MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES
Thierry Gallouët Raphaèle Herbin
15 janvier 2011
Table des matières
I Cours et exercices 6
1 Motivation et objectifs 7
1.1 Intégrale des fonctions continues . . . 7
1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues . . . 8
1.3 Les probabilités . . . 9
1.4 Objectifs . . . 9
1.5 Structure du cours . . . 10
1.6 Exercices . . . 11
2 Tribus et mesures 18 2.1 Introduction... par les probabilités . . . 18
2.1.1 Cas d’un problème “discret" . . . 18
2.1.2 Exemple continu . . . 18
2.2 Tribu ouσ−algèbre . . . 19
2.3 Mesure, probabilité . . . 22
2.4 mesure signée . . . 27
2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens . . . 29
2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle . . . 37
2.6.1 Probabilité conditionnelle . . . 37
2.6.2 Evènements indépendants, tribus indépendantes . . . 38
2.6.3 Probabilités sur les boréliens deR . . . 40
2.7 Exercices . . . 41
2.7.1 Tribus . . . 41
2.7.2 Mesures . . . 45
2.7.3 Probabilités . . . 50
3 Fonctions mesurables, variables aléatoires 52 3.1 Introduction, topologie surR+ . . . 52
3.2 Fonctions étagées . . . 53
3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires . . . 55
3.4 Mesure image, loi d’une v.a., v.a. indépendantes . . . 60
3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité . . . 62
3.6 Exercices . . . 65
4 Fonctions intégrables 74
4.1 Intégrale d’une fonction étagée positive . . . 74
4.2 Intégrale d’une fonction mesurable positive . . . 75
4.3 Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou . . . 79
4.4 Mesures et probabilités de densité . . . 81
4.4.1 Définitions . . . 81
4.4.2 Exemples de probabilités de densité . . . 82
4.5 L’espaceL1des fonctions intégrables . . . 82
4.6 L’espaceL1 . . . 85
4.7 Théorèmes de convergence dansL1 . . . 88
4.7.1 Convergence presque partout et convergence dansL1 . . . 89
4.7.2 Série absolument convergente . . . 90
4.8 Continuité et dérivabilité sous le signeR . . . 92
4.9 Espérance et moments des variables aléatoires . . . 93
4.10 EspaceL1C(E, T, m)et espaceL1 RN(E, T, m) . . . 96
4.11 Exercices . . . 98
4.11.1 Intégrale des fonctions mesurables positives et espaceL1 . . . 98
4.11.2 L’espaceL1 . . . 102
4.11.3 Espérance et moments des variables aléatoires . . . 106
5 Mesures sur la tribu des boréliens 109 5.1 L’intégrale de Lebesgue et l’intégrale des fonctions continues . . . 109
5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . 110
5.3 Changement de variables, densité et continuité . . . 115
5.4 Intégrales impropres des fonctions deRdansR . . . 118
5.5 Exercices . . . 118
6 Les espacesLp 125 6.1 Définitions et premières propriétés . . . 125
6.1.1 Les espacesLp, avec1≤p <+∞ . . . 125
6.1.2 L’espaceL∞ . . . 130
6.1.3 Quelques propriétés des espacesLp,1≤p≤+∞ . . . 133
6.2 Analyse hilbertienne et espaceL2 . . . 135
6.2.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . 135
6.2.2 Projection sur un convexe fermé non vide . . . 140
6.2.3 Théorème de Représentation de Riesz . . . 144
6.2.4 Bases hilbertiennes . . . 146
6.3 Dualité dans les espacesLp,1≤p≤ ∞ . . . 153
6.3.1 Dualité pourp= 2 . . . 153
6.3.2 Dualité pour1≤p≤ ∞ . . . 153
6.3.3 Théorème de Radon-Nikodym . . . 157
6.4 Convergence faible, faible-?, étroite, en loi. . . 160
6.4.1 Convergence faible et faible-? . . . 160
6.4.2 Convergence étroite et convergence en loi . . . 162
6.4.3 Lois des grands nombres . . . 166
6.5 Exercices . . . 168
6.5.1 EspacesLp,1≤p≤ ∞ . . . 168
6.5.2 Espaces de Hilbert, EspaceL2 . . . 173
6.5.3 Théorème de Radon-Nikodym et Dualité dansLp . . . 177
6.5.4 Convergence faible, faible-?, étroite, en loi. . . 182
7 Produits d’espaces mesurés 191 7.1 Motivation . . . 191
7.2 Mesure produit . . . 192
7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini . . . 195
7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens deRN . . . 200
7.5 Convolution . . . 202
7.6 Formules de changement de variables . . . 206
7.7 Exercices . . . 208
7.7.1 Mesure produit . . . 208
7.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . 209
7.7.3 Mesure de Lebesgue surB(RN) . . . 210
7.7.4 Convolution . . . 212
7.7.5 Changement de variables . . . 213
8 Densité, séparabilité et compacité 216 8.1 Théorèmes de densité pour les espacesLp(Ω) . . . 216
8.1.1 Densité des fonctionsCc(Ω,R)dansLp(Ω) . . . 216
8.1.2 Régularisation par convolution . . . 217
8.1.3 Densité deCc∞(Ω,R)dansLp(Ω) . . . 219
8.2 Séparabilité deLp(Ω). . . 219
8.3 Compacité dans les espacesLp(Ω) . . . 220
8.4 Compacité faible-? . . . 221
8.5 Exercices . . . 223
9 Vecteurs aléatoires 226 9.1 Définition, propriétés élémentaires . . . 226
9.2 Indépendance . . . 230
9.3 Vecteurs gaussiens . . . 233
9.4 Exercices . . . 234
9.4.1 Définition, propriétés élémentaires . . . 234
9.4.2 Indépendance . . . 235
9.4.3 Vecteurs gaussiens . . . 237
10 Transformation de Fourier 238 10.1 Introduction et notations . . . 238
10.2 Transformation de Fourier dansL1 . . . 238
10.2.1 Définitions et premières propriétés . . . 238
10.2.2 Théorème d’inversion . . . 240
10.2.3 Régularité et décroissance à l’infini . . . 241
10.3 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . 242
10.4 Transformation de Fourier dansL2 . . . 244
10.5 Résolution d’une EDO ou d’une EDP . . . 245
10.6 Fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire . . . 246
10.7 Exercices . . . 250
10.7.1 Transformation de Fourier dansL1 . . . 250
10.7.2 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . 251
10.7.3 Transformation de Fourier dansL2 . . . 252
10.7.4 Fonction Caractéristique d’une v.a.r. . . 252
11 Espérance conditionnelle et martingales 255 11.1 Espérance conditionnelle . . . 255
11.2 Martingales . . . 261
11.3 Exercices . . . 263
11.3.1 Espérance conditionnelle . . . 263
11.3.2 Martingales . . . 267
II Corrigés d’exercices 270
12 Motivation et objectifs 271 13 Tribus et mesures 283 13.1 Tribus . . . 28313.2 Mesures . . . 294
13.3 Probabilités . . . 311
14 Fonctions mesurables, variables aléatoires 312 14.1 Fonctions mesurables . . . 312
15 Fonctions intégrables 334 15.1 Intégrale surM+et surL1 . . . 334
15.2 EspaceL1 . . . 349
15.3 Espérance et moments des variables aléatoires . . . 365
16 Mesures sur la tribu des boréliens 372 17 Les espacesLp 387 17.1 EspacesLp,1≤p≤ ∞ . . . 387
17.2 Espaces de Hilberts, espaceL2 . . . 403
17.3 Théorème de Radon-Nikodym et Dualité dansLp . . . 418
17.4 Convergence faible, faible-?, étroite, en loi. . . 427
18 Produits d’espaces mesurés 447 18.1 Mesure produit . . . 447
18.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . 450
18.3 Mesure de Lebesgue surB(RN) . . . 454
18.4 Convolution . . . 463
18.5 Changement de variables . . . 466
19 Densité, séparabilité et compacité dansLp 473
20 Vecteurs aléatoires 481 20.1 Définition, propriétés élémentaires . . . 481 20.2 Indépendance . . . 482 20.3 Vecteurs gaussiens, théorème central limite . . . 487
21 Transformation de Fourier 489
21.1 Transformée de Fourier dansL1 . . . 489 21.2 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . 491 21.3 Fonction caractéristique d’un v.a. . . 492
22 Espérance conditionnelle et martingales 497
22.1 Espérance conditionnelle . . . 497 22.2 Martingales . . . 504
Première partie
Cours et exercices
Chapitre 1
Motivation et objectifs
Nous commençons par donner ici un aperçu des motivations de la théorie de l’intégration, en montrant d’abord les limitations de l’intégrale des fonctions continues (sur un intervalle compact deR). L’intégrale de Riemann possède essentiellement les mêmes limitations.
1.1 Intégrale des fonctions continues
Nous présentons ici quelques rappels sur l’intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact deR. Nous montrons pourquoi cette théorie de l’intégrale des fonctions continues semble insuffisante.
Nous nous limitons à l’étude des fonctions définies sur l’intervalle[0,1]à valeurs dansR. Nous allons en fait définir l’intégrale des fonctions réglées (on appelle fonction réglée une fonction qui est limite uniforme d’une suite de fonctions “en escalier"). Ceci nous donnera l’intégrale des fonctions continues car toute fonction continue est réglée (voir l’exercice 1.2). La définition de l’intégrale des fonctions réglées (comme celle de l’intégrale de Riemann, qui sera rappelée dans l’exercice 5.3, et celle de l’intégrale de Lebesgue) peut être vue en 3 étapes, qui, ici, s’écrivent :
1.Mesurer les intervalles de[0,1].Pour0≤α≤β≤1, on posem(]α, β[) =β−α.
2.Intégrer les fonctions en escalier.Soitf :[0,1]→R, une fonction en escalier. Ceci signifie qu’il existep∈N?, une famille(αi)i∈{0,...,p}, avec :α0 = 0,αi < αi+1, pour touti ∈ {0, . . . , p−1},αp = 1, et une famille (ai)i∈{0,...,p−1}⊂Rtels que :
f(x) =ai, ∀x∈]αi, αi+1[, ∀i∈ {0, . . . , p−1}. (1.1) On pose alors :
Z 1 0
f(x)dx=
p−1
X
i=0
aim(]αi, αi+1[). (1.2)
On montre que la définition précédente est bien cohérente, c’est-à-dire que l’intégrale def ne dépend que du choix defet non du choix desαi(voir l’exercice 1.2).
3.“Passer à la limite".Soitf:[0,1]→R, une fonction réglée, il existe une suite(fn)n∈Nde fonctions en escalier convergeant uniformément versf. On pose :
In= Z 1
0
fn(x)dx. (1.3)
On peut montrer que la suite(In)n∈Nest de Cauchy (dansR). On pose : Z 1
0
f(x)dx= lim
n→∞In. (1.4)
On montre que cette définition est cohérente carlimn→∞In ne dépend que def et non du choix de la suite (fn)n∈N(voir l’exercice 1.2).
Remarque 1.1 Un des intérêts de la méthode présentée ci dessus est qu’elle permet aussi de définir (sans travail supplémentaire) l’intégrale de fonctions continues de[0,1](ou d’un intervalle compact deR) dansE, oùEest un espace de Banach (c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet surRouC). Les méthodes de Riemann (voir l’exercice 5.3) et de Lebesgue (présentée dans ce cours) sont “limitées" à des fonctions prenant leurs valeurs dans Rcar elles utilisent fortement la relation d’ordre dansR(elles redonnent, dans le cas de fonctions continues de [0,1]dansR, la même intégrale que ci-dessus). Pour l’intégrale de Lebesgue, il faut alors un travail supplémentaire pour développer une théorie de l’intégration pour des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace de Banach (lorsque cet espace est de dimension infinie, le cas où l’espace est de dimension finie reste simple car on est alors amené à considérer un nombre fini d’intégrales à valeurs dansR).
1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues
On noteEl’ensemble des fonctions continues de[0,1]dansR. On a ainsi définiR1
0 f(x)dxpour toutf ∈E(car l’ensemble des fonctions continues est contenu dans l’ensemble des fonctions réglées).
1.Théorèmes de convergenceUn inconvénient important de la théorie de l’intégration exposée ci-dessus est que les théorèmes “naturels" de convergence pour cette théorie sont peu efficaces. A vrai dire, le seul théorème “simple"
est le théorème suivant : Soient(fn)n∈N⊂Eetf ∈E. On suppose quefn→f uniformément quandn→ ∞.
On a alorslimn→∞R1
0 fn(x)dx=R1
0 f(x)dx.
On rappelle que(fn)n∈Nconverge simplement versf si :
∀ε >0,∀x∈[0,1],∃N(ε, x);n≥N(ε, x)⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ε et que(fn)n∈Nconverge uniformément versfsi :
∀ε >0,∃N(ε);n≥N(ε), x∈[0,1]⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ε.
Ce théorème est assez “faible". Une conséquence de la théorie de l’intégrale de Lebesgue est le théorème suivant (beaucoup plus fort que le précédent) : Soient(fn)n∈N⊂E, etf ∈E. On suppose que quefn→fsimplement, quandn→ ∞, et qu’il existeM ∈ Rt.q.|fn(x)| ≤ M pour toutx ∈ [0,1]et pour toutn∈N. On a alors limn→∞R1
0 fn(x)dx=R1
0 f(x)dx.
Ce résultat est une conséquence immédiate du théorème de “convergence dominée", il peut être démontré sans utiliser la théorie de l’intégrale de Lebesgue, mais cela est difficile, c’est l’objet de l’exercice 1.11.
2.Espaces non complets.Pourf ∈Eon pose (en remarquant que|f| ∈Eetf2∈E) : N1(f) =
Z 1 0
|f(x)|dx, (1.5)
N2(f) = Z 1
0
(f(x))2dx12
. (1.6)
Les applicationsN1etN2sont des normes surE(voir l’exercice 1.6). Malheureusement l’espaceE, muni de la normeN1(ou de la normeN2), n’est pas vraiment intéressant en pratique, en particulier parce que cet espace n’est pas complet (c’est-à-dire qu’une suite de Cauchy n’est pas nécessairement convergente). Ce n’est pas un espace de Banach (un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet). La normeN2surEest induite par un produit scalaire mais, muni de cette norme,En’est pas un espace de Hilbert (un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire, pour tous ces résultats voir l’exercice 1.6).
En fait l’espace vectoriel des fonctions continues de[0,1]dansRest intéressant lorsqu’il est muni de la norme de la convergence uniforme, c’est-à-direkfku= supx∈[0,1]|f(x)|, avec laquelle il est complet, c’est donc alors un espace de Banach.
Si l’on travaille avec l’ensemble des fonctions réglées plutôt que l’ensemble des fonctions continues, on n’échappe pas vraiment aux inconvénients cités précédemment (N1 etN2sont d’ailleurs alors des semi-normes). On peut aussi généraliser la définition de l’intégrale ci-dessus en améliorant un peu l’étape 3 (passage à la limite), cette généralisation se fait en introduisant les “sommes de Darboux" (alors que l’intégrale des fonctions continues peut être définie en utilisant seulement les “sommes de Riemann"). On obtient ainsi la définition de l’intégrale des fonctions dites “Riemann-intégrables" (voir l’exercice 5.3). En fait cette généralisation est d’un intérêt limité, les inconvénients sont les mêmes que pour l’intégrale des fonctions continues (ou des fonctions réglées).
1.3 Les probabilités
La théorie des probabilités s’est développée dans le but de “modéliser" les phénomènes aléatoires, c’est à dire de développer un formalisme mathématique pour exprimer les problèmes posés par ces phénomènes. En particulier, l’un des problèmes est de mesurer “la chance" d’un certain “évènement" de se réaliser. Une partie importante de ces phénomènes est de nature “discrète", c’est à dire qu’il existe une injection de l’ensemble des “cas possibles"
dansN. Lorsque de plus l’ensemble des “cas possibles" ou des “éventualités" est fini, le calcul des probabilités se ramène à des problèmes de dénombrement. Par contre, lorsque l’ensemble des “éventualités" est de nature infinie non-dénombrable, on aura besoin, pour définir une probabilité, de la théorie de la mesure. Les liens qui existent entre la théorie des probabilités et la théorie de la mesure et de l’intégration sont nombreux, mais malheureusement, le vocabulaire est souvent différent. Nous essaierons ici de montrer clairement les liens entre les deux théories et de donner un “dictionnaire" probabilités-intégration.
1.4 Objectifs
L’objectif est de construire une théorie de l’intégration donnant des théorèmes de convergence efficaces et de
“bons" espaces fonctionnels, comme, par exemple, l’espaceL2
R(E, T, m)qui est un espace de Hilbert. La démarche pour construire cette théorie va être très voisine de celle que l’on a utilisée pour l’intégrale des fonctions réglées (ou pour l’intégrale de Riemann, cf. Exercice 5.3). Elle va suivre 3 étapes, que nous pouvons (dans le cas, par exemple, des fonctions deRdansR) décrire ainsi :
1. Mesurer “presque toutes" les parties deR(et pas seulement les intervalles).
2. Définir l’intégrale des fonctions étagées, c’est-à-dire des fonctions deRdansRne prenant qu’un nombre fini de valeurs (et pas seulement des fonctions en escalier).
3. Par un “passage à la limite", définir l’intégrale des fonctions limites (en un sens convenable) de fonctions étagées.
Pour être plus précis, dans l’étape 1 ci-dessus, on cherche une applicationλ : P(R) → R+, oùP(R)désigne l’ensemble des parties deR, t.q. :
λ(]α, β[) =β−α, pour toutα, β∈R, α≤β. (1.7)
λ(∪n∈NAn) =X
n∈N
λ(An), pour toute famille(An)n∈N⊂ P(R)t.q.An∩Am=∅sin6=m.
(1.8) (Dans toute la suite de ce cours, la notationP
n∈Nest identique àP∞ n=0.)
Une telle application surP(R)n’existe pas (voir l’exercice 2.28), mais elle existe si on se limite à une partie
“convenable" deP(R), par exemple, la tribu de Borel définie dans la suite.
Pour l’étape 2, on intégrera les fonctions prenant un nombre fini de valeurs et pour lesquelles chaque “étage" est dans la tribu de Borel. De telles fonctions seront dites “étagées".
Enfin, à l’étape 3, l’idée principale est de définir l’intégrale des fonctions positives qui sont “limites croissantes"
d’une suite de fonctions étagées (on remplace donc la convergence uniforme utilisée pour la définition de l’intégrale des fonctions réglées par une convergence “simple, en croissant").
La théorie de l’intégration que nous allons ainsi obtenir contient (pour les fonctions d’un intervalle compact deR dansR) la théorie de l’intégrale de Riemann (cf. Exercice 5.3) qui contient elle-même la théorie de l’intégrale des fonctions réglées (et donc la théorie de l’intégrale des fonctions continues).
1.5 Structure du cours
Ce cours est divisé en 2 parties, la première partie contient le cours et les exercices, la seconde partie contient des corrigés d’exercices. La première partie est formée de10chapitres (sans ce chapitre introductif), selon de découpage suivant :
– Le chapitre 2 est une introduction à la théorie de la mesure ; on y définit en particulier l’applicationλnécessaire pour mesurer les parties deR. On y introduit aussi les premières notions de probabilités.
– Dans le chapitre 3, on introduit le concept de fonction mesurable, et son synonyme “probabiliste", i.e. le concept de “variable aléatoire", qui est une notion fondamentale pour le calcul des probabilités. On y définit les notions de convergence “presque partout" et son synonyme probabiliste “presque sûre", et de convergence “en mesure"
et son synonyme probabiliste convergence “en probabilité".
– On définit au chapitre 4 l’intégrale sur un espace mesuré (suivant les étapes 1 à 3 définies plus haut), et l’espé- rance des variables aléatoires réelles en théorie des probabilités. On définit également dans ce chapitre la notion de convergence en moyenne.
– On s’intéresse au chapitre 5 aux mesures définies sur les boréliens deRet aux propriétés particulières de l’inté- grale définies surR. On y étudie les lois probabilités “de densité".
– On étudie au chapitre 6 les espaces “Lp", ensembles des (classes de) “fonctions mesurables de puissancep-ième intégrable, et plus particulièrement l’espaceL2, qui est un espace de Hilbert. On donne des résultats de dualité et on introduit les notions de convergence “faible" et de convergence “étroite" (pour les probabilités).
– Le chapitre 7 est consacré au produits d’espaces mesurés, à l’intégration de fonctions de plusieurs variables, au produit de convolution.
– Dans le chapitre 8, on revient sur l’étude des espacesLpdans le cas particulier de la mesure de Lebesgue sur les boréliens d’un ouvert deRN. On donne des résultats de densité, de séparabilité et de compacité.
– Le chapitre 9 est consacré aux vecteurs aléatoires. On y généralise des notions vues pour les variables aléatoires réelles.
– Le chapitre 10 est consacré à l’étude de la transformée de Fourier des fonctions deL1 (classes de fonctions mesurables intégrables au sens de Lebesgue surRN) et deL2(classes de fonctions mesurables “de carré inté- grable" au sens de Lebesgue surRN) et des mesures. On introduit la “fonction caractéristique" de la théorie des probabilités.
– Le chapitre 11 est conscré à l’espérance conditionnelle et aux martingales.
1.6 Exercices
Exercice 1.1 (Convergences simple et uniforme) Corrigé 1 page 271
Construire une suite(fn)n∈N ⊂ C([0,1],R) etf ∈ C([0,1],R)t.q.fn → f simplement, quand n→ ∞, et fn 6→funiformément, quand n→ ∞.
Exercice 1.2 (Intégrale d’une fonction continue) Corrigé 2 page 271
Une fonctiong : [0,1] → Rest dite “en escalier" s’il existen ≥ 1 etx0, . . . , xn t.q.0 = x0 < x1 < ... <
xn−1< xn = 1etgconstante sur chaque intervalle]xi, xi+1[,0≤i≤n−1.
Pourgen escalier etx0, . . . , xncomme dans la définition ci dessus, on pose Z 1
0
g(x)dx=
n−1
X
i=0
ai(xi+1−xi), oùaiest la valeur prise pargsur]xi, xi+1[.
1. Montrer que la définition précédente est bien cohérente, c’est-à-dire que l’intégrale degne dépend que du choix deget non du choix desxi. Montrer que l’application qui àgassocie l’intégrale degest linéaire de l’ensemble des fonctions en escalier dansR.
2. Soitf ∈C([0,1],R).
(a) Construire une suite de fonctions en escalier(fn)n∈Nt.q.fsoit limite uniforme de(fn)n∈Nlorsquen→+∞.
(b) Soit(fn)n∈N une suite de fonctions en escalier t.q.f soit limite uniforme de(fn)n∈Nlorsquen → +∞.
Montrer que la suite (In)n∈N ⊂ R, où In est l’intégrale de la fonction en escalier fn, converge. Enfin, montrer que la limiteI= limn→∞Inne dépend que def, et non de la suite(fn)n∈N. On pose alors
Z 1 0
f(x)dx=I.
3. Montrer que l’application qui àf associe l’intégrale def est linéaire deC([0,1],R)dansRet que, pour tout f ∈C([0,1],R), on a|
Z 1 0
f(x)dx| ≤ Z 1
0
|f(x)|dx≤ max
x∈[0,1]|f(x)|.
Exercice 1.3 (Sur l’intégrale des fonctions continues) Corrigé 3 page 273
Soit(ϕn)n∈N⊂C([0,1],R)etϕ∈C([0,1],R). On suppose queϕn→ϕsimplement quandn→ ∞.
1. Montrer que si lim
n→∞
Z 1 0
|ϕn(x)−ϕ(x)|dx→0, on a alors
n→∞lim Z 1
0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
2. Montrer que si(ϕn)n∈Nconverge uniformément versϕ, alors lim
n→∞
Z 1 0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
3. Donner un exemple de suite(ϕn)n∈Nqui converge versϕsimplement, mais non uniformément, t.q.
n→∞lim Z 1
0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
4. Donner un exemple de suite(ϕn)n∈Nqui converge simplement versϕt.q.
n→∞lim Z 1
0
ϕn(x)dx6=
Z 1 0
ϕ(x)dx.
5. Si la suite(ϕn)n∈Nsatisfait les deux conditions :
(a) Pour toutε,0< ε <1,(ϕn)n∈Nconverge uniformément versϕsur[ε,1], (b) Lesϕnsont à valeurs dans[−1,+1],
montrer que lim
n→∞
Z 1 0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
6. Vérifier que la suite de fonctions définies parϕn(x) = x√ n
1 +nx2 satisfait les conditions énoncées à la question 5.
Donner l’allure générale du graphe de ces fonctions pour des petites valeurs den; que devient le graphe lorsque n→ ∞?
7. On suppose maintenant que la suite(ϕn)n∈Nvérifie l’hypothèse suivante :
n→∞lim Z 1
0
|ϕn(x)−ϕ(x)|2dx= 0. (1.9)
A-t-on lim
n→∞
Z 1 0
|ϕn(x)−ϕ(x)|dx dx= 0? [On pourra par exemple utiliser (après l’avoir démontrée) l’inégalité suivante : pour toutε >0, il existecε≥0, ne dépendant que deε, t. q.a≤ε+cεa2.]
8. Même question que ci dessus en remplaçant l’hypothèse (1.9) par :
∃p >1; lim
n→∞
Z 1 0
|ϕn(x)−ϕ(x)|pdx= 0.
9. On suppose qu’il existeC >0tel que Z 1
0
|ϕn(x)|2dx≤C,∀n∈N, (1.10)
et que la suite(ϕn)n∈Nconverge uniformément sur[ε,1], pour toutε >0. Montrer que
n→∞lim Z 1
0
|ϕn(x)−ϕ(x)|dx= 0.
10. Construire un exemple de suite(ϕn)n∈Nqui satisfasse aux hypothèses de la question précédente et qui ne soit pas bornée (donc qui ne satisfasse pas aux hypothèses de la question 5).
11. Peut-on remplacer l’hypothèse (1.10) par : Il existep >1etC >0t.q.
Z 1 0
|ϕn(x)|pdx≤C,pour toutn∈N? 12. Peut-on remplacer l’hypothèse (1.10) par : Il existeC >0t.q.
Z 1 0
|ϕn(x)|dx≤C,pour toutn∈N? Exercice 1.4 (Discontinuités d’une fonction croissante)
Soitfune fonction croissante deRdansR.
1. Montrer quef a une limite à droite et une limite à gauche en tout point. On notef(x+)etf(x−)ces limites au pointx.
2. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité def est au plus dénombrable. [On pourra considérer, pour n∈N, les ensemblesAn={x∈[0,1], f(x+)−f(x−)≥(f(1+)−f(0−))/n}.]
Exercice 1.5 (Fonctions réglées)
Une fonction réelle définie sur[a, b](−∞< a < b <+∞) est dite réglée si elle est la limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur[a, b].
1. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction réglée est au plus dénombrable.
2. Montrer qu’une fonctionf : [a, b]−→Rest réglée sur[a, b]si et seulement si elle admet des limites à droite et à gauche en tout point de]a, b[, à droite ena, à gauche enb.
Exercice 1.6 (Normes définies par l’intégrale) Corrigé 4 page 277
SoitE = C([−1,1],R)l’espace vectoriel des fonctions continues de[−1,+1] dans R. Pourϕ ∈ E, on pose kϕk1=R+1
−1 |ϕ(t)|dtetkϕk2= R+1
−1 |ϕ(t)|2dt12 . 1. Montrer que(E,k · k1)est un espace normé.
2. Pourn∈N, on définitϕn∈Epar
ϕn(x) =
0 si −1≤x≤0 nx si 0≤x≤n1 1 si n1 ≤x≤1
(a) Montrer que si(ϕn)n∈Nconverge versϕdans(E,k · k1), alorsϕ(x) = 0six <0etϕ(x) = 1six >0.
(b) En déduire que(E,k · k1)n’est pas complet.
3. Montrer que(E,k · k2)est un espace préhilbertien (c’est-à-dire que sa norme est induite par un produit scalaire) mais n’est pas complet (ce n’est donc pas un espace de Hilbert).
Exercice 1.7 (Rappels sur la convergence des suites réelles) Corrigé 5 page 278
1. Soitu= (un)n∈Nune suite à valeurs dansR. On rappelle quelim supn→∞un= limn→∞supp≥nup. Montrer quelim supn→∞unest la plus grande valeur d’adhérence de u.
2. Siu= (un)n∈Nest une suite à valeurs dansR, on sait (conséquence du résultat de la question précédente) qu’il existe une suite extraite deuqui converge verslim supn→∞un. Donner un exemple d’une suite de fonctions (fn)n∈NdeRdansRt.q. aucune sous suite ne converge simplement verslim supn→∞fn(qui est définie par (lim supn→∞fn)(x) = lim supn→∞(fn(x))pour toutx∈R).
3. Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite(un)n∈Nt.q. : lim infn→∞un = 0,lim supn→∞un= 1etlimn→∞|un+1−un|= 0.
Donner un exemple d’une telle suite.
Exercice 1.8 (Fonctions caractéristiques d’ensembles) Corrigé 6 page 279 SoitEun ensemble. LorsqueAest une partie deE, on définit1A : E→Rpar :
1A(x) = 1, six∈A,
1A(x) = 0, six6∈A. (1.11)
1Aest appelée “fonction caractéristique deA" (elle est souvent aussi notéeχA).
1. Montrer que si AetB sont deux sous-ensembles disjoints deE, alors1A∪B = 1A+1B. En déduire que si (An)n∈Nest une suite de sous-ensembles deEdeux à deux disjoints, on aP
n∈N1An=1∪n∈NAn(on précisera aussi le sens donné à “P
n∈N1An”).
2. Montrer que siB⊂A⊂E, on a1A\B=1A−1B.
3. Montrer que, pourAetBsous-ensembles deE, on a1A∩B =1A1B.
4. Soitf : E →Rune fonction ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Montrer quef s’écrit comme combi- naison linéaire de fonctions caractéristiques.
Exercice 1.9 (Intégrale “impropre" de fonctions continues) Soitf ∈ C(R,R+). On suppose quelima→+∞Ra
0 f(x)dxexiste dansR(on a utilisé l’intégrale des fonctions continues sur[0, a]pour définirRa
0 f(x)dx).
1. A-t-onlimx→+∞f(x) = 0?
2. Montrer que sifadmet une limite en+∞, alorslimx→+∞f(x) = 0.
3. Montrer que sifest uniformément continue, alorsfadmet une limite en+∞et donc que :
x→+∞lim f(x) = 0.
4. Donner un exemple de fonctionf t.q.f(x)6→0qandx→ ∞(et qui vérifie les hypothèses de l’exercice !).
5. On suppose, dans cette question, quef ∈ C1(R,R)et quelima→+∞Ra
0 f0(t)dtexiste dansR. Montrer que limx→+∞f(x) = 0.
6. Montrer que pour touth >0,limx→+∞Rx+h
x f(t)dt= 0.
Exercice 1.10 (Limite uniforme dansR) Corrigé 7 page 280
Soit(fn)n∈N⊂C(R+,R+). On suppose que(fn)n∈Nconverge uniformément versf(de sorte quef est continue deR+dansR+).
1. On suppose que, pourn∈N,lima→+∞Ra
0 fn(x)dxexiste dansR. On noteR+∞
0 fn(x)dxcette limite.
Montrer, en donnant un exemple, quelima→+∞Ra
0 f(x)dxpeut ne pas exister dansR. 2. On suppose de plus quelimn→∞R+∞
0 fn(x)dxetlima→+∞Ra
0 f(x)dxexistent dansR. On note alorsR+∞
0 f(x)dxcette dernière limite. A-t-on
n→∞lim Z +∞
0
fn(x)dx= Z +∞
0
f(x)dx ? Exercice 1.11 (Convergence dominée et intégrale des fonctions continues) (Cet exercice est extrait de l’examen d’analyse du concours d’entrée à l’ENSL, 1993)
On noteE = C([0,1],R)l’ensemble des fonctions continues sur[0,1]à valeurs réelles. Pourf ∈ E, on pose kfk∞= supx∈[0,1]|f(x)|. Noter que l’applicationf 7→ kfk∞est bien une norme.
Pourf : [0,1]→R, on définitf+parf+(x) = max(f(x),0)(pour toutx∈ [0,1]), etf− = (−f)+ (de sorte quef(x) =f+(x)−f−(x)et|f(x)|=f+(x) +f−(x)). Soientf etgdeux applications deRdansR(ou dans R∪ {+∞}), On dit quef ≥gsif(x)≥g(x)pour toutx∈[0,1]. On désigne par0la fonction (définie surR) identiquement nulle. On poseE+={f ∈E, f ≥0}. SoitT :E →Rune application linéaire. On dit queT est positive si :
f ∈E, f ≥0⇒T(f)≥0.
SoitT :E→Rune application linéaire positive.
1. Montrer que T est continue de (E,k.k∞)dansR. [Indication : On pourra remarquer que, pour toutf ∈ E, T(f)≤T(1)kfk∞, où1désigne la fonction constante et égale à1sur[0,1].]
2. Soient(fn)n∈N⊂Eetf ∈Etelles quefn+1≥fn, pour toutn∈Net, pour toutx∈[0,1],limn→+∞fn(x)
=f(x). Montrer quefntend versf uniformément surR.
[Indication : Soitε >0, on pourra introduire, pourn∈N,On ={x∈[0,1] ; f(x)−fn(x)< ε}et utiliser la compacité de[0,1].]
En déduire queT(fn)→T(f), quandn→+∞.
3. Soient(fn)n∈N⊂Eetg∈Etelles quefn+1≥fn, pour toutn∈N, etg(x)≤ lim
n→+∞fn(x)(∈R∪ {+∞}), pour toutx∈[0,1].
Montrer queT(g)≤ lim
n→+∞T(fn).
4. Soitf : R→R∪ {+∞}, on dit quef ∈ A+ si il existe(fn)n∈N⊂E t.q.fn+1 ≥fn, pour toutn∈ N, limn→+∞fn(x) =f(x), pour toutx∈[0,1]etlimn→+∞T(fn)<+∞.
5. Soitf ∈A+, montrer que sup
g∈E, g≤f
(T(g))<+∞.
On définitT surA+parT(f) = sup
g∈E, g≤f
(T(g))(noter que ceci est compatible avec la définition deTsurE.) Noter aussi que sif, g∈A+, alors :f ≥g⇒T(f)≥T(g).
6. (“Convergence croissante.") Soient(fn)n∈N ⊂A+etf : R→ R∪ {+∞}telles quefn+1 ≥fn, pour tout n∈N, lim
n→+∞fn(x) =f(x), pour toutx ∈ [0,1]et lim
n→+∞T(fn)<+∞. Montrer quef ∈ A+ etT(f) =
n→+∞lim T(fn).
[Indication : Considérergp= sup
0≤n≤p
(fp,n), avec, pour toutn∈N,(fp,n)p∈N⊂Et.q.fp+1,n≥fp,n, pour tout p∈N, lim
p→+∞fp,n(x) =fn(x), pour toutx∈[0,1].]
7. (“Convergence décroissante.") Soient (fn)n∈N ⊂ A+ etf ∈ E telles quefn+1 ≤ fn, pour toutn∈N, et
n→+∞lim fn(x) =f(x), pour toutx∈[0,1]. Montrer queT(f) = lim
n→+∞T(fn).
[Indication : On pourra montrer que, pour toutε >0et pour toutn∈N, il existehn∈A+t.q.hn ≥fn−fn+1
etT(hn)≤T(fn)−T(fn+1) +2εn. Puis, en remarquant queP
n∈Nhn(x)≥f0(x)−f(x), pour toutx∈[0,1], et en utilisant la question III 4, montrer queT(f)≥ lim
n→+∞T(fn).]
8. (“Convergence dominée.") Soient(gn)n∈N⊂Eetg∈Etelles que : 1.gn(x)→g(x), quandn→+∞, pour toutx∈[0,1].
2.|gn(x)| ≤1, pour toutx∈[0,1]et pour toutn∈N. Montrer queT(g) = lim
n→+∞T(gn).
[Indication : On pourra utiliser la question III 5 avecfn = sup
p≥n
gp−inf
p≥ngpet remarquer queg−gn ≤fn et gn−g≤fn.]
9. (Exemple.) En choisissant convenablementT, montrer le résultat suivant : Soient(fn)n∈N⊂Eetf ∈Etelles que :
1.fn(x)→f(x), quandn→+∞, pour toutx∈[0,1].
2.|fn(x)| ≤1, pour toutx∈[0,1]et pour toutn∈N. alors
Z 1 0
fn(x)dx→ Z 1
0
f(x)dx, quandn→+∞.
Donner un contre exemple à ce résultat si la deuxième hypothèse n’est pas vérifiée.
Exercice 1.12 (Théorème de Bernstein) On veut démontrer ici le théorème suivant :
Théorème 1.1 (Bernstein) SoientEetF deux ensembles. Alors, il existe une bijection deEdansFsi et seule- ment si il existe une injection deEdansFet une injection deFdansE.
Bien sûr, l’existence d’une bijection deEdansFdonne l’existence d’une injection deEdansFet d’une injection deFdansE. Il s’agit maintenant de montrer la réciproque. On suppose donc qu’il existe une injectionEdansF, notéef, et une injection deF dansE, notéeg. A partir def etg, on va construire une bijection deEdansF.
Soitx∈ Edonné. On va construire, par récurrence,ϕ(x) ∈Z∪ {−∞},ϕ(x)<0, et une suite(xk)k∈Nxavec Nx={k∈Z, k > ϕ(x)},x0=x,xk∈Esi|k|est pair etxk ∈Fsi|k|est impair. Puis, on construith(x)∈F. Récurrence pourk≥0. Soitk≥0.
– Sikest pair ouk= 0, on prendxk+1=f(xk)(de sorte quexk+1∈F).
– Sikest impair, on prendxk+1=g(xk)(de sorte quexk+1∈E).
Récurrence pourk≤0. Soitk≤0,
– Si|k|est pair ouk= 0, on prendxk−1t.q.g(xk−1) =xksixk ∈Im(g)et on poseϕ(x) =k−1sixk6∈Im(g).
– Si|k|est impair, on prendxk−1t.q.f(xk−1) =xksixk ∈Im(f)et on poseϕ(x) =k−1sixk 6∈Im(f).
Enfin, si la récurrence précédente n’a pas définiϕ(x), on poseϕ(x) =−∞. On a bien ainsi construitϕ(x)et la suite(xk)k∈Nx.
On définit maintenanth(x)dansF. On distingue 3 cas.
1. Siϕ(x)∈Zavec|ϕ(x)|impair, on prendh(x) =f(x)(c’est-à-direh(x) =x1)
2. Siϕ(x)∈Zavec|ϕ(x)|pair, on prendh(x) =y, avecg(y) =x((c’est-à-direh(x) =x−1) 3. Siϕ(x) =−∞, on prendh(x) =f(x).
Montrer que l’applicationhainsi définie est une bijection deEdansF. Exercice 1.13 (Limites sup et inf d’ensembles) Corrigé 8 page 281 Soit(An)n∈Nune suite de parties d’un ensemble E. On note
lim inf
n→∞ An= [
n∈N
\
p≥n
Ap et lim sup
n→∞
An= \
n∈N
[
p≥n
Ap.
1. On suppose la suite(An)n∈Nmonotone, c’est-à-dire queAn ⊂An+1, pour toutn∈N, ou queAn+1 ⊂An, pour toutn∈N.
Que sontlim infn→∞Anetlim supn→∞An?
2. Même question que précédemment si la suite est définie par :A2p=AetA2p+1=B,p∈N, A et B étant deux parties données de E.
3. Montrer que :
1lim supn→∞An= lim sup
n→∞
1An, lim inf
n→∞ An ⊂lim sup
n→∞
An,
lim inf
n→∞ An={x∈E;
+∞
X
n=0
1Ac
n(x)<∞}, lim sup
n→∞
An={x∈E;
+∞
X
n=0
1An(x) =∞}.
Exercice 1.14 (Caractérisation des ouverts deR) (?)
On va montrer ici que tout ouvert deRest une union au plus dénombrable (c’est-à-dire finie ou dénombrable) d’intervalles ouverts disjoints deux à deux (la démonstration de ce résultat est donnée dans la démonstration du lemme 2.4 page 35). SoitOun ouvert deR. On définit, pourx, y∈O, la relation :xysi{tx+ (1−t)y, t∈ [0,1]} ⊂O. Vérifier queest une relation d’équivalence. Pourx∈O, on pose :A(x) ={y∈O;xy}.
1. Montrer que siA(x)∩A(y)6=∅, alorsA(x) =A(y).
2. Montrer que, pour toutx∈O,A(x)est un intervalle ouvert.
3. Montrer qu’il existeI⊂Odénombrable tel queO=S
x∈IA(x), avecA(x)∩A(y) =∅six, y∈Ietx6=y.
Chapitre 2
Tribus et mesures
2.1 Introduction... par les probabilités
2.1.1 Cas d’un problème “discret"
Pour introduire la série de définitions qui suivent, commençons par quelques exemples, tirés du calcul des pro- babilités. Le calcul des probabilités s’intéresse à mesurer la “chance" qu’un certain “événement", résultat d’une expérience, a de se produire. Considérons par exemple “l’expérience" qui consiste à lancer un dé. On appelle
“éventualité" associée à cette expérience un des résultats possibles de cette expérience, et “univers des possibles"
l’ensembleEde ces éventualités. Dans notre exemple, les éventualités peuvent être1,2,3,4,5ou6; on pourrait choisir aussi comme éventualités les résultats correspondant au “dé cassé". On peut donc tout de suite remarquer que l’ensembleEdes univers du possible dépend de la modélisation, c’est à dire de la formalisation mathématique que l’on fait du problème. Notons qu’il est parfois difficile de définir l’ensembleE.
A partir des éventualités, qui sont, par définition, les éléments de l’univers des possiblesE, on définit les “événe- ments", qui forment un ensemble de parties deE. Dans notre exemple du lancer de dé, l’ensemble des événements est l’ensemble des parties deE, notéP(E). Dans l’exemple du dé, la partie{2,4,6}deEest l’événement : “le résultat du lancer est pair". On appelle événement élémentaire un singleton, par exemple{6}dans notre exemple du lancer de dé, événement certain l’ensembleEtout entier, et l’événement “vide" l’ensemble vide∅(qui a donc une “chance" nulle de se réaliser). Pour mesurer “la chance" qu’a un événement de se réaliser, on va définir une applicationpde l’ensemble des événements (donc deP(E)dans notre exemple du lancer de dé) dans[0,1]avec certaines propriétés (qui semblent naturelles. . . ). La “chance" (ou probabilité) pour un événementA ⊂ Ede se réaliser sera donc le nombrep(A), appartenant à[0,1].
L’exemple du lancer de dé, que nous venons de considérer, est un problème discret fini, au sens ou l’ensemble Eest fini. On peut aussi envisager des problèmes discrets infinis, l’ensembleEest alors infini dénombrable (on rappelle qu’un ensembleIest “dénombrable" s’il existe une bijection deIdansN, il est “au plus dénombrable" s’il existe une injection deIdansN), ou des problèmes (parfois appelés “continus") oùEest infini non dénombrable.
2.1.2 Exemple continu
Considérons maintenant “l’expérience" qui consiste à lancer une balle de ping-pong sur une table de ping-pong.
SoitEl’ensemble des points de la table de ping-pong, on peut voirEcomme un sous-ensemble deR2, un évé- nement élémentaire est alors un point(x, y)∈E(le point d’impact de la balle), et un événement semble être une partie quelconqueAdeP(E). On suppose qu’on a effectué le lancer “sans viser", c’est à dire en supposant que
“n’importe quel point de la table a une chance égale d’être atteint" (les événements élémentaires sont “équipro- bables"), et que la balle tombe forcément sur la table (on est très optimiste. . . ). On se rend compte facilement que la probabilité pour chacun des points deEd’être atteint doit être nulle, puisque le nombre des points est infini. On peut aussi facilement “intuiter" que la probabilité pour une partieAd’être atteinte (dans le modèle “équiprobable") est le rapport entre la “surface deA" et la surface deE. La notion intuitive de “surface" correspond en fait à la notion mathématique de “mesure" que nous allons définir dans le prochain paragraphe. Malheureusement, comme on l’a dit dans le chapitre introductif, il ne nous sera pas mathématiquement possible de définir une application convenable, i.e. qui vérifie les propriétés (1.7)-(1.8) et qui “mesure" toutes les parties deR, ouR2, ou même du sous-ensembleEdeR2 (voir à ce sujet l’exercice 2.27). On va donc définir un sous-ensemble deP(E)(qu’on appelle “tribu") sur lequel on pourra définir une telle application. Dans le cas d’un ensemble fini, la tribu sera, en général,P(E)tout entier. Mais, dans le cas de la balle de ping-pong que vous venons de décrire, l’ensemble des événements sera une tribu strictement incluse dansP(E).
2.2 Tribu ou σ−algèbre
Définition 2.1 (Tribu ouσ−algèbre) SoientEun ensemble,T une famille de parties deE(i.e.T ⊂ P(E)). La familleT est une tribu (on dit aussi uneσ−algèbre) surEsiTvérifie :
1.∅ ∈T, E∈T,
2.T est stable par union dénombrable, c’est-à-dire que pour toute famille dénombrable (An)n∈N ⊂ T, on a
∪n∈NAn∈T.
3.T est stable par intersection dénombrable, c’est-à-dire que pour toute famille dénombrable(An)n∈N⊂T, on a∩n∈NAn∈T.
4.T est stable par passage au complémentaire, c’est-à-dire que pour toutA∈T, on aAc∈T (On rappelle que Ac=E\A).
Il est clair que, pour montrer qu’une partieTdeP(E)est une tribu, il est inutile de vérifier les propriétés 1-4 de la proposition précédente. Il suffit de vérifier par exemple∅ ∈T (ouE∈T), 2 (ou 3) et 4.
Exemples de tribus surE:{∅, E}etP(E)sont des tribus surE.
Définition 2.2 (Langage probabiliste) Soient E un ensemble quelconque (“l’univers des possibles") etT une tribu ; on appelle “éventualité" les éléments deE et “événements" les éléments deT. On appelle “événement élémentaire" un singleton deT.
On dit que deux événementsA, B∈Tsont incompatibles siA∩B=∅.
Proposition 2.1 (Stabilité par intersection des tribus)
SoientEetIdeux ensembles. Pour touti∈I, on se donne une tribu,Ti, surE. Alors, la famille (de parties deE)
∩i∈ITi={A⊂E;A∈Ti, pour touti∈I}est encore une tribu surE.
DÉMONSTRATION: La démonstration de cette proposition fait l’objet de la première question de l’exercice 2.2.
Cette proposition nous permet de définir ci-après la notion de tribu engendrée.
Définition 2.3 (Tribu engendrée) Soient E un ensemble etC ⊂ P(E). On appelle tribu engendrée par C la plus petite tribu contenantC, c’est-à-dire la tribuT(C)intersection de toutes les tribus surEcontenantC(cette intersection est non vide carP(E)est une tribu contenantC).
Il est parfois utile d’utiliser la notion d’algèbre, qui est indentique à celle de tribu en remplaçant “dénombrable"
par “finie".
Définition 2.4 (Algèbre) SoientEun ensemble,Aune famille de parties deE(i.e.A ⊂ P(E)). La familleAest une algèbre surEsiAvérifie :
1.∅ ∈ A, E∈ A,
2.Aest stable par union finie, c’est-à-dire que pour toutA, B∈ Aon aA∪B ∈ A.
3.Aest stable par intersection finie, c’est-à-dire que pour toutA, B∈ Aon aA∩B∈ A.
4.Aest stable par passage au complémentaire, c’est-à-dire que pour toutA∈ A, on aAc ∈ A.
Remarque 2.1 SoitE un ensemble etC ⊂ P(E). Comme pour les tribus, on peut définir l’algèbre engendrée parC. C’est la plus petite algèbre contenantC, c’est-à-dire l’intersection de toutes les algèbres contenantC(voir l’exercice 2.9).
SoitE un ensemble,C ⊂ P(E)etT(C)la tribu engendrée parC (voir la définition 2.3 et l’exercice 2.2). Il est important de remarquer que, contrairement à ce que l’on pourrait être tenté de croire, les éléments de la tribu engendrée parC ne sont pas tous obtenus, à partir des éléments deC, en utilisant les opérations : “intersection dénombrable", “union dénombrable" et “passage au complémentaire". Plus précisément, on pose :
R1(C) = {A⊂Et.q.A= [
n∈N
An, An∈ CouAcn∈ C}, R2(C) = {A⊂Et.q.A= \
n∈N
An, An∈ CouAcn∈ C}, R(C) = R1(C)∪ R2(C).
PrenonsE=RetCl’ensemble des ouverts deR(doncT(C)est la tribu borélienne deR, voir définition ci-après).
Il est facile de voir queR(C)⊂T(C), mais que, par contre (et cela est moins facile à voir),R(C)n’est pas une tribu. En posant :S0 =C, etSn =R(Sn−1), pourn≥1, on peut aussi montrer queS = [
n∈N
Snn’est pas une tribu (et queS ⊂T(C)).
Remarque 2.2 Soit E un ensemble et C1 ⊂ C2 ⊂ P(E). Il est alors facile de voir queT(C1) ⊂ T(C2)(cf.
Exercice 2.2).
SoitEun ensemble. On rappelle qu’une “topologie" surE est donnée par une famille de parties deE, appelées
“ouverts deE", contenant∅ etE, stable par union (quelconque) et stable par intersection finie. L’ensembleE, muni de cette famile de parties, est alors un “espace topologique".
Définition 2.5 (Tribu borélienne) SoitEun ensemble muni d’une topologie (un espace métrique, par exemple).
On appelle tribu borélienne (ou tribu de Borel) la tribu engendrée par l’ensemble des ouverts deE, cette tribu sera notéeB(E). Dans le casE=R, cette tribu est donc notéeB(R).
Remarque 2.3
1. L’objectif de la section 2.5 est de construire une applicationλ : B(R)→R+t.q. : (a)λ(]α, β[) =β−α,pour toutα, β∈Rα < β,
(b)λ(∪n∈NAn) = P
n∈Nλ(An), pour toute suite(An)n∈N ⊂ B(R)t.q.An∩Am= ∅sin 6=m. (Noter que
∪n∈NAn∈ B(R)grâce à la stabilité d’une tribu par union dénombrable.)
2. On peut se demander siB(R) = P(R). La réponse est non (voir les exercices 2.27 et 2.28). On peut même démontrer quecard(B(R)) = card(R)(alors quecard(P(R))>card(R)). On donne ci-après un rappel rapide sur les cardinaux (sans entrer dans les aspects difficiles de la théorie des ensembles, et donc de manière peut-être un peu imprécise).
3. Rappel sur les cardinaux. SoitAetBdeux ensembles.
(a) On dit quecard(A) = card(B)si il existe une applicationϕ : A→B, bijective.
Pour montrer que deux ensembles ont même cardinaux, il est souvent très utile d’utiliser le théorème de Bernstein (voir l’exercice 1.12) qui montre que s’il existe une injection deAdansB et une injection deB dansA, alors il existe une bijection deAdansB (et donccard(A) = card(B)). Le théorème de Bernstein motive également la définition suivante.
(b) On dit quecard(A)≤card(B)s’il existeϕ : A→B, injective.
(c) Un autre théorème intéressant, dû à Cantor, donne que, pour tout ensembleX, on acard(X)<card(P(X)) (c’est-à-direcard(X)≤card(P(X))etcard(X)6= card(P(X))). On a donc, en particulier,card(P(R))>
card(R). La démonstration du théorème de Cantor est très simple. Soitϕ : X → P(X). On va montrer que ϕne peut pas être surjective. On poseA ={x∈X;x6∈ ϕ(x)}(Apeut être l’ensemble vide). Supposons queA∈Im(ϕ). Soit alorsa∈Xt.q.A=ϕ(a).
Sia∈A=ϕ(a), alorsa6∈Apar définition deA.
Sia6∈A=ϕ(a), alorsa∈Apar définition deA.
On a donc montré queAne peut pas avoir d’antécédent (parϕ) et doncϕn’est pas surjective.
Proposition 2.2 On noteC1 l’ensemble des ouverts deR, C2 = {]a, b[,a, b ∈ R, a < b} et C3 = {]a,∞[, a∈R}. AlorsT(C1) =T(C2) =T(C3) =B(R). (Noter que d’autres caractérisations deB(R), semblables, sont possibles.)
DÉMONSTRATION: On a, par définition deB(R),T(C1) =B(R). On va démontrer ci-après queT(C1) =T(C2) (le fait queT(C2) =T(C3)est laissé au lecteur).
Comme C2 ⊂ C1, on a T(C2) ⊂ T(C1). Il suffit donc de démontrer l’inclusion inverse. On va montrer que C1⊂T(C2), on aura alors queT(C1)⊂T(C2).
SoitO un ouvert deR. On supposeO 6= ∅ (on sait déjà que∅ ∈ T(C2)). Le lemme 2.1 ci-après nous donne l’existence d’une famille(In)n∈A d’intervalles ouverts t.q.A ⊂ NetO = ∪n∈AIn. Noter qu’on a aussiO =
∪n∈NInen posantIn =∅sin∈N\A. CommeIn∈ C2⊂T(C2)pour toutn∈Aet∅ ∈T(C2), on en déduit, par stabilité dénombrable d’une tribu, queO∈T(C2). Donc,C1 ⊂T(C2)et doncT(C1)⊂T(C2). On a bien montré queT(C1) =T(C2).
Lemme 2.1 Tout ouvert non vide deRest réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts bornés.
DÉMONSTRATION: SoitOun ouvert deR,O 6=∅. On poseA={(β, γ)∈Q2;β < γ,]β, γ[⊂O}. On a donc
∪(β,γ)∈A]β, γ[⊂O. On va montrer queO⊂ ∪(β,γ)∈A]β, γ[(et donc queO=∪(β,γ)∈A]β, γ[).
Soitx∈O, il existeαx>0t.q.]x−αx, x+αx[⊂O. En prenantβx∈Q∩]x−αx, x[etγx∈Q∩]x, x+αx[(de telsβxetγxexistent) on a doncx∈]βx, γx[⊂Oet donc(βx, γx)∈A. D’oùx∈]βx, γx[⊂ ∪(β,γ)∈A]β, γ[. On a
bien montré queO⊂ ∪(β,γ)∈A]β, γ[et donc queO=∪(β,γ)∈A]β, γ[. CommeQ2est dénombrable,Aest au plus dénombrable et le lemme est démontré.
On peut aussi montrer que tout ouvert non vide est réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts disjoints deux à deux (cf. le lemme 2.4 page 35).
Définition 2.6 (Espace et partie mesurable ou probabilisable)
Soient E un ensemble, etT une tribu surE. Le couple(E, T)est appelé “espace mesurable" ou (en langage probabiliste !) “espace probabilisable". Les parties deEqui sont (resp. ne sont pas) des éléments deTsont dites mesurables ou probabilisables (resp. non mesurables, non probabilisables).
2.3 Mesure, probabilité
Définition 2.7 (Mesure) Soit(E, T)un espace mesurable. On appelle mesure une application m : T → R+
(avecR+=R+∪(+∞)) vérifiant : 1.m(∅) = 0,
2.mestσ-additive, c’est-à-dire que pour toute famille(An)n∈N⊂Tde parties disjointes deux à deux (i.e. t.q.An
∩Am=∅, sin6=m) on a :
m([
n∈N
An) =X
n∈N
m(An). (2.1)
Remarque 2.4
1. Dans la définition précédente on a étendu àR+l’addition dansR+. On a simplement poséx+ (+∞) = +∞, pour toutx∈ R+. Noter également que la somme de la série dans la définition précédente est à prendre dans R+et que, bien sûr,a=P
n∈Nansignifie simplement quePn
p=0ap→a(dansR+) quandn→ ∞.
2. Soientx, y, z∈R+. Remarquer quex+y=x+zimpliquey=zsix6= +∞.
3. Dans la définition précédente, la condition1.peut être remplacée par la condition :∃ A∈T, m(A)<∞.La vérification de cette affirmation est laissée au lecteur attentif.
4. Il est intéressant de remarquer que, pour une série à termes positifs, l’ordre de sommation est sans importance.
Plus précisément, si(an)n∈N⊂R+et siϕest une bijection deNdansN, on aP
n∈Nan=P
n∈Naϕ(n). C’est l’objet du lemme 2.2.
5. Une conséquence immédiate de laσ-additivité est l’additivité, c’est-à-dire que m(∪np=0Ap) =
n
X
p=0
m(Ap)
pour toute famille finie(Ap)p=0,...,nd’éléments deT, disjoints 2 à 2. L’additivité se démontre avec laσ-addi- tivité en prenantAp=∅pourp > ndans (2.1).
6. Dans le casE =RetT =P(R), il est facile de construire des mesures surT, mais il n’existe pas de mesure surT, notéem, telle quem(]a, b[) =b−apour touta, b∈R,a < b(voir les exercices 2.28 et 2.27). Une telle mesure existe si on prend pourT la tribu borélenne deR, c’est l’objet de la section 2.5.
Lemme 2.2 Soit(an)n∈N⊂R+et soitϕ : N→Nbijective. AlorsP
n∈Nan=P
n∈Naϕ(n).
DÉMONSTRATION: On pose
A=X
n∈N
an(= lim
n→∞
n
X
p=0
ap)etB=X
n∈N
aϕ(n)(= lim
n→∞
n
X
p=0
aϕ(p)).
Noter queA, B∈R+. On veut montrer queA=B.
On montre d’abord queB ≤ A. Soitn ∈ N. On poseN = max{ϕ(0), . . . , ϕ(n)}. Commeaq ≥ 0 pour tout q∈N, on aPn
p=0aϕ(p)≤PN
p=0ap≤A. On en déduit, faisant tendrenvers∞queB≤A.
En raisonnant avec l’inverse deϕon a aussiA≤Bet finalementA=B.
Définition 2.8 (Mesure finie) SoientEun ensemble etT une tribu surE. On appelle mesure finie une mesure m surTtelle quem(E)<∞.
Définition 2.9 (Probabilité) SoientEun ensemble etT une tribu surE. On appelle probabilité une mesurepsur T t.q.p(E) = 1.
Définition 2.10 (Espace mesuré, espace probabilisé) SoientEun ensemble,Tune tribu surEetmune mesure (resp. une probabilité) surT. Le triplet(E, T, m)est appelé “espace mesuré" (resp. “espace probabilisé").
Définition 2.11 (Mesureσ-finie) Soit(E, T, m)un espace mesuré, on dit quemestσ-finie (ou que(E, T, m)est σ-fini) si :
∃(An)n∈N⊂T, m(An)<∞, ∀n∈N, et E= [
n∈N
An. (2.2)
Exemple 2.1 (Mesure de Dirac) SoientE un ensemble,T une tribu surEeta∈E. On définit surT la mesure δapar (pourA∈T) :
δa(A) = 0, sia /∈A, (2.3)
δa(A) = 1, sia∈A. (2.4)
On peut remarquer que la mesure de Dirac est une probabilité.
Remarque 2.5 (Comment choisir la probabilité) Soit(E, T)un espace probabilisable, on peut évidemment dé- finir plusieurs probabilités surT. C’est tout l’art de la modélisation que de choisir une probabilité qui rende compte du phénomène aléatoire que l’on veut observer. On se base pour cela souvent sur la notion de fréquence, qui est une notion expérimentale à l’origine. SoitA ∈ T un événement, dont on cherche à évaluer la probabilitép(A).
On effectue pour celaN fois l’expérience dont l’univers des possibles estE, et on noteNAle nombre de fois où l’événementAest réalisé. ANfixé, on définit alors lafréquencefA(N)de l’événementApar :
fA(N) =NA
N .
Expérimentalement, il s’avère que fN(A)admet une limite lorsque N → +∞. C’est ce qu’on appelle la “loi empirique des grands nombres". On peut donc définir “expérimentalement"p(A) = limN→+∞fN(A). Cependant, on n’a pas ainsi démontré quepest une probabilité : il ne s’agit pour l’instant que d’une approche intuitive. On démontrera plus loin la loi forte des grands nombres, qui permettra de justifier mathématiquement la loi empirique.
On peut remarquer quefN(E) = NN = 1. . .
