Université Paris-Dauphine Licence de Mathématiques Appliqués Intégrale de Lebesgue et Probabilités Année 2018–19
TD 7 : Retour sur l’asymptotique, conditionnement
On traitera en priorité les exercices notés d’une
∗1 Retour sur l’asymptotique.
Exercice 1.
∗(Borel Cantelli) Soit (A
n) une suite d’événements indépendants. Montrer que si X
n≥1
P(A
n) = ∞, alors P(lim sup A
n) = 1. (Ind. On pourra calculer P T
k≥n
A
ck).
Exercice 2.
∗(Marche aléatoire) Soit (X
n) une suite de var indépendantes de même loi définie par P(X
n= 1) = P(X
n= −1) = 1/2. Pour tout n ≥ 1, on pose
S
n:= X
1+ · · · + X
n.
a) Pour deux entiers p ≥ 1 et k > 2p fixés, et pour tout j ≥ 0, on définit
A
j:= {X
jk+1= X
jk+2= · · · = X
jk+k= 1}.
Calculer P(A
j) et montrer que les (A
j) sont indépendants. En déduire que
P [
∞j=0
A
j= 1,
puis que
P
inf S
n≤ −p ∪ sup
n
S
n≥ p
= 1.
b) On définit B
n:= σ(X
`, ` ≥ n }, puis la tribu asymptotique B
∞:= lim B
n. Montrer que
P
inf
nS
n= −∞ + P sup
n
S
n= +∞ ≥ 1, P
inf
nS
n= −∞ = P sup
n
S
n= +∞ , ainsi que
{inf
nS
n= −∞ ∈ B
∞et sup
n
S
n= +∞ ∈ B
∞.
En déduire que
P
inf
nS
n= −∞ = P sup
n
S
n= +∞ = 1.
1
Exercice 3. Soit(Xn)une suite de var etX une var.
a) Montrer que
{(Xn) ne converge pas versX} = ∪
ε>0 lim sup{|Xn−X|> ε}
= ∪
p∈N∗
lim sup
|Xn−X|>1 p
b) Montrer queXn→X p.s. ssi∀ε >0 :P(lim sup{|Xn−X|> ε}) = 0 c) Montrer que si∀ε >0 :P
nP({|Xn−X|> ε})<∞alorsXn→X p.s.
d) Montrer que si∃ε >0 :P
nP({|Xn−X|> ε}) =∞ et si les événements {|Xn−X|> ε} sont indépen- dants alors (Xn)ne converge pas versX p.s.
Exercice 4.
a) On considère la suite de variables aléatoires indépendantes(Xn)n≥1 définies par
P(Xn= 0) = 1−1
n et P(Xn= 1) = 1 n.
Montrer que (Xn)converge vers 0 en probabilité et au sens deLp, pourp∈[1,+∞[ mais que (Xn)ne converge pas vers0p.s. (utiliser l’exercice précédent). Que peut-on dire siP(Xn= 0) = 1−n12? b) On considère la suite de variables aléatoires indépendantes(Xn)n≥1 définies par
P(Xn= 0) = 1− 1
n etP(Xn=n) = 1 n.
Montrer que (Xn)converge vers 0 en probabilité mais que(Xn)ne converge pas vers 0p.s., ni au sens deLp, pour p∈[1,+∞[.
2 Conditionnement.
Exercice 5.
∗On lance deux dés (de façon indépendante). On note X et Y le résultat de chaque dé.
a) Calculer E (X + Y | X) b) Calculer E (X | X + Y )
Exercice 6.
∗Soient X, Y ∈ L
2et B une sous-tribu de A. Montrer que
E [Y E (X | B)] = E [X E (Y | B)] .
Exercice 7.
∗Soient B
1, B
2et B
3des sous-tribus de A telles que B
3est indépendante de σ (B
1∪ B
2), et soit X une var B
1-mesurable. Montrer que
E (X | B
2) = E (X | B
2∪ B
3) .
2
Exercice 8. SoientBune sous-tibu etQune probabilité absolument continue par rapport àP:dQ=f dPoù f ∈L2 etf ≥0.
a) SoitX est une v.a. mesurable et bornée. Montrer que
EQ(X | B) EP(f | B) =EP(f X | B).
b) Montrer que, sif est B-mesurable,
EQ(X | B) =EP(X | B) p.s.sur {f >0}.
Exercice 9. SoientX etY deux v.a.i. de même loi de densité x7→e−x1R+(x)
. On poseT =X+Y. Calculer E(g(X) |T)pour gmesurable et positive.
Exercice 10. SoientX,Y etZ trois variables réelles indépendantes, de même loiN(0,1).
a) Calculer, pour tout(s, t)∈R2, les espérances conditionnellesE(X|X+sY +tZ)etE[exp (isXY +itXZ)|X].
b) Montrer que la fonction caractéristique du couple(XY, XZ)est donnée par Ψ (s, t) = 1
(1 +s2+t2)1/2
où (s, t)∈R2.
c) En déduire que, pour toutn∈N∗, l’applicationΨn deR2dansR, donnée par Ψn(s, t) = 1
(1 +s2+t2)n/2
où (s, t)∈R2, est la fonction caractéristique d’un couple (Un, Vn)que l’on déterminera.
d) Etudier la convergence en loi éventuelle de(Un, Vn)quandn→ ∞.
Exercice 11.
∗a) Soit (X
1, X
2, X
3) un vecteur gaussien centré à valeurs dans R
3tel que Cov (X
2, X
3) = 0.
Démontrer que
E (X
1|σ(X
2, X
3)) = E (X
1|X
2) + E (X
1|X
3) p.s.
b) On suppose de plus que les v.a. X
isont indépendantes, de même loi N (0, 1). On pose T := (T
1, T
2), où T
1= X
1− X
2et T
2= 2X
1− X
2.
Calculer les espérances conditionnelles
E (X
1|T ) , E X
1(2X
1− X
3)
2|T , E (X
1+ X
2+ 2X
3)
2|T
et E (exp (itX
1) |T ) , t ∈ R .
Exercice 12. SoientX1, X2, X3 trois v.a. indépendantes, de même loiN(0,1). Posons U =X1−2X2+ 2X3,V = 2X1+ 2X2+X3 et S=X1+X2+X3.
a) Montrer qu’il existe une unique constanteα∈Rtelle queU−αSsoit indépendante de S. Calculerα.
b) SoitH l’ensemble des applications mesurablesφ:R→Rtelles queφ(S)∈L2. Déterminer la constante Inf
φ∈HE h
(U−φ(S))2i
