Livret d’exercices 10-11 Terminale S

Livret d’exercices 10-11 Terminale S

C

^{hapitre I}

Divisibilité dans Z

1.1

^Soient

a

^et

b

^{deux entiersnaturelstelsque}

ab = 65

^{.Quellessontlesvaleurspossibles}

pour

a

^et

b

^?

1.2

^{Un entraîneur sportif souhaite faire travailler une équipe en petits groupes om-}

prenanthaunlemêmenombredejoueurs.Quellessontlespossibilitéssil'équipeompte

15, 21,22ou 31individus?

1.3

^{Trouvertous lesouplesde nombres entiersnaturelsdontladiérenedesarrésest}

égale à 42,puis 43,et enn 44.

1.4

^{DéterminerlesvaleursdesPGCDsuivants:PGCD}

(6, 8)

^,PGCD

(24, 36)

^etPGCD

(49, 112)

^.

1.5

^{Reonnaître des nombres premiers.}

1

^{. Les nombres suivantssont-ilspremiers? 45; 3759; 47; 169; 39; 37;29; 27; 1.}

2

^{. Dans les suites de nombres onséutifs suivants, repérer les nombres premiers en}

exposant lesarguments utilisés: de 320 à330;de 120 à 130.

3

^{. Lesnombres2et3sontdeuxnombrespremiersonséutifs.Est-ilpossibledetrouver}

deux autresnombrespremiersonséutifs supérieursà3?Siouidonnerunexemple,

si non ledémontrer.

4

^{. On donne}

a

^et

b

^{entiers naturels tels que}

a > b

^.

a

^{. Montrer que si}

a ² − b ²

^{est premier alors}

a

^et

b

^{sontonséutifs.}

b

^{. Laréiproqueest-elle vraie? Prouver votre réponse.}

1.6

^{Nombres premiers et problèmes} historiques.

1

^{. La onjeture de Goldbah.}

La onjeture de Goldbah (du mathématiien allemand qui l'a formulée le premier en

1742)armeque toutnombrepairsupérieuràdeuxest sommededeuxnombres premiers.

Cette onjeture n'a toujours pasété démontrée (ni démentie).

Vérier ette onjeture pour tout lesnombres ompris entre 4 et20.

2

^{. Nombres premiers de Sophie Germain.}

Sophie Germain (1776-1831), jeune française qui se passionna très tt pour les mathé-

matiques se vit interdire l'entrée à l'Eole polytehnique nouvellementrée etréservée aux

hommes. Elledutprendre unpseudonyme (M.LeBlan) sous lequelelleorrespondit ave

les mathématiiens Lagrange (en Frane) et Gauss (en Allemagne). Elle fut la première

femme admise aux ours de l'aadémie des sienes. Ses travaux portèrent entres autres,

sur les nombres premiers,et elle s'attaqua au élèbre grandthéorème de Fermat.

Les nombres de Sophie Germain sont les nombres premiers

n

^{tels que}

2n + 1

^soit

aussi premier.Par exemple, 3 est un nombre premier de Sophie Germainar 3 est

premier et

2 × 3 + 1 = 7

^{est aussi premier.}

Trouver les nombres premiers de Sophie Germaininférieursà 100 ( il y en a 10).

3

^{. Nombres premiers de Fermat.}

Lesnombres

F _n

^{s'érivantsouslaforme}

2 ^{2 n} +1

^où

n

^{estunentiernaturelsontappelés}

nombre de Fermat(nommés ainsi d'après lemathématiienPierre de Fermat (1601

- 1655) quiles étudia en premierlieu).

a

^{. Déterminer}

F 0

^,

F 1

^,

F 2

^,

F 3

^et

F 4

^{. (Indiquer lesaluls eetués).}

b

^{. Lesquatre premiers nombres de Fermat ainsi déterminés sont-ils premiers?}

Fermat a onjeturé que tous les nombresde Fermat étaitpremiers,mais etteonjeture

fut démentie par Euler qui montra en1732 que lenombre

F ⁵

^{n'est pas premier.}

4

^{. Nombres premiers de Mersenne.}

Le moine Français, Marin Mersenne ( 1588 - 1648) fournit une liste de nombres

premiers s'érivant sous la forme

2 ⁿ − 1

^{que l'on note}

M _n

^{pour tout entier naturel}

non nul.

a

^{. Déterminer}

M 1

^,

M 2

^,

M 3

^,

M 4

^,...

M 10

^{.(Indiquer les alulseetués).}

b

^{. Parmi les nombres préédents, déterminer lesnombres premiersde Mersenne.}

1.7

^{Pas de onlusion hâtive, s'il vous plaît!}

Soit

f

^{lafontion dénie par}

f ( n ) = n ² − n + 41

^.

1

^{. Compléter le tableaude valeursi dessous.}

n

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16}

f ( n )

2

^{. Que peut-on dire sur lesvaleurs de}

f ( n )

^{pour toutentier naturel?}

3

^{. En observant que}

f(41) = 41 ² − 41 + 41 = 41 ²

^{, que pouvez vous dire de votre}

remarque faitepréédemment?

4

^{. Que faut-ilretenir de et exerie?}

1.8

Déomposition en fateurs premiers.

1

^{. Donner la} déomposition en fateurs premiersde 21,125, 548, 180, 1000.

2

^{. Déomposer en fateurs premiersles entiers}

a = 510

^et

b = 819

^{, etdéterminer leur}

PGCD etleur PPCM grâe àes déompositions.

3

^{. Déomposer en fateurs premiers les entiers}

a = 4515

^et

b = 1369

^{, et déterminer}

leur PGCD et leur PPCM grâe à es déompositions.

4

^{. On herhe à résoudre dans N l'équation}

x ( x + 1)(3 x − 1) = 220

^.

a

^{. Déomposer 220 en produit de fateurs premiers.}

b

^{. Endéduire laliste des diviseurs de 220.}

c

^{. Résoudre} l'équation.

5

^{. Deux amies d'enfane serenontrent :}

•

^{Hortense, quelle bellesurprise!omment vas-tu?}

•

^{Bien,j'ai trois enfants.}

•

^{Quels âges ont-ils?}

•

^{leproduit de leur âges est 36.}

•

^??????

•

^{Le numéroque porte la maison d'en faeest égale àla sommede leurs âges.}

•

^??????

•

malheureusement, l'aîné n'aimepas lesmaths.

•

^{Ah, je vois.}

Et vous, avez-vous trouvé l'âge des enfants d'Hortense?

1.9

^{Le nombre}

n

^{désigne un entier naturel.}

1

^{. Démontrer que}

n ² + 5n + 4

^et

n ² + 3n + 2

^{sontdivisibles par}

n + 1

^.

2

^{. Prouver que}

3n ² + 15n + 19

^{est divisiblepar}

n + 1

^{si etseulementsi}

n + 1

^divise

7

^.

Déterminer lesvaleurs de

n

^{pour lesquelles 'est le as.}

3

^{. En déduireque,quel quesoit}

n

^,

3n ² + 15n + 19

^{n'est pas divisible par}

n ² + 3n + 2

^.

1.10

^Soit

n

^{un entier naturel quelonque.}

1

^{. Démontrer par réurrene que}

2 ^{3 n} − 1

^{est divisible par 7.}

2

^{. En déduireque}

2 ³ⁿ⁺¹ − 2

^et

2 ³ⁿ⁺² − 4

^{sont des multiples de}

7

^.

3

^{. Déterminer lesrestes de la division par 7 des puissanes de 2.}

1.11

^Soient

n

^et

e

^{deux entiers naturelsnon nuls.}

1

^{. Fatoriserpuis montrer que}

n ( n ² − 1)

^{est un multiple de 3.}

2

^{. Montrer que}

n(n ⁴ − 1)

^{est un multiple de 5.}

3

^{. En déduireque}

n ^e

^et

n ^{e +4}

^{seterminentpar lemême hire des unités.}

1.12

1

^{. Déomposer 1276 en fateurs premiers.}

2

^{. Soient}

x

^et

y

^{deux entiers naturels,}

A = 3x + 5y

^et

B = x + 2y

^{. Prouver que}

P GCD(x; y) = P GCD(A; B)

^.

3

^{. Résoudre dans N}

²

^{le système}

(3x + 5y)(x + 2y) = 1276 xy = 2m

où

m

^{désignele PPCM de}

x

^et

y

^.

1.13

^Soient

a

^et

b

^{deuxentiersnaturelsnonnuls,}

d

^leurPGCDet

m

^{leurPPCM.Trouver}

tous les ouples

( a ; b )

^{vériant le système i-dessous.}







m = d ² m + d = 156 a > b

1.14

^Soient

x

^et

y

^{des entiers naturelsnon nuls vériant}

x < y

^etsoit

S

^{est l'ensemble}

des ouples

(x; y)

^{tels que}

P GCD(x; y) = y − x

^.

1

^.

a

^{. Caluler}

P GCD (363; 484)

^.

b

^{. Leouple (363;484)} appartient-ilà

S

^?

2

^{. Soit}

n

^{un entier naturel non nul;le ouple}

(n; n + 1)

appartient-ilà

S

^?

3

^.

a

^{. Montrer que}

( x ; y )

^{appartient à}

S

^{siet seulementsi il existe un entier naturel}

non nul

k

^{tel que}

x = k(y − x)

^et

y = (k + 1)(y − x)

^.

b

^{. Endéduirequepourtoutouple}

( x ; y )

^deSona:

P P CM ( x ; y ) = k ( k + 1)( y − x)

^.

4

^.

a

^{. Déterminerl'ensemble des entiers naturels diviseursde 228.}

b

^{. Endéduire l'ensembledes ouples}

( x ; y )

^de

S

^{tels que}

P P CM ( x ; y ) = 228

^.

1.15

^Soit

n

^{un entier naturel non nul.On onsidère lesentiers}

M

^et

N

^{dénis par}

N = 9 n + 1;

M = 9n − 1.

1

^{. On suppose que}

n

^{estun entier pair.Onpose}

n = 2p

^,où

p

^{estun entier naturelnon}

nul.

a

^{. Montrer que}

M

^et

N

^{sontdes entiers impairs.}

b

^{. Enremarquant que}

N = M + 2

^{,déterminer lePGCD de}

M

^et

N

^.

2

^{. On suppose que}

n

^{est un entier impair. On pose}

n = 2p + 1

^{, où}

p

^{est un entier}

naturel.

a

^{. Montrer que}

M

^et

N

^{sontdes entiers pairs.}

b

^{. Enremarquant que}

N = M + 2

^{,déterminer lePGCD de}

M

^et

N

^.

3

^{. Pour tout entier naturel non nul}

n

^{, ononsidère l'entier}

81n ² − 1

^.

a

^{. Exprimer l'entier}

81n ² − 1

^{en fontion des entiers}

M

^et

N

^.

b

^{. Démontrer que si}

n

^{est pair alors}

81n ² − 1

^{est impair.}

c

^{. Démontrer que}

81 n ² − 1

^{est divisible par}

4

^{si etseulement si}

n

^{est impair.}

1.16

^{Pour tout entier}

> 1

^{, on note}

σ ( n )

^{la somme de tous les diviseurs positifs de}

n

^.

Ainsi,

σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18

^.

1

^{. Caluler}

σ ( n )

^pour

n 6 20

2

^{. Montrer que,si}

p

^{est premier,ona, pour tout entier}

α

^,

σ(p ^α ) = p ^{α +1} − 1 p − 1

^.

En déduire

σ(625)

^,

σ(243)

^,

σ(2 ⁿ )

^.

3

^{. Etablir que si}

p

^et

q

^{sont premiers distintset}

α

^,

β

^{entiers, on a}

σ(p ^α q ^β ) = σ(p ^α )σ(q ^β ).

4

^{. En déduire}

σ (1 998)

^,

σ (1 000 000)

^,

σ (1 001)

^.

1.17

^{Asie, juin2003}

1

^.

a

^{. Montrerque, pourtout entier naturel}

n

^,

3n ³ − 11n + 48

^{est divisiblepar}

n + 3

^.

b

^{. Montrer que, pour tout entier naturel}

n, 3n ² − 9n + 16

^{est un entier naturel}

non nul.

2

^{. Soient}

a

^,

b

^et

c

^{trois entiers naturels non nuls. On note}

d =

^PGCD

(a ; b)

^et

d ^′ =

^PGCD

( bc − a ; b )

^.

a

^{. Prouver que tout diviseur ommun de}

a

^et

b

^divise

bc − a

^{. Que peut-on en}

déduirepour

d

^et

d ^′

^?

b

^{. Prouver que tout diviseur ommun de}

bc − a

^et

b

^divise

a

^{. Que peut-on en}

déduirepour

d

^et

d ^′

^?

c

^{. Déduire des 2 questions préédentes que}

PGCD

(a ; b) =

^PGCD

(bc − a ; b).

3

^{. Montrer que,pour tout entiernaturel}

n

^{,supérieurouégal à2,l'égalitésuivanteest}

vraie :

PGCD

(3n ³ − 11n ; n + 3) =

^PGCD

(48 ; n + 3).

4

^.

a

^{. Déterminerl'ensemble des diviseurs entiers naturelsde 48.}

b

^{. Endéduire l'ensembledes entiers naturels}

n

^{tels que}

3 n ³ − 11 n

n + 3

^{soitun entier}

naturel.

1.18

^{Centres étrangers, juin 2002}

Soit

p

^{un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existene de ouples}

( x ; y )

d'entiers naturelsstritement positifsvériant l'équation :

E

: x ² + y ² = p ²

1

^{. On pose}

p = 2

^{. Montrer que l'équationE est sans solution.}

On suppose désormais

p 6= 2

^{etque leouple}

(x ; y)

^{est solutionde l'équationE.}

2

^{. Le but de ette question est de prouverque}

x

^et

y

^{sont premiersentre eux,'est à}

dire que leur PGCD est égal à

1

^.

a

^{. Montrer que}

x

^et

y

^{sont de parités diérentes.}

b

^{. Montrer que}

x

^et

y

^{ne sont pas divisibles par}

p

^.

c

^{. Montrer que lePGCD de}

x ²

^et

y ²

^divise

p ²

^.

d

^{. Endéduire quele PGCD de}

x

^et

y

^{est égal à}

1

^.

3

^{. On suppose maintenantque}

p

^{est une sommede deux arrésnon nuls,} 'est-à-dire :

p = u ² + v ²

^où

u

^et

v

^{sont deux entiers naturels stritement positifs.}

a

^{. Vérier qu'alors leouple}

(|u ² − v ² | ; 2uv)

^{est solution de l'équation E.}

b

^{. Donner une solution de l'équationE, lorsque}

p = 5

^{puis lorsque}

p = 13

^.

4

^{. On se propose enn de vérier sur deux exemples, que l'équation E est impossible}

lorsque

p

^{n'est pas somme de deux arrés.}

a

^.

p = 3

^et

p = 7

^{sont-ils sommede deux arrés?}

b

^{. Démontrer que leséquations}

x ² + y ² = 9

^et

x ² + y ² = 49

n'admettent pas de solutionen entiers naturelsstritementpositifs.

1.19

^{NouvelleCalédonie, déembre 2001}

Partie A

Soit

x

^{un nombre réel.}

1

^{. Montrer que}

x ⁴ + 4 = ( x ² + 2) ² − 4 x ²

^.

2

^{. En déduireque}

x ⁴ + 4

^{peut s'érireomme produit de deux trinmes à oeients}

réels.

Partie B

Soit

n

^{un entier naturel supérieurou égal à2.}

On onsidère lesentiers

A = n ² − 2n + 2

^et

B = n ² + 2n + 2

^et

d

^{leur PGCD.}

1

^{. Montrer que}

n ⁴ + 4

^{n'est pas premier.}

2

^{. Montrer que,tout diviseur de}

A

^{qui divise}

n

^{, divise2.}

3

^{. Montrer que,tout diviseur ommun de}

A

^et

B

^{, divise}

4n

^.

4

^{. Dans ette question onsuppose que}

n

^{est impair.}

a

^{. Montrer que}

A

^et

B

^{sont impairs.En déduireque}

d

^{est impair.}

b

^{. Montrer que}

d

^divise

n

^.

c

^{. Endéduire que}

d

^{divise2,puis que}

A

^et

B

^{sontpremiers entre eux.}

5

^{. On suppose maintenantque}

n

^{est pair.}

a

^{. Montrer que 4ne divisepas}

n ² − 2 n + 2

^.

b

^{. Montrer que}

d

^{est de la forme}

d = 2p

^,où

p

^{est impair.}

c

^{. Montrer que}

p

^divise

n

^{. En déduire que}

d = 2

^{. (On pourra s'inspirer de la}

démonstrationutilisée àla question 4.)

1.20

^{Inde, juin2002}

1

^{. Calulerle P.G.C.D. de}

4 ⁵ − 1

^etde

4 ⁶ − 1

^.

Soit

u

^{la suite numérique déniepar :}

u 0 = 0, u 1 = 1

^{et, pour tout entier naturel}

n

^,

u _n +2 = 5u n +1 − 4u n .

2

^{. Calulerles termes}

u 2 , u 3

^et

u 4

^{de la suite}

u

^.

3

^.

a

^{. Montrer que lasuite}

u

^{vérie, pour tout entier naturel}

n

^,

u _n +1 = 4u n + 1

^.

b

^{. Montrer que, pour tout entier naturel}

n

^,

u _n

^{est un entier naturel.}

c

^{. Endéduire, pour tout entier naturel}

n

^{, le P.G.C.D. de}

u _n

^et

u _n +1

^.

4

^{. Soit}

v

^{la suite déniepour tout entier naturel}

n

^par

v _n = u _n + 1 3 .

a

^{. Montrer que}

v

^{est une suite} géométrique dont on déterminera la raison et le premierterme

v 0

^.

b

^{. Exprimer}

v _n

^puis

u _n

^{en fontion de}

n

^.

c

^. Déterminer, pour tout entier naturel

n

^{,le P.G.C.D. de}

4 ⁿ⁺¹ − 1

^{et de}

4 ⁿ − 1

^.

1.21

^{Asie, juin2002}

On onsidère lessuites

( x _n )

^et

( y _n )

^{dénies par}

x 0 = 1 , y 0 = 8

^et



 



 



x _n+1 = 7

3 x _n + 1 3 y _n + 1 y _n+1 = 20

3 x _n + 8 3 y _n + 5

, n ∈

^N

1

^{. Montrer, par réurrene, que les points}

M _n

^{de oordonnées}

(x n , y _n )

^{sont sur la}

droite

(∆)

^{dont une équationest}

5x − y + 3 = 0

^{.En déduireque}

x _n +1 = 4x n + 2.

2

^{. Montrer, par réurrene, que tous les}

x _n

^{sont des entiers naturels. En déduire que}

tous les

y _n

^{sontaussi des entiers naturels.}

3

^{. Montrer que:}

a

^.

x _n

^{est divisible par 3si etseulement si}

y _n

^{est divisible par 3.}

b

^{. Si}

x _n

^et

y _n

^{ne sontpas divisibles par 3,alors ils sont premiers entre eux (leur}

PGCDest égal à 1).

4

^.

a

^{. Montrer, par réurrene, que}

x _n = 1

3 (4 ⁿ × 5 − 2) .

b

^{. Endéduire que}

4 ⁿ × 5 − 2

^{est un multiplede 3,pour tout naturel}

n

^.

1.22

^Soit

(U n )

^{la suite déniepar :}

U 0 ∈

^N

, U 0 > 4;

∀n ∈

^N

, U _n +1 = 2U n − 3.

1

^{. Ondénitlasuite}

(V n )

^par

V _n = U _n −3

^.Montrerque

(V n )

^estunesuitegéométrique.

2

^{. En déduire}l'expression de

V _n

^{,puis elle de}

U _n

^{en fontionde}

U 0

^et

n

^.

3

^{. Quels sont lesentiers}

U 0

^{tels que,pour tout}

n

^,

3 ^{U n}

^{soitleubed'un entier naturel?}

4

^{. On suppose}

U 0 = 4

^{. Déterminer toutes les valeurs de}

n

^{telles que}

3 ^{U n} − 1

^{soit un}

multiple de 11.

1.23

^{On onsidère lasuite dénie par}

U 0 = 3

U _n =

n

X

i =0

3 × 5 ⁱ = 3 × 5 ⁿ + 3 × 5 ^{n − 1} + · · · + 3

1

^{. Caluler}

U 1

^,

U 2

^et

U 3

^.

2

^{. Eneetuantunedivision}eulidienne,exprimerleterme

U _n+1

^{enfontiondu terme}

préédent

U _n

^.

3

^{. Prouver quepour tout entier positif}

n

^,

U _n

^{est un entier naturel.}

4

^{. Démontrer que pour tout entier positif}

n

^,

U _n = 3

4 (5 ⁿ⁺¹ − 1) .

5

^{. En déduireque pour tout entier naturel}

k

^,

(5 ^k − 1)

^{est divisiblepar}

4

^.

1.24

^{Devoir maison 1}

On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs strits, 'est à

dire diérents de lui-même. Toutes les réponses dans et exerie doivent être justiées

ou démontrées.

1

^{. Les nombres suivantssont-ilsparfaits?}

12

^;

152

^;

6

^;

23

^;

16

^;

28

^.

2

^{. Un nombre premierpeut-il être parfait?}

3

^{. Eulide démontradans le livreIX des Elements que :}

Si autant de nombre que l'on veut, en ommençant par l'unité, sont

obtenus par une suite à double proportion jusqu'à e que la somme de

tousdevienneunnombrepremier,etsionformeunnombreenmultipliant

ette sommepar le derniernombre de ette somme,alors e produit sera

un nombre parfait.

par le dernier nombre de la somme ('est à dire 4) et on trouve 28. 28 est bien un

nombre parfait.

a

^{. Qui est Eulide? (entre 5 et 10lignes} intelligibles).

b

^{. Déterminerlesquatre premiersnombresobtenusenutilisantlaméthoded'Eu-}

lide (l'exempleest àinlure dans les4 nombres àtrouver).

4

^{. Onsouhaitesavoirdansquelsasun nombrede laforme}

2 ⁿ

^,ave

n ∈

^{N,est parfait.}

a

^{. Quels sont les diviseurs de}

2 ⁷

^?

b

^{. Plus} généralement, quelssont lesdiviseurs de

2 ⁿ

^?

c

^{. Quelleest laondition pour que}

2 ⁿ

^soitparfait?

d

^{. Jusitierque si}

n

^{est un entier naturelquelonque,}

2 ^{n − 1} + 2 ^{n − 2} + · · · + 2 + 1 = 2 ⁿ − 1

e

^{. Conlure.}

5

^{. On souhaite trouver tous les nombres parfaits de la forme}

pq

^{, où}

p

^et

q

^{sont deux}

nombres premiers.

a

^{. Trouver un nombre parfait de ette forme.}

b

^{. Quels sont les diviseurs stritsde}

pq

^?

c

^{. Trouver laondition sur}

p

^et

q

^{pour que}

pq

^{soit parfait.}

d

^{. Prouver que ette ondition n'est pas réalisable si}

p

^et

q

^{sont stritement}

supérieursà 3? (On pourra pour ela supposer

p > q

^.)

e

^{. Conlure.}

6

^{. On} s'intéressemaintenantaux nombres de laforme

2 ⁿ p

^{, où}

n

^{est un entier naturel}

non nul et

p

^{un nombre premier. On souhaite déterminer à quelle ondition un tel}

nombre est parfait.

a

^{. Trouver deux nombres parfaits de ette forme.}

b

^{. Déterminerun entier premier}

p

^telque

2 ⁴ p

^{soit parfait.}

c

^{. Soient}

n

^et

p

^{deux entiers naturels,}

p

^{étant premier. Quels sont les diviseurs}

strits de

2 ⁿ p

^?

d

^{. Prouverque}

1 + 2 + 2 ² + ... + 2 ^{n − 1} = 2 ⁿ − 1

^.

e

^{. Exprimer}

p

^{en fontionde}

n

^{pour que}

2 ⁿ p

^{soit parfait.}

f

^{. Donner la listede tous les nombres parfaits de ette formepour}

n < 10

^.

g

^{. Quelle}proposition vient-on de prouver ave ette question?