Livret d’exercices 10-11 Terminale S

Livret d’exercices 10-11 Terminale S

C

hapitre II

Division eulidienne et ongruenes

2.1

Eetuer lesdivisions eulidiennes de 42 par 4, 5,6 et43.

2.2

Diviser lesnombres de 1à 20par 5,puis par 7etobserverles restes.Que onstate- t-on?

2.3

Déterminer lesPGCD des ouples d'entiers suivants en utilisantl'algorithmed'Eu-

lide :

(55; 132)

^,

(240; 72)

^,

(37; 43)

^.

2.4

Déterminer leslasses de ongruenes modulo 7des entiers 1 et5.

2.5

Déterminer les valeurs possibles de

2n + 3

^etde

4n + 3

^{modulo 8 selon les valeurs}

de

n

^{. Ces} expressions peuvent-elles être divisibles par 8?

2.6

Soit

a

^{un entier.}

1. Prouver quele arré

a ²

^{est ongru à 0ou 1modulo 4.}

2. Quelles sontles valeurs possibles de

a ²

^modulo8?

2.7

Determiner lesrestes des divisions eulidiennesde

45 ¹³⁰⁴

^{par 2, par 3, par 4, par 5,}

par 6et par 7

2.8

On s'intéresse dans et exerie aux restes dans la division eulidienne par 7, autrement ditaux ongruenes modulo 7.

1. (a) Trouver

5

^{entiers dont lereste dans ladivision eulidienne par}

7

^{est 4.}

(b) Dansun tableau àdoubleentrée, alulerles diérenes entre haque paire de

nombresdelalistepréédente. Vérierquetouslesrésultatssontdes multiples

de

7

^.

2. (a) Trouver

8

^{entiers, dont 4positifset}

4

^{négatifs, ongrus à}

2

^modulo

7

^.

(b) Trouver

8

^{entiers, dont 4positifset}

4

^{négatifs, ongrus à}

12

^modulo

7

^.

3. Soit

a

^{un entier quelonque.Onappellelasse deongruenede}

a

^modulo

7

^l'ensem-

ble des entiers ongrus à

a

^modulo

7

^{.Le plus petit élément positif de et ensemble}

est appelé résidu de

a

^modulo

7

^.

(a) Donner aumoins

6

^{élémentsde lalasse de ongruene de}

3

^modulo

7

^.Déter-

minerle résidu de

3

^modulo

7

^.

(b) Donneraumoins

6

^{élémentsde lalassedeongruenede}

− 1

^modulo

7

^.Déter-

minerle résidu de

− 1

^modulo

7

^.

() Donner au moins

6

^{éléments de la lasse de ongruene de}

103

^modulo

7

^.

Déterminerle résidu de

103

^modulo

7

^.

4. En terminale, la lasse de ongruene d'un entier

a

^modulo

7

^{est notée}

r

^{, où}

r

^est

le résidu de

a

^modulo

7

^{. Le ontexte indique s'il s'agit du nombre lui-mêmeou de}

sa lasse de ongruene.

Eetuer lesalulssuivantsmodulo7(ils'agit dontoujours de lassesde ongru-

enes, etnon de nombres entiers dans Z ).

(a)

5 + 4 + 2

^;

(b)

6 − 3 − 2 − 5

^;

()

2 × (6 + 2)

^;

(d)

(3 − 7) × (1+6+4+5) × (6 − 3 − 4 − 2)

^;

(e)

7 × (4 − 5 − 3 − 2)

^;

(f)

(5 + 2) − 4 × (2 − 6 − 2 − 4)

^.

5. Dans un tableau, aluler les valeurs de

n ²

^et

n ³

^modulo

7

^{pour toutes les valeurs}

possibles de

n

^modulo

7

^.

2.9

Dans et exerie,

a

^,

b

^,

c

^et

n

^{sont des entiers, et on} s'intéresse à la relation de ongruene modulo

n

^.

1. Pour haune des propriétés suivantes, vérier la propriété sur quelques exemples

(en prenant

n = 11

^{) puis démontrer la propriété dans leas général en utilisantles}

résultats du ours.

(a) La ongruene modulo

n

^{est réexive, 'est à dire que pour tout entier}

a

^,

a ≡ a [ n ]

^.

(b) Laongruenemodulo

n

^est symétrique,'est àdire quepour tous entiers

a

^et

b

^{, si}

a ≡ b[n]

^alors

b ≡ a[n]

^.

() La ongruene modulo

n

^est transitive, 'est à dire que pour tous entiers

a

^,

b

et

c

^{, si}

a ≡ b[n]

^et

b ≡ c[n]

^alors

a ≡ c[n]

^.

2. Citer d'autresrelationsmathématiquesayantlesmêmespropriétés. Est-eleas de

la relation

6

^?

2.10

Soit

n

^{un entier naturel quelonque.}

1. Démontrer que

n ²

^{est ongruà 0,à 1 ouà 4modulo 8.}

2. Résoudre dans Z l'équation

(n + 3) ² − 1 ≡ 0[8]

2.11

Soient

n

^{un entier naturel et}

a = n ( n ² + 5)

^.

1. Prouver que

n ² + 5 ≡ n ² − 1[2]

^.

2. Démontrer que

a

^{est divisible par 2.}

3. Démontrer que

a

^{est divisible par 3.}

4. Que peut-on déduiredes 2questions préédentes?

2.12

La suite

(U ⁿ )

^{est dénie pour tout entier naturel}

n

^{par :}

U n = 5n ³ + n.

On veut prouver que pour tout

n

^,

U n

^{est divisible par 6.}

1. Prouver lerésultat par réurrene.

2. Prouver lerésultat en utilisantlesongruenes.

3. Quelle est la méthode la plus faile?

2.13

Nouvelle-Calédonie,mars 2008

Partie A – Question de cours

Quelles sont les propriétés de ompatibilité de la relationde ongruene ave l'addition,

la multipliation etlespuissanes?

Démontrer la propriété de ompatibilité ave la multipliation.

Partie B

Onnote0,1,2,...,9,

α, β

^{,leshiresdel'éritured'unnombreenbase}

12

^.Parexemple:

βα7 ¹² = β × 12 ² + α × 12 + 7 = 11 × 12 ² + 10 × 12 + 7 = 1 711

^{en base}

10

1. (a) Soit

N 1

^{le nombre s'érivanten base 12:}

N 1 = β1α ¹²

Déterminerl'ériture de

N 1

^{en base 10.}

(b) Soit

N 2

^{le nombre s'érivanten base 10:}

N 2 = 1 131 = 1 × 10 ³ + 1 × 10 ² + 3 × 10 + 1

Déterminerl'ériture de

N 2

^{en base}

12

^.

Dans toute la suite, unentier naturel

N

^{s'érirade manièregénérale enbase 12:}

N = a n · · · a 1 a 0

12

2. (a) Démontrer que

N ≡ a 0 [3]

^{. En déduire un ritère de} divisibilité par

3

^d'un

nombre érit en base 12.

(b) A l'aide de son éritureen base

12

^{, déterminer si}

N 2

^{est divisible par 3. Con-}

rmerave son ériture en base

10

^.

3. (a) Démontrerque

N ≡ a n + · · · +a 1 +a 0 [11]

^{.Endéduireunritèrede}divisibilité par

11

^{d'un nombre érit en base 12.}

(b) A l'aide de son ériture en base 12, déterminer si

N 1

^{est divisible par}

11

^.

Conrmer ave son éritureen base

10

^.

4. Un nombre

N

^s'érit

x 4 y ¹²

^{. Déterminer les valeurs de}

x

^{et de}

y

^{pour lesquelles}

N

est divisiblepar

33

^.

2.14

Centres étrangers juin 2005

Partie A

Soit

N

^{un entier naturel,impair non premier.}

On suppose que

N = a ² − b ²

^où

a

^et

b

^{sontdeux entiers naturels.}

1. Montrer que

a

^et

b

^{n'ontpas lamême parité.}

2. Montrer que

N

^{peut s'érire omme produit de deux entiers naturels}

p

^et

q

^.

3. Quelle est la paritéde

p

^etde

q

^?

Partie B

On admetque 250507 n'est pas premier.

On sepropose de herher des ouples d'entiers naturels

(a ; b)

^{vériantla relation}

(

^E

) : a ² − 250 507 = b ² .

1. Soit

X

^{un entier naturel.}

(a) Donner dans un tableau, lesrestes possibles de

X

^{modulo 9; puis eux de}

X ²

modulo 9.

(b) Sahant que

a ² − 250 507 = b ²

^{, déterminer les restes possibles modulo 9 de}

a ² − 250 507

^{;en déduireles restes possibles module9 de}

a ²

^.

() Montrer que lesrestes possibles modulo 9 de

a

^{sont 1et 8.}

2. Justier que si leouple

(a ; b)

^{vérie larelation (E), alors}

a > 501

^{. Montrer qu'il}

n'existe pas de solutiondu type

(501 ; b)

^.

3. On suppose quele ouple

( a ; b )

^{vérie larelation (E).}

(a) Démontrer que

a

^{est ongruà 503 ou à505 modulo9.}

(b) Déterminer le plus petit entier naturel

k

^{tel que le ouple}

(505 + 9k ; b)

^soit

solutionde (E), puis donner leouple solutionorrespondant.

Partie C

1. Déduiredespartiespréédentes uneériturede 250507enunproduitdeux fateurs.

2. Les deux fateurs sont-ilspremiers entre eux?

3. Cette éritureest-elle unique?

2.15

Antilles-Guyane, juin 2005

1. (a) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul

n

^{le reste dans la}

division eulidienne par

9

^de

7 ⁿ

^.

(b) Démontrer alors que

(2005) ²⁰⁰⁵ ≡ 7 [9]

^.

2. (a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul

n : (10) ⁿ ≡ 1 [9]

^.

(b) On désigne par

N

^{un entier naturel érit en base dix, on appelle}

S

^{la somme}

de ses hires.

Démontrer larelation suivante:

N ≡ S [9]

^.

() Endéduire que

N

^{est divisiblepar}

9

^{si et seulement si}

S

^{est divisible par}

9

^.

3. On suppose que

A = 2005 ²⁰⁰⁵

^{; ondésigne par :}

• B

^{la sommedes hires de}

A

^;

• C

^{lasomme des hires de}

B

^;

• D

^{lasomme des hires de}

C

^.

(a) Démontrer larelation suivante:

A ≡ D [9]

^.

(b) Sahant que

2005 < 10 000

^{, démontrer que}

A

^{s'érit en numération déimale}

ave au plus

8 020

^{hires. En déduireque}

B 6 72 180

^.

() Démontrer que

C 6 45

^.

(d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à

45

^{, déterminer un majorant de}

D

plus petit que

15

^.

(e) Démontrer que

D = 7

^.

2.16

Asie, juin2004

On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'érire sous la forme

9 + a ²

où

a

^{est un entier naturelnon nul; par exemple}

10 = 9 + 1 ² ; 13 = 9 + 2 ²

^et.

On se propose dans et exeried'étudier l'existene d'éléments de (E)quisontdes puis-

sanes de 2,3 ou5.

1. Étude de l'équationd'inonnue

a

^:

a ² + 9 = 2 ⁿ

^où

a ∈

N

, n ∈

N

, n > 4

^.

(a) Montrer que si

a

^existe,

a

^{est impair.}

(b) Enraisonnantmodulo4, montrer que l'équationproposée n'a pas de solution.

2. Étude de l'équationd'inonnue

a

^:

a ² + 9 = 3 ⁿ

^où

a ∈

N

, n ∈

N

, n > 3

^.

(a) Montrer que si

n > 3, 3 ⁿ

^{est ongruà 1 ouà 3modulo 4.}

(b) Montrer quesi

a

^{existe,il est paireten déduireque} néessairement

n

^{est pair.}

() On pose

n = 2p

^où

p

^{est un entier naturel,}

p > 2

^{. Déduire d'une}fatorisation de

3 ⁿ − a ²

^{,que l'équation proposée n'a pas de solution.}

3. Étude de l'équationd'inonnue

a

^:

a ² + 9 = 5 ⁿ

^où

a ∈

N

, n ∈

N

, n > 2

^.

(a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de solution si

n

^est

impair.

(b) Onpose

n = 2p

^,en s'inspirantde 2. .démontrerqu'ilexiste un uniqueentier naturel

a

^{tel que}

a ² + 9

^{soitune puissane entière de 5.}

2.17

Polynésie, juin2005

On onsidère lasuite

(u ⁿ )

^{d'entiers naturelsdénie par}

u 0 = 14

u n+1 = 5 u n − 6

^{pour tout entier naturel}

n

1. Caluler

u 1 , u 2 , u 3

^et

u 4

^.

Quelle onjeture peut-onémettreonernant lesdeux derniers hires de

u n

^?

2. Montrer que,pour tout entier naturel

n, u n +2 ≡ u n [4]

^.

En déduireque pour tout entier naturel

k, u 2k ≡ 2[4]

^et

u 2k+1 ≡ 0[4]

^.

(a) Montrer par réurrene que, pour tout entier naturel

n

^,

2u ⁿ = 5 ⁿ⁺² + 3

^.

(b) Endéduire que,pour tout entier naturel

n

^,

2u ⁿ ≡ 28[100]

^.

3. Déterminerlesdeux derniers hires de l'érituredéimalede

u n

^{suivantlesvaleurs}

de

n

^.

4. Montrer que le PGCD de deux termes onséutifs de la suite

(u ⁿ )

^{est onstant.}

Préiser savaleur.

2.18

NouvelleCalédonie, novembre 2003

1. (a) Soit

p

^{unentier naturel.Montrer quel'un destroisnombres}

p, p + 10

^et

p + 20

^,

etl'un seulement est divisible par 3.

(b) Lesentiers naturels

a, b

^et

c

^{sontdanset ordrelestroispremierstermesd'une}

suite arithmétique de raison 10. Déterminer es trois nombres sahant qu'ils

sontpremiers.

2. Soit E l'ensemble des tripletsd'entiers relatifs

( u, v, w )

^{tels que}

3u + 13v + 23w = 0.

(a) Montrer que pour un teltriplet

v ≡ w[3].

(b) On pose

v = 3 k + r

^et

w = 3 k ^′ + r

^où

k, k ^′

^et

r

^{sont des entiers relatifs et}

0 6 r 6 2

^{.Montrer queles élémentsde E sont de laforme :}

( − 13k − 23k ^′ − 12r, 3k + r, 3k ^′ + r).

() L'espae est rapporté à un repère orthonormal d'origine O et soit P le plan

d'équation

3x + 13y + 23z = 0

^.

Déterminerl'ensembledes points

M

^{àoordonnées}

(x, y, z)

^{entières relatives}

appartenant auplan Petsitués à l'intérieurdu ubede entre O, de té 5et

dontles arêtes sont parallèlesaux axes.

2.19

Devoir maison 2 Rappel:

Pour deux entiers relatifs

a

^et

b

^{, on dit que}

a

^{est ongru à}

b

^{modulo 7, et on érit}

a ≡ b

^mod

7

^{lorsqu'il existe un entier relatif}

k

^telque

a = b + 7k

^.

1. Cette question onstitue une restitution organisée de onnaissanes.

(a) Soient

a

^,

b

^,

c

^et

d

^{des entiers relatifs.}

Démontrer que :si

a ≡ b

^mod

7

^et

c ≡ d

^mod

7

^alors

ac ≡ bd

^mod

7

^.

(b) Endéduire que: pour

a

^et

b

^{entiers relatifsnon nuls}

si

a ≡ b

^mod

7

^{alors pour tout entier naturel}

n

^,

a ⁿ ≡ b ⁿ

^mod

7

^.

2. Pour

a = 2

^{puis pour}

a = 3

^{, déterminer un entier naturel}

n

^{non nul tel que}

a ⁿ ≡ 1

^mod

7

^.

3. Soit

a

^{un entier naturel non divisible par 7. Pour faire la question suivante, on}

admettra que

a ⁶ ≡ 1

^mod

7

^{. Ce résultat sera démontré plus tard dans l'année.}

(a) On appelle ordre de

a

^mod

7

^{, eton désigne par}

k

^{, le plus petit entier naturel}

nonnultelque

a ^k ≡ 1

^mod

7

^{.Montrer quelereste}

r

^{de ladivision eulidienne}

de

6

^par

k

^vérie

a ^r ≡ 1

^mod

7

^.

Endéduire que

k

^divise

6

^.

Quellessont lesvaleurs possiblesde

k

^?

(b) Donner l'ordre modulo 7de tous lesentiers

a

^{ompris entre}

2

^et

6

^.

4. A tout entier naturel

n

^{, on assoie lenombre}

A n = 2 ⁿ + 3 ⁿ + 4 ⁿ + 5 ⁿ + 6 ⁿ .

Montrer que

A 2006 ≡ 6

^mod

7 .