III - Fonctions mesurables

Université Paris-Dauphine Licence de Mathématiques Appliqués Intégrale de Lebesgue et Probabilités Année 2018–19

TD1. Ensembles, tribus, fonctions mesurables

I - Ensembles

Exercice 1.

Soit A, B, C trois ensembles.

a) On suppose que A∪B ⊆A∪C et A∩B ⊆A∩C. Montrer queB ⊆C.

b) On suppose que A∪B =A∪C etA∩B =A∩C. Montrer que B =C.

Exercice 2.

Soit E un ensemble et f une application de P(E) dans R⁺. On suppose que f(A ∪ B) = f(A) +f(B) pour toutes parties disjointes A etB deE.

a) Montrer que f(∅) = 0.

b) Montrer que f(A∪B) =f(A) +f(B)−f(A∩B) pour toutes parties A etB deE. c) Montrer que f(A)≤f(B) pour toutes parties A etB de E telles que A⊆B.

d) Soit(An)n une suite croissante de parties deE. Montrer que la suite(f(An))n est crois- sante et convergente, de limite inférieure ou égale à f ∪_nA_n

.

e) Exemple : Reprendre la question d) avecE ={1, . . . , n}etf(A) =card(A)pourA⊆E.

Exercice 3.

Soit X un ensemble et A, B, C, D des parties deX. On note A4B A4B = (A∪B)r(A∩B) = (ArB)∪(BrA)

la différence symétrique de A etB. Calculer A4∅, A4X et A4A, puis montrer a) (A∪B) = (A4B)4(A∩B),

b) (A4B)4C =A4(B4C).

c) (ArB)∩(CrD) = (A∩C)r(B∪D),

Exercice 4.

Soit X et Y deux ensembles etf :X →Y une application.

a) Soit A ⊆X. Montrer que A ⊆ f⁻¹(f(A)) mais que l’égalité peut faire défaut. Montrer qu’on a égalité si f est injective.

b) Montrer que si pour tout sous-ensemble A de X on a l’égalité A = f⁻¹(f(A)), alors f est injective.

c) Soit B ⊆ Y. Montrer que f(f⁻¹(B))⊆B mais que l’égalité peut faire défaut. Montrer qu’on a égalité si f est surjective.

d) Montrer que si pour tout sous-ensemble B de Y on a l’égalité f(f⁻¹(B)) = B, alors f est surjective.

Exercice 5.

Soit X et Y deux ensembles,f :X →Y une application, (A_i)i∈I une famille de parties deX et (B_j)j∈J une famille de parties de Y. On supposeI et J non vides. Soit B une partie de Y. Démontrer les assertions suivantes.

a) f

[

i∈I

Ai

=[

i∈I

f(Ai) et f

\

i∈I

Ai

⊆\

i∈I

f(Ai), avec égalité quand f est injective.

b) f⁻¹

[

j∈J

B_j

= [

j∈J

f⁻¹(B_j)et f⁻¹

\

j∈J

B_j

= \

j∈J

f⁻¹(B_j).

c) ^c(f⁻¹(B)) =f⁻¹(^cB).

Exercice 6.

Soit A, B des parties d’un ensemble X. Pour chacune des fonctions suivantes, définies surX et à valeurs réelles, dire si elle est la fonction indicatrice d’une partie de X et si oui, de laquelle.

a) 1A+1B, b)1A−1B, c) 1A1B, d)|1A−1B|, e)1A+1B−1A1B, f) sup(1A,1B), g)inf(1A,1B).

Exercice 7.

Déterminer explicitement ou graphiquement les fonctions définies sur R+

X

n≥0

1[n,n+1[, X

n≥0

1[n,n+1/2[, X

n≥1

1[n,+∞[, X

n≥0

1[0,n[.

Exercice 8.

Si (A_n)n≥0 est une suite d’ensembles on note lim inf

n An=[

n

\

k≥n

Ak et lim sup

n

An=\

n

[

k≥n

Ak.

a) Que représentent ces ensembles ? b) Montrer que

\

n

A_n⊂lim inf

n A_n⊂lim sup

n

A_n ⊂[

n

A_n.

c) Déterminer lim inf_nA_n et lim sup_nA_n si A_n =]− ∞,(−1)ⁿ].

Exercice 9.

a) Montrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction monotone f : [a, b]→ R est dénombrable.

b) Qu’en est-il pour une fonction réelle monotone définie sur R tout entier ?

II - Tribus

Exercice 10.

Soit X un ensemble. Donner des conditions sur X pour que les classes suivantes soient des tribus.

a) {∅, X}.

b) P(X).

c) {∅,{x}, X} oùx∈X est donné.

d) {∅,{x}, ^c{x}, X} oùx∈X est donné.

e) La classe des parties finies de X.

f) La classe des parties dénombrables de X.

g) La classe des parties finies ou cofinies de X. On dit qu’une partie A de X est cofinie si XrA est finie.

h) La classe des parties dénombrables ou codénombrables deX. On dit qu’une partie A de X est codénombrable si XrA est dénombrable.

Exercice 11.

a) SoitA et B des classes de parties de E telles queA ⊆ B. Montrer queσ(A)⊆σ(B).

b) Montrer que la réunion de deux tribus n’est pas toujours une tribu.

c) SoientA et B deux tribus sur E. Montrer que

σ(A ∪ B) =σ({A∪B | A∈ A, B ∈ B}) = σ({A∩B | A∈ A, B ∈ B}).

Exercice 12.

Soit E un ensemble.

a) Décrire la tribu engendrée par la classeS des singletons de E.

b) Décrire la tribu engendrée par la classeF des parties finies de E.

Exercice 13.

Soit f :X →Y une application. Montrer que

T ={A ∈ P(X)|A=f⁻¹(f(A))}

est une tribu sur X.

Exercice 14. Soit f :X →Y une application et B une tribu sur Y. Montrer que T ={f⁻¹(B) | B ∈ B}

est une tribu sur X.

Exercice 15.

Soit f : X → Y une application et A une tribu sur X. Montrer par un contre-exemple que la classe des images directes {f(A) | A∈ A} n’est en général pas une tribu sur Y.

III - Fonctions mesurables

Exercice 16.

Soit (E,A)un espace mesurable et soient f,g : (E,A)→R deux fonctions mesurables.

a) Montrer que tout ouvert deR peut s’écrire comme une union dénombrable d’intervalles ouverts.

b) Montrer que tout ouvert de R² peut s’écrire comme une union dénombrable de pavés ouverts.

c) Montrer que l’applicationΦ : (E,A)→R²définie parΦ(x) = (f(x), g(x))est mesurable.

d) En déduire que f+g, f g, f /g (si g 6= 0) sont mesurables.

Exercice 17.

Soit (E,A) un espace mesurable et (f_n)n∈N une suite de fonctions mesurables de (E,A) dans R. Montrer que l’ensemble

A={x∈E :la suite (f_n(x))n∈N est convergente}

est un élément de A.

Exercice 18.

Soit f :E →R etA_f =f⁻¹(B(R))la tribu image réciproque de B(R)par f.

a) Soith:R→Rune fonction borélienne. Montrer queg =h◦fest une fonction mesurable de (E,Af)dans R.

b) Soit s : (E,A_f) → R une fonction étagée mesurable. Montrer qu’il existe une fonction borélienne t telle ques =t◦f.

c) Montrer que si g : (E,A_f) → R est mesurable, alors il existe h borélienne telle que g =h◦f.

Indication : On pourra approcher g par une suite de fonctions étagées.

Exercice 19.

Soit f :R→R une fonction monotone. Montrer quef est borélienne.

Exercice 20. (Théorème d’Egoroff)

Soit (X,A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < +∞ et soit (f_n)n∈N une suite de fonctions mesurables de (X,A) dans R.

a) Montrer que l’ensemble de convergence C de la suite (f_n)n∈N est mesurable.

b) On suppose que la suite (f_n)n∈N converge µ-p.p. vers une fonction mesurable f, au sens où µ(XrC) = 0. Pour toutk ∈N^∗ et toutn ∈N, soit

E_n^k =\

i≥n

|f_i−f| ≤ 1 k

.

Montrer que C ⊆ S

n≥1E_n^k. En déduire que, pour tout réel ε > 0, pour tout k ∈ N^∗, il existe n_k,ε ∈N^∗ tel que µ

ErE_n^k_k,ε

< ₂^εk.

c) (Théorème d’Egoroff) En déduire que, pour tout ε >0, il existe E_ε∈ A tel que (f_n)_n∈N converge uniformément vers f surE_ε et tel que µ(ErE_ε)< ε.

d) Donner un contre-exemple lorsque µ(X) = +∞.

Exercice 21.

Soit (X,A, µ) un espace mesuré et soit (f_n)_n∈N une suite de fonctions mesurables de (X,A) dans R. On dit que la suite (f_n)n∈N converge en mesure vers f si :

∀ε >0, lim

n→∞µ({|f_n−f|> ε}) = 0.

a) Montrer que si µ(X) < +∞ et si la suite (f_n)n∈N converge µ-p.p. vers f, alors elle converge en mesure vers f.

b) Réciproquement, supposons que (fn)n∈N converge en mesure vers f : i) Montrer qu’il existe une sous-suite (f_nk)_k≥1 telle que

∀k ≥1, µ

|f_nk −f|> 1 k

< 1 k². ii) SoitA= lim

k

{|f_nk−f| ≤ ¹_k}. Montrer que (f_nk)k≥1 converge simplement versf surA et que µ(ErA) = 0(en d’autres termes, (fn)n∈Npossède une sous-suite qui converge µ-p.p. vers f).