Intégration & probabilités MACS 1
Introduction de la partie probabilités
Laurent Tournier
Novembre 2018
MACS 1 Intégration et probabilités
Notion d’expérience aléatoire
(Ce qui suit n’est pas une définition mathématique)
Dans la vie courante, une expérience est ditealéatoiresi son déroulement est imprévisible, à chaque fois qu’on la répète dans les “mêmes conditions”.
Remarques :
Les “conditions” changent selon l’informationdont on dispose sur l’expérience. Le
“hasard” vient d’ailleurs souvent d’un manque d’information. Il est donc essentiel, pour décrire une expérience aléatoire, de préciser exactement ce qui est connu ou non.
“Répéter l’expérience” signifie que l’on “régénère” la situation, de telle sorte que le résultat de la première expérience ne donneaucune informationsur celui de la deuxième : les deux expériences sontindépendantes, mais se déroulent selon le même protocole.
Bien qu’imprévisible, une suite de répétitions indépendantes d’une même expérience présente (le plus souvent) des “régularités”. Notamment, on peut observer laloi des grands nombres: Considérons une propriétéAqui dépend de l’expérience. Si on répète l’expériencenfois, oùn est “grand”, alors la proportion des fois où la propriétéAest réalisée s’approche d’un certain nombre réelP(A)∈[0,1]:
nombre de fois oùAest réalisé parminexpériences
n 'P(A).
Ce nombreP(A)correspond donc à la “proportion de chance” queAsoit réalisé lors d’une expérience donnée.
Dans les cas simples,P(A)peut être deviné à partir d’arguments de symétrie.
Fondement mathématique : notion d’espace de probabilité
Essayons de formaliser les propriétés deP(A) =“proportion limite de fois oùAest réalisé” : siAest une propriété toujours fausse,P(A) =0 ;
siAest une propriété toujours vraie,P(A) =1 ;
siAetBsont des propriétés incompatibles (jamais simultanément vraies), P(AouB) =P(A) +P(B).
Choisissons une représentation mathématiqueΩde l’ensemble des résultats de l’expérience.
Une propriétéAs’identifie à un sous-ensemble deΩ(l’ensemble des résultats qui vérifient la propriété).
AinsiPest une fonctionP:P(Ω)→[0,1]telle queP(∅) =0,P(Ω) =1 et siAetBsont des parties disjointes deΩ,P(A]B) =P(A) +P(B).
Pour obtenir une théorie mathématique satisfaisante, calquée sur la théorie de l’intégration, On fait l’hypothèse plus forte que cette propriété s’étend à une infinité dénombrable de parties disjointes, si bien quePest unemesureet
On suppose que l’on veut seulement définir la probabilité de certains ensembles (qui forment nécessairement une tribu). On les appellera desévénements.
Unespace de probabilitéest un espace mesuré(Ω,A,P)tel queP(Ω) =1. Autrement dit,A est une tribu surΩ, appelée tribu des événements, etP:A →[0,1]vérifie :
pour toute suite(An)nd’événements disjoints, P(]
n∈N
An) =X
n∈N
P(An).
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Vocabulaire
Soit(Ω,A,P)un espace de probabilité.
un élémentω∈Ωest uneréalisationde l’expérience : chaque élément deΩcorrespond à une façon dont l’expérience peut se dérouler
Ωest l’espace des éventualitésou l’univers
un ensembleA∈ A(doncA⊂Ω) est unévénement. Siω∈A, on dit queωréaliseA.
P(A)est laprobabilitéde l’événementA
SiP(A) =1 (doncP(Ac) =0) on dit queAest un événementpresque sûr, ou queAest réalisépresque sûrement, en abrégép.s..
Unevariable aléatoireest une fonction mesurableX: Ω→E(où(E,E)est un espace mesurable). Elle associe une valeurX(ω)à chaque réalisationω∈Ω. On parle de variable aléatoire réellesiX: Ω→R.
Les événements relatifs à une variable aléatoire seront généralement notés de façon fonctionnelle, c’est-à-dire : pourB∈ E, on notera
{X∈B}={ω∈Ω|X(ω)∈B}=X−1(B) ∈ A.
Laloide la variable aléatoireXest la mesure image dePparX. C’est donc la probabilité PXsur(E,E)donnée par :
pour toutB∈ E, PX(B) =P(X∈B) =P({ω∈Ω|X(ω)∈B}).
On dira queXsuit la loiPX, et on notera parfoisX∼PX.
L’espérancedeX: Ω→Rest son intégrale par rapport àP: on noteE[X] = Z
Ω
X dP (si existe :X≥0 ouE[|X|]<∞).
Théorème de transfert
Rappel :
Unevariable aléatoireest une fonction mesurableX: Ω→E
Laloide la variable aléatoireXest la mesure image dePparX. C’est donc la probabilité PXsur(E,E)donnée par :
pour toutB∈ E, PX(B) =P(X∈B) =P({ω∈Ω|X(ω)∈B}).
L’espérancedeX: Ω→Rest son intégrale par rapport àP: on noteE[X] = Z
Ω
X dP (si existe :X≥0 ouE[|X|]<∞).
Par le théorème de transfert, pour toute variable aléatoireX: Ω→E, et toute fonction mesurableϕ:E→R,
E[ϕ(X)] = Z
R
ϕ(x)dPX(x),
dès lors queϕ≥0 ouϕ(X)est intégrable.
Pour calculerE[ϕ(X)], il suffit de connaître la loiPXdeX
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Remarques sur les opérations ensemblistes
Un événement est un ensemble(une partie deΩ). Néanmoins, il est généralement décrit par une condition vérifiée ou non par l’expérience. Les opérations de logique entre conditions correspondent à des opérations d’ensembles entre événements, à garder à l’esprit :
Ac= Ω\Aest l’événement “An’est pas réalisé”, c’est-à-dire le contraire deA A∪Best l’événement “AouBest réalisé”
A∩Best l’événément “AetBsont réalisés”
A∩B=∅signifie que “AetBsont incompatibles”
A⊂Bsignifie que “AimpliqueB”
[
1≤k≤n
Akest l’événement “il existe 1≤k≤ntel queAkest réalisé”
\
1≤k≤n
Akest l’événement “pour tous 1≤k≤n,Akest réalisé”
B∩Acest l’événement “Best réalisé, mais pasA”
Usage de la fonction indicatrice
SiAest un événement,1A: Ω→ {0,1}est une variable aléatoire (très pratique).
Elle vaut 1 siAest réalisé, et 0 sinon :1A(ω) = (
1 siω∈A, 0 sinon.
Probabilité conditionnelle, indépendance
On a signalé que disposer d’une information modifie l’expérience. Plus précisément, cela modifie la probabilité :
SoitB∈ Atel queP(B)>0. Laprobabilité conditionnelle sachantBest la probabilité P(· |B)sur(Ω,A)donnée par
pour toutA∈ A, P(A|B) = P(A∩B) P(B) .
P(A|B)correspond à la probabilité deAlorsque l’on modifie l’expérience par l’information queBest réalisé.
On a évoqué l’indépendance dans la façon de répéter une expérience. C’est une notion clé en probabilité, qui signifie qu’une certaine information n’a pas d’incidence.
Deux événementsAetBsontindépendantssiP(A∩B) =P(A)P(B); Deux variables aléatoiresX: Ω→EetY: Ω→Fsontindépendantessi
pour tousA∈ E,B∈ F, {X∈A}et{Y∈B}sont indépendants.
Ceci revient àP(X∈A,Y∈B) =P(X∈A)P(Y∈B), ce qui s’écrit aussi
P(X,Y)(A×B) =PX(A)PY(B), oùP(X,Y)est la loi de(X,Y)(variable aléatoireΩ→E×F).
XetYsont indépendantes ssiP(X,Y)=PX⊗PY.
Dans ce cas, on pourra “intégrer par tranches” et appliquer les théorèmes de Fubini.
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Variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoireX: Ω→EestdiscrètesiEest dénombrable, ou plus généralement si P(X∈D) =1, oùD⊂Eest dénombrable.
Pour simplifier, supposons juste queEest dénombrable.
Dans ce cas, la loi deXest
PX=X
x∈E
P(X=x)δx
En effet, siA⊂E,Aest dénombrable donc PX(A) =P(X∈A) =P(]
x∈A
{X=x}) =X
x∈A
P(X=x) =X
x∈E
P(X=x)δx(A).
En particulier, par le théorème de transfert, pour toute fonctionϕ:E→R, E[ϕ(X)] =X
x∈E
P(X=x)ϕ(x),
à condition queϕ≥0, ou queϕ(X)soit intégrable (c.-à-d.P
x∈EP(X=x)|ϕ(x)|<∞).
Pour une variable aléatoireXà valeurs dans un ensembleEdénombrable, la loi deXest connue dès que l’on connaîtP(X=x)pour toutx∈E.
Variables aléatoires à densité
Une variable aléatoireX: Ω→Rdestà densitési sa loiPXa une densité par rapport à la mesure de Lebesgueλd, autrement dit s’il existe une fonctionfX:Rd→R+mesurable telle que
pour toutA∈ B(Rd), PX(A) =P(X∈A) = Z
A
fX(x)dx.
En particulier, par le théorème de transfert, pour toute fonctionϕ:E→R, E[ϕ(X)] =
Z
ϕ(x)fX(x)dx, à condition queϕ≥0, ou queϕ(X)soit intégrable (c.-à-d.R
|ϕ(x)|fX(x)dx<∞).
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