^ENSEMBLES DE MESURE NULLE

Ann. Inst. Fourier, Grenoble 26, 3 (1976), 137-172

SOMMES VECTORIELLES

^ENSEMBLES DE MESURE NULLE

par Michel TALAGRAND

Cet article contient les démonstrations des résultats annoncés dans une précédente Note aux Comptes Rendus portant le même titre. [5].

Notre point de départ a été une question posée en 1973 au Séminaire d'Initiation à l'Analyse par Mr. Goullet de Rugy : Si un ensemble analytique A de R est tel que pour tout compact X de R, de mesure de Lebesgue nulle, A + X soit aussi de mesure nulle, est-ce que A est dénombrable ? Nous allons apporter une réponse positive à ce problème et étudier ses généralisations, aux groupes de Lie et aux groupes abéliens localement compacts.

Je tiens à remercier Monsieur Choquet de l'aide précieuse qu'il m'a apportée, d'une part par un soutien moral sans défail- lance, d'autre part en me suggérant que le cadre des groupes de Lie cachait la vraie nature du problème, et en m'en proposant un autre beaucoup mieux adapté, ce qui m'a conduit au Théorème 3.

1. Un cas simple.

Afin de familiariser le lecteur avec les techniques utilisées, nous allons tout d'abord résoudre le problème initial. La démons- tration, qui s'apparente plus aux méthodes utilisées plus loin dans le cas abélien localement compact qu'à celles propres aux groupes de Lie, présente d'ailleurs un intérêt en soi.

m désignera la mesure de Lebesgue. On appellera ensemble élémentaire toute réunion finie d'intervalles compacts non-réduits à un point.

Le lemme technique suivant est le cœur du problème.

LEMME 1. - Soit J un ensemble fini, (Ay)yçj des sous-ensembles de R dont l'intersection avec chaque voisinage de 0 est non-dénom- brable, et 9. un réel > 0.11 existe alors des a. avec a. E A-, tels que tout intervalle compact 1 de R de longueur > C contienne un ensemble élémentaire E vérifiant les conditions suivantes :

m ( E ) < - m ( I ) (1) V / G J , E U (E + û,) D 1 (2) Démonstration. — Tout espace vectoriel sur Q de dimension finie est denombrable. On peut donc choisir dans chaque A. un ûy tel que 0 < | ûy | < ——, 1 et les fly étant linéairement indépendants£ sur Q. D'après [l], § 1, proposition 7, pour tout e > 0 il existe un entier q, et des entiers p^ tels que

V 7 G J 1 q ûy - p^ - — \ < e .

Les a^ sont irrationnels. En prenant e plus petit que ——, et que toutes les approximations de û. par les fractions de dénominateurs

< —— on peut choisir q et les pj de sorte que1000

q £ > 1000 (3)

v / ^ J ' ^

/ - ^ - 2 ^ 7 0 0

Soit alors 1 un intervalle compact de longueur a > S.. Par translation on peut supposer 1 = [0 , a]. Posons :

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 139

r 2 e 1 r

1

^r'TooH^-Too'"^

U f-^—L

^+-L 1

i < p < < ) r a - i ^ q 200q' 2 q 2QQ q\

p ŒN

E est élémentaire, et contenu dans I. De plus

mw<^+^{+^)xqa<a(12+^<230l^mw

Montrons que (2) est vérifiée. Soit /' dans J et x dans 1 \ E.

Il existe 1 < p < q a — 1 tel que x soit dans l'intervalle [ 2 p + 1 ^ 1 p + 1 1 1

|_ 2 ç 200 ^ ? ^7 200 ^7 J Puisque x > —— on a :

2 e

p + 1 _ 1 ^ 2_£ ^ J_ ^ J_ ^ 2p,.+ 1 _ 1 ^ g

^~ - 200 q ^100 100 100^ 2 ^ 100^ 100

£

d'après (4) et | â^ | < —_. D'où, d'après (3) 1 2iq

2 p + 2 > 2 p , 4 - l - — — + — — - > 2 p . + 10 ' l / 100 100 l /

Et enfin p — p. > 1

De même, en utilisant x < a — — , on montre que p — p.^q a — 1.2 C On a :

2 p ; + 1 ^ \ P - P i ^__L 2 ( p - p , ) + l 1 1

x Iq [ q 200q9 q 200 q \

D'où enfin, d'après (4) :

, _ ^ [ ^ L - - L ,2 (^ •) + l+ _ _ _ 1 c E

/ L <7 200 ç <? 200 q \

puisque l < p — p^ q a — 1. c.q.f.d.

Remarque. — Ce résultat est encore valable en supposant seule- ment 0 point d'accumulation des Ay, mais la démonstration est alors plus difficile.

THEOREME 2 — Soit A un sous-ensemble analytique non dénom- brable de R. Il existe un compact parfait K de R, tel que m (K) = 0

0

et A + K ^ 0

Démonstration. — Puisque A contient un compact non dénom- brable, nous sommes ramenés au cas de A compact parfait.

Nous allons construire par récurrence sur n :

— Une suite décroissante K^ d'ensembles élémentaires

- Des suites finies d'éléments de A : (^)ç=o,i,...,(2^-i) telles

que l'on ait :

V n m (K^)<j-m(K^)

\fn U ( ^ + ^ ) D [ 0 , 1 ]

0 < q < 2" - 1

En particulier nous aurons

V n K^ + A D [0,1]

Et si nous posons K = H K , m (K) = inf m (K^) = 0, et on a

n n

K + A = H (K,, + A) D [0,1].

fî

Prenons OQQ quelconque dans A, et Kç = [0,1] — OQQ. Supposons les K^ et les a^ y construits pour n < p. On a K — U Ig où A est fini et les Ig sont des intervalles compacts disjoints non réduits à un point. Soit C = Inf m (Ig) > 0. Appliquons le lemme 1 avec J = {0,1, . . ., (2P - 1)} et A, = A - a^. Posons

ûp+l,2<? = ^ ; ^p+l,2g+l = ^ + ^ (0<q<V - 1).

Pour § dans A, soit Eg C Ig élémentaire, vérifiant m (Eg) <—- m (Ig) et pour 0 < q < 2P~1 :

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE \ 4 ]

EÔ u (EÔ + ^ ) = EÔ u ?0 +Vl,2^1 - ^4-1,2,) D Iô

Posons K^.i == U Eg ; cet ensemble est élémentaire et

ô G A

m(K^)< 1 m œ ^ x i - S m d ^ — — m O ^ , ) .

Déplus: 6 e A 6 e A

o^u^ (KP+1 + ap+ ^ ⁼⁼ o^y-.i ^^-^^^ ^{u (K} ^ ⁺ ^^ ⁾

= ^^./^l + ^1.2^1 - ^1.2,) ^ K^) 4-^

^ U ( K p + a ^ ) D [ 0 , l ]

0<q<2P-ï • pfq

ce qui termine la démonstration, car il est clair que H K^ est parfait.

2. Extension aux groupes de Lie.

Le principal résultat de ce paragraphe est le suivant :

THEOREME 3. — Soit A un compact parfait, V un ouvert de W (r fini) g : A x A x V -^ Wune application vérifiant les conditions:

— pour a^ G A l'application (û^ , x) -> g (a^a^ , x), de A x V dans W est continue,

— pour û?i G A, x £ V, û?2 -^> ^ (a^, a^, x) est injective,

— Il existe k, k ' > 0 tels que pour a^,a^ G A et x^ x^ G V, on ait :

k II Xi - x^ II < 11^ (a^ ,û4^i) - g (û?i, û?2, ^2) II < k ' II Xi - x^ II

— po^r û E A, x G V g (a, a, x) = x,

— ^ (û4, ^2, ^ (^2, Û3, x)) = g ( a ^ , a ^ , x ) partout où les deux membres sont définis.

Soit P un pavé compact de V, a un point de A 77 existe alors un compact parfait K C P, de mesure de Lebesgue nulle, et tel que g ( a , A , K ) D P.

Avant de prouver ce théorème donnons en deux corollaires qui en montrerons l'intérêt.

COROLLAIRE 4. — Soit A un compact parfait, V un ouvert de W, f une application continue de A x V -> R^ vérifiant de plus les conditions :

— pour x fixe a -^> f (a, x) est injective

— pour a fixe x -> f(a, x) est un homéomorphisme de V sur un ouvert de W. On note h^ Uhoméomorphisme réciproque. (5)

— 77 existe k , k ' > 0 tels que pour tous a ^ , a^ dans A,et tous x^

x^ dans le domaine de définition de h (f(a^,.)) on ait :

k II x, - x^ II < II h^ (f(a^ x,)) - h^ (f(a^x^)) II < k ' II x, - x^ II (6)

— // existe alors un compact parfait K C V, de mesure de

0

Lebesque nulle, et tel que / ( A , K ) =^= 0.

Démonstration. — II est standard de prouver qu'il existe un ouvert U de A, un ouvert W de V tels que g (a^ ,^ ,x) = ^ (f(a^,x)) soit définie dans U x U x W. Si U' est un ouvert de U/non vide, et tel que U' = B C W, B est parfait. Toutes les hypothèses du théorème sont vérifiées par B, W et g. Si P est un pavé de W, d'intérieur non vide et a un point de B, il existe un compact K de mesure de Lebesgue nulle, et tel que ^ (/(B, K)) D P. D'où

/ ( A , K ) D / ( B , K ) D / ( û , P ) qui d'intérieur non vide d'après (5).

Remarquons que la conclusion de ce corollaire est encore valable si on remplace les conditions (5) et (6) par les suivantes : x -^ f ( a , x ) possède une différentielle F (a, x) non dégénérée, et (a , x) -» F (a, x) est continue. En effet, en restreignant au besoin A et V, (5) et (6) seront alors vérifiées.

COROLLAIRES. -Soit G un groupe de Lie, m une mesure de Haar de G, A un sous-ensemble analytique non dénombrable de G.

77 existe alors un compact parfait K de G, de mesure nulle et tel que

AK + 0. (¹ )

(1) Le groupe G n'étant pas nécessairement abélien est noté multiplica- tivement, et ainsi AK = [a k ; a e A , k e K}

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE \ 43

Démonstration. — Puisque G est métrisable, A contient un compact parfait. On peut donc le supposer compact parfait.

Par une translation à gauche, on peut ensuite supposer que l'élément neutre e de G appartient à A. Soit c == (U , </?) une carte de G en e, et r la dimension de G. Soit V et W deux voisinages de e tels que W C V et V² C U. Le compact A' = A H W est parfait.

Posons V' = ^ (W). C'est un ouvert de W.

L'application /:A' x V' -> W

(a,x)^ (^ (a ^(x))

vérifie les hypothèses de la remarque précédente. Il existe donc un compact parfait K' de V, de mesure de Lebesgue nulle, et tel que

0 0

<^ (A' (p (K')) i= 0. Ainsi on a A' <^ (K') i= 0, et en particulier

0

A ^ (K') =^ 0. Le compact K = (p (K'), homéomorphe à K, est encore parfait. Il est de mesure de Haar nulle, car l'image de la mesure de Haar d'un groupe de Lie par une carte est absolument continue (et même à densité continue)

c.q.f.d.

La preuve du théorème 3 comporte trois étapes. Notons m la mesure de Lebesgue de R7'. Un sous-ensemble T de R7 sera dit élémentaire s'il est réunion finie de pavés compacts. Enfin R1' sera muni de la norme "sup".

LEMMEÔ. - Soient toujours A un compact parfait, V un ouvert de W. Soit f une application continue de A x V -^ R7, continue, et telle de plus que (do désignant un point fixé de A)

— pour x fixe a -> f (a, x) est injective

- f(flQ,X) = X

- Il existe k, k ' > 0 tels que pour tout a de A, et tous x^ x^ de V on ait :

k l l x i -x^ 11< \\f(a,x^) - f ( a , x ^ ) II < k ' II x^ - x^ II

Soit enfin P un pavé compact de V, c un réel > k7. Posons p = —k27

4 c

II existe alors une partie élémentaire T de P, une partie finie A' de A, telle que

m ( / ( A \ T ) n P ) > p m ( P ) (7) m ( / ( A ' , T ) n P ) > c m ( T ) (8) Démonstration. — Supposons la conclusion fausse. Soit Î2 le plus petit ordinal non dénombrable. Montrons que l'on peut construire, par récurrence transfinie, une suite (P^)a<n de pavés compacts contenus dans P et une suite (A^)^<;^ de sous-ensembles finis de A telles que :

— Pour tout ensemble (fi fini d'ordinaux < Sî

m( U / ( A ^ , P ^ ) n P ) > c m ( U P^) (9)

^3Œtô j3Gd5

- Pour P < a < Sî

m ( U /(A^, P^) H P) < m ( U /(A^, P/y) H P) (10)

y< (3 7 < a

Cette deuxième condition conduit à une contradiction, puisque toute suite C^)a<n croissante de réels est stationnaire à partir d'un certain rang.

Supposons ces suites construites pour j3 < a. Montrons que l'on ne peut avoir m ( U /(A^ , P^) H P) > p m (P). En effet,

(3<a

remarquons tout d'abord que /(A^,P^)* C U \f(a, P^)]* (en

a^Aft

notant X* la frontière de X) puisque f(a, P^)* = f(a ,PÎ) ( c a r / est un homéomorphisme en x) est de mesure nulle, f(a,.) étant lipschitzienne. Ainsi

m [f(A^ P^)*] == m (f(A^ P^) \ / ( A ^ , P^)) = 0 d'où

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE ] 45

m ( U f(A^P^) H P) = m ( U f(A^ P^) H P) > p m (P).

^ < a (8<a

II existe donc un entier p, des ordinaux jî^, . . .,fS tels que :

m ( U /(A^.,P^.)nP)>pm(P) /==!,...,?

En particulier

m ( U / ( A ^ . , P ^ ) n P ) > p m ( P ) ï=i,...,p

Posant T = U P^. et A' = U A^.

Ki<p Ki<p

nous avons m (/ (A', T)) > p m (P)

et d'après (9) m (/(A', T)) > c m (T). Mais comme nous avons supposé qu'un tel couple (A', T) n'existait pas, ceci prouve que

m (Y) < p m (P) où l'on a posé Y = U /(A^, P.) H P

f3<a

Soit P' un pavé compact, contenu dans P, et tel que m (P') >—_—. D'après la continuité uniforme de /, il existe un voisinage ouvert V de do dans A tel que

a G V , x G P ' =» / ( a , x ) G P .

Soit N un entier tel que — < N < —, et a^, . . .^ des pointsc le

K K

distincts de V - qui existent puisque do n'est pas isolé.

L'ensemble des points où Y n'a pas une densité nulle à même mesure que Y. L'ensemble des points x de P' tels que Y n'ait pas une densité nulle en / (û,, x) (où 1 < / < N) a une mesure au plus .- m (Y), puisque pour x, y dans P; \\x-y II <— U/(^., x) -f(a^y)\\.1 1

»c

Donc l'ensemble des points x de P' tels que Y n'ait pas une densité nulle en f(a^ x), pour chaque ;, a une mesure au plus

N 4c m (P)

^ m ( Y ) < ^ - p - ^ - < ^ ( P ' ) .

II existe donc un point x E P' tel que Y ait une densité nulle en / (di , x) pour i = 1, . . ., N. Soit Cç Fhypercube de centre x, de côté e. Les f(a^x) sont distincts et contenus dans P. Pour e assez petit les ensembles f(a^ Cç) sont donc disjoints et contenus dans P. De plus, ils contiennent les hypercubes C^ de centre/(a,, x), de côté k e. Pour e assez petit :

N

m ( U (f(a,, C,)\Y) H P) > ^ m (C,\Y)

1 < ï < N i== 1

^(c,)(i"<^ ^Y) )»^(i;''LWX))

\=i

^)

\=i ^(c,)

Chacun des termes de la somme tend vers 1 quand e tend vers 0, et comme k7 N > c il existe un CQ tel que :

m(( U / f o , , C ^ ) \ Y ) n P ) > c m ( C ^ ) .

i < ï < N

Posons P^ = C^, A^ = {û?i, . . .,ÛN }. Il est immédiat de vérifier que (9) et (10) sont valides, ce qui termine la preuve de ce lemme.

LEMME 7. - Avec les notations et les hypothèses du lemme 6, pour tout e > 0, // existe une partie T élémentaire de P, un ensemble fini A' C A, tels que f ( A ' , T) D P et m (T)< em (P)

/•^

Démonstration. — Prenons c = — , d ' o ù p = — k2 7. Soit ç un e 8

entier tel que (\ ——)q <—.En vertu du lemme, il existe un sous- ensemble TI de P, élémentaire, une partie finie A[ de A tels que

p m (P) < m (f(A[, Ti) H P) ; m 0\) <-1 m (f(A[, T\) H P)

0

L'ouvert P \ / ( A ^ , T) est de mesure au plus (1 - p ) m ( P ) < (l -^mœ).

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 147

II contient un nombre fini de pavés, d'intérieurs disjoints, dont la somme des mesures est supérieure ou égale à la moitié de la sienne.

Appliquons le lemme 6 à chacun de ces pavés, avec toujours c = —,2 e et soit

T^ la réunion des parties élémentaires ainsi obtenues.

A^ la réunion des parties finies de A ainsi obtenues.

m (T,) < J-m (f(A^, T^) H (P\/(A^, T,))

et l'ensemble P\ (f (A; , T^) U / (A; , T,)) a une mesure inférieure ou égale à

[, 44 (, 4 )],(P,.(, ^ „,,,

Par récurrence sur C, on construit de même des parties élémentaires TI, . . ., Tg, . . ., T^ et des parties A[, . . ., Ag, . . ., A' de A telles que :

m (Tg) <4 m ^(A^ ^ n (pv u /(A;, T,)))

2 i<Q

m(P\ U/(A;,T,))< (l --^^(P).

i< c v 2 /

D'après un raisonnement déjà fait lors du lemme 6 :

0

m (P\ U /(A;, T,)) = m (P\ U /(A;, T,)).

î < q /< <7

Ce dernier ensemble est compact, de mesure < — m (P). Il existe

donc un ensemble élémentaire T^p de masse < — m (P), qui le contient. Posons

T = U T^., et A' = U A; U {a^}.

i<q+ 1 i<q

Nous avons :

q+l

I

/= 1

m (T) < ^ m (T,) <6 1: m [/(A;, T,) H (P\ u /(A; , T,))1 + €- ^(P)

^=1 z ^<7 L f<i J 2

<- w (P) +-^ m (P) < e m (P).

et puisque fÇa^x) = x, / ( A ' , T ) D P, ce qui termine la preuve du lemme 7.

Passons maintenant à la preuve du théorème, dont nous reprenons les notations. Nous allons construire par récurrence une suite (K.) décroissante d'ensembles élémentaires, une suite (Aj) des parties finies de A telles que g (a , Aj, K,) D P pour chaque i,' et telles que m (K^i) < —m (K,.). Si nous posons K == H K,, nous avons m (K) = 0 ; comme pour tout / on a g (a , A , K,) D P, la continuité de g par rapport aux deux dernières variables implique g ( a , A , K) D P, ce qui termine la démonstration.

Prenons KQ = P, AQ = {û^}, puis supposons K^ et A^ construits.

Nous pouvons écrire K^ = U P^. où 1 est fini, et les P, sont des pavés /ci

compacts d'intérieurs disjoints, puis A^ = [a^^ où A est fini.

Nous pouvons appliquer le lemme 7 à la fonction g (ûg , . , . ) avec 1

6 - 2 card A' 'n existe donc un ensemble T^ élémentaire contenu dans P^., avec m (T,.g) < -———— et un sous-ensemble fini A.n de

2 card. A^ l'y•

A tels que

^ (^ . A^ , T^) D P^.

Posons K,^ = U T,, A^, == U A;,

^l <ei

fi^A fiCA

Nous avons :

I x - ^ . 1

^ (K,+i) < S S m (T,,) <- ^ m (P,) = - m (K,) ïe=i CGA 2 ,ei 2 "

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 14Ç

et aussi :

g ( û , A ^ i , K ^ i ) D U g (a , A',, , T,,)

f ( = I

£(SA

D U ^ , a , , g ( â g , A ; e , T ^ ) ) (11)

i(EÎ

E G A

D U ^ (a , ^ , P,) D ^ fo , A;,, K^) D P.

C(=A/ci

(il y a ici un abus d'écriture : on ne considère l'écriture (11) que lorsqu'elle est définie. Mais c'est toujours le cas lorsque^ (ûg, b , t) £ P^.

où b C A^, t E T^g.)

c.q.f.d.

3. Rôle des compacts parfaits dans le cas non métrisable.

Le théorème 2 ne peut être étendu tel qu'il est énoncé au cadre des groupes abéliens localement compacts non métrisables. Nous allons montrer que du point de vue de la somme vectorielle, ce n'est pas le cardinal de A qui importe, mais les compacts parfaits contenus dans A. Les ensembles 9<-sousiiniens [2] jouerons dans le cas général le rôle que jouent les ensembles analytiques dans le cas métrisable.

Les limites projectives que nous considérerons, tant dans ce paragraphe que dans les suivants, seront toujours supposées définies par des morphismes surjectifs.

THEOREME 8. — Soient A et B deux sous-ensembles 3C -sousiiniens d'un groupe localement compact G et m une mesure de Haar de G (invariante à gauche par exemple). Supposons m (B) = 0. Alors :

m (A B) == Sup {m (P B) ; P compact parfait inclus dans A}

Démonstration. — Bornons nous au cas 0 < m (A B) < °°, le cas m (A B) = + oo étant analogue. Soit e > 0 /l'application canonique (x , y ) -> x y de G x G dans G ; c = m* o/est une capacité ; A x B est capacitable. Il contient donc un compact K tel que

c (K) > c (A x B) - e = m (A B) - e-

Soient Q et R les projections de K :

Q C A , R C B. Alors m (Q R) = c (Q x R) > c (K) > m (A B) - e.

Pour tout ordinal a, notons Q0 le dérivée d'ordre a de Q. Prouvons par induction transfinie, que pour tout a, m (Q R) = m ((y R).

(Si Q était métrisable, ce serait évident, puisque Q \ (y serait dénombrable). Tout d'abord m (Q0^ R) = m (Q^1 R).En effet, pour toute partie finie F de (y VQ^¹ On a m ((Q^ \F) R) = m (Q^ R), d'où le résultat, puisque la famille des Q^F est filtrante décroissante d'intersection Qûi+l R. Si maintenant fS est un ordinal limite et que

m (Q R) = m (QP1 R) pour a < j3, on a m (Q^ R) = inf (m (Q0' R) = m (Q R) ,

a<0

puisque la famille (Q^ R)^ de compacts est décroissante d'inter- section Q^ R. La récurrence transfinie est donc terminée. Si

w ( A B ) - e > 0

aucun Q0' n'est vide, donc pour a assez grand, Q01 est parfait, ce qui termine tout.

Remarque. - Si m (A) = 0, on montre de même que : w(A B) = Sup {m (P Q) ; P C A , Q C B , P , Q compacts parfaits}.

Il n'est pas possible, même en remplaçant m par m*, d'affaiblir l'hypothèse "A 3C -sousiinien" en "A mesurable". En effet soient A et B deux parfaits de R, de mesure nulle, et tels que A 4- B ne soit pas de mesure nulle. L'axiome du choix permet aisément de partitionner A en deux ensembles A' et A" ne contenant aucun parfait. Et l'on a alors soit

m ^ A ' + B ^ O , soit m^ (A" 4-B) > 0.

Il n'est pas non plus possible de supposer seulement B mesurable.

En effet :

PROPOSITION^. - L'hypothèse du continu implique l'existence d'une partie B de R telle que :

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE \ 5 \

Si X est un Gg partout dense de R, X 4- B = R (12)

*SÏ X est un compact de mesure nulle, m* (X -t- B) = 0. (13)

Démonstration. — Soit Î2 le plus petit ordinal non dénombrable.

L'ensemble <s des Gg partout denses de R a la puissance du continu, ainsi que (ê x R. Par hypothèse, il existe donc des énumérations (^^n de § et (Za^a)o<n de ^ x R.

Construisons par récurrence transfinie, une suite (i^)a<n vérifiant les conditions :

-P<a ^ b^C\^ (14) - fS < a ^ b^ b,

- b ^ C x ^ - Z ^

La possibilité de cette construction provient du fait que pour a > Î2, (x^ — Z^) H H \Q, intersection dénombrable de Gg partout

0<0t

denses, est non dénombrable.

Soit B = U {by}. Alors B est non dénombrable, les j5^ étant a < n

distincts.

Si X est un Gg partout dense de R, et x un point de R, il a < ^î tel que (X , x) = (Z^ , x^). Ainsi :

b^ E (x^ - Z^) = x - X, c'est-à-dire x E X + B, ce qui établit (12) Soit maintenant X un compact de mesure nulle, et e > 0.

Il existe des réels ^ > 0 tels que m (X + ] 0, CJ) < —. Il existe un ouvert dense Y, réunion d'intervalles 1^ de longueurs £„.

Soit a < Î2 tel que Y = Y^. D'après (14) B\Y est dénombrable Donc :

m* (X + B) < m (X + Y) < ^ m (X 4-1^) < e

yi= 1

ce qui établit (13).

c.q.f.d.

Nous avons cependant le résultat plus faible suivant :

THEOREME 10. — Soit G un groupe compact, A un sous-ensemble 3^C -sousiinien ne contenant aucun compact parfait de G. Si X est un sous-ensemble de G de mesure extérieure nulle, (1), il en est de même de A X et X A.

La démonstration comporte plusieurs étapes.

LEMME 11. — Soient A un sous-ensemble 3^-souslinien ne conte- nant aucun compact parfait d'un espace topologique E et f une application continue de E dans un espace métrique F. Alors f (A) est dénombrable.

Démonstration. — Supposons / (A) non dénombrable. Comme cet ensemble est 3C -sousiinien, il est analytique au sens classique donc contient un parfait P homéomorphe à l'ensemble de Cantor.

Soit m une mesure diffuse portée par P et non nulle. Alors c = m* o / est une capacité sur E, et c (A) == m (P) > 0. Comme A est capacitable, il contient un compact K tel que c (K) > 0. Puisque m est diffuse, /(K) est non dénombrable et compact, donc contient un parfait

P'.

Soit : Ûî = {B C K , B compact, /(B) = P'}

<B est inductive pour l'ordre inverse de l'inclusion. Soit B un élément maximal. Il n'est pas parfait, d'après l'hypothèse sur A, donc possède un point isolé b. Ainsi B \ {&}est compact. D'après la maximalité de B, f(B\[b}) ^ P'. D o n c / ( B \ {&})== P'\ {/(&)} est compact, ce qui prouve que f(b) est isolé dans P', et contredit l'hypothèse P' parfait.

c.q.f.d.

Soit maintenant 1 un ensemble filtrant croissant, (G^çj des groupes compacts métrisables tels que G = lim G^., pour des morphis-

J(EI

mes convenables surjectifs entre les G^. (On peut même prendre des groupes de Lie pour les G^. — mais ceci n'interviendra pas).

(1) Par une technique très voisine, on peut montrer que si X est maigre, il en est de même de A X et X A.

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 1 5 3

LEMME 12. - Soit U un ouvert de G. // existe un sous-ensemble dénombrable J de I, filtrant croissant, tel que si l'on note G' = lim G.^_ lf

î'ej

m' la mesure de Haar normalisée de G', et ^ : G -> G' /é? morphisme canonique (qui est surjectif) on ait m' (^f (U)) = m (U).

Démonstration. - Notons ^. : G -^ G^. le morphisme canonique.

Nous avons U = U Ug où Ug = <^.1 (Î2g), ^ étant un élément

E G A ic

de 1 et Î2g un ouvert de G^. Il existe une partie dénombrable L de A telle que, si V = U U^, m (V) = m (U). En effet, par régularité

C G L

intérieure, il existe une suite de compacts de U dont la réunion a même mesure que U, et chacun de ces compacts peut se recouvrir par un nombre fini de Ug.

Soit J un sous-ensemble dénombrable de I, filtrant croissant, contenant les ^ pour C dans L. Montrons qu'il convient. Posons H = ker<^'. Nous avons V H = V (puisque il en est de même pour chaque Vg pour î dans L). Donc m' (<// (V)) = m (V) = m (U).

Supposons m' (^f (U)) >mr (<^' (V)). Il existe Ê tel que m ' ( ^ ( U g ) \ ^ ( V ) ) > 0

(les ^'(Ug) sont ouverts). Soit K' un compact inclus dans ^(U^)\(^ (V) et tel que m ' ( K ' ) > 0. Soit K = </?'-1 (K'). m (K) = m'(K'). Les translatés à gauche de Ug par les éléments de H recouvrent K, donc aussi un nombre fini d'entre eux. Comme K est stable par ces trans- lations, il est recouvert par un nombre fini de translatés de K n Ug, ce qui montre que m (K H Ug) > 0. Mais K H Ug C U\V, ce qui contredit m (U) = m (V). Donc m' (U)) = m' (^ (V)) = m (U).

c.q.f.d.

LEMME 13. - Soit X une partie de G, de mesure extérieure nulle.

Il existe un sous-ensemble J dénombrable, filtrant croissant, de I, tel que, avec les notations du lemme \2,on ait m ' * ( ^ ' (X)) = 0.

Démonstration. - Pour n > 0, il existe un ouvert U^ de G tel que m (UJ < — e t X C U^. La conclusion du lemme 12 restant valable si l'on agrandit J, on peut choisir cette partie telle que

m1 (^ (U^)) ^ — p o u t tout n. Et comme ^ (X) C ^ (U^) pour tout n, m'* (<// (X)) = 0.

c.q.f.d.

Nous sommes maintenant en mesure de prouver le théorème 10.

Avec les notations précédentes, G' est métrisable, donc ^ (A) est dénombrable. Ainsi

0 = m ' * ( ^ ' ( A ) ( ^ ( X ) ) > m ' * ( ^ ' ( A X ) ) > m * ( A X ) e t m * ( A X ) = 0.

Et de même m* (X A) = 0.

c.q.f.d.

COROLLAIRE 14. — Dans renoncé du théorème 10, on peut rem- placer "G compact" par "G abélien localement compact".

Démonstration. — Un tel groupe est de la forme R^ x G' ou G' contient un groupe compact G" tel que le quotient Gf|Gtt soit discret. Supposons d'abord p = 0. A ayant une image dénombrable dans G'/G", on peut la supposer réduite à un point. Le résultat découle alors du théorème 10, et des relations entre les mesures de Haar de G ' , G" , G'/G". Supposons maintenant p quelconque.La projection de A sur R^ est dénombrable. On est donc ramené au cas où elle est réduite à un point, et le résultat découle alors du cas p == 0 et du théorème de Fubini.

c.q.f.d, L'intérêt de ce résultat est que A peut être de cardinal arbitraire, puisque tout compact A peut être plongé dans un produit de tores T1, et qu'il existe des compacts ne contenant aucun parfait, et de cardinal arbitraire. Le théorème 15 va nous permettre de préciser ceci. Nous pourrions le déduire d'un résultat plus général de A. Pelczinski ([4], proposition 8-10) mais nous donnons ici une démonstration directe.

THEOREME 15. — Soit G un groupe compact, abélien ou non (resp. localement compact abélien), et ^ le plus petit cardinal tel que G admette une base de voisinage de e de cardinal K Soit O.Q le

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE \ 5 5

plus petit ordinal de cardinal ^. Alors l'espace compact [0, a^ ] (muni de la topologie de l'ordre) se plonge dans G.

En particulier, ce résultat implique que tout groupe compact (resp localement compact abélien) non métrisable contient un compact non dénombrable qui ne contient aucun parfait. Remarquons aussi que si a est un ordinal de cardinal > ^ , [0 , a] ne se plonge pas dans G, puisque a n'admet pas de base de voisinages de cardinal < ^;.

Le cas localement compact se déduit aisément du cas compact.

La preuve de celui-ci est basée sur le lemme suivant :

LEMME 16. -Soit G un groupe compact. G' un quotient séparé de G. Alors tout compact K' de G\ ne contenant aucun parfait, se relève dans G.

Démonstration. — Désignons par ^ le morphisme canonique de G sur G\ Soit & l'ensemble des couples (K , H), où H est un sous-groupe compact distingué de G, K un compact de G, réunion de classes modulo H. ê est non vide, puisqu'il contient ((^-1 (K'), Ker^).

Munissons g de la relation d'ordre (K^ , H ^ ) < (K^ , H^) si et seule- ment si les conditions suivantes sont vérifiées.

- K^ C KI et H^ C HI

— Chaque classe modulo H^ qui est contenue dans K^ contient une et une seule classe modulo H contenue dans K^

Montrons que ê est inductif.

Soit (K^., I-y^ une famille totalement ordonnée de ê. Posons K == H K, ; H = 0 H,.

fe l iç. l

Si k appartient à K, que que soit i, sa classe modulo H^ est incluse dans K^., donc sa classe modulo H est incluse dans K. Ceci montre déjà que ( K , H ) G ê . Soit / un élément fixé de I. Chaque classe modulo H. qui est contenue dans K. rencontre K, puisque une inter- section décroissante de compacts non vides est non vide. Enfin soient k et k ' deux éléments de K dans une même classe modulo H,. Pour i > /, on a k-1 k ' E H, (puisque (K,, H^.) < (K,, H,.)), d'où k~1 k ' G H = H H^., ce qui achève de prouver que (K^., H?<(K,H).

i>i

Ainsi (K , H) est un majorant des (Ky, Hy)yçj, et il est clair que c'est le plus petit, ce qui montre que ê est inductif.

L'élément Op~1 (K') , Ker <^) est majoré par un élément maximal (K , H). Si nous prouvons que H = {e}, la démonstration sera terminée puisque K est alors un relèvement de K'. Supposons donc que H =^= {e}. Soit h E H , h ^ e. Comme G'est limite projective de groupes de Lie, il existe un morphisme surjectif ^ de G dans un groupe de Lie L, avec V/ (h) = e. Alors ^ (H) est un sous-groupe distingué de L, puisque ^ est surjectif et que H est distingué dans G. Désignons par 0 ( r e s p 0 ' ) le morphisme canonique de G (resp L) dans G/H (resp L/\^ (H)). Puisque Ker Q ' o ^ contient H, il existe un morphisme ^f

de G/H dans L/V/ (H) tel que ^' o Q = Q ' o i//. Q (K) est homéo- morphe à K', par la restriction à Q (K) de l'application quotient G/H -> G/Ker <^ = G' (c'est une bijection car chaque classe module Ker (R contenue dans <p~1 ( K ' ) rencontre exactement une classe modulo H contenue dans K). Ainsi 0 (K) ne contient aucun parfait. D'après le lemme 11, ^ ' o 6 (K) est dénombrable (L/i//(K) étant métrisable) donc en particulier totalement discontinu. Puisque L est métrisable, d'après [3] ^f o 9 (K) admet un relèvement K" dans L. Considérons le couple(K H V/-1 (K"), H H Ker ^/). Déjà, on a K H i//-1 (K")CK, et H 0 Ker \^ C H, cette inclusion étant d'ailleurs stricte puisque h è Ker i//. Soient k et k ' deux éléments de K 0 i//-¹ (K") contenus dans une même classe modulo H. On a

Q (k) = 0 Ç k ' ) , d'où V/'o 9 Çk) = ^ ' o 9 (^),

et ainsi O ' o ^ (k) = 9 ' o ^ (k'\ Puisque ^ (fc) et ^ (/c') sont dans K", on a ^ (k) == ^ ( k ' ) . Ceci montre que k~1 k ' G Ker i//, et enfin que k et k ' sont dans une même classe modulo H 0 Ker ^. (on sait déjà que k~1 k ' G H). De plus toute classe modulo H contenue dans K rencontre K H \^~1 (K") (car son image par ^ rencontre K^) ce qui achève de prouver que (K , H) < (K H i//-1 (K"), H H Ker ^), en contradiction avec la maximalité de (K , H).

c.q.f.d.

Prouvons maintenant le théorème 15. Le groupe G est limite projective d'une famille (G{)^ de groupes compacts métrisables. Tout d'abord, construisons par récurrence transfinie une famille convenable (J^)^ de parties filtrantes croissantes de I, chaque J^ étant de cardinal ^ si a < OQ. Pour a ordinal limite nous posons J^ = U J.,

(3<a

qui est encore de cardinal < ^ si a < Oç et si les îg (j3 < a) le sont.

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 157

Si a = j3 4- 1, le morphisme canonique : <^ : G -> U G^ n'est pas IGJ^

injectif, car G posséderait alors une base de voisinages de l'élément neutre de cardinal < ^. Soit x un élément de Ker <^, distinct de e.

Soit ensuite / un indice tel que l'image de x par le morphisme cano- nique de G dans G^. ne soit pas l'élément neutre. On prend alors pour J^ une partie filtrante croissante, de même cardinal que J^, et contenant i. Définissons G^ = lim G^. et soit

ïGJo,

^ : G^ ^ G ^ ( a < ^ < ^ )

le morphisme canonique. Par construction ce morphisme n'est pas injectif, si a < j3. Toujours par récurrence transfinie nous allons maintenant construire, pour a < Oç, un système projectifde compacts K^ C G^, vérifiant les conditions suivantes :

— les morphismes de ce système sont les rectrictions aux K^

des morphismes ^ .

— Il existe un homéomorphisme h (7 < û^) de [0 , 7] sur K tel que ^^^ = h~^1 o ^p^ o h^ soit l'application de [0 , j3] sur [0 ,a]

qui laisse fixe chaque ordinal < a et envoie sur a chaque ordinal

> a.

Pour a = 0, Ko consiste en un seul point.

Si a = j3 + 1, d'après le lemme 16, K^ se relève dans G^ en K. On prend alors K^ = K U {fc}, où k est un point de G^\K, tel que ^paa W = ^(3 W (ce ^m est possible puisque ^ n'est pas injective ! ) Si a est un ordinal limite, de façon canonique

et on pose alors

G^ = 1m G^

(3<ût

K ^ = Imi K^.

(3<a

II est homéomorphe à [0 , a] car la limite projective des [0 , fi] pour les morphismes V/^y (j3 < 7 < a) n'est autre que [ 0 , a ] . Le détail des vérifications est laissé au lecteur.

Le compact K^ de G est homéomorphe à [0,0^]. Et puisque G^ est un quotient de G, une nouvelle application du lemme 16 termine la démonstration.

4. Parties couvrantes.

Ce paragraphe contient une partie des outils techniques néces- saires au théorème 23.

A partir de maintenant, tous les groupes sont supposés abéliens, et sont notés additivement. Nous noterons < a , b, c,. . . > le sous- groupe engendré par les éléments a , b, c,. . . d'un groupe.

Soient G un groupe (abélien) compact et A un sous-ensemble non-vide de G\{0}.

DEFINITION 17. — On dira qu'une partie X de G est couvrante pour A si elle est compacte, et si pour tout a G A , G == X U ( X + û )

Evidemment si X est couvrante pour A, elle l'est aussi pour tout A' C A, où A' ^ 0.

Soit m la mesure de Haar normalisée de G.

PROPOSITION 18. —Lorsque G est fini, et que le sous-groupe G¹ engendré par A est produit direct des < a > où a G A il existe une partie X de G, couvrante pour A et telle que m (X) < — .

Démonstration. — Soient ^ , . . .,ty les points de A.

Tout d'abord, nous pouvons supposer G = G'. En effet, dési- gnonspar m'ia mesure de Haar normalisée de G' et soit X' une partie de G' couvrante pour les t^ et telle que m' (X') <-. Pour £ G G/G'2

j

soit g^ un élément de G dont la classe est £. Posons

X = U X' + g^.

ce G/G'

C'est une partie couvrante pour les ^ et m (X) = m (X') <—.2 Soit n^ l'ordre de ^..

Supposant les n^ impairs, prouvons le résultat par récurrence sur p.

Pour p = 1, prenons

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE \ 59

X = {0} U {(2 k + 1) ^ ; 0 < 2 k + 1 < ^ - 1}.

Alors

^ - 1

''^-^-iC^H^

Si ^ G G\X, on a x = 2 £ ^ ou C > 0. Alors x = ^ + ( 2 £ - 1) ^ G ^ 4- X, ce qui montre que X est couvrante.

Supposons le résultat vrai pour p — 1. En renumérotant au besoin les ^., on peut supposer n > n^. Soit G' == < ^ , . . .,t _i >, soit mf sa mesure de Haar normalisée, et soit X' une partie de G' couvrante par ^ , . . .,^_i telle que m (X^) <—. Posons :

X = U ( X ' + f c ^ + f c ^ U (J ( X ' + 2 f c r + ^ )

0<k<n^-l n^<2k<rip

u U ( x ' + ( 2 ^ + i ) a

n^ <2k+Knp r

m (X) = m' (X') <—, et il est clair que X est couvrante pour t\-> - - -^p-r X 4- t est réunion des ensembles suivants :

(J ( X ' + À ^ + ( f e - 1 ) ^ ) ; X ' + T Î , ^ + (^, - 1 ) ^

l< f c < ? i i - l

(J ( X ' + ( 2 À : + 1 ) ^ + ^ ) ; X ' + ^

MI + 1< 2 f c + 1 < " p

U (X' + 2 fc ^);

MI < 2 fc < rip

et puisque X' U (X' 4- t^) = G', on a X U (X + tp) = G

Supposons maintenant les n^ quelconques. S'ils sont tous pairs, il suffit de prendre

X = j ^ ^ ; 0 < f c , < n , , ^ ^.pairi

V i<p i=l f

et l'on a même m (X) = —. S'il n'en est rien, on peut les supposer pairs pour / < q < p , impairs pour q < i < p .

Soit alors G' = < ^ , . . .,^ > et X' C G', une partie couvrante 2

par t^, . . .,tp telle que m' (X') <—, où m' désigne comme d'habitude la mesure de Haar normalisée de G'. Il est aisé de vérifier que la partie suivante convient :

x = U ( Z k,t.+x')u U (I ^,+x'.^)

2fc, pair i^Q S ^-impair ^ i< q. ï< q

0<ki<nf 0<,ki<nf

c.q.f.d.

Le résultat qui suit n'est qu'un cas particulier de la proposition 22. Mais comme celle-ci a une preuve assez technique, il n'est sans doute pas superflu de donner auparavant l'idée principale de la démonstration.

00 1 + j3 4 Soit (j3p)p^N une ^t^ d'entiers telle que II ———E <—.

i ^ 3 Avec les notations précédentes, nous avons :

PROPOSITION 19. — Supposons toujours G fini, et supposons de plus que pour tous q, r vérifiant 0 < q < p et 0 < r < j 3 , l'élément T t^ ne soit pas dans < t^ . . .,^_i >. // existe alors une partie X de G, couvrante pour les ty et telle que m (X) <—.

Démonstration. — On se ramène comme précédemment au cas où les tf engendrent G. Par récurrence sur p, prouvons que l'on

1 P 1+|3.

peut en fait choisir X telle que m (X) < — II —— . Le casp = la été

2 <= i ft traité au début de la proposition 18.

Supposons le résultat établi pour p — 1. Soit G' = < t^, . . .,t ^>

et X' une partie de G' couvrante pour les ^. (;' <p), telle que

^(x'xL'n'LîA.

2 1=1 p,

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 1 ^ 1

Posons

X = U ( X ' + 2 ^ ) U U ( X ' + ( 2 ^ + l ) r + ^ )

0<2k<n-l 0<2k+l<n-l

U ( G ' + 0 2 - l ) ^ ) où n est de l'ordre de la classe de tp dans G/G' (donc n > JS ). On a : m (X) = -^ (Oî - l ) m ' (X') + l) <-'2-4-^ m' (X') < -l-^ m' (X')

<in'-'-^

2 ^ ft

et on vérifie sans difficulté que X est couvrante pour les ^..

Nous allons maintenant établir des résultats analogues aux propositions 18 et 19, dans le cas où G est isomorphe à un produit T2 x $ (T = R/Z, <î> groupe abélien fini). Rappelons que tout sous- groupe fermé et tout groupe quotient séparé de groupes de cette forme l'est encore. Nous avons besoin du lemme suivant :

LEMME 20. - Soient G un groupe compact isomorphe à T" x <î>. G' un sous-groupe fermé. G" = G/G', ^ l'application canonique de G sur G", w" la mesure de Haar normalisée de G". // existe un compact Z de G tel que ^ (Z) = G", et que ^p~1 (z) H Z ait exactement un élément pour presque tout (relativement à m") élément z de G".

Démonstration. - On peut supposer G = T" x <î>. Soit ^ l'appli- cation canonique R" -^ T". On sait qu'il existe une base û^, . . .,^ de Z", un entier m < n, des entiers ê, 0' < m) tels que :

F1 (G' H (T" x {0})) = j S n, a,le, + S u, a, ; u, G R , n, G Z

v i< w w < i< n

(où ^-1 est définie naturellement sur T" x {0} ^ T")

soit ^(j S ^ A - . l ^ ^ h x W

v ( /< m 2 ; /

On a (^ (Z) == ^? (T" x {0})

Soit (c,)^ une famille finie d'éléments de <î> tels qu'il y ait exactement uji </? (c,) dans chaque classe de G" modulo ^ (T" x {0}).

Soit Z = U Z + c,. Il est clair que ^ (Z) = G". Soit 77 un morphisme

ï G I

de l'espace vectoriel sur R de dimension m engendré par les a- (i < m ) sur T" dont le noyau soit le Z -module engendré par les a^ Le morphisme ^ de T1 x {0} dans T1 donné par :

(^ ( S ^. a,), 0) -> T? ( S 6?, r, û,)

i'< yi f< m

a pour noyau G' H (T" x {0}), donc il existe un isomorphisme F¹ de (^ (T" x {0}) sur T" tel que F¹ o <^ = i//, d'où

< ^ o ^ = ? o 1 / / o Ç = ? o î 7 .

Si z = ? o 17 ( X ^. û,) est tel que (^-1 (z) H Z ait plus d'un élément,

j"< m

il existe un i tel que | >y, | == —, ce qui montre que l'ensemble des tels z est de mesure nulle dans ^p (T" x {0}), donc aussi dans G".

Remarquons de plus (ce qui sera utile dans la proposition 22) que si on désigne par P le sous-ensemble

? o î ? ( j S ^,;|.,|<-1)

\ ï'< m • /

de G", l'application 6 : z -^ </?-1 (z) H Z de P dans Z est telle que

Zi , Z^ , Zi + Z2 e P =^ 0(Z, + Z^) = 0 (Zi) + 0 (Z^),

ce qui découle du fait que

0 o ? o r] (S 5, û?,) = Ç ( ^ ^. û^A?,) dès que | 5-, | <—.

i < w 2 c.q.f.d.

Soient toujours G un groupe isomorphe à un produit T" x <î>, (^,. . .,^p)des élément de G et m la mesure de Haar normalisée de G.

PROPOSITION 21. — Supposons que le groupe G' engendré par les ti soit fini et produit direct des groupes ( ^ > engendrés par les t^

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 163

// existe alors une partie X de G, couvrante pour les t^ et telle que m (X) < j.

Démonstration. - Soit X' une partie de G' couvrante pour les

^., et telle que m ' ( X ' ) < — (voir proposition 18). Soit Z le compact fourni par le lemme 20. Posons X = X' + Z. Puisque G = G' + Z, pour tout / on a

X U (X 4- ^.) D ((X' + t,) U X') 4- Z = G.

Soit \ la fonction caractéristique de X. Avec des notations évidentes on a :

m W - jL-G/G dmft ^ly^' ^ (x + y) dm ^ =m ^

c.q.f.d.

Passons maintenant à un résultat technique qui généralise la

00 A 4- a \2 4

proposition 19. Soit a une suite d'entiers tel que II (———p-} < — i v a? / 3 Avec toujours les mêmes notations :

PROPOSITION 22. - Supposons que l'on ait des morphismes surjectifs :

G ^ G , . . . . G ^ ^ G ^

et posons (pour tout q < p - 1 ) : V/^ = 17^ o . . . o ^ (et ^ = zû^) Supposons de plus que pour 1 < ^ < p on ait

T V^_i (^) + 0 pour 0 < T < c^, et V/^ (^) = 0 pour ; <q.

Il existe alors une partie X de G couvrante pour les t^ et telle que m (X) < À

Démonstration. — Nous allons prouver, par récurrence sur p, que l'on peut même prendre X telle que m (X) < — fi (———^V.

2 i v c^. /

Le cas p = 1, étant très semblable au cas général, est laissé au lecteur. Supposons donc le résultat établi pour p — 1.

Posons G' = Ker i//p_^. Il est isomorphe à un groupe de la forme T" x $' (<î>' groupe abélien fini). Les (t^p et la suite des morphismes :

G' ->1 Ker 7^ o. . . o ^ nî . . . Ker r^_i 7Î^2 Ker 7?^

vérifient les hypothèses de l'énoncé. Il existe donc une partie X' de G', couvrante pour ^ , . . .,^, et telle que

.wx'-'n'r'-^'

^(X'x-n (—5).

2 ,= ir=i v v a.. o^i /

Gp_i est isomorphe à un groupe de la forme T" x V/ (m < ^,

^ abélien fini). On peut, en vertu de la preuve du lemme 20, choisir cet isomorphisme en sorte que (Gp_^ étant identifié à T" x ^ par cet isomorphisme, et G Fêtant à T" x $) y/^_^ | T" x {0} soit l'appli- cation V/ de ce même lemme, dont nous reprenons les notations.

Posons V/^_^ (tp) = (u, v) où u G ^m est de la forme Y . . \ ^. . . ^ 1

^ = T?( S ^.)

v Ï < W /

Uf di \ avec | u, , , .

/<m / ' 2

Si ^ est d'ordre fini, chaque u, est rationnel. Soit u, =pl avec q, > 6.

Cff

Posons u = u, e = 0.

Supposons maintenant que u ne soit pas d'ordre fini. Etant donné 6 > 0, il existe p\, q\ G Z, et tels que

",-4 <—.

En posant p, = 6 p;, qr, = 6 (?;

on voit qu'il existe p,, <y, G Z , ç, > 6 et

.,--^ <-i.

^, ?,

Les éléments dont l'ordre divise un entier k donné forment un sous-groupe discret de T'". En prenant e assez petit, on peut donc supposer que

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE \ 55

u = r] (^ 1. -PL^) est d'ordre > Op.

f< m Qi

Imposons de plus à e les conditions

1 + a 1 ( l + 2 e )w< — — —e et 6 <—

a 2 / v F e 1 4- e1 \ Posons Q = T? ( L - -, ——— a , ) C P ;

\<m L ^ ^ J /

alors 6 est additif sur Q. Si m" désigne la mesure de Haar normalisée de G ^ on a

^ ( Q X ( l + 2 < r ( n ^ ) x ^

Posons ^ = r + 9 (i/ - K). Soit r l'ordre de O/, i/). Que ^' soit d'ordre fini ou non on a r > a (d'après l'hypothèse dans le premier cas, par construction dans le second). Soit enfin L = 0 (Q). Posons X = U (X' + L +2 k t)

0 < 2k<r-1

U U ( X ' + L + ( 2 ^ + 1 ) ^ + ^ ) U ( G ' +-L+(r-l)r)

0 < 2 f c + 1 < T - 1

On a m (X' + L) = m' (X') m" (Q) ; m (G' + L) m" (0) D'où

m ( X ) < m " ( Q ) [(r- l ) m ' ( X ' ) + l ] < ( r + 1) m ' (X') m" (Q).

Soit 0 le sous-groupe de G ^ = T^ x i// engendré par V/ et les

/ a - \ m

éléments de la forme \— ). Son cardinal vaut card ^ x II ^..

v^ / <=i

Soit (x,)^i un ensemble d'éléments de G tels que chaque classe de 0 modulo < {u , v) > contienne exactement un élément. Le

1 '"

cardinal de 1 est- card V/ x II q^. Soit enfin

T /= 1

X = U (X+x,).

î'ei

On a :

m (X) < card 1 x m (X) < card 1 x (r + 1) m' (X') m" (Q)

< ( i + 2 e r ^.(x^^^x^ln (Ll^

T ^ 2 /= 1 û,. /

et X est compacte.

Prouvons que X est couvrante. Soit x dans G. Il existe

; < E I , 0 < Â ; < T , z G 7 7 ( Z [o,-^L.)

^< m [ Qi J

tels que

V^-i (x) = ^ (x,.) 4- fc Q/ , f;) 4- z.

Or O/, v) = V/p_i 0) et z = ^ (0 (z)) où Q (z) E L. Ainsi :

x ' =x -x,- kt -Q ( z ) G G' Si ^ = T , x est dans X.

Si k est pair : ( x ' G X') ^ (x G X). Si À; est impair (x G X' + ^) =^ (x G X).

Ainsi le fait que X soit couvrante pour ^ , . . .,^,_i découle immédia- tement du fait que X' l'est aussi, dans G'. Examinons le cas de t . Supposons par exemple k = 2 k1 > 0 (les cas k = 0 , k == 2 k ' + Isont laissés au lecteur). Si x n'est pas dans X, xf n'est pas dans X'. Mais on peut alors écrire :

x == x, + (2 ^' - 1) ^ + Q (z) + x' + t ; or r = ^ + 0 (u -u\

D'où : x = ^ 4- (2 À;' - 1 ) t 4- 0 (z + ^' - ^) + x 4- ^

car Q est additif sur Q. De plus 0 (z + u - ù) E L . Comme x n'est pas dans X' on a x' = x" + ^ avec x " dans X^. D'où enfin :

x = (^. + (2 fe' - 1) t 4- 0 (z 4- u' - u) + x" + t^) + /p G X + ^.

c.q.f.d.

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 167

5. Extension aux groupes abéliens localement compacts.

Le théorème suivant est, dans le cas abélien, la réciproque du théorème 10.

THEOREME 23. - Soit G un groupe abélien compact, A un compact parfait de G. // existe un compact parfait K de G, de mesure nulle, et tel que K + A = G.

On sait que tout groupe abélien compact est limite projective d'une famille (G^-çj de groupes isomorphes à des T" x <î>. Commençons par étudier les compacts parfaits d'une limite projective.

LEMME 24. - Soit 1 un ensemble filtrant croissant, (E^)^ des espaces topologiques séparés, E = lim E^. (pour desmorphismes conve-

/ei

nobles ^ : E, ^- Ey surjectifs), A G E un compact parfait. Alors il se produit au moins l'une des éventualités suivantes :

1 ) // existe i tel que ^ (A) contienne un parfait (^. : E -> E, est le morphisme canonique)

2) // existe une partie J dénombrable, filtrante croissante de I, telle que si on note E' = lim E{ et ^ : E -> E ' , ^ : E' -> E, (i E J)

•<—

l'GÎ

les morphismes canoniques, ^ (A) contienne un compact parfait B tel que ^ (B) soit fini pour chaque i.

Démonstration. — Supposons que la première éventualité ne se produise pas. Remarquons que si a est isolé dans ^ (A), ^-1 (a) H A est parfait. Construisons par récurrence une suite croissante (/ ) d'éléments de I, une suite d'ensembles B C ^ (A), finis formés de points isolés de ^ (A), tels que, ^-^ (b) H Bp+i ait au moins deux éléments pour tout point B de B-.^t^que^/ . (B . , ) C BP ' '• •p'^p+i p+i7 p

Supposons donc B construit. Pour tout & de B ^^(b) Fi A est parfait. Comme Bp est fini, pour i ^.^ assez grand, ^ (<^~¹ (b) C\ A) possède au moins deux éléments, quel que soit b dans B . C'est un fermé de ^. ^ (A) et comme ce dernier ensemble ne contient aucun parfait <^. (^-1 (b) H A) contient au moins deux points 6^et b^ isolés dans ^.^ (A^. L'ensemble B^ = {b, ; i == 1,2 ; b C B^,}

convient.

Prenons J = {ip ;p G N}. et B = H ^-1 (B^,). Le fermé B est inclus dans ^ (A) = H ^r_{n "n}1 (A)) donc il est compact. Enfin il est parfait. En effet, soit b dans B. Tout voisinage de b contient un ouvert de la forme ^-1 (a), ou a est un ouvert de E^. contenant

^ (6). Il contient donc aussi ^-1 (<^~^. (&) n B ^) qui possède au moins deux éléments.

c.q.f.d.

Conservons les notations de ce lemme, au remplacement près de la lettre E par la lettre G.

1er Cas : II existe ; tel que <^.(A) soit non dénombrable. G^

est isomorphe à un produit de la forme T" x $. Un produit fini d'ensembles dénombrables l'étant encore il existe donc un morphisme

© de G^. dans T tel que 6 o ^ (A) soit non dénombrable. D'après le corollaire 5 il existe un compact parfait L de T tel que m" (L) = 0 (mff désigne la mesure de Haar de T) et L + Q o ^ (A) == T.

Si K = (0 a (^•)-1 (L), alors m (K) = 0 et K + A == G. Enfin K est parfait puisque L l'est.

2e Cas : II suffit, d'après le raisonnement précédent, de résoudre le problème pour G' et B. Pour alléger les notations, posons

^p=^PÏ^p.^=^^Gip=GP

LEMME 25. — Supposons l'une des conditions suivantes vérifiées : i) Tout élément de B - B est d'ordre fini

ii) II n'existe aucun parfait Ç C B tel que tout élément de (C—C) soit d'ordre fini. Soit K C G^ un compact tel que

K + ^ ( B ) = G , .

// existe alors un entier n > n, un compact K' de G^' tel que

^ (K') = K, que K' + ^, (B) = G,, G,-, et que m ^ , ( K ' ) < — m ^ (K) (ou m^ désigne la mesure de Haar

•j normalisée de G^)

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE 1 ^Q

Démonstration. - Remarquons tout d'abord qu'un élément g de G est d'ordre fini r si et seulement si il existe un entier N tel que (pp (g) soit d'ordre r pour tout p > N.

Soit < ^ ( B ) = { & i , . . ..,Z^}. Nous allons construire un entier^', et des élément 6;' , b\ G <^, (B) (i < ^) tels que

^(^-^^.(é;)

et que les éléments t, = 6;' - b\ de ker ^, vérifient les hypothèses de la proposition 2l (Cas 0 ou de la proposition 22 (Cas ii).

Supposons (0. Par une récurrence immédiate, nous construisons une suite d'entiers n,, ; = o, . . .,q, (n^ = n) deux suites d\, d\' de points de B telles que

- Pour ; < 7 < q on ait ^. (û?;) = ^ (rf;') et ^ (û0 = ^ y;') = ^.

- Pour m > n, l'ordre <^ (rf;' - ûf;), est une constante r, Puis nous posons n == n^ , b\ = ^, (û?;), 6;' = ^ , (d\\

Soit enfin ^. = b^ - b\ (donc ^, G ker <^). Les ^. sont contenus dans le sous-groupe fini de ker </?^, formé des éléments d'ordre ppcm (Tf) donc engendrent un groupe fini. Supposons que l'on ait une relation de la forme kp tp + . . .4-^ ^ = 0 (o < p < q). On en déduit que

0 = ^n (k, t, +. . . + k, t,) = ^ ^ ,, (^)

donc que Tp divise /;p par construction. Ainsi kp tp = 0 puisque ^ est aussi d'ordre Tp. Par récurrence ceci prouve que tout les k, ^ sont nuls. et donc que le groupe engendré par les ^. est produit des <^>

Supposons (ii). Nous construisons les mêmes suites, mais en imposant cette fois la condition k ^. (d^ - d\) = 0 pour 0 < k < a-, et toujours bien sûr

^ (< - û?;) = 0 pour / > i, ^ (rf;) = ^ ( d ' / ) = &, La possibilité de cette construction résulte du fait que si

^^-i^^^œ),

on peut choisir dans ^_^c) H B deux éléments d\' , d\, tels que

d ' y — d ' f , ne soit pas d'ordre fini, puisque ^_1 (c) H B est un compact parfait contenu dans B. Si n = ^, les éléments t ^ , . . .,^de Ker<p^

vérifient les hypothèses de la proposition 22.

Dans les deux. cas, il existe donc une partie X de K e r ^ ^ couvrante pour les ^ (f = 1, . . .,q) et de mesure de Haar normalisée

<—. Soit Z un compact de G^' vérifiant les conditions du lemme 20.2 Posons

K' = X + ^ (K) H Z ; on a m^ (K') <-j- m^ (K).

Soit x dans G^'. Puisque G^ == K 4-<^ (B) on peut écrire

^n (x) =b,^ k o ù k ^ K .

Soit y e ^ (k) H Z, on a ^- (x - b\ - y ) = 0, donc x = 6,' + y + /z où /z G Ker ^.

Si /! est dans X, x est dans </?^ (B) -I- K', puisque y + h est dans K'. Sinon h est dans X 4- t, = X + b'/ - b[ Soit h = h ' ^- b^ - b\

où A' G X. On a alors x = &," + j/ + h ' G ^ (B) + K'. Ce qui prouve q u e ^ ( B ) + K ' = G , .

c.q.f.d.

Achevons la preuve du théorème 23. Si l'hypothèse 0';) du lemme 25 n'est pas vérifiée, en remplaçant au besoin B par un parfait plus petit, on peut supposer l'hypothèse (;) vérifiée. Dans tous les cas nous pouvons donc supposer la conclusion du lemme 25 valide.

Construisons alors par récurrence une suite (rip) d'entiers croissante, une suite K C G^ de compacts tels que

K, + ^ (B) = G^ , m^ (K^) <-| m^ (K^,

et tels que pour k E K , ^1^ (k) Fl K +1 possède au moins deux éléments (cette condition est automatiquement vérifiée par la construc- tion du lemme 25 puisque une partie couvrante pour deux éléments distincts possède au moins deux éléments). Pour tout entier p, on a ^1 (Kp) + B = G'.

SOMMES VECTORIELLES D'ENSEMBLES DE MESURE NULLE ^ 7 ]

Posons K = n <^-1 (Kp) ; (intersection décroissante) On a alors K + B = G', m' (K) = 0

et K est parfait, c.q.f.d.

COROLLAIRE 26. - Soit G un groupe localement compact abélien, A un compact parfait de G. Il existe un compact parfait, K de G, de mesure de Haar nulle, tel que K + H ^ 0.

Démonstration. - G est de la forme R" x G ' , où G' contient un sous groupe G" compact tel que G'/G^soit discret.

Si la projection de A sur un des facteurs isomorphes à R est non dénombrable le raisonnement a déjà été fait. Sinon la projection de A sur R" a un point isolé. On peut donc supposer qu'elle se réduit à ce point (puisque l'ensemble des points de A se projetant en ce point est parfait) puis par translation que A C G'. L'image de A dans G'/G" est finie. En répétant le même raisonnement on peut supposer A C G". Soit K" C G" un parfait, tel que

m"(K") = 0 et K" + A = G".

Posons K = [0,1 F x K". Alors K + A = [0,1 f x G" est d'intérieur non vide, K est parfait, et m (K) = 0.

c.q.f.d.

BIBLIOGRAPHIE

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[2] G. CHOQUET, Lectures on Analysis, Tome 1, W. A Benjamin, Inc. 1969.

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[4] A. PELCZYNSKI, Linear extension, linear averagings, . . . Disserta- tiones Mathematicae, L VIII (1968).

[5] M. TALAGRAND, Sommes vectorielles d'ensembles de mesures nulles, C.R.A.S. 180 (1975), 853-855.

Manuscrit reçu le 21 mai 1975 Proposé par G. Choquet.

Michel TALAGRAND, Equipe d'Analyse E.R.A. au CNRS n° 294 Université Pierre et Marie Curie

Tour 46 — 4e étage 4, Place Jussieu 75230 Paris cedex 05.