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Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin
To cite this version:
Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin. Mesure, intégration, probabilités. 2013, pp.600. �cel-00637007v2�
MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES
Thierry Gallouët Raphaèle Herbin 3 février 2013
Avant-propos
L’objectif de ce livre est de donner une vue d’ensemble de la théorie de la mesure, de l’intégration et des probabilités correspondant à un niveau de troisième année de licence ou de première année de master (en mathématiques).
La lecture de ce livre requiert la connaissance des notions d’analyse réelle, d’algèbre linéaire et de calcul différentiel enseignées en première et deuxième année de licence de mathématiques dans la plupart des universités françaises.
Nous nous sommes attachés à introduire le vocabulaire de la théorie des probabilités en parallèle à celui de l’analyse. Nous espérons ainsi faciliter l’accès conjoint à des études ultérieures dans ces deux branches des mathématiques, ce qui semble devenir indispensable aux mathématiciens se formant en vue d’appliquer ces théories.
Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300 sont proposés dans ce livre, certains sont des applications directes du cours, d’autres contiennent des développements importants. Plus de 250 d’entre eux sont assortis d’un corrigé détaillé.
Ce livre, issu d’un polycopié de cours amélioré et complété sur plus de 20 ans, a bénéficié de nombreuses remarques ou questions de nos étudiants et de discussions avec nos collègues (en particulier probabilistes). Nous tenons à les en remercier chaleureusement.
Une liste d’errata sera régulièrement mise à jour sur les sites web des auteurs.
Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin
Table des matières
1 Motivation et objectifs 9
1.1 Intégrale des fonctions continues . . . 9
1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues . . . 11
1.3 Les probabilités . . . 14
1.4 Objectifs . . . 15
1.5 Structure du cours . . . 15
1.6 Exercices . . . 16
2 Tribus et mesures 35 2.1 Introduction . . . 35
2.2 Tribu ouσ−algèbre . . . 36
2.3 Mesure, probabilité . . . 41
2.4 Mesure signée . . . 48
2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens . . . 52
2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle . . . 63
2.7 Exercices . . . 69
3 Fonctions mesurables, variables aléatoires 109 3.1 Introduction, topologie surR+ . . . 109
3.2 Fonctions étagées . . . 111
3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires . . . 113
3.4 Mesure image, loi d’une v.a., v.a. indépendantes . . . 120
3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité . . . 123
3.6 Exercices . . . 127
4 Fonctions intégrables 157 4.1 Intégrale d’une fonction étagée positive . . . 158
4.2 Intégrale d’une fonction mesurable positive . . . 160
4.3 Convergence monotone et lemme de Fatou . . . 165
4.4 Mesures et probabilités de densité . . . 168
4.5 L’espaceL1des fonctions intégrables . . . 170
4.6 L’espaceL1 . . . 174
4.7 Théorèmes de convergence dansL1 . . . 177
4.8 Continuité et dérivabilité sous le signe d’intégration . . . 183
4.9 Espérance et moments des variables aléatoires . . . 185
4.10 EspaceL1 C(E,T, m)et espaceL1 RN(E,T, m) . . . 189
4.11 Exercices . . . 192
5 Intégrale sur les boréliens deR 243 5.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues . . . 243
5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . 245
5.3 Changement de variable, densité et continuité . . . 252
5.4 Intégrales impropres des fonctions deRdansR . . . 256
5.5 Exercices . . . 256
6 Les espacesLp 275 6.1 Définitions et premières propriétés . . . 275
6.2 Analyse hilbertienne et espaceL2 . . . 288
6.3 Dualité dans les espacesLp,1≤p≤ ∞ . . . 310
6.4 Convergence faible, faible-∗, étroite, en loi . . . 319
6.5 Exercices . . . 330
7 Produits d’espaces mesurés 411 7.1 Motivation . . . 411
7.2 Mesure produit . . . 412
7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini . . . 417
7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens deRN . . . 422
7.5 Convolution . . . 425
7.6 Formules de changement de variable . . . 430
7.7 Exercices . . . 433
8 Densité, séparabilité et compacité 465 8.1 Théorèmes de densité pour les espacesLp(Ω) . . . 465
8.2 Séparabilité deLp(Ω) . . . 470
8.3 Compacité dans les espacesLp(Ω) . . . 471
8.4 Compacité faible-∗ . . . 472
8.5 Exercices . . . 475
9 Vecteurs aléatoires 487 9.1 Définition, propriétés élémentaires . . . 487
9.2 Indépendance . . . 493
TABLE DES MATIÈRES
9.3 Vecteurs gaussiens . . . 497
9.4 Exercices . . . 498
10 Transformation de Fourier 513 10.1 Introduction et notations . . . 513
10.2 Transformation de Fourier dansL1 . . . 514
10.3 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . 518
10.4 Transformation de Fourier dansL2 . . . 521
10.5 Résolution d’une E.D.O ou d’une E.D.P . . . 523
10.6 Fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire . . . 524
10.7 Exercices . . . 531
11 Espérance conditionnelle et martingales 549 11.1 Espérance conditionnelle . . . 549
11.2 Martingales . . . 558
11.3 Exercices . . . 561
Références 595
Index 596
Chapitre 1
Motivation et objectifs
Nous commençons par donner ici un aperçu des motivations de la théorie de l’intégra- tion, en montrant d’abord les limitations de l’intégrale des fonctions continues (sur un intervalle compact deR). L’intégrale de Riemann possède essentiellement les mêmes limitations.
1.1 Intégrale des fonctions continues
Nous présentons ici quelques rappels sur l’intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact deR. Nous montrons pourquoi cette théorie de l’intégrale des fonctions continues semble insuffisante.
Nous nous limitons dans ce paragraphe à l’étude des fonctions définies sur l’intervalle [0,1] à valeurs dansR, par souci de simplicité des notations. Il va de soi que les notions introduites se généralisent à une intervalle[a, b], a, b∈R. Nous allons en fait définir l’intégrale des fonctions réglées (on appelle fonction réglée une fonction qui est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier). Ceci nous donnera l’intégrale des fonctions continues car toute fonction continue est réglée. La définition de l’intégrale des fonctions réglées (comme celle de l’intégrale de Riemann, qui est rappelée dans l’exercice 5.2, et celle de l’intégrale de Lebesgue, qui fait l’objet du chapitre 4) peut être vue en 3 étapes, que nous esquissons ici et qui sont étudiées en détail dans l’exercice 1.2 :
1.Mesurer les intervalles de[0,1].Pour0≤α≤β≤1, on posem(]α,β[) =β−α.
2.Intégrer les fonctions en escalier.
Définition 1.1 (Fonction en escalier) Soitgune fonction de l’intervalle[0,1]⊂R dansR; on dit quegest une fonction en escalier si il existep∈N∗, une famille
ap−1
x0= 0 x1 x2 x3 xp−1 xp= 1 g(x)
x a2
a3 a0 a1
FIGURE1.1 – Fonction en escalier
(xi)i∈{0,...,p}, avec :x0= 0,xi < xi+1, pour touti ∈ {0, . . . , p−1}, xp = 1, et une famille(ai)i∈{0,...,p−1}⊂Rtels que
g(x) =ai, ∀x∈]xi, xi+1[, ∀i∈ {0, . . . , p−1}.
Avec les notations de cette définition, l’intégrale d’une fonction en escalier est alors Z 1
0
g(x)dx=
p−1
X
i=0
aim(]xi, xi+1[). (1.1) On montre que la définition précédente est bien cohérente, au sens où l’intégrale de gne dépend que du choix deget non du choix desxi.
3.Passer à la limite. Soit f :[0,1] → R, une fonction réglée, il existe une suite (fn)n∈Nde fonctions en escalier convergeant uniformément versf. On poseIn= Z 1
0
fn(x)dx.On peut montrer que la suite(In)n∈Nest de Cauchy. On pose alors Z1
0
f(x)dx= lim
n→+∞In.
On montre que cette définition est cohérente carlimn→+∞Inne dépend que def et non du choix de la suite(fn)n∈N.
Remarque 1.2 (Intégrale sur un espace de Banach) Un des intérêts de la méthode présentée ci-dessus est qu’elle permet aussi de définir (sans travail supplémentaire) l’intégrale de fonctions continues de[0,1](ou d’un intervalle compact deR) dans
1.2. INSUFFISANCE DE L’INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES 11 E, oùEest un espace de Banach 1surRouC(la méthode de construction utilise la structure d’espace de Banach deE, et il peut ne pas y avoir de relation d’ordre surE).
On remplace donc l’espace d’arrivéeRdes fonctions qu’on intègre par un espace de BanachE.
Les méthodes de Riemann (voir l’exercice 5.2) et de Lebesgue (présentée dans ce cours) sont limitées à des fonctions prenant leurs valeurs dansRcar elles utilisent fortement la relation d’ordre dansR(elles redonnent, dans le cas de fonctions continues de[0,1]dansR, la même intégrale que ci-dessus). Pour l’intégrale de Lebesgue, il faut alors un travail supplémentaire pour développer une théorie de l’intégration pour des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace de Banach (on l’appelle souvent intégrale de Bochner). Plus précisément, ce travail supplémentaire est nécessaire lorsque cet espace est de dimension infinie. Le cas où l’espace est de dimension finie reste simple car on est alors amené à considérer un nombre fini d’intégrales à valeurs dansR, [3, 4].
1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues
Dans ce paragraphe, on note El’ensemble C([0,1],R) des fonctions continues de [0,1]dansR. On a défini dans le paragraphe précédent l’intégraleR1
0f(x)dxpour toutf ∈E(car l’ensemble des fonctions continues est contenu dans l’ensemble des fonctions réglées).
Théorèmes de convergence.
Un inconvénient important de la théorie de l’intégration exposée ci-dessus est que les théorèmes “naturels” de convergence pour cette théorie sont peu efficaces. A vrai dire, le seul théorème simple est un résultat de convergence de l’intégrale sous hypothèse de convergence uniforme d’une suite de fonctions. Rappelons tout d’abord les notions de convergence simple et uniforme des suites de fonctions.
Définition 1.3 (Convergence simple et uniforme) Soit(fn)n∈Nune suite de fonctions deE,
• (fn)n∈Nconverge simplement versf lorsquen→+∞si :
∀ε>0,∀x∈[0,1],∃N(ε, x);n≥N(ε, x)⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ε;
• (fn)n∈Nconverge uniformément versf si :
∀ε>0,∃N(ε);n≥N(ε), x∈[0,1]⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ε.
1. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Pour la convergence simple, l’entierNpeut dépendre dex, alors que pour la conver- gence uniforme, il ne dépend que deε, et pas dex. La suite(fn)n∈Nd’éléments deE définie parfn(x) =xn tend simplement et uniformément (sur[0,1]) vers0. On donne à l’exercice 1.1 un exemple de suite qui converge simplement mais pas uniformément.
On rappelle maintenant le théorème classique de convergence de l’intégrale des fonctions continues :
Théorème 1.4 (Convergence de l’intégrale des fonctions continues) Soient(fn)n∈N⊂Eetf ∈E. On a alors :
[fn−→f uniformément lorsquen→+∞] =⇒
"Z 1 0
fn(x)dx→ Z1
0
f(x)dxlorsquen→+∞
# .
Ce théorème est assez faible, au sens où l’hypothèse de convergence uniforme est une hypothèse forte. Une conséquence de la théorie de l’intégrale de Lebesgue est le théorème suivant (beaucoup plus fort que le précédent, car il ne demande pas d’hypothèse de convergence uniforme) :
Théorème 1.5 (Convergence dominée de l’intégrale des fonctions continues) Soient(fn)n∈N⊂E, etf ∈E. On suppose que
|fn(x)| ≤C,∀x∈[0,1],∀n∈N,
oùC∈R+ est fixé, et quefn tend simplement versf quandntend vers+∞. On a
alors : Z1
0
fn(x)dx→ Z 1
0
f(x)dxquandn→+∞. (1.2)
Par exemple, la suite de fonctions(fn)n≥0définie par fn(x) =
nx pourx∈[0,1n], n(2n−x) pourx∈]1n,2n], 0 pourx∈x∈]2n,1].
(1.3) (voir figure 1.2) converge simplement mais non uniformément. Elle est dominée par 1, et d’après le théorème 1.5, elle converge. On peut le vérifier à la main, car l’intégrale defnest facile à calculer et vaut1n. Par contre, la suite de fonctions(gn)n≥0définie par gn(x) =nfn(x)converge toujours simplement mais non uniformément, mais elle n’est plus “dominée”. Et de fait,gntend simplement vers 0, mais par contre, son intégrale vaut1et ne tend donc pas vers 0.
1.2. INSUFFISANCE DE L’INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES 13
gn(x)
1
n 2n 1
1 n
fn(x)
FIGURE1.2 – Les fonctionsfnetgn
Le théorème 1.5 est une conséquence im- médiate du théorème de convergence do- minée de Lebesgue, que nous verrons au chapitre 4, il peut être démontré direc- tement, sans utiliser la théorie de l’inté- grale de Lebesgue, mais cela est difficile : nous donnons une technique possible à l’exercice 1.10 ; l’idée essentielle est un passage à la limite sur des suites crois- santes de fonctions, qui se retrouve égale- ment dans la construction de l’intégrale de Lebesgue. Dans l’exercice 1.10, on introduit des suites croissantes de fonc- tions continues, et on utilise l’intégrale des fonctions continues. En revanche, Lebesgue utilise des suites croissantes de fonc- tions étagées (voir définition 3.5), ce qui permet également d’utiliser la définition de la mesure et donc de s’affranchir de la notion de topologie (voir définition 2.8) sur l’espace de départ pour construire l’intégrale.
Espaces non complets.
Pourf ∈Eon pose (en remarquant que|f| ∈Eetf2∈E) : N1(f) =
Z1
0
|f(x)|dx et N2(f) =Z 1
0
(f(x))2dx12 .
Les applicationsN1 etN2 sont des normes surE(voir l’exercice 1.6). Malheureu- sement l’espace E muni de la norme N1 (ou de la norme N2) n’est pas vraiment intéressant en pratique, en particulier parce que cet espace n’est pas complet (c’est-à- dire qu’une suite de Cauchy n’est pas nécessairement convergente). Ce n’est pas un espace de Banach. La normeN2surEest induite par un produit scalaire mais, muni de cette norme,En’est pas un espace de Hilbert1, voir l’exercice 1.6. En fait l’espace vectoriel des fonctions continues de[0,1]dansRest intéressant lorsqu’il est muni de la norme de la convergence uniforme, c’est-à-direkfku= supx∈[0,1]|f(x)|, avec laquelle il est complet : c’est donc alors un espace de Banach.
Si l’on travaille avec l’ensemble des fonctions réglées plutôt que l’ensemble des fonc- tions continues, on n’échappe pas vraiment aux inconvénients cités précédemment (N1 etN2sont d’ailleurs alors des semi–normes). On peut aussi généraliser la définition de l’intégrale ci-dessus en améliorant un peu l’étape 3 (passage à la limite), cette généralisation se fait en introduisant les sommes de Darboux , alors que l’intégrale des fonctions continues peut être définie en utilisant seulement les sommes de Riemann).
1. Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire.
On obtient ainsi la définition de l’intégrale des fonctions dites Riemann-intégrables (voir l’exercice 5.2). En fait cette généralisation est assez peu intéressante, et les inconvénients sont les mêmes que pour l’intégrale des fonctions continues (ou des fonctions réglées).
L’intégrale de Lebesgue va nous permettre de construire des espaces de Banach avec les normesN1etN2(et même de Hilbert avecN2). Dans le cas des fonctions de[0,1]
dansR, ceci pourrait être fait par un procédé de complétion de l’espaceEmuni de la normeN1ouN2à partir des suites de Cauchy pourN1ouN2(procédé semblable à celui qui est utilisé pour construireRà partir des suites de Cauchy deQ). L’intégrale de Lebesgue va permettre de construire des espaces de Banach en utilisant seulement sur l’espace de départ une structure d’espace mesuré. Cette méthode est en particulier très intéressante pour la théorie des probabilités.
1.3 Les probabilités
La théorie des probabilités s’est développée dans le but de modéliser les phénomènes aléatoires, c’est-à-dire de développer un formalisme mathématique pour exprimer les problèmes posés par ces phénomènes. Le terme aléatoire vient du latinaleaqui signifie en latin jeu de dé ou jeu de hasard ; il est employé pour désigner tous les phénomènes qui semblent être dus au hasard. Il s’oppose au terme déterministe, qui s’applique aux phénomènes dont on connaît l’issue. Le mot hasard vient lui même du mot arabe al-zhar qui veut dire dés, puis par extension chance. On utilisera également le mot stochastique (du grec stokhastikos, qui vise bien) qui est un synonyme d’aléatoire. En anglais, les termes utilisés en théorie des probabilités sont random (hasard, qui vient du français randonnée !) stochastic et aleatory.
Par exemple, la chute d’un corps est un phénomène déterministe : pour une position et une vitesse initiale données, on sait parfaitement quelle sera la trajectoire et la vitesse du corps soumis à son poids. Le lancer d’un dé est assimilable à la chute d’un corps, et pourtant, le résultat du lancement du dé est généralement perçu comme aléatoire : on ne sait pas avant l’expérience quel est le nombre entre 1 et 6 que l’on va obtenir, parce qu’on ne connaît pas vraiment les conditions initiales du lancement du dé (position, vitesse) et que, même si on les connaissait, on aurait du mal à calculer rapidement le résultat de ce lancement. Ainsi, de nombreux phénomènes physiques qui ont des causes déterministes sont modélisés à l’aide de modèles au moins en partie aléatoires (en météorologie par exemple). Il existe cependant des phénomènes physiques véritablement aléatoires comme l’interférence d’atomes dans un dispositif à deux fentes d’Young, et de manière plus générale, les phénomènes quantiques (voir à ce sujet le livre grand public [7]).
Une partie importante des phénomènes aléatoires est de nature discrète, c’est-à-dire qu’il existe une injection de l’ensemble des “cas possibles” dansN. Lorsque de plus
1.4. OBJECTIFS 15 l’ensemble des “cas possibles” ou des “éventualités” est fini, le calcul des probabilités se ramène à des problèmes de dénombrement. Par contre, lorsque l’ensemble des
“éventualités” est de nature infinie non-dénombrable, on aura besoin, pour définir une probabilité, de la théorie de la mesure. Les liens qui existent entre la théorie des probabilités et la théorie de la mesure et de l’intégration sont nombreux, mais malheureusement, le vocabulaire est souvent différent. Nous essaierons ici de montrer clairement les liens entre les deux théories et de donner systématiquement les termes probabilistes et analystes employés pour les mêmes notions.
1.4 Objectifs
Du point de vue de l’intégration, l’objectif est de construire une théorie de l’intégration donnant des théorèmes de convergence efficaces et de bons espaces fonctionnels, c’est- à-dire des espaces vectoriels normés complets et des espaces hilbertiens. La démarche pour construire cette théorie est décrite au chapitre 4 ; elle est voisine de celle que l’on a utilisée pour l’intégrale des fonctions réglées (ou pour l’intégrale de Riemann, cf.
Exercice 5.2).
La théorie de l’intégration que nous allons ainsi obtenir contient, pour les fonctions d’un intervalle compact deRdansR, la théorie de l’intégrale de Riemann (cf. Exercice 5.2) qui contient elle-même la théorie de l’intégrale des fonctions réglées (et donc la théorie de l’intégrale des fonctions continues).
Du point de vue probabiliste, l’objectif est d’introduire les notions de base et de mettre en évidence les liens entre les outils d’analyse et les outils probabilistes.
1.5 Structure du cours
Ce cours est formé de 11 chapitres (y compris ce chapitre introductif), selon le découpage suivant :
– Le chapitre 2 est une introduction à la théorie de la mesure ; on y définit en particulier l’applicationλnécessaire pour mesurer les parties deR. On y introduit aussi les premières notions de probabilités.
– Dans le chapitre 3, on introduit le concept de fonction mesurable, et son syno- nyme probabiliste,i.e.le concept de variable aléatoire, qui est une notion fonda- mentale pour le calcul des probabilités. On y définit les notions de convergence presque partout et son synonyme probabiliste presque sûre, et de convergence en mesure et son synonyme probabiliste convergence en probabilité.
– On définit au chapitre 4 l’intégrale sur un espace mesuré (suivant les étapes 1 à 3 définies plus haut), et l’espérance des variables aléatoires réelles en théorie
des probabilités. On définit également dans ce chapitre la notion de convergence en moyenne.
– On s’intéresse au chapitre 5 aux mesures définies sur les boréliens deR(c’est- à-dire les parties mesurables au sens de Borel, que l’on aura définie au chapitre 2) et aux propriétés particulières de l’intégrale définies surR. On y étudie les lois de probabilités de densité.
– On étudie au chapitre 6 les espacesLp, ensembles des (classes de) fonctions mesurables de puissancep–ième intégrable, et plus particulièrement l’espaceL2, qui est un espace de Hilbert. On donne des résultats de dualité et on introduit les notions de convergence faible et de convergence étroite (pour les probabilités).
– Le chapitre 7 est consacré au produits d’espaces mesurés, à l’intégration de fonctions de plusieurs variables, au produit de convolution.
– Dans le chapitre 8, on revient sur l’étude des espacesLpdans le cas particulier de la mesure de Lebesgue sur les boréliens d’un ouvert deRN. On donne des résultats de densité, de séparabilité et de compacité.
– Le chapitre 9 est consacré aux vecteurs aléatoires. On y généralise des notions vues pour les variables aléatoires réelles.
– Le chapitre 10 est consacré à l’étude de la transformée de Fourier des fonctions deL1(classes de fonctions mesurables intégrables au sens de Lebesgue sur RN) et deL2(classes de fonctions mesurables de carré intégrable au sens de Lebesgue surRN) et des mesures. On introduit la fonction caractéristique de la théorie des probabilités.
– Le chapitre 11 est consacré à l’espérance conditionnelle et aux martingales.
1.6 Exercices
Exercice 1.1 (Convergences simple et uniforme) Construire une suite (fn)n∈N ⊂ C([0,1],R) etf ∈ C([0,1],R) telles que fn →f simplement, quand n→+∞, et fn6→f uniformément, quandn→+∞.
Corrigé– On prend la fonction définie par(1.3), voir figure 1.2, qu’on rappelle : fn(x) =
nx pourx∈[0,1n], n(2n−x) pourx∈]1n,n2], 0 pourx∈x∈]2n,1].
On a(fn)n∈N⊂C([0,1],R). Pour toutx∈[0,1], on a bienfn(x)→0quandn→+∞. Enfin(fn)n∈Nne tend pas uniformément vers0carkfnku= max{|fn(x)|;x∈[0,1]}= 1 6→0, quandn→+∞.
1.6. EXERCICES 17 Exercice 1.2 (Intégrale d’une fonction continue) Une fonctiong : [0,1]→Rest dite “en escalier” s’il existen≥1etx0, . . . , xntels que0 =x0< x1< ... < xn−1< xn= 1etg constante sur chaque intervalle]xi, xi+1[,0≤i≤n−1.
Pourgen escalier etx0, . . . , xncomme dans la définition ci-dessus, on pose Z1
0
g(x)dx=
n−1
X
i=0
ai(xi+1−xi),
oùai est la valeur prise parg sur]xi, xi+1[.
1. Montrer que la définition précédente est bien cohérente, c’est-à-dire que l’intégrale degne dépend que du choix deget non du choix desxi. Montrer que l’application qui àgassocie l’intégrale degest linéaire de l’ensemble des fonctions en escalier dansR.
Corrigé– Soitn≥1etx0, . . . , xn tels que0 =x0< x1< ... < xn−1< xn= 1etg constante sur chaque intervalle]xi, xi+1[,0≤i≤n−1. On noteaiest la valeur prise pargsur]xi, xi+1[.
Soit égalementm≥1ety0, . . . , ym tels que0 =y0< y1< ... < ym−1< ym= 1etg constante sur chaque intervalle]yi, yi+1[,0≤i≤m−1. On notebi est la valeur prise pargsur]yi, yi+1[.
On doit montrer que
n−1
X
i=0
ai(xi+1−xi) =
m−1
X
i=0
bi(yi+1−yi).
On considère l’union des pointsxi et des pointsyi, c’est-à-dire quez0, . . . , zpsont tels que0 =z0< z1< ... < zp−1< zp= 1et{zi,i∈ {0, . . . , p}}={xi,i∈ {0, . . . , n}} ∪ {yi, i∈ {0, . . . , m}}(on a donc, en particulier,p≥max{m, n}). On noteci est la valeur prise pargsur]zi, zi+1[.
Pour touti∈ {0, . . . , n}, il existeki ∈ {0, . . . , p}tel quexi =zki(en particulier,k0= 0 etkn=p) et on a donc
xi+1−xi=
ki+1−1
X
j=ki
(zj+1−zj).
Commeai=cjsiki≤j≤ki+1−1(car]zj, zj+1[⊂]xi, xi+1[), on en déduit
n−1
X
i=0
ai(xi+1−xi) =
n−1
X
i=0 ki+1−1
X
j=ki
cj(zj+1−zj) =
p−1
X
i=0
ci(zi+1−zi).
De la même manière, on a
m−1
X
i=0
bi(yi+1−yi) =
p−1
X
i=0
ci(zi+1−zi), d’où l’on conclut
n−1
X
i=0
ai(xi+1−xi) =
m−1
X
i=0
bi(yi+1−yi).
On a bien montré que l’intégrale degne dépend que du choix deget non du choix desxi.
On montre maintenant que l’application qui àgassocie l’intégrale degest linéaire de l’ensemble des fonctions en escalier dansR(cet ensemble est bien un espace vectoriel surR).
Soitg ethdeux fonctions en escalier etα,β∈R. Soitn≥1etx0, . . . , xn tels que 0 =x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = 1etg constante sur chaque intervalle]xi, xi+1[, 0≤i≤n−1. Soit égalementm≥1ety0, . . . , ymtels que0 =y0< y1< ... < ym−1<
ym= 1ethconstante sur chaque intervalle]yi, yi+1[,0≤i≤m−1. On considère ici encore l’union des pointsxi et des pointsyi, c’est-à-dire quez0, . . . , zpsont tels que0 =z0< z1< ... < zp−1< zp= 1et{zi,i∈ {0, . . . , p}}={xi,i∈ {0, . . . , n}} ∪ {yi, i∈ {0, . . . , m}}. Les fonctionsg,hetαg+βhsont donc constantes sur chaque intervalle ]zi, zi+1[(ceci montre d’ailleurs queαg+βhest bien une fonction en escalier et donc que l’ensemble des fonctions en escalier est bien un espace vectoriel surR). En notant ai la valeur degsur]zi, zi+1[etbila valeur dehsur]zi, zi+1[, on obtient :
Z 1 0
g(x)dx=
p−1
X
i=0
ai(zi+1−zi), Z1
0
h(x)dx=
p−1
X
i=0
bi(zi+1−zi).
On en déduit que α
Z1 0
g(x)dx+β Z 1
0
h(x)dx=
p−1
X
i=0
(αai+βbi)(zi+1−zi) = Z1
0
(αg(x) +βh(x))dx carαai+βbiest la valeur deαg+βhsur]zi, zi+1[.
Ceci prouve bien que l’application qui àgassocie l’intégrale degest linéaire de l’ensemble des fonctions en escalier dansR.
2. Soitf ∈C([0,1],R).
(a) Construire une suite de fonctions en escalier (fn)n∈N telle que f soit limite uniforme de(fn)n∈Nlorsquen→+∞.
Corrigé– Pour n≥ 1, on choisit (par exemple) fn ainsi :fn(x) = f(ni), si x∈[ni,i+1n [,i∈ {0, . . . , n−1}. Pour bien définirfnsur tout[0,1], on prend aussi fn(1) =f(1).
La fonctionfnest bien en escalier (elle est constante sur chaque intervalle]ni,i+1n [ pouri∈ {0, . . . , n−1}). Elle converge uniformément versf, quandn→+∞, carf est uniformément continue. Plus précisément, on akfn−fku= max{|fn(x)−f(x)|, x∈[0,1]} ≤max{|f(x)−f(y)|,x, y∈[0,1];|x−y| ≤ 1
n} →0, quandn→+∞. Noter que, pour ce choix defn, on a
Z 1 0
fn(x)dx=
n−1
X
i=0
f(i n)1
n.
Cette somme est une somme de Riemann associée àf et on va voir ci-après qu’elle converge versR1
0 f(x)dxquandn→+∞.
1.6. EXERCICES 19 (b) Soit(fn)n∈N une suite de fonctions en escalier telle quef soit limite uniforme de(fn)n∈N lorsquen→+∞. Montrer que la suite(In)n∈N⊂R, oùIn est l’in- tégrale de la fonction en escalier fn, converge. Enfin, montrer que la limite I = limn→+∞Inne dépend que def, et non de la suite(fn)n∈N. On pose alors
Z 1
0
f(x)dx= I.
Corrigé– Sigest une fonction en escalier, il est clair que la fonction|g|(définie par|g|(x)) =|g(x)|) est aussi en escalier et que l’on a
| Z 1
0
g(x)dx| ≤ Z1
0
|g(x)|dx≤ kgku. On en déduit que
∀n, m∈N,|In−Im|=| Z1
0
(fn−fm)dx| ≤ kfn−fmku.
Comme la suite(fn)n∈Nconverge (versf) pour la normek · ku, c’est une suite de Cauchy pour cette norme. La suite(In)n∈Nest donc de Cauchy dansR. La suite (In)n∈Nest donc convergente dansR.
Soit maintenant une autre suite(gn)n∈Nde fonctions en escalier telle quef soit aussi limite uniforme de(gn)n∈N. SoitJnl’intégrale de la fonction en escaliergn. On remarque que|In−Jn| ≤ kfn−gnku, d’où l’on déduit quelimn→+∞In= limn→+∞Jn
carkfn−gnku≤ kfn−fku+kgn−fku →0, quandn→+∞. La limite de la suite (In)n∈Nne dépend donc que def, et non du choix de la suite(fn)n∈N.
3. Montrer que l’application qui àf associe l’intégrale def est linéaire deC([0,1],R) dansRet que, pour toutf ∈C([0,1],R), on a
| Z1
0
f(x)dx| ≤ Z 1
0
|f(x)|dx≤ max
x∈[0,1]
|f(x)|.
Corrigé– Soitf , g∈C([0,1],R)et soitα,β∈R. On choisit deux suites de fonctions en escalier,(fn)n∈N et (gn)n∈N, convergeant uniformément vers f et g. La suite (αfn+βgn)n∈Nest donc une suite de fonction en escalier convergeant uniformément vers αf +βg (qui appartient bien à C([0,1],R)). En passant à la limite, quand n→+∞dans l’égalité
Z 1 0
(αfn+βgn)(x)dx=α Z 1
0
fn(x)dx+β Z 1
0
gn(x)dx
(qui est vraie grâce à la linéarité de l’intégrale sur l’ensemble des fonctions en escalier, démontrée à la question 1.), on obtient
Z 1 0
(αf +βg)(x)dx=α Z 1
0
f(x)dx+β Z1
0
g(x)dx.
Enfin, sif ∈C([0,1],R), on choisit(fn)n∈Nsuite de fonctions en escalier convergeant uniformément versf. On a déjà vu que
| Z1
0
fn(x)dx| ≤ Z 1
0
|fn(x)|dx≤ kfnku.
On obtient les inégalités désirées en passant à la limite surn, car(|fn|)n∈Nest une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers|f|etkfnku → kfku quandn→+∞.
Exercice 1.3 (Sur l’intégrale des fonctions continues) Soit(ϕn)n∈N⊂C([0,1],R) etϕ∈C([0,1],R). On suppose queϕn→ϕsimplement quandn→+∞.
1. Montrer que si lim
n→+∞
Z 1
0
|ϕn(x)−ϕ(x)|dx→0, on a alors
nlim→+∞
Z 1
0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
Corrigé– Ceci est une conséquence d’une inégalité vue dans l’exercice définissant l’intégrale d’une fonction continue :
| Z1
0
(ϕn(x)−ϕ(x))dx| ≤ Z1
0
|ϕn(x)−ϕ(x)|dx.
2. Montrer que si(ϕn)n∈Nconverge uniformément versϕ, alors
nlim→+∞
Z 1
0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
Corrigé– Ceci est aussi une conséquence d’une inégalité vue dans l’exercice définissant l’intégrale d’une fonction continue :
| Z 1
0
(ϕn(x)−ϕ(x))dx| ≤ kϕn−ϕku.
3. Donner un exemple de suite(ϕn)n∈Nqui converge versϕsimplement, mais non uniformément, telle que
nlim→+∞
Z 1 0
ϕn(x)dx= Z 1
0
ϕ(x)dx.
Corrigé– On prend, pourn≥2:
ϕn(x) =nx, pourx∈ [0,1n],ϕn(x) =n(2n−x), pourx∈]1n,n2],ϕn(x) = 0, pour x∈]n2,1].
On a(ϕn)n∈N⊂C([0,1],R). Pour toutx∈[0,1], on aϕn(x)→0quandn→+∞. La suite(ϕn)n∈Nconverge donc simplement vers0. Elle ne converge pas uniformément vers0, carkϕnku= 16→0. On a bienR1
0 ϕn(x)dx=1n→0quandn→+∞.
