Livret d’exercices 10-11 TS spécialité

Livret d’exercices 10-11 TS spécialité

C

hapitre VII

Setions planes de surfaes

7.1

Donner une équationde haune des surfaes suivantes.

1. Le ylindre d'axe

(Oz)

^{et de rayon2.}

2. Le ylindre d'axe

( Ox )

^{et de rayon 1,5.}

3. Le ylindre d'axe

(Oy)

^{etde rayon}

√ 3

^.

4. Le ne d'axe

( Oz )

^{,de sommet}

O

^{etd'angle ausommet}

^π ₃

^.

5. Le ne d'axe

(Oz)

^{,de sommet}

O

^{etd'angle ausommet}

^π ₄

^.

6. Le ne d'axe

(Oz)

^{,de sommet}

O

^{etd'angle ausommet}

^π ₆

^.

7.2

On onsidère leylindre

C

d'axe

( Oz )

^{et d'équation}

x ² + y ² = 4

^.

1. Caratériser l'intersetion de

C

etdu plan d'équation

z = − 5

^.

2. Caratériser l'intersetion de

C

etdu plan d'équation

y = 2

^.

7.3

Soit

C

le ylindred'axe

(Oz)

^{passant par le point}

A(1, 2, 3)

^.

1. Donner une équationartésienne de

C

.

2. On onsidère le plan

P

d'équation

z = 3

^{.Indiquer la naturede} l'intersetionde

C

et

P

.

3. Donner une équationartésienne de etteintersetiondans un plan quel'on préis-

era.

4. On onsidère leplan

P ^′

d'équation

z = 2

^{.Indiquer lanaturede} l'intersetion de

C

et

P ^′

.

5. Donner une équationde ette intersetion dans un plan que l'on préisera.

7.4

Soit

C

le ne d'axe

(Oz)

^{et de sommet}

O

^{passant par lepoint}

E(1, 2, 1)

^.

1. Déterminer la valeur de

tan θ

^{, où}

θ

^{est l'angle de la génératrie du ne}

C

, et en déduire l'équationde

C

.

2. Soit

P

le plan parallèle au plan

(xOy )

^{passant par}

F (1, 1, 2)

^{. Déterminer l'inter-}

setion de

P

etde

C

.

7.5

On appelle

C

le ne d'axe

( Oz )

^{et de sommet}

O

^{passant par le point}

P

^{de oor-}

données

(0, 1, 1)

^{.On appelle}

I n

l'intersetion de

C

ave leplan

P n

^d'équation

x = n

^où

n

est un entier naturel.

1. Déterminer une équationde

C

.

2. Déterminer

I 0

^puis représenter

I 0

^{dans un plan.}

3. En eetuant deux études de fontions, représenter

I 1

^{dans lemême plan que}

I 0

^.

4. Représenter

I 2

^et

I 3

^{dans lemême plan.}

7.6

On appelle

C

le ne d'axe

( Oz )

^{passant par le point}

P

^{de oordonnées}

(0 , 1 , √ 3)

^.

On appelle

I n

l'intersetion de

C

ave le plan

P n

^d'équation

x = n

^où

n

^{est un entier}

naturel.

1. Déterminer une équationde

C

.

2. Déterminer

I 0

^puis représenter

I 0

^{dans un plan.}

3. En eetuant deux études de fontions, représenter

I 1

^{dans lemême plan que}

I 0

^.

4. Représenter

I 2

^et

I 3

^{dans lemême plan.}

7.7

Soit

S

la surfae d'équation

z = x ² + y ² .

1. Prouver que

S

est située au-dessus du plan

(xOy)

^etque

O

^luiappartient.

2. Déterminer les intersetions de la surfae

S

ave les plans d'équations respetives

z = 2

^,

z = 4

^et

z = k

^ave

k ∈

^{R.Ces setionssont appelées ourbe de niveau 2, 4}

et

k

^{de lasurfae}

S

.

3. Préiserlesintersetionsdelasurfae

S

avelesplansd'équationsrespetives

x = 0

et

y = 0

^.

4. Déterminer les intersetions de la surfae

S

ave les plans d'équations respetives

x = 2

^,

y = 2

^et

x = k

^ave

k ∈

^R.

5. Soient

A

^et

B

^{deux pointsde lasurfae}

S

.Prouverque lemilieude

[AB ]

^n'appar-

tient pas à

S

.Cette surfae ontient-elle des segments de droites?

7.8

Soit

S

la surfae d'équation

z = xy.

1. (a) Vérier que

O

^{appartient à}

S

.

(b) Soit

M(x, y, z)

^{un pointdelasurfae,prouverque}

M ^′ ( − x, − y, z)

^{luiappartient}

aussi. Endéduire une propriété géométrique de la surfae.

2. Quelle est la naturede l'intersetion de

S

ave le plan

(xOy)

^?

3. (a) Trouver quatre points de

S

ayant une ote égale à

− 1

^.

(b) Prouverque es quatre pointsappartiennent àun mêmeplan

P

dont onpré- isera une équation.

() Quelleest l'intersetion de la surfae

S

etdu plan

P

?

(d) Plus généralement,quelle est l'intersetionde lasurfae

S

et du plan d'équa- tion

z = k

^{, ave}

k 6 = 0

^?

4. (a) Prouver que l'intersetion de la surfae

S

ave le plan d'équation

x = 0

^est

une droite.

(b) Quelleest l'intersetion de la surfae

S

ave le plan d'équation

y = 0

^?

() Plusgénéralement,quelleest l'intersetionde lasurfae

S

etdesplansd'équa- tions

x = k

^ou

y = k

^{, ave}

k 6 = 0

^?

5. Prouver quel'intersetion de la surfae

S

etdu plan d'équation

x − y = 0

^{est une}

parabole.

7.9

Centres Étrangers, juin 2009

1. On note (E)l'équation

3x + 2y = 29

^où

x

^et

y

^{sont deux nombres entiers relatifs.}

(a) Déterminerun oupled'entiers solutionde l'équation(E).

(b) Déterminertous les ouplesd'entiers relatifssolutions de l'équation (E).

() Préiser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois

x > 0

^et

y > 0

^;

2. Intersetions d'un plan ave les plans de oordonnées.

L'espae est muni du repère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

, ~k)

^{et on désigne par}

P

^{le plan}

d'équation

3 x + 2 y = 29

^.

(a) Démontrer que

P

^{est parallèleà l'axe(O}

z

^{) de veteur direteur}

^→ k

^.

(b) Déterminer les oordonnées des points d'intersetion du plan

P

^{ave les axes}

(O

x

^{) et(O}

y

^{) de veteurs direteurs respetifs}

^→ ı

^et

^→ 

^.

() Faire une gure et traer les droites d'intersetion du plan

P

^{ave les trois}

plans de oordonnées.

(d) Surlagurepréédente,plaersurladroited'intersetiondesplans

P

^et(

x

^O

y

^),

lespoints dontles oordonnées sont àla fois entières etpositives.

3. Étude d'une surfae.

S

^{est lasurfae d'équation}

4z = xy

^{dans le repère}

(O ; ~

i

,~

^j

, ~k)

^.

Les gures suivantes représentent les intersetions de

S

^{ave ertains plans de l'es-}

pae.

gure n o

1 gure n

o

2 gure n

o

3 gure n

o

4

(a)

S 1

^{désignela setionde lasurfae}

S

^{par le plan (}

x

^O

y

^).

Unedes guresdonnées représente

S 1

^laquelle?

(b)

S 2

^{désignela setionde}

S

^{par le plan}

R

^d'équation

z = 1

^.

Unedes guresdonnées représente

S 2

^{, laquelle?}

()

S 3

^{désignela setionde}

S

^{par le pland'équation}

y = 8

^.

Unedes guresdonnées représente

S 3

^{, laquelle?}

(d)

S 4

^{désignelasetionde}

S

^parleplan

P

^d'équation

3x + 2y = 29

^{de laquestion}

2.

Déterminerlesoordonnées des pointsommunsà

S 4

^et

P

^{dontl'absisse}

x

^et

l'ordonnée

y

^{sontdes entiers naturelsvériant l'équation}

3x + 2y = 29

^.

7.10

Amérique du Nord, mai2008

L'espae est rapporté aurepère orthonormal

( O ; ~

i

,~

^j

, ~k )

^.

On nomme

(S)

^{la surfae d'équation}

x ² + y ² − z ² = 1

^.

1. Montrer quela surfae

( S )

^{est symétrique par rapportau plan (}

x

^O

y

^).

2. On nomme

A

^et

B

^{les points de oordonnées respetives}

(3; 1; − 3)

^et

( − 1; 1; 1)

^.

(a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite

(D)

^{passant par les}

points

A

^et

B

^.

(b) Démontrer que ladroite

(D)

^{est inlusedans la surfae}

(S)

^.

3. Determiner la nature de la setion de la surfae

( S )

^{par un plan parallèle au plan}

(xOy)

^.

4. (a) Ononsidèrelaourbe

(C)

^,intersetiondelasurfae

(S)

^{etdupland'équation}

z = 68

^{. Préiserles éléments} aratéristiquesde etteourbe.

(b)

M

^{étantun pointde}

( C )

^{,ondésignepar}

a

^{son absisseet par}

b

^{son ordonnée.}

On se propose de montrer qu'il existe un seul point

M

^de

(C)

^{tel que}

a

^et

b

soient des entiers naturels vériant

a < b

^{et ppm}

(a; b) = 440

^, 'est-à-dire tel que

( a, b )

^{soitsolutiondu système}

(1):





 a < b

a ² + b ² = 4625

ppm

(a; b) = 440

Montrer que si

( a, b )

^{est solutionde (1)alors pgd}

( a ; b )

^{est égal à}

1

^ou

5

^.

Conlure.

Dans ette question toute trae de reherhe même inomplete ou d'initiative,

même non frutueuse sera prise en ompte dans l'évaluation.

7.11

Réunion, juin2009

L'espae est muni d'un repère orthonormal

( O ; ~

i

,~

^j

, ~k )

^.

1. Soient

F

^{le pointde oordonnées}

0 ; 0 ; 1 4

et

P

^{le plan d'équation}

z = − 1 4

^.

On note

d(M, P )

^{ladistane d'un point}

M

^auplan

P

^.

Montrer que l'ensemble

( S )

^{des points}

M

^{de oordonnées}

( x ; y ; z )

^{qui vérient}

d(M, P ) = M F

^{a pour équation}

x ² + y ² = z

^.

2. (a) Quelleest la naturede l'intersetion de l'ensemble

(S)

^{ave leplan d'équation}

z = 2

^?

(b) Quelleest la naturede l'intersetion de l'ensemble

( S )

^{ave leplan d'équation}

x = 0

^?

Représenter ette intersetion dans lerepère

O

; ^→  , ^→ k

.

3. Dans ette question,

x

^et

y

^{désignent des nombres entiers naturels.}

(a) Quels sont les restes possibles de la division eulidiennede

x ²

^{par 7?}

(b) Démontrer que 7divise

x ² + y ²

^{si et seulement si 7divise}

x

^{et 7 divise}

y

^.

4. Dansettequestion, toutetraedereherhemêmeinomplète,oud'initiativemême

non frutueuse, sera prise en ompte dans l'évaluation.

Existe-t-ildes pointsquiappartiennentàl'intersetion del'ensemble

(S)

^etduplan

d'équation

z = 98

^{et dont toutes les oordonnées sont des entiers naturels? Si oui}

les déterminer.

7.12

Amérique du sud, novembre 2008

L'espae est muni d'un repère orthonormé

(O; ~

i

,~

^j

, ~k)

^.

Soit

D

^{ladroitepassantpar lepointAde oordonnées(0 ;0 ;2)etde veteurdireteur}

→ u

^{deoordonnées(1;1;0)etsoit}

D ^′

^{ladroitedontune}représentationparamétriqueest :







x = t ^′ y = − t ^′ z = − 2

( t ^′ ∈

^R

)

Le butde l'exerieest d'étudier l'ensemble

S

^{des pointsde l'espae}équidistants de

D

^et

de

D ^′ .

1. Une équation de

S

(a) Montrer que

D

^et

D ^′

^sont orthogonaleset non oplanaires.

(b) Donner une représentation paramétrique de la droite

D

^.

Soit

M

^{unpointdel'espaedeoordonnées}

(x ; y ; z)

^et

H

^{leprojetéorthogo-}

nalde

M

^sur

D

^.Montrerque

⁻ M H ^{− − − − − −→}

^{apouroordonnées}

− x + y

2 ; x − y

2 ; 2 − z

.

Endéduire

M H ²

^{en fontion de}

x, y

^et

z

^.

Soit

K

^{le projeté orthogonal de}

M

^sur

D ^′

^{. Un alul analogue au préédent}

permetd'établirque :

M K ² = ( x + y ) ²

2 +(2+ z ) ²

^{,relationquel'onnedemande}

pas de vérier.

() Montrerqu'unpoint

M

^{deoordonnées}

(x ; y ; z)

^appartientà

S

^{sietseulement}

si

z = − 1 4 xy

^.

2. Étude de la surfae

S

^d'équation

z = − 1 4 xy

(a) On oupe

S

^{par le plan (}

x

^O

y

^{).Déterminerla setionobtenue.}

(b) On oupe

S

^{par un plan}

P

^{parallèleau plan (}

x

^O

y

^).

Quelleest lanature de la setionobtenue?

() Dans ettequestion, toute trae dereherhe,mêmeinomplète,ou d'initiative

même infrutueuse sera prise en onsidération dans l'évaluation.

Onoupe

S

^{par lepland'équation}

x + y = 0

^{.Quelleest lanaturede lasetion}

obtenue?

7.13

Inde, avril 2004

L'espae (E)est muni d'un repère orthonormal

( O ; ~

i

,~

^j

, ~k )

^.

On onsidère lespoints

A(0; 5; 5)

^et

B(0; 0; 10)

^.

1. Dansettequestion,onseplaedansleplan

P 0

^d'équation

x = 0

^{rapportéaurepère}

( O ; ~, ~k )

^.

On note

C

le erle de entre

B

^passantpar

A

^.

Démontrer que ladroite

( OA )

^{est tangente auerle}

C

.

2. On nomme

S

lasphèreengendréepar larotationdu erle

C

autourde l'axe

( Oz )

et

Γ

^{lene engendré par la rotationde ladroite}

(OA)

^{autour de l'axe}

(Oz)

^.

(a) Démontrer que lene

Γ

^{admetpour équation}

x ² + y ² = z ²

^.

(b) Déterminerl'intersetion du ne

Γ

^{et de la sphère}

S

.

Préiserla nature de ette intersetion et ses éléments aratéristiques.

() Illustrer es objets par un shéma dans l'espae.

3. On oupe lene

Γ

^{par le plan}

P 1

^d'équation

x = 1

^.

Dans

P 1

^{, l'une des trois gures i-dessous représente ette} intersetion.

Identier ette gure en donnant les justiations néessaires.

4. Soit

M ( x, y, z )

^{un point du ne}

Γ

^{dont les oordonnées sont des entiers relatifs}

non nuls. Démontrer que

x

^et

y

^{ne peuvent pas être} simultanémentimpairs.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

7.14

Frane métropolitaine,juin 2003

Les questions

3.

et

4.

sont indépendantes des questions

1.

et

2.

Seule l'équation de

Γ

donnée en

1.c.

intervient à la question

4.

1. L'espae est rapporté aurepère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

, ~k)

^.

(a) Montrer que les plans

P

^et

Q

d'équations respetives

x + y √

3 − 2z = 0

^et

2 x − z = 0

^{ne sont pas} parallèles.

(b) Donner un système d'équations paramétriques de la droite

∆

intersetion des plans

P

^et

Q

^.

() On onsidère lenede révolution

Γ

^d'axe

(Ox)

^{ontenantladroite}

∆

^omme

génératrie.Montrer que

Γ

^{pour équationartésienne}

y ² + z ² = 7x ²

^.

2. On a représentésur lesdeux gures i-dessous les intersetions de

Γ

^{ave des plans}

parallèlesaux axes de oordonnées.

Determinerdanshaque asuneéquationdes planspossibles,enjustiantave soin

votre réponse.

Figure1 Figure2

3. (a) Montrer que l'équation

x ² ≡ 3 [7]

^{, dont l'inonnue}

x

^{est un entier relatif,n'a}

pas de solution.

(b) Montrer quepour tous entiers relatifs

a

^et

b

^{, si7divise}

a ² + b ²

^{alors 7divise}

a

et7 divise

b

^.

4. (a) Soient

a, b

^et

c

^{des entiers relatifsnon nuls. Montrer lapropriété suivante :}

si le point A de oordonnées

( a, b, c )

^{est un point du ne}

Γ

^alors

a, b

^et

c

sontdivisibles par 7.

(b) Endéduirequeleseul pointde

Γ

^{dontlesoordonnéessont des entiersrelatifs}

est le sommetde e ne.

7.15

Devoir maison 7

Pour haune des sixpropositionssuivantes, indiquer sielleest vraieou fausse etdonner

une démonstrationde laréponse hoisie. Uneréponse non démontrée ne rapporte auun

point.

1. Dansleplanomplexerapportéàun repère orthonormaldiret

(O; ~ u, ~v)

^,ononsid-

ère lasimilitudedirete

f

^{d'ériture omplexe}

z 7→ 3

2 (1 − i) z + 4 − 2i.

Proposition 1 :

f = r ◦ h

^où

h

^est l'homothétie de rapport

3 ^√ ₂ ²

^{et de entre le}

point

Ω

^d'axe

− 2 − 2 i

^etoù

r

^{est la rotationde entre}

Ω

^{et d'angle}

− ^π 4

^.

2. Pour tout entier naturel

n

^{non nul :}

Proposition 2 :

5 ⁶ⁿ⁺¹ + 2 ³ⁿ⁺¹

^{est divisible par}

5

^.

Proposition 3 :

5 ⁶ⁿ⁺¹ + 2 ³ⁿ⁺¹

^{est divisible par}

7

^.

3. Dans leplan muni d'un repère, (D) est la droited'équation

11 x − 5 y = 14

^.

Proposition 4 : les points de (D) à oordonnées entières sont les points de oor-

données

(5k + 14 ; 11k + 28)

^où

k ∈

^Z.

4. L'espae est rapporté àun repère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

, ~k)

^.

La surfae

Σ

^{i-ontre a pour équation}

z = x ² + y ²

^.

O

→ ı _→



→ k

Proposition 5 : la setion de la surfae

Σ

^{et du plan d'équation}

x = λ

^{, où}

λ

^est

un réel, est une hyperbole.

Proposition 6 : le plan d'équation

z = ^{9 √} ₂ ²

^{partage le solide délimité par}

Σ

^{et le}

plan d'équation

z = 9

^{en deux solidesde mêmevolume.}

Rappel : Soit

V

^{levolume du solide délimité par}

Σ

^{et les plans d'équations}

z = a

^et

z = b

^où

0 6 a 6 b 6 9

^.

V

^{est donné par la formule}

V = Z ^b

a

S (k) dk

^où

S(k)

^{est l'aire de la setion du}

solide par le plan d'équation

z = k

^où

k ∈ [ a, b ]

^.