible et, dans l’affirmative, donner son inverse.
A=
2 5
−6 −16
B=
3 1 1 −2
C=
−2 5 6 −15
D=
0 −1 0
1 1 −1
−2 −1 0
E=
−2 0 2
−1 0 2 1 −2 3
F =
2 1 3
1 3 −1
3 −1 7
F Exercice 221 : Pour chacune des matrices suivantes, d´eterminer les valeurs du param`etreλ∈Rtel que la matrice n’est pas inversible.
Aλ=
3−λ −2 2
3 −2−λ 3
2 −2 3−λ
Bλ=
2−λ 1 −7
2 3−λ −8
2 2 −7−λ
Exercice 222 : SoientA=
−1 1 12
−2 2 12
−2 1 32
et P =
1 0 1
0 1 1
4 −2 1
.
1. Montrer queP est inversible et calculerP−1.
2. Calculer la matriceD telle queD=P−1AP.Qu’observe-t-on ? 3. ExprimerAen fonction deP,Det P−1.
4. Montrer par r´ecurrence que : ∀n∈N∗ An=P DnP−1. 5. Soitn∈N∗. Calculer Dn et en d´eduireAn.
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