Intégration et probabilités

Intégration et probabilités

Pierron Théo

ENS Ker Lann

Table des matières

1 Théorie de la mesure 1

1.1 Tribus . . . 1

1.2 Tribus boréliennes. . . 2

1.2.1 Tribu borélienne de R . . . 2

1.2.2 Tribu borélienne sur un espace topologique . . . 3

1.3 Tribus complètes, complétion de mesures . . . 3

1.3.1 Mesure positive sur (E,A) . . . 3

1.3.2 Espaces négligeables . . . 5

1.4 Théorème de Carathéodory . . . 8

1.4.1 Mesures extérieures . . . 8

1.4.2 Mesure de Lebesgue . . . 10

1.4.3 Cas général . . . 12

1.5 Cas E =R. . . 13

1.5.1 Contre-exemple au théorème si m n’est pas continue à droite . . . 13

2 Intégration 15 2.1 Fonctions mesurables . . . 15

2.2 Limites de fonctions . . . 17

2.3 Intégrale d’une fonction étagée positive . . . 17

2.4 Extensions . . . 19

2.4.1 Extension aux fonctions mesurables positives . . . 19

2.4.2 Extension aux fonctions mesurables . . . 22

2.4.3 Intégration d’une fonction à valeurs complexes . . . 24

2.4.4 Compléments . . . 24

2.5 Lemme de Fatou et convergence dominée . . . 27

2.6 Intégrale de Riemann . . . 27

2.6.1 Lien avec l’intégrale de Lebesgue . . . 27

2.6.2 Intégrale impropre généralisée . . . 29

2.6.3 Intégrales paramétrées . . . 30

3 Mesures images 31

3.1 Tribu produit . . . 31

3.1.1 Définitions . . . 31

3.1.2 Associativité du produit de tribus . . . 32

3.1.3 Fonctions mesurables . . . 33

3.2 Produit de mesures . . . 34

3.2.1 Définitions . . . 34

3.2.2 Théorème de Fubini . . . 35

3.2.3 Conséquences . . . 36

3.3 Formule de changement de variables. . . 37

4 Mesures de probabilité 41 4.1 Fonctions de répartition . . . 41

4.2 Mesure de Radon . . . 43

Chapitre 1

Théorie de la mesure

1.1 Tribus

Définition 1.1 Un espaceE est dit dénombrable ssi il est en bijection avec N.

Définition 1.2 Une classe A∈ P(P(E)) est dite algèbre (de Boole) ssi :

• ∅6=A

• a∈A⇒a^c ∈A

• a1, a2 ∈A² ⇒a1∪a2 ∈A Remarque 1.1

• A est stable par intersection finie

• L’intersection d’algèbres est encore une algèbre

• On peut donc parler d’algèbre engendrée par une classe de parties C ⊂ P(E) : c’est la plus petite algèbre contenant C : ^T

A⊃CA.

Définition 1.3 Une classe de parties A ⊂ P(E) est dite une tribu (σ- algèbre de Boole) ssi :

• ∅∈A

• a∈A⇒a^c ∈A

• (ai)i ∈A^N⇒ ^S

i>0ai ∈A

Remarque 1.2 A est stable par intersection dénombrable.

Exemples :

• {∅, E} est une tribu grossière

• P(E) est la plus grande tribu surE

• L’intersection de tribus en est encore une (mais pas l’union en général) donc on peut parler de tribu engendrée par une classe C ⊂ P(E).

Si C = {A} où A ∈ P(E), on note σ(A) la tribu engendrée par A :

σ(A) = {∅, A, A^c, E}.

Si C={A, B}, σ(A, B) ={∅, A, B, A^c, B^c, A∪B,(A∪B)^c, A∩B,(A∩ B)^c,(A^c∪B),(A^c∪B)^c, A∪B^c,(A∪B^c)^c, E}.

Remarque 1.3 On peut avoir σ(A) =σ(B) sans avoir A=B.

Définition 1.4 Une tribu est dite séparable ssi elle est engendrée par une classe dénombrable de parties de E.

Exo : Soit E, F deux espaces, A une tribu sur E etf :F →E.

1. Montrer que f⁻¹(A) ={f⁻¹(A), A∈ A} est une tribu sur F. f⁻¹(∅) =∅, f⁻¹(E) =F, f⁻¹(A^c) = f⁻¹(A)^c et

[

i>0

f⁻¹(Ai) =f⁻¹



[

i>0

Ai





2. Soit U un sous-espace de P(E). Montrer que f⁻¹(σ(U)) =σ(f⁻¹(U)).

f⁻¹(U)∈f⁻¹(σ(U)) donc σ(f⁻¹(U))⊂f⁻¹(σ(U)).

Posons B={B, f⁻¹(B)∈σ(f⁻¹(U)). B est une tribu surE.

OrU ∈ B donc σ(U)⊂ B. Doncf⁻¹(σ(U))⊂f⁻¹(B)⊂σ(f⁻¹(U)).

1.2 Tribus boréliennes

1.2.1 Tribu borélienne de R

Définition 1.5 On définit et on note B(R) la tribu engendrée par les in- tervalles de R.

Proposition 1.1 Tout intervalle semi-ouvert ]a, b] est un élément deB(R).

Démonstration. ]a, b] = ^T

n>1]a, b+ _n¹[

Proposition 1.2 B(R) est engendrée par C₁ = {]− ∞, x], x ∈ R} et par C2 ={]− ∞, x], x∈Q}.

Démonstration. C2 ⊂C1 ⊂B(R) doncσ(C2)⊂σ(C1)⊂B(R).

Soit (a, b)∈R². Il existe (an)n,(bn)n∈(Q^N)² tel que (an)n décroît vers a et (bn)n croît vers b.

]an, bn] =]− ∞, bn]\]− ∞, an] donc ]an, bn[∈σ(C2) ]a, b[= ^S

n>0]an, bn] donc ]a, b[∈σ(C2).

Donc B(R)⊂σ(C2).

1.3. TRIBUS COMPLÈTES, COMPLÉTION DE MESURES

Remarque 1.4 Un borélien (élément de B(R)) ne peut pas, en général, être décrit d’une façon concrète.

Proposition 1.3 B(R) est engendrée par les ouverts deRet par les fermés deR.

Démonstration. Soit A un ouvert de R etx∈A.

Il existe ε >0 tel que ]x−ε, x+ε[⊂A. Donc il existe ax, bx∈Q² tel que x∈]ax, bx[⊂A.

Q est dénombrable donc ^S

x∈A]ax, bx[ est une union dénombrable valant A.

Donc A∈B(R).

1.2.2 Tribu borélienne sur un espace topologique

Définition 1.6 On appelle tribu borélienne surE et on noteB(E) la tribu engendrée par les ouverts de E.

Définition 1.7 On définit le produit de deux tribusAetB et on noteA⊗B la tribu engendrée par les pavés de la forme a×b oùa ∈A etb ∈B.

A-t-on B(R^d) = B(R)^d?

Définition 1.8 On appelle espace mesurable un couple (E, A) oùE est un espace et A une tribu sur E. Les éléments de A sont appelés mesurables de A.

1.3 Tribus complètes, complétion de mesures

1.3.1 Mesure positive sur (E, A)

Définition 1.9 Une mesure µ sur (E,A) est une application A →[0,+∞]

telle que µ(∅) = 0 et ∀(An)n série de mesurables disjoints, µ ^S

i>0Ai

!

=

X

i>0

µ(Ai).

Remarque 1.5 Le deuxième axiome porte le nom de σ-additivité. Le second membre peut valoir +∞.

Le premier membre ne dépend pas de l’ordre de l’union et le second non plus car la série est à termes positifs.

Proposition 1.4

• A⊂B ⇒µ(A)6µ(B).

• µ(A∩B) +µ(A∪B) =µ(A) +µ(B).

• Si (An)n est croissante, µ ^S

i>0Ai

!

= lim

n→+∞µ(An).

• Si (An)n est décroissante et µ(A0)6= +∞, alors µ



\

i>0

Ai



= lim

n→+∞µ(An)

• Si (An)n est une suite de mesurables, µ ^S

i>0Ai

!

6

X∞ n=0

µ(An).

Démonstration.

• µ(B) =µ(A) +µ(B\A)>µ(A)

• µ(A∪B) =µ((A\(A∩B))∪(B\(A∩B))∪(A∩B)) =µ(A\(A∩ B)) +µ(B\(A∩B)) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B)−µ(A∩B)

• On poseBn=A_n+1\An. Les Bi sont disjoints et leur union vaut celle des Ai.

Donc : µ



[

n>0

An



=µ



[

n>0

Bn



=^X∞

n=0

µ(Bn)

=µ(A0) + ^X∞

n=1

(µ(An+1)−µ(An)) = lim

n→+∞µ(An)

• On poseBn=A0\An.Best croissante doncµ ^S

n>0Bn

!

= lim

n→+∞µ(Bn).

Or ^S

n>0Bn=A₀\ ^T

n>0An

!

. Donc :

µ



\

n>0

An



=µ(A0)−µ



[

n>0

Bn





=µ(A0)− lim

n→+∞µ(Bn)

=µ(A0)−µ(A0) + lim

n→+∞µ(An)

• On pose Bn=An\

_n S

k=1

Ak

. LesBi étant disjoints,

µ



[

n>0

An



=µ



[

n>0

Bn



= ^X∞

n=0

µ(Bn)6

X∞ n=0

µ(An)

1.3. TRIBUS COMPLÈTES, COMPLÉTION DE MESURES

1.3.2 Espaces négligeables

Définition 1.10 (E,A, µ) est un espace mesuré ssi E est un ensemble, A une tribu et µune mesure positive sur A.

Définition 1.11 Un ensemble N ⊂ E est négligeable pour µ ssi il existe A∈ A tel que N ⊂A et µ(A) = 0.

Remarque 1.6 N n’est pas forcément mesurable donc on ne peut pas dire µ(N) = 0.

On voudrait agrandir A en ajoutant les N négligeables (on dit qu’on complète A). Quand A sera complétée en A^′, on étendra µà A^′. La mesure deN µ-négligeable sera nulle.

Définition 1.12 On dit quef etg :E →Rsont égales presque partout ssi il existeN ∈E µ-négligeable telle quef =g sur E\N. En particulier, pour tout (A, B)⊂E, on dit que A=B presque partout ssi les deux indicatrices sont égales presque partout ssi Aa

B est négligeable.

Proposition 1.5

• Aa

B =A^ca B^c.

• µ(AaB) = 0⇒µ(A) = µ(B).

Démonstration.

• Aa

B = (A∩B^c)∪(A^c∩B) est symétrique en (A, A^c) et (B, B^c).

• Siµ(Aa

B) = 0,µ(B\(A∩B)) +µ(A\(A∩B)) = 0. C’est la somme de deux termes positifs donc µ(B) =µ(A∩B) =µ(A).

Proposition 1.6 Soit N l’ensemble des parties négligeables.

• ∅∈ N

• B ⊂A et A∈ N implique B ∈ N.

• Si (An)n∈ N^N, alors ^S

n>0An ∈ N.

• Si (Ai)i ∈ N^I, alors ^T

t∈IAi ∈ N. Démonstration.

• Clair

• Clair

• Pour tout i∈N, il existeCi ∈ A tel que Ai ⊂Ci etµ(Ci) = 0. On a : µ



[

n>0

Cn



6

X∞ i=0

µ(Cn) = 0 Donc ^S

n>0An∈ N.

• Pour tout t∈I, At⊂Ct∈ A avec µ(Ct) = 0.

\

t∈I

At ⊂At0 ⊂Ct0

Donc ^T

t∈IAt∈ N.

Définition 1.13 On appelle tribu complétée de A et on note A^e la tribu engendrée par A ∪ N.

Remarque 1.7 Contrairement à A qui est souvent difficile à décrire, A^e a quatre descriptions.

Proposition 1.7

A∈A^e ssi ∃(B, C)∈ A², B ⊂A⊂C etµ(C\B) = 0 ssi ∃B, N ∈ A × N, A=B∪N

ssi ∃B ∈ A, A=B presque partout ( ssi ∃B ∈ A, Ai

B ∈ N) Démonstration.

2⇒3 Il existe (B, C)∈ A² tel que B ⊂A⊂C et µ(C\B) = 0.

On aA=B∪(A\B). OrB ∈ AetA\B ⊂C\B avec µ(C\B) = 0.

3⇒4 Il existe (B, N)∈ A × N avec A=B∪N. Aa

B = (B ∪N)\B ⊂N ∈ N donc A =B preque partout.

4⇒2 Il existe B ∈ A tel que Aa

B ∈ N. Donc il existe D∈ A tel que Aa

B ⊂Det µ(D) = 0.

On poseB^′ =B∩(D^c)

| {z }

∈A

et C^′ =B_{| {z }}∩D

∈A

. On aB^′ ⊂A⊂C^′ :

B^′ ⊂ A ssi A^c ⊂ (B^′)^c = B^c ∪D. Or B^c ∪D ⊂ (A∩B)^c et A^c ⊂ (A∩B)^c.

A⊂C^′ car A∩B ⊂B et A\(A∩B)⊂Aa

B ⊂D.

De plus, µ(C^′\B^′) =µ(D) = 0.

4⇔1 On va montrer queE₂ ={A⊂E,∃B, N ∈ A×N, A=B∪N}est une tribu, ce qui revient à montrer queE3 ={A⊂E,∃B ∈ A, Aa

B ∈ N } en est une.

• E ∈E₃ car Ea

E =∅.

• Si A∈E3, il existe B ∈ A tel que Aa

B ∈ N. (A^c)a(B^c) =Aa

B ∈ N et B^c ∈ A donc A^c ∈E3.

• Si (An)n ∈E₃^N, il existe (Bn)n ∈ A^N tel que (Ana

Bn)n ∈ N^N.

S

n>0(Ana

Bn)∈ N donc ^S

n>0An

!a S

n>0Bn

!

∈ N.

1.3. TRIBUS COMPLÈTES, COMPLÉTION DE MESURES De plus, ^S

n>0Bn ∈ A donc ^S

n>0An ∈E₃.

Finalement, E2 est une tribu. Or E2 ⊂ A^e (par définition) et A ⊂^e E2

car A ∪ N ⊂E₂. DoncA^e=E₂.

Proposition 1.8 Soit (E,A, µ) un espace mesuré et A^e la tribu complétée deA par rapport à µ. L’application :

e

µ:





Ae → R⁺

A =B ∪N 7→ µ(B)

est bien définie et est l’unique extension deµàA^e(dans le sens oùµe =µsur A).

Démonstration.

• µe est bien définie : soit A ∈A^e tel que A=B∪N =B^′ ∪N^′. Ba

B^′ ⊂Na

N^′ donc µ(Ba

B^′) = 0 donc µ(B) =µ(B^′).

• µe est une mesure :

∗ µ(∅) =e µ(∅) = 0.

∗ Soit (An)n∈A^eN disjoints.

Pour tout i∈N, Ai =Bi∪Ni. On a :

[

n>0

An=



[

n>0

Bn



∪



[

n>0

Nn





Donc :

e

µ



[

n>0

An



=µ



[

n>0

Bn



= ^X∞

n=0

µ(Bn) = ^X∞

n=0

µ(Ae n)

∗ Soit ν une extension de µà A^e différente deµ.

Soit A∈A.^e A=B ∪N avec N ⊂C ∈ A tel que µ(C) = 0.

B ⊂ A ⊂ B∪C donc µ(B) = ν(B) 6 ν(A) 6 ν(B ∪C) 6 ν(B) + ν(C) =µ(B) +µ(C) =µ(B).

Donc ν(A) =µ(B) =µ(A).e

Proposition 1.9 L’ensembleN^fdes partiesµ-négligeables coïncide avece N. Démonstration. On a, par définition deµ,e N ⊂N^f.

Soit N ∈N^f. Il existe C ∈A^etel que N ⊂C etµ(C) = 0.e

Il existe B, N^′ ∈ A × N tel que C =B∪N^′. µ(C) =e µ(B) = 0 donc B ∈ N.

Or N ⊂C ⊂B∪N^′ ∈ N. Donc N =N^f.

1.4 Construction de mesures – Théorème de Carathéodory

1.4.1 Mesures extérieures

Définition 1.14 (mesure extérieure) Un application µ^∗ : P(E) → [0,+∞]

est dite une mesure extérieure ssi :

• µ^∗(∅) = 0

• µ^∗ est croissante.

• Pour tout (Ai) suite de parties de E disjointes deux à deux, µ^∗



 [

16i6n

Ai



 6

Xn i=1

µ^∗(Ai)

Définition 1.15 Une partie B de E est dite µ^∗-mesurable si ∀A ∈ E, µ^∗(A) =µ^∗(A∩B) +µ^∗(A∩B^c).

On noteM(µ^∗) l’ensemble des parties µ^∗-mesurables.

Proposition 1.10 M(µ^∗) est une tribu sur E. Elle est appelée tribu de Carathéodory. La restriction µde µ^∗ à cette tribu est une mesure notée µ.

Remarque 1.8 Par le troisième axiome définissant µ^∗, on a clairement µ^∗(A)6µ^∗(A∩B) +µ^∗(A∩B^c)

Démonstration.

• ∅ ∈ M(µ^∗) : en effet, pour tout A ⊂ E, A∩∅ = ∅ et A∩∅^c = A donc µ^∗(∅) = 0.

• M(µ^∗) est stable par complémentation vu la symétrie de la définition deM(µ^∗).

• Pour montrer la stabilité par réunion dénombrable, on va montrer : – la stabilité par réunion finie (donc par intersection finie par passage

au complémentaire donc par différence)

– la stabilité par union disjointe (Il suffira alors de considérer ^S

nAn =

S

nBn avec Bn =An\ ^S

06k6n−1

Ak disjoints deux à deux) – Soient (B1, B₂)∈ M(µ^∗)².

Pour toutA⊂E, µ^∗(A) =µ^∗(A∩B1) +µ^∗(A∩B₁^c) =µ^∗(A∩B1) + µ^∗(A∩B₁^c∩B^c₂) +µ^∗(A∩B₁^c∩B₂).

On a µ^∗(A∩(B1∪B₂)) +µ^∗(A∩(B1∪B₂)^c) =µ^∗(A∩(B1∪B₂)) + µ^∗(A∩B₁^c∩B^c₂).

Orµ^∗(A∩(B1∪B₂)) =µ^∗(A∩(B1∪B₂)∩B1)+µ^∗(A∩(B1∪B₂)∩B₁^c) = µ^∗(A∪B₁) +µ^∗(A∩B₁^c∩B₂).

1.4. THÉORÈME DE CARATHÉODORY

Doncµ^∗(A∩(B1∪B₂)) +µ^∗(A∩(B1∪B₂)^c) =µ^∗(A∪B₁) +µ^∗(A∩ B₁^c∩B2) +µ^∗(A∩B₁^c∩B₂^c) =µ^∗(A).

– Soit (Bn)n∈ M(µ^∗)^N disjoints.

Par récurrence, on a µ^∗(A) =

Xn k=1

µ^∗(A∩Bk) +µ^∗



A∩ ^\

16k6n

B_k^c



. En effet,

µ^∗



A∩ ^\

16k6n

B_k^c





=µ^∗



A∩ ^\

16k6n+1

B_k^c



+µ^∗



A∩ ^\

16k6n

B_k^c ∩Bn+1





=µ^∗



A∩



 \

16k6n+1

B_k^c







+µ^∗(A∩Bn+1)

Donc µ(A) =

Xn k=1

µ^∗(A ∩ Bk) + µ^∗



A∩



 \

16k6n+1

B_k^c







 +µ^∗(A ∩ Bn+1) = ^n+1X

k=1

µ^∗(A∩Bk) +µ^∗



A∩



 \

16k6n+1

B_k^c







. On va montrer que µ^∗(A)>µ^∗

A∩

S

nBn

+µ^∗

A∩

T

nB_n^c

. On a A∩ ^T

n>0Bk

!

⊂ A∩ ^T

k6n

Bk

!

donc µ^∗(A) >

Xn k=0

µ^∗(A∩Bk) + µ^∗



A∩



\

k>0

B_k^c







. Donc µ^∗(A)>

X∞ n=0

µ^∗(A∩Bn) +µ^∗



A∩



[

n>0

Bn





c

. µ^∗(A)>µ^{∗ S}

n>0(A∩Bn)

!

+µ^∗ A∩ ^S

n>0Bn

!c!

. Donc µ^∗(A)>µ^∗ A∩ ^S

n>0Bn

!!

+µ^∗ A∩ ^S

n>0Bn

!c!

DoncM(µ^∗) est un tribu sur E.

• Montrons que µest une mesure : µ(∅) = 0.

Soit (Bn)n une suite d’éléments disjoints.

µ^∗(A)>

X∞ n=0

µ^∗(A∩Bn) +µ^∗



A∩



[

n>0

Bn





c



donc, pour A= ^S

n>0Bn, on a µ ^S

n>0Bn

!

=µ^{∗ S}

n>0Bn

!

>

X∞ n=0

µ^∗(Bn) = ^X∞

n=0

µ(Bn).

Remarque 1.9 Si B ⊂ E est telle que µ^∗(B) = 0, alors B ∈ M(µ^∗). En effet, µ^∗(A)>µ^∗(A∩B^c) +µ^∗(A∩B) car µ^∗ est croissante et µ^∗(A∩B)6 µ^∗(B) = 0. Donc B ∈ M(µ^∗).

Il en découle que si N est µ-négligeable (ie N ⊂ B), B ∈ M(µ^∗) et µ(B) = 0 = µ^∗(B) donc µ^∗(N) = 0 donc N ∈ M(µ^∗) donc M(µ^∗) est complète.

1.4.2 Mesure de Lebesgue

Définition 1.16 Dans le cas E =R, on définit la mesure de Lebesgue λ^∗ par λ^∗(A) = inf



 X∞ n=0

(bn−an), ^[

n>0

]an, bn[⊃A



.

Proposition 1.11 λ^∗ est une mesure extérieure sur P(R).

Démonstration.

• λ^∗(∅) = 0

• SiA⊂B, tout recouvrement de B est un recouvrement deA, donc, en passant à l’inf, λ^∗(A)6λ^∗(B).

• Soit (An)n une suite de parties de R. S’il existe n₀ tel que λ^∗(An0) = +∞, l’inégalité est vérifiée.

Dans le cas contraire, soit ε >0.

Il existe un recouvrement ^S

k>1]a⁽ⁿ⁾_k , b⁽ⁿ⁾_k [ tel que

X∞ k=1

(b⁽ⁿ⁾_k −a⁽ⁿ⁾_k )6λ^∗(An) + ε 2ⁿ Alors, ^S

n>1

An ⊂ ^S

n>1

S

k>1[a⁽ⁿ⁾_k , b⁽ⁿ⁾_k ].

Doncλ^{∗ S}

n>1An

!

6

X∞ n=0

(b⁽ⁿ⁾_k −a⁽ⁿ⁾_k ) +ε.

λ^∗ est donc sous-additive.

Définition 1.17 La restriction de λ^∗ à M(λ^∗) est appelée mesure de Le- besgue.

Proposition 1.12 B(R)(M(λ^∗) et λ(]a, b[) =λ([a, b]) =b−a.

Démonstration.

1.4. THÉORÈME DE CARATHÉODORY

• Il suffit de montrer que Bx =]− ∞, x]∈ M(λ^∗) pour tout x∈R.

Soit A une partie de R et (]an, bn[)n un recouvrement de A.

Soit ε >0.A∩B ⊂ ^S

n>0

ian∧x, bn∧x+₂^εn

h1. De plus, A∩B^c ⊂ ^S

n>0]an∨x, bn∨x[². On a donc λ^∗(A∩ B) 6

X∞ n=1

λ^∗

an∧x, bn∧

x+ ε 2ⁿ

et λ^∗(A ∩

B^c)6

X∞ n=1

λ^∗(]an∨x, bn∨x[).

Donc, en examinant différents cas, on obtientλ^∗(A∩B)+λ^∗(A∩B^c)6

X∞ n=1

(bn−an) + 2ε.

Doncλ^∗(A∩B) +λ^∗(A∩B^c)6λ^∗(A).

• [a, b]⊂ ^T

n>1]a− ¹_n, b+ _n¹[ donc λ^∗([a, b])6b−a.

Soit (]an, bn[)n un recouvrement de [a, b]. [a, b] est un compact de Rqui est de dimension finie donc il existe N tel que [a, b]⊂ ^S

16k6N]ak, bk[.

Doncb−a6

XN k=1

(bk−ak)6

X∞ k=1

(bk−ak). Donc λ^∗([a, b])>b−a.

De plus, λ^∗({a}) = 0 car {a} ⊂ ^T

n>1]a− ¹_n, a+ _n¹[.

Doncλ^∗([a, b]) =λ^∗(]a, b[) + 0 + 0 =λ^∗(]a, b[).

Remarque 1.10 λ({a}) = 0 et la σ-additivité de λ montrent que λ(E) = 0 pour tout E dénombrable.

Donc les ensembles dénombrables sont λ-négligeables et ce ne sont pas les seuls (ensemble de Cantor)

Proposition 1.13 Soit ^B(R) la complétée de B(R) pour la mesure de Lebesgue. M(λ^∗) =B^(R)

Démonstration. On sait que B^(R) ⊂ M(λ^∗) (M(λ^∗) contient les boréliens et les ensembles λ-négligeables)

Pour l’inclusion réciproque, on utilise la caractérisation de B^(R) : A ∈ B^(R) ssi ∃C, B ∈B(R) tel que C ⊂A⊂B etλ(B \C) = 0.

Soit A ∈ M(λ^∗). On pose An=A∩]−n, n[ pour n>1.

Il est clair que A = ^S

n>1An et que l’union est croissante. En vertu de la continuité par limite croissante, il suffit de construire (Bn)n,(Cn)n ∈B(R)^N

1. a∧b= min(a, b) 2. a∨b= max(a, b)

croissantes telles que Cn⊂An⊂Bn et λ(Bn\Cn) = 0.

Soit n > 1. Comme λ^∗(An) <∞, pour tout p > 1, il existe (]a^(p)_k , b^(p)_k [)k

recouvrement deAn tel que ^X∞

k=1

b^(p)_k −a^(p)_k 6λ(An) + 1 p. On pose Bn = ^T

p>1

S

k>1]a^(p)_k , b^(p)_k [. On a alors clairement An⊂Bn. On a λ(Bn)6

X∞ k=1

(b^(p)_k −a^(p)_k )6λ^∗(An) + 1 p. Donc λ^∗(Bn) =λ(Bn) =λ^∗(An) et Bn∈B(R).

On applique ce procédé àA^c_n, ce qui donne unUn∈B(R) tel queA^c_n⊂Un

avec λ^∗(Un) =λ^∗(A^c_n).

On pose Cn = U_n^c. On a alors Cn ∈ B(R) et Cn ⊂ An ⊂ [−n, n] donc λ^∗(Cn) =λ^∗(An) =λ^∗(Bn).

Donc λ(Bn\Cn) = 0 et Cn⊂An ⊂Bn.

1.4.3 Cas général

Définition 1.18 On dit que m : C → R⁺ une prémesure (ou mesure sur l’algèbre C) ssi

• m(∅) = 0

• Pour tout A, B ∈ C² disjointes, m(A∪B) =m(A) +m(B)

• (continuité à droite) Si (An)n est une suite décroissante de C telle que

T

n>0An =∅, lim

n→+∞m(An) = 0.

• (σ-finitude) Il existe (En)n tels que E = ^S

n>0En,m(En)<+∞, En∈ C et la limite croissante dem(A∩En) vaut m(A).

Remarque 1.11 Une mesure finie est σ-finie.

Une mesure µ est dite de probabilité ssi µ(E) = 1.

La σ-finitude assure l’unicité de la prémesure.

On démontre grâce à la propriété de continuité à droite que m est σ- additive pour les suites (An)n dont l’union reste dansC. On montre aussi la continuité à gauche et la sous-additivité.

Théorème 1.1 (Carathéodory) Une prémesure admet une unique ex- tension à la tribu σ(C).

1.5. CASE =R

1.5 Cas E = R

On pose S l’ensemble des intervalles de R. S est une semi-algèbre³. On note A l’algèbre engendrée par S.

A=



 [n j=1

Ij, Ij intervalles disjoints deux à deux





On pose m l’application qui à un intervalle associe sa longueur. m est additive et continue à droite (carR= ^S

n>0]−n, n[ avec m(]−n, n[) = 2n).

En général, µ^∗(A) = inf



 X∞ i=0

m(Ai), Ai ∈ C, A⊂ ^[

i>0

Ai





Le reste de la preuve du théorème se fait comme précédemment.

1.5.1 Contre-exemple au théorème si m n’est pas conti- nue à droite

E =N, C ={A∈ P(N), A ou A^c est fini}.

C est une algèbre. On définit m : C → R⁺ par m(A) = 0 si A fini et m(A) = 1 si A^c est fini.

m vérifie m(∅) = 0 mais pas m(A∪B) =m(A) +m(B) si A∩B =∅.

En revanche, m n’est pas continue à droite : An ={n, n+ 1,· · · } vérifie m(An) = 1 et ^T

n>0An=∅.

Supposons que m a une extension µ à P(N). µ(N) = lim

n→+∞µ(A^c_n) = 0.

Doncµ n’est pas croissante. Donc m n’a pas d’extension.

3. ie non vide, stable par intersection finie, contenantRet tel queA\Bs’écrit comme union finie d’éléments deS

Chapitre 2

Intégration par rapport à une mesure positive

Le fait de considérer des mesures positives n’est pas une perte de gé- néralité. En effet, pour tout mesure à valeurs dans R, il existe une unique déomposition µ=µ⁺−µ⁻ (décomposition de Han-Jordan) avec µ⁺ et µ⁻ des mesures positives (µ⁺(A) =µ(A∩P) etµ⁻(A) =µ(A∩N) avec P etN deux parties deA disjointes telles que µ(P)>0>µ(N)).

Introduction

Soit (E,A, µ) un espace mesuré complet. On va définir ^Z fdµ où f : E →F est dite mesurable. On commence par la définir pour des f simples (fonctions en escalier pour l’intégrale deRiemann) : les fonctions étagées et on utilise un théorème de densité pour utiliser les limites des intégrales des fonctions étagées.

Dans le cas (R,^B(R), λ), on retrouve l’intégrale de Riemann.

Dans le cas



Z,P(Z), µ= ^X

n∈Z

δn



. (δn mesure de Dirac) L’intégrale est une série.

2.1 Fonctions mesurables

Définition 2.1 Soient (E,E) et (F,F) deux espaces mesurables.

On dit que f : E →F est mesurable ssi f⁻¹(F)⊂ E.

Exemples :

• On pose :

f :





E → R

x 7→ 1A(x) avec A⊂E.

f est (E,B^(R)) mesurable ssi A⊂ E.

• Soit (R^d,B^(R^d)) et (R^p,B^(R^p)).

Toute fonction (B^(R^d)),B^(R^p)))-mesurable est dite borélienne. En particulier, toute fonction continue est borélienne. Ceci se montre en utilisant le fait que la tribu borélienne est engendrée par les ouverts et se généralise aux espaces topologiques munis de leur tribu borélienne (c’est la définition de la continuité).

Remarque 2.1 Si F = σ(C) où C est une classe de parties de F, f⁻¹(F) =f⁻¹(σ(C)) =σ(f⁻¹(C)) et il suffit de vérifier que f⁻¹(C) ∈ E. Si F = R^p, on peut considérer les boules ouvertes B(x, r), x ∈ Q^p ou ]− ∞, x], x ∈ Q. On peut vérifier la mesurabilité sur les cylindres

Yq i=1

]ai, bi[.

• Soit f : E → F. La tribu σ(f⁻¹(A), A ∈ F) est la plus petite tribu rendant f mesurable. Plus généralement, si (fi)i∈I est une famille de fonctions de E → F, σ(fi⁻¹(A), A ∈ F, i ∈ I) est la plus petite tribu rendant les fi mesurables. On note cette tribu σ(fi, i∈I).

Proposition 2.1 La composée de fonctions mesurables est mesurable.

Démonstration. On utilise la remarque précédente avec pour tout ensemble A, (f ◦g)⁻¹(A) =g⁻¹(f⁻¹(A)).

Conséquences :

• La combinaison linéaire finie de fonctions mesurables le reste.

• Si f1,· · · , fn : E → R et g : Rⁿ → R^p sont boréliennes, alors la com- posée g(f1,· · · , fn) est mesurable. Pour cela, il suffit de prouver que (f1,· · · , fn) : E →Rⁿest mesurable, donc de considérer les cylindres :

(f1,· · · , fn)⁻¹

Yn i=1

]ai, bi[

!

= ^\

16i6n

f_i⁻¹(]ai, bi[)∈ E

• f∧g et f∨g sont mesurables si f etg le sont.

• {x, f(x) =g(x)}= (f −g)⁻¹({0}), {x, f(x)< g(x)} sont mesurables.

2.2. LIMITES DE FONCTIONS

2.2 Limites de fonctions

Définition 2.2 Soit (An)n∈ E^N. On définit : lim supAn = ^\

n>0

[

k>n

Ak

lim infAn= ^[

n>0

\

k>n

Ak

Remarque 2.2 Si on note fn = 1An, les fn sont mesurables et lim sup

n fn= inf_n sup

k>n

fk = lim

n→+∞sup

k>n

fk= 1lim supAn

lim inf_n fn= sup

n inf

k>nfk = lim

n→+∞inf

k>nfk= 1lim infAn

Définition 2.3 On dit que (fn)n converge simplement dans R ssi

∀x∈E,lim supfn(x) = lim inffn(x) = limfn(x) Proposition 2.2 Soit (fn)n des fonctions E→R mesurables.

• supfn, inffn, lim inffn et lim supfn sont mesurables.

• Si fn converge simplement vers f, f est mesurable.

Démonstration.

• {supfn < x}=^T

n{fn< x}, {inffn< x}=^T

n{fn >x}

c

et on utilise la composition des fonctions mesurables.

• {lim supfn−lim inffn = 0} ∈ E.

2.3 Intégrale d’une fonction étagée positive

Définition 2.4 Une fonction f : E → R est dite étagée ssi elle prend un nombre fini de valeurs.

Exemple : f =

Xn i=1

ai1Ai où Ai ∈ E, ai ∈ R^∗ est une fonction étagée.

Réciproquement, toute fonction étagée se décompose ainsi (Ai ={x, f(x) = ai}).

Proposition 2.3 Un fonction étagée est mesurable ssi Ai ∈ E.

Une fonction étagée mesurable admet une décomposition canonique f =

Xn i=1

ai1Ai où les Ai forment une partition de l’ensemble {f(x)6= 0}.

Définition 2.5 L’intégrale d’une fonctionf étagée positive (mesurable) est donnée par :

Z

fdµ=^Xn

i=1

aiµ(Ai) oùf =

Xn i=1

ai1Ai est la décomposition canonique def. Exemple : ^Z 1Adµ=µ(A) pour A∈ E.

Proposition 2.4

Z est linéaire.

Si f >g, ^Z fdµ>

Z

gdµ.

Démonstration.

• On a clairement ^Z afdµ=a

Z

fdµ.

Soit f =^Xn

i=1

ai1Ai et g =

Xq i=1

bi1Bi.

La décomposition canonique de f +g est ^Xn

i=0

Xn j=0

X

a∈Ai

X

b∈Bj

(a +b)1Ai∩Bj

avec A0 ={x, f(x) = 0}et B0 ={x, g(x) = 0}.

• Si f > g, f = g +h avec h étagée positive donc ^Z fdµ = ^Z gdµ+

Z

hdµ>

Z

gdµ.

Corollaire 2.1 Si (fn)n est une suite croissante de fonctions étagées positives et si lim

n→+∞fn est étagée alors :

n→+∞lim

Z

fndµ=^Z lim

n→+∞fndµ

Démonstration. Comme l’intégrale est positive, elle est croissante donc la suite (αn) =^Z fndµ est croissante et

Z lim

n→+∞fndµ> lim

n→+∞

Z

fndµ Il reste à montrer que ^Z lim

n→+∞fndµ6 lim

n→+∞

Z

fndµ.

On pose f = lim

n→+∞fn. Si f = 0, il n’y a rien à prouver.

Sinon, soit ε∈]0,1[ etg =f ε. Pour unx tel quef(x)>0, il existe nx tel que∀n > nx, g(x)< fn(x).

2.4. EXTENSIONS

Si a=g(x),{y, g(y) =a < fn(y)} tend vers {y, g(y) =a}. Finalement,

Z

gdµ= ^X

avaleur deg

aµ({g =a})

= ^X

avaleur deg

aµ( lim

n→+∞{g =a < fn})

= ^X

avaleur deg

a lim

n→+∞µ({g=a < fn})

= lim

n→+∞

X

avaleur deg

aµ({g =a < fn})

= lim

n→+∞

X

avaleur deg

a

Z 1{g=a<fn}dµ

< lim

n→+∞

Z

fn



 X

avaleur deg

1{g=a}



 dµ

< lim

n→+∞

Z

fndµ Comme ε est arbitraire et ^Z gdµ=ε

Z

fdµ, on fait tendre ε vers 1 et on conclut.

Remarque 2.3 La même preuve peut être écrite pour toute fonction h 6 f et h étagée.

2.4 Extensions

2.4.1 Extension aux fonctions mesurables positives

Lemme 2.0.1

Toute fonction mesurable positivef est limite croissante (simple) d’une suite de fonctions étagées positives.

Démonstration. On pose pour tout n etk ∈J0, n2ⁿ−1K. fn :





x 7→ ₂^kn si ₂^kn 6f(x)< ^k+1₂n

x 7→ n si f(x)> n (fn)n convient.