Intégration & probabilités MACS 1 Bilan de la partie intégration

Intégration & probabilités MACS 1

Bilan de la partie intégration

Laurent Tournier

Novembre 2018

Les notions clés

Espace mesuré(E,A, µ).

Eensemble

AtribusurE: ensemble de sous-ensembles deEtel que

(i) ∅ ∈ A(etE∈ A);

(ii) siA∈ A, alorsA^c=E\A∈ A;

(iii) siAn∈ Apour toutn∈N, alorsS

nAn∈ A(etT

nAn∈ A).

µmesuresurA: fonctionA →[0,∞]telle que

(i) µ(∅) =0;

(ii) siAn∈ Apour toutn∈N, etAn∩Am=∅pour tousn6=m, alors µ ]

n∈N

An

=X

n∈N

µ(An).

Exemples :

A=P(E), etµ=δx, ouµ=X

n∈N

αnδ_xn, avecαn≥0,xn∈E(cas “discret”) A=B(R^d), et par exemple

µ=X

n∈N

αnδ_xn,µ(A) = X

n∈N:xn∈A

αn

µ=λd(mesure de Lebesgue surR^d),λ1(=λ), λ2, λ3: longueur, aire volume µ= (λd)_|K(mesure de Lebesgue surR^drestreinte àK) :(λd)_|K(A) =λd(A∩K), µ=f·λd=f(x)dλd(x) =f(x)dx(mesure de densitéf, oùf(x)≥0pour toutx∈R^d), µ(A) =

Z

A

f dλd= Z

1A(x)f(x)dx

un mélange commeµ=α0δ0+f(x)dx, ou ...

Les notions clés

Espace mesuré(E,A, µ).

Eensemble

AtribusurE: ensemble de sous-ensembles deEtel que

(i) ∅ ∈ A(etE∈ A);

(ii) siA∈ A, alorsA^c=E\A∈ A;

(iii) siAn∈ Apour toutn∈N, alorsS

nAn∈ A(etT

nAn∈ A).

µmesuresurA: fonctionA →[0,∞]telle que

(i) µ(∅) =0;

(ii) siAn∈ Apour toutn∈N, etAn∩Am=∅pour tousn6=m, alors µ ]

n∈N

An

=X

n∈N

µ(An).

Exemples :

A=P(E), etµ=δx, ouµ=X

n∈N

αnδ_xn, avecαn≥0,xn∈E(cas “discret”) A=B(R^d), et par exemple

µ=X

n∈N

αnδ_xn,µ(A) = X

n∈N:xn∈A

αn

µ=λd(mesure de Lebesgue surR^d),λ1(=λ), λ2, λ3: longueur, aire volume µ= (λd)_|K(mesure de Lebesgue surR^drestreinte àK) :(λd)_|K(A) =λd(A∩K), µ=f·λd=f(x)dλd(x) =f(x)dx(mesure de densitéf, oùf(x)≥0pour toutx∈R^d), µ(A) =

Z

A

f dλd= Z

1A(x)f(x)dx

un mélange commeµ=α0δ0+f(x)dx, ou ...

L’intégrale par rapport à une mesure

(E,A, µ)espace mesuré,f:E→R(mesurable). On peut définir Z

f dµdans 2 cas : sifestpositive(même à valeurs dans[0,∞]) ; dans ce cas

Z

f dµ∈[0,∞]

sifestintégrablepar rapport àµ, c’est-à-dire queR

|f|dµ <∞.

Dans le cas positif, la définition se déduit du cas des fonctions indicatrices :

PourA∈ A, Z

1Adµ=µ(A).

Par linéarité, on définit l’intégrale des fonctions étagéesf=

n

X

i=1

αi1_Ai(avecαi≥0∀i, ou µ(Ai)<∞ ∀i):

Z f dµ=

n

X

i=1

αiµ(Ai).

Par limite croissante, on définit l’intégrale des fonctionsfpositives : Z

f dµ= lim↑

n

Z

fndµ∈[0,∞], où, pour toutn∈N,fnest étagée≥0, et∀x∈E,lim↑

n

fn(x) =f(x) Par différence entre parties positive et négative, on en déduit la définition quandfest intégrable :

Z f dµ=

Z f+dµ−

Z

f−dµ∈R.

Intégrale discrète, intégrale de Riemann

Intégrale par rapport à une mesure discrète

On a Z

f dδx=f(x).

Plus généralement, pourµ=P

n∈Nαnδ_xn, Z

f dµ=X

n∈N

αnf(xn),

à condition quef≥0ou quefsoit intégrable par rapport àµ(c.-à-d. queX

n∈N

αn|f(xn)|<∞)

Intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue

Pourf:I→Rcontinue par morceaux (ou Riemann-intégrable), Z

I

f dλ= Z

I

f(x)dx

lorsqueI= [a,b], et cela reste vrai pourI=]a,b[aveca,b∈Rlorsque on suppose de plus que f≥0, ou quefest intégrable sur]a,b[(c’est-à-dire que

Z

]a,b[

|f(x)|dx<∞).

Théorèmes de convergence

Théorème de convergence monotone

Soit(fn)nune suite croissante de fonctions mesurables, deEdans[0,∞]. On a Z

lim↑

n

fndµ= lim↑

n

Z fndµ.

Théorème de convergence dominée

Soit(fn)nune suite de fonctions mesurables, deEdansR. On suppose que pourpresquetoutx∈E, fn(x)converge quandn→ ∞;

pourpresquetoutx∈E, pour toutn∈N, |fn(x)| ≤ϕ(x), où Z

ϕ(x)dµ(x)<∞.

Alors

Z lim

n fndµ= lim

n

Z fndµ.

Espace produit

Soit(E,E, µ)et(F,F, ν)deux espaces mesurés.

On peut définir(E×F,E ⊗ F, µ⊗ν)de telle sorte que, pour tousA∈ EetB∈ F, A×B∈ E ⊗ F et (µ⊗ν)(A×B) =µ(A)ν(B) On a même une formule générale : siC∈ E ⊗ F,

(µ⊗ν)(C) = Z

E

ν(Cx)dµ(x) = Z

F

µ(C^y)dν(y)

où, pourx∈E,Cx={y∈F|(x,y)∈C}et poury∈F,C^y={x∈E|(x,y)∈C}sont les

“tranches” deC.

Espace produit

Soit(E,E, µ)et(F,F, ν)deux espaces mesurés.

On peut définir(E×F,E ⊗ F, µ⊗ν)de telle sorte que, pour tousA∈ EetB∈ F, A×B∈ E ⊗ F et (µ⊗ν)(A×B) =µ(A)ν(B) On a même une formule générale : siC∈ E ⊗ F,

(µ⊗ν)(C) = Z

E

ν(Cx)dµ(x) = Z

F

µ(C^y)dν(y)

où, pourx∈E,Cx={y∈F|(x,y)∈C}et poury∈F,C^y={x∈E|(x,y)∈C}sont les

“tranches” deC.

La formule correspond exactement au casf=1Cdu théorème suivant : Théorèmes de Fubini

Pourf:E×F→Rmesurable, on a Z

E×F

f d(µ⊗ν) = Z

E

Z

F

f(x,y)dν(y)

dµ(x) = Z

F

Z

E

f(x,y)dµ(x)

dν(y) sif≥0(Fubini-Tonelli), ou sifest intégrable par rapport àµ⊗ν(Fubini-Lebesgue), c’est-à-dire si

Z

E

Z

F

|f(x,y)|dν(y)

dµ(x)<∞ (ou Z

F

Z

E

|f(x,y)|dµ(x)

dν(y)<∞).

Exemple :B(R^d)⊗ B(R^d

0) =B(R^d+d

0),λd⊗λ_d0 =λ_d+d0, et le théorème de Fubini est valide avec “dx” (c’est-à-diredλd(x))) au lieu de “dµ(x)” et “dν(x)”

Mesure image, théorème de transfert

Soit(E,E, µ)un espace mesuré,(F,F)un espace mesurable, etϕ:E→F.

On définit la mesureϕ∗µsurFpar

pour toutB∈ F, (ϕ∗µ)(B) =µ ϕ⁻¹(B)

.

La formule correspond exactement au casf=1Cdu théorème suivant : Théorème de transfert

Pourf:E→Rmesurable, on a Z

E

f(ϕ(x))dµ(x) = Z

F

f(y)d(ϕ∗µ)(y) sif≥0, ou sif◦ϕest intégrable par rapport àµ, c’est-à-dire si

Z

E

|f(ϕ(x))|dµ(x) = Z

F

|f(y)|d(ϕ∗µ)(y)<∞.

Changement de variable affine, dans R

SoitM:R^d→R^dune application linéaire (ou affine). PourB∈ B(R^d), λd(M(B)) =|detM|λd(B).

Autrement dit, la mesure image deλdparMest 1

|detM|λd, lorsqueMest inversible.

En particulier,λdest invariante par les rotations et symétries orthogonales (M^TM=Idonc detM=±1)

PourB= [0,1]^d,M(B)est leparallélotopeengendré par les vecteurs colonnes deM:Menvoie le cube engendré pare₁, . . . ,edsur le parallélotope engendré parM(e₁), . . . ,M(ed).

On a donc, pour toute fonctionf:D→Rmesurable, Z

U

f(Mx)dx= Z

D

f(y) 1

|detM|dy

= 1

|detM|

Z

D

f(y)dy, à condition d’avoirf≥0, ou quefsoit intégrable surD.

Changement de variable différentiable, dans R

Quelle est la mesure image deλdpar une application non linéaireϕ:R^d→R^d, injective ? Soity∈R^d. Près dex=ϕ⁻¹(y), siϕest différentiable,ϕ(x+h)'y+dϕx(h): autrement dit,ϕ est presque égale à l’application affinex+h7→y+dϕx(h)

Ici,dϕxest la différentielle deϕ= (ϕ1, . . . , ϕd): c’est l’application linéaire de matrice (^∂ϕ_∂ⁱ

xj)1≤i,j≤d.

Donc la mesure image deλdparϕest, “près dey”, “presque égale à”

1

|detdϕx|λd=|det(dϕ⁻¹)y|λd.

On suppose queϕ:U→Dest unC¹-difféomorphisme, c’est-à-dire queϕest bijective, et queϕ etϕ⁻¹sont de classeC¹. Alors la mesure image parϕde la mesure de Lebesgue surUest la mesure de densité|det(dϕ⁻¹)|par rapport à la mesure de Lebesgue surD: en abrégé,

ϕ_∗dx=|det(dϕ⁻¹)y|dy.

On a donc, pour toute fonctionf:D→Rmesurable, Z

U

f(ϕ(x))dx= Z

D

f(y)|Jϕ⁻¹(y)|dy,

oùJϕ⁻¹(y) =|det(dϕ⁻¹)y|, à condition d’avoirf≥0, ou quef◦ϕsoit intégrable surU.