Livret d’exercices 10-11 Terminale S

Livret d’exercices 10-11 Terminale S

C

^{hapitre III}

Nombres premiers entre eux

Théorèmes de Bézout et Gauss

3.1

^{Donner quelques exemples de nombres premiers entre eux, en démontrant ette}

propriété par l'algorithmed'Eulide.

3.2

^{On dit que}

b

^{est un inverse de}

a

^modulo

n

^si

ab ≡ 1[n]

^.

1. Prouver que2 n'a pas d'inverse modulo6.

2. Déterminer lesentiers

n

^{tels que 2aitun inverse modulo}

n

^.

3.3

^{Les théorèmes de Bezout et Gauss sont notamment utilisés pour la résolution des}

équations diophantiennes. Nous allons voir dans et exerie un exemple de la méthode

utilisée pour e typed'équations.

1. (a) Utiliserl'algorithmed'Eulide pour déterminer

d

^{, lePGCD de 24 et17.}

(b) L'équation

24x + 17y = 1

^{admet-elledes solutionsdans Z?}

() Utiliserlesdiérentes étapesde l'algorithmed'Eulide de laquestion 1.a.pour

exprimerhaundes restessuessifsen tantqueombinaisonlinéairede 24et

17.

(d) Déduiredelaquestionpréédentedeuxentiers

u 0

^et

v 0

^telsque

24u 0 +17v 0 = 1

^.

Leouple

(u 0 , v 0 )

^{est appelé solution} partiulière de l'équation

24 x + 17 y = 1 .

2. Soit

( u, v )

^{une autre ouplesolution de l'équation}

24 x + 17 y = 1 .

(a) Prouverque

24(u 0 − u) = 17(v − v 0 ).

(b) Utiliser le théorème de Gauss pour prouver qu'il existe un entier

k

^{tel que}

v = v 0 + 24 k

^.

() Utiliserlesquestions préédentes pour prouver que

u = u 0 − 17k

^.

(d) Vérier que tous les ouples

( u 0 − 17 k, v 0 + 24 k )

^{, où}

k

^{est un entier, sont}

solutionsde l'équation

24x + 17y = 1.

3.4

^{Onseproposede déterminerlesentiers relatifs}

x

^{vériantlesystèmedeongruene:}

x ≡ 3

^mod

11

x ≡ 4

^mod

15

1. Montrer quelarésolutionde esystème seramènearésoudre dansZ

×

^{Z l'équation}

11 u + 15 v = 1

^.

2. Résoudre etteéquation et en déduireles solutionsdu système.

3.5

^SoitN

^∗

^{l'ensembledes entiersnaturelsnon nuls. On onsidère,lorsque}

n

^appartient

à N

∗

,les deux entiers

a

^et

b

^{dénis par}

a = 11n + 3

^et

b = 13n − 1

^.

1. Démontrer que tout diviseur ommun de

a

^et

b

^{est un diviseurde 50.}

2. Résoudre,pour

x

appartenantàN

∗

et

y

appartenantàN

∗

,l'équation

50x − 11y = 3

^.

En déduireles valeurs de

n

^{pour lesquelles lesnombres}

a

^et

b

^{ont 50pour PGCD.}

3. Pour quelles valeurs de

n

^lesnombres

a

^et

b

^{ont-ils25 pour PGCD?}

3.6

^{Amérique du Nord4 juin2009}

Soit

A

^{l'ensembledes entiers naturels de} l'intervalle

[1 ; 46]

^.

1. On onsidère l'équation

(E) : 23x + 47y = 1

où

x

^et

y

^{sont des entiers relatifs.}

(a) Donner une solution partiulière

( x 0 , y 0 )

^de

( E )

^.

(b) Déterminerl'ensemble des ouples

( x, y )

^solutionsde

( E )

^.

() En déduire qu'il existe un unique entier

x

appartenant à

A

^{tel que}

23 x ≡ 1 (47)

^.

2. Soient

a

^et

b

^{deux entiers relatifs.}

(a) Montrer que si

ab ≡ 0 (47)

^alors

a ≡ 0 (47)

^{) ou}

b ≡ 0 (47)

^.

(b) Endéduire quesi

a ² ≡ 1 (47)

^alors

a ≡ 1 (47)

^{ou a}

a ≡ − 1 (47)

^.

3. (a) Montrerquepour toutentier

p

^de

A

^{,ilexiste unentier relatif}

q

^telque

p × q ≡ 1 (47)

^.

Pour lasuite,onadmetque pourtout entier

p

^de

A

^{,ilexiste un uniqueentier,}

noté inv

(p)

^,appartenant à

A

^telque

p × inv(p) ≡ 1 (47)

^.

Par exemple:

inv

(1) = 1

^ar

1 × 1 ≡ 1 (47) ,

^inv

(2) = 24

^ar

2 × 24 ≡ 1 (47) ,

^inv

(3) = 16

ar

3 × 16 ≡ 1 (47)

^.

(b) Quels sont les entiers

p

^de

A

^{qui vérient}

p =

^inv

(p)

^?

() Montrer que

46! ≡ − 1 (47)

^.

3.7

^{Asie, juin2009}

1. On sepropose,dansettequestion,de déterminertous lesentiersrelatifs

N

^{tels que}

N ≡ 5 (13)

N ≡ 1 (17)

(a) Vérier que239 est solutionde e système.

(b) Soit

N

^{un entier relatifsolution de e système.}

Démontrerque

N

^{peut s'ériresous laforme}

N = 1 + 17x = 5 + 13y

^où

x

^et

y

sontdeux entiers relatifsvériant larelation

17 x − 13 y = 4

^.

() Résoudre l'équation

17 x − 13 y = 4

^où

x

^et

y

^{sont des entiers relatifs.}

(d) Endéduire qu'ilexiste un entier relatif

k

^telque

N = 18 + 221 k

^.

(e) Démontrer l'équivaleneentre

N ≡ 18 (221)

^et

N ≡ 5 (13)

N ≡ 1 (17)

^.

même infruxtueuse, sera prise en ompte dans l'évaluation.

(a) Existe-t-il un entier naturel

k

^{tel que}

10 ^k ≡ 1 (17)

^?

(b) Existe-t-il un entier naturel

l

^telque

10 ^l ≡ 18 (221)

^?

3.8

^{Liban, juin 2009}

Lebutde l'exerieest demontrerqu'ilexisteunentier naturel

n

^{dontl'érituredéimale}

du ube se terminepar 2009, 'est-à-dire telque

n ³ ≡ 2009

^mod

10000

^.

Partie A

1. Déterminer lereste de ladivision eulidienne de

2009 ²

^par

16

^.

2. En déduireque

2009 ⁸⁰⁰¹ ≡ 2009

^mod

16

^.

Partie B

On onsidère lasuite

( u _n )

^{dénie sur N par :}

u 0 = 2009 ² − 1

^{et, pour tout entier naturel}

n, u _n +1 = (u n + 1) ⁵ − 1

^.

1. (a) Démontrer que

u 0

^{est divisible par 5.}

(b) Démontrer,en utilisantlaformuledubinmede Newton, quepour toutentier

naturel

n,

u _n +1 = u _n

u _n ⁴ + 5 u _n ³ + 2u n

2 + 2u n + 1 .

() Démontrer parréurrene que,pour toutentier naturel

n, u _n

^{est divisiblepar}

5 ^{n +1}

^.

2. (a) Vérier que

u 3 = 2009 ²⁵⁰ − 1

^{puis en déduire que}

2009 ²⁵⁰ ≡ 1

^mod

625

^.

(b) Démontrer alors que

2009 ⁸⁰⁰¹ ≡ 2009

^mod

625

^.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions préé-

dentes, montrer que

2009 ⁸⁰⁰¹ − 2009

^{est divisible par 10000.}

2. Conlure, 'est-à-diredéterminer unentier naturel dont l'érituredéimaledu ube

se terminepar 2009.

3.9

^{Asie, juin2008}

Soit

a

^et

b

^{deux entiers naturels non nuls; on appelle réseau assoié aux entiers}

a

^et

b

l'ensembledes points du plan, muni d'un repère orthogonal, dont les oordonnées

(x; y)

sont des entiers vériant les onditions :

0 6 x 6 a

^et

0 6 y 6 b

^{. On note}

R _a,b

^{e réseau.}

Le but de l'exerie est de relier ertaines propriétés arithmétiques des entiers

x

^et

y

^à

des propriétés géométriques des points orrespondants du réseau.

Partie A – Représentation graphique de quelques ensembles

Dans ette question, les réponses sont attendues sans expliation, sous la forme d'un

graphique quisera dûment omplété sur lafeuille annexe 1à rendre ave la opie.

Représenter graphiquement lespoints

M (x; y)

^{du réseau}

R 8 , 8

^vériant:

1.

x ≡ 2 (

^modulo

3)

^et

y ≡ 1 (

^modulo

3)

^{, sur legraphique 1 de la feuilleannexe}

2.

x + y ≡ 1

^{(modulo 3),sur legraphique 2de lafeuilleannexe;}

3.

x ≡ y

^{(modulo3), sur le graphique3 de la feuilleannexe.}

Partie B – Résolution d’une équation

On onsidèrel'équation(E):

7x − 4y = 1

^{,oùlesinonnues}

x

^et

y

^{sontdes entiers relatifs.}

1. Déterminer un ouple d'entiers relatifs

(x 0 ; y 0 )

^{solutionde l'équation (E).}

2. Déterminer l'ensembledes ouples d'entiers relatifssolutionsde l'équation(E).

3. Démontrerquel'équation(E)admetuneuniquesolution

(x; y)

^{pourlaquellelepoint}

M ( x ; y )

orrespondant appartient au réseau

R _4,7

^.

Partie C – Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.

Si

a

^et

b

^{sont deux entiers naturels non nuls, on onsidère la diagonale}

[OA]

^{du réseau}

R _a,b

^{, ave}

O(0; 0)

^et

A(a; b)

^.

1. Démontrer que lespointsdu segment

[ OA ]

^{sont aratérisés par lesonditions :}

0 6 x 6 a ; 0 6 y 6 b ; ay = bx.

2. Démonter quesi

a

^et

b

^{sontpremiersentreeux,alorslespointsOet}

A

^sontlesseuls

points du segment

[OA]

appartenant auréseau

R _a,b

^.

3. Démontrer que si

a

^et

b

^{ne sont pas premiers entre eux, alors le segment}

[OA]

ontientau moins un autre point du réseau.

(On pourraonsidérer le pgd

d

^{des nombres}

a

^et

b

^etposer

a = da ^′

^et

b = db ^′

^.)

3.10

Antilles-Guyane, septembre 2003 Soit l'équation (1)d'inonnue rationnelle

x

^:

78 x ³ + ux ² + vx − 14 = 0 .

où

u

^et

v

^{sont des entiers relatifs.}

1. On suppose dans ettequestion que

14

39

^{est solution de l'équation (1).}

(a) Prouverquelesentiersrelatifs

u

^et

v

^{sontliéspar larelation}

14x + 39y = 1129.

(b) Utiliserl'algorithmed'Eulide, endétaillantlesdiverses étapesdu alul,pour

trouverun ouple

(x ; y)

^{d'entiers relatifs vériant l'équation}

14x + 39y = 1

^.

() Endéduireun ouple

(u 0 ; v 0 )

^solutionpartiulièrede l'équation

14u + 39v = 1129

^.

Donnerlasolutiongénéraledeetteéquation'est-à-direl'ensembledesouples

(u ; v)

^{d'entiers relatifsqui lavérient.}

(d) Déterminer, parmi les ouples

( u ; v )

^{préédents, elui pour lequel le nombre}

u

^{est l'entier naturel leplus petit possible.}

2. (a) Déomposer 78et 14en fateurs premiers.

Endéduire, dansN, l'ensembledes diviseurs de 78 etl'ensembledes diviseurs

de 14.

(b) Soit

p

q

^{une solution}rationnelle de l'équation(1)d'inonnue

x

^:

78x ³ + ux ² + vx − 14 = 0

où

u

^et

v

^{sont des entiers relatifs.}

Montrer quesi

p

^et

q

^{sont des entiersrelatifspremiersentre eux,alors}

p

^divise

14et

q

^divise78.

() En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de

l'équation(1) etérire, parmies rationnels, l'ensemble de eux quisont posi-

tifs.

3.11

^{Polynésie, juin2006}

Pourhaune desinqpropositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausseetdonner

une démonstrationde laréponse hoisie. Uneréponse non démontrée ne rapporte auun

point.

1. pour tout entier naturel

n

^,

3

^{divisele nombre}

2 ²ⁿ − 1

^.

2. Si un entier relatif

x

^{est solution de l'équation}

x ² + x ≡ 0 (

^modulo

6)

^alors

x ≡ 0 (

^modulo

3)

^.

3. l'ensembledesouplesd'entiersrelatifs

( x ; y )

^{solutionsdel'équation}

12 x − 5 y = 3

est l'ensembledes ouples

(4 + 10 k ; 9 + 24 k )

^où

k ∈

^Z.

4. il existe un seul ouple

(a ; b)

^{de nombres entiers naturels, tel que}

a < b

^et

PPCM

(a, b) −

^PGCD

(a, b) = 1

^.

Deux entiers naturels

M

^et

N

^{sont tels que}

M

^{a pour ériture}

abc

^{en base dix et}

N

^a

pour ériture

bca

^{en base dix.}

5. Si l'entier

M

^{est divisiblepar 27alors l'entier}

M − N

^{est aussidivisible par 27.}

3.12

Antilles-Guyane, juin 2003 1. (a) Caluler:

1 + √

6 ²

, 1 + √ 6 ⁴

, 1 + √ 6 ⁶

.

(b) Appliquer l'algorithmed'Eulide à847 et 342. Que peut-on en déduire?

2. Soit

n

^{un entier naturel non nul.On note}

a

^et

b

^{lesentiers naturels tels que :}

1 + √

6 n

= a _n + b _n √ 6.

Que valent

a 1

^et

b 1

^?

D'après les alulsde laquestion

1.a.

^{, donnerd'autres valeurs de}

a _n

^et

b _n

^.

(a) Caluler

a _n+1

^et

b _n+1

^{en fontionde}

a _n

^et

b _n

^.

(b) Démontrer que, si 5 ne divise pas

a _n + b _n

^{, alors 5 ne divise pas non plus}

a _n +1 + b _n +1

^.

Endéduireque,quelque soit

n

^{entier naturelnonnul,5ne divisepas}

a _n + b _n

^.

() Démontrer que, si

a _n

^et

b _n

^{sont premiers entre eux, alors}

a _n +1

^et

b _n +1

^sont

premiersentre eux.

En déduireque, quel que soit

n

^{entier naturel non nul,}

a _n

^et

b _n

^{sont premiers}

entre eux.

3.13

^{Liban, mai2003}

Les suites d'entiers naturels

(x n )

^et

(y n )

^{sont déniessur Npar :}

x 0 = 3

^et

x _n +1 = 2 x _n − 1

y 0 = 1

^et

y _n +1 = 2y n + 3.

1. Démontrer par reurrene que pour tout entier naturel

n, x _n = 2 ^{n +1} + 1

^.

2. (a) Calulerlepgdde

x 8

^et

x 9

^,puiseluide

x 2002

^et

x 2003

^{.Quepeut-onendéduire}

pour

x 8

^et

x 9

^{d'unepart, pour}

x 2002

^et

x 2003

^{d'autre part?}

(b)

x _n

^et

x _n +1

^{sont-ilspremiers entre eux pour tout entier naturel}

n

^?

3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel

n, 2x n − y _n = 5

^.

(b) Exprimer

y _n

^{en fontion de}

n

^.

() En utilisant les ongruenes modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier

naturel

p

^{lereste de ladivision eulidienne de}

2 ^p

^{par 5.}

(d) On note

d _n

^{le pgd de}

x _n

^et

y _n

^{pour tout entier naturel}

n

^.

Démontrer que l'on a

d _n = 1

^ou

d _n = 5

^{; en déduire l'ensemble des entiers}

naturels

n

^{tels que}

x _n

^et

y _n

^{soientpremiers entre eux.}

3.14

^{NouvelleCalédonie, novembre 2002}

On onsidère deux entiers naturels, non nuls,

x

^et

y

^{premiersentre eux.}

On pose

S = x + y

^et

P = xy

^.

1. (a) Démontrer que

x

^et

S

^{sont premiers entre eux,de même que}

y

^et

S

^.

(b) Endéduire que

S = x + y

^et

P = xy

^{sont premiersentre eux.}

() Démontrerquelesnombres

S

^et

P

^{sontde paritésdiérentes (l'unpair,l'autre}

impair).

2. Déterminer lesdiviseurs positifs de 84et lesranger par ordre roissant.

3. Trouver les nombres premiers entre eux

x

^et

y

^{tels que :}

SP = 84

^.

4. Déterminer lesdeux entiers naturels

a

^et

b

^{vériant lesonditions suivantes :}

a + b = 84

ab = d ³

^ave

d =

^pgd

( a ; b )

(On pourraposer

a = dx

^et

b = dy

^ave

x

^et

y

^{premiersentre eux)}

3.15

^{Polynésie, juin2002}

n

^{est un entier naturelsupérieur ouégal à 2.}

1. Montrer que

n

^et

2 n + 1

^{sont premiersentre eux.}

2. On pose

α = n + 3

^et

β = 2 n + 1

^{et onnote}

δ

^{le PGCD de}

α

^et

β

^.

(a) Caluler

2 α − β

^{eten déduireles valeurs possibles de}

δ

^.

(b) Démontrerque

α

^et

β

^{sontmultiplesde 5sietseulementsi}

( n − 2)

^{est multiple}

de 5.

3. On onsidère lesnombres

a

^et

b

^{dénis par :}

a = n ³ + 2 n ² − 3 n b = 2n ² − n − 1

Montrer,aprèsfatorisation,que

a

^et

b

^{sontdesentiersnaturelsdivisiblespar}

(n − 1)

^.

4. (a) On note

d

^{le PGCD de}

n ( n + 3)

^{et de}

(2 n + 1)

^{. Montrer que}

δ

^divise

d

^{, puis}

que

δ = d

^.

(b) Endéduire lePGCD,

∆

^{, de}

a

^et

b

^{en fontion de}

n

^.

() Appliation:

Déterminer

∆

^pour

n = 2001

^;

Déterminer

∆

^pour

n = 2002

^.

3.16

^{Polynésie, septembre 2003}

On désignepar

p

^{un nombre entier premiersupérieurou égal à 7.}

Le butde l'exerieest de démontrerquel'entier naturel

n = p ⁴ − 1

^{est divisible par240,}

puis d'appliquer e résultat.

1. Montrer que

p

^{est ongru à}

− 1

^ouà

1

^modulo3.

En déduireque

n

^{est divisiblepar 3.}

2. En remarquant que

p

^{est impair, prouver qu'il existe un entier naturel}

k

^{tel que}

p ² − 1 = 4k(k + 1)

^{,puis que}

n

^{est divisible par}

16

^.

3. En onsidérant tous les restes possibles de la division eulidienne de

p

^{par 5, dé-}

montrer que

5

^divise

n

^.

4. (a) Soient

a, b

^et

c

^{troisentiers naturels. Démontrer quesi}

a

^divise

c

^et

b

^divise

c

^,

ave

a

^et

b

^{premiers entre eux,alors}

ab

^divise

c

^.

(b) Déduire de e qui préède que

240

^divise

n

^.

5. Existe-t-il quinze nombres premiers

p 1 , p 2 , ..., p 15

^{supérieurs ouégaux à 7tels que}

l'entier

A = p ⁴ ₁ + p ⁴ ₂ + ... + p ⁴ ₁₅

^{soit un nombre premier?}

3.17

^{Devoir maison 3, exerie 1/2}

1. Montrer que,pour tout entier naturelnon nul

k

^{etpour tout entier naturel}

x

^:

(x − 1) 1 + x + x ² + · · · + x ^{k− 1}

= x ^k − 1.

Dans toutelasuite de l'exerie,on onsidère un nombre entier

a

^{supérieurouégal}

à 2.

2. (a) Soit

n

^{un entier naturelnon nulet}

d

^{un diviseur positif de}

n : n = dk

^.

Montrer que

a ^d − 1

^{est un diviseur de}

a ⁿ − 1

^.

(b) Déduire de laquestionpréédenteque

2 ²⁰⁰⁴ − 1

^{est divisiblepar 7,par 63puis}

par 9.

3. Soient

m

^et

n

^{deux entiers naturelsnon nulset}

d

^{leur pgd.}

(a) On dénit

m ^′

^et

n ^′

^par

m = dm ^′

^et

n = dn ^′

^{. En appliquant le théorème de}

Bezout à

m ^′

^et

n ^′

^{, montrer qu'il existe des entiers relatifs}

u

^et

v

^{tels que :}

mu − nv = d

^.

(b) On suppose

u

^et

v

^{stritement positifs.}

Montrer que :

(a ^mu − 1) − (a ^nv − 1) a ^d = a ^d − 1

^.

Montrer ensuite que

a ^d − 1

^{est lepgd de}

a ^mu − 1

^etde

a ^nv − 1

^.

() Caluler, en utilisantle résultatpréédent, lepgd de

2 ⁶³ − 1

^{et de}

2 ⁶⁰ − 1

^.

3.18

^{Devoir maison 3, exerie 2/2}

1. On onsidère l'équation

( E ) : 17x − 24y = 9,

où

(x, y)

^{est un oupled'entiers relatifs.}

(a) Vérier quele ouple

(9; 6)

^{est solutionde l'équation}

( E )

^.

(b) Résoudre l'équation

( E )

^.

2. Dans une fête foraine, Jean s'installe dans un manège irulaire représenté par le

shéma donné en annexe. Il peut s'installersur l'un des huit points indiqués sur le

erle.

Le manège omporte un jeu qui onsiste à attraper un pompon qui, sedéplae sur

un âbleformantun arrédans lequelest insritleerle.Lemanègetournedansle

sens des aiguillesd'une montre, à vitesse onstante. Il fait un tour en 24 seondes.

Le pompon se déplaedans le même sens à vitesse onstante. Il fait un tour en 17

seondes.

Pour gagner,Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu'aux points de

ontat qui sont notésA, B, C etD sur le dessin.

A l'instant

t = 0

^{, Jean part du point H en même temps que le pompon part du}

point A.

(a) On suppose qu'à un ertain instant

t

^{Jean attrape le pompon en A. Jean a}

déjà pu passer un ertain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. A

l'instant

t

^{, on note}

y

^{le nombre de tours eetués depuis son premier passage}

en A et

x

^{le nombre de tours eetués par le pompon. Montrer que}

( x, y )

^est

solutionde l'équation

( E )

^{de la question1.}

(b) Jean a payé pour 2minutes; aura-t-ille temps d'attraperlepompon?

(d) Jean part maintenant du point E.Aura-t-il le tempsd'attraper le pomponen

A avant les deux minutes?

E

A

F

D B

H G

C