Intégration des fonctions à deux

Stanislas

Exercices

Intégration des fonctions à deux

variables

Chapitre XXX

MPSI 1

I - Calculs d'intégrales Exercice 1. (-)

1. Montrer que pour toutx∈[0,1],ln(1 +x) = Z 1

0

x 1 +xy dy. 2. Calculer l'intégraleZ Z

[0,1]×[0,1]

x+y

(1 +x²)(1 +y²)dx dy. 3. En déduire la valeur de

Z 1

0

ln(1 +x) 1 +x² dx.

Exercice 2. (-)Dessiner le domaine d'intégration puis calculer les intégrales suivantes.

1. I₁= Z Z

D1

x² a² +y²

b²

dx dy, où D1 ={(x, y)∈R² ; x²+y² ≤R²},a, b, R∈R^?₊. 2.I2=

Z Z

D2

(x²+y²) sin(x²+y²)dx dy, où D2 ={(x, y)∈R² ; a² ≤x²+y²≤b²,a, b,∈R^?₊. 3. I₃=

Z Z

D3

x²+y² x+p

x²+y² dx dy, où D3={(x, y)∈R² ; x²+y²≤1, x≥0, y≥0}. 4. I₄=

Z Z

D4

y

x²+ 1dx dy, où D4 ={(x, y)∈R² ; x²+y² ≤1, x≥0, y≥0}. 5. I5=

Z Z

D5

(x+y)²dx dy, oùD5 ={(x, y)∈R² ; x²+y²−x≤0, x²+y²−y≥0, y≥0}. 6. I6=

Z Z

D⁶(x²+y²)dx dy, où D6 ={(x, y)∈R² ; x²+y² ≤2ax, x²+y²≤2ay},a >0. 7. I7=

Z Z

D7

(x²−y²) cos(xy)dx dy, où D7={(x, y)∈R² ; 0≤x+y≤4, xy≥1, x≤y}.

On poserau= ^x+y₂ ,v= ^x−y₂ .

Exercice 3. (Calculs d’aire,-)Calculer l'aire délimitée par 1. y² =x²(2−x), x≥0

2. les paraboles d'équationsy² = 3−x, y² = 3−3x, x≥0.

3. L'astroïde paramétrée par(x(t), y(t)) = (acos³t, bsin³t),a, b∈R+. Exercice 4. (L’intégrale de Gauss,♥)On veut montrer que

Xlim→+∞

Z X

0

e^−x2dx=

√π

2 .

Soient f : (x, y) 7→ e^−x2−y2 et a ∈ R^?+. On note Da = {(x, y) ∈ R² ; x² +y² ≤ a²},

∆_a ={(x, y)∈R² ; |x| ≤a, |y| ≤a} etJ_a= Z Z

∆a

f. 1. CalculerI_a=

Z Z

Da

f. 2. Montrer queI_a≤J_a≤I^√_2a.

3. En déduire queJ_a admet une limite lorsquea tend vers l'inni et déterminer cette limite.

4. Conclure.

Intégration des fonctions à deux variables MPSI 1

II - Formule de Green-Riemann

Exercice 5. (-)Calculer les intégrales curvilignes.

1.I1= Z

γ

(x−y³)dx+x³dy, où γ est le cercleC d'équationx²+y²= 1 parcouru dans le sens positif.

2. I₂= Z

γ

xy dy, où γ est le cercleC d'équationx²+y² = 1 parcouru dans le sens positif.

3.I₃= Z

γ

x²dy+y²dx, où γ est le paramétrage direct du triangle (OIJ), oùO(0,0),I(1,0)et J(0,1).

Exercice 6.Déterminer les cerclesγdu plan le long desquels l'intégrale curviligneZ

γ

y²dx+x²dy= 0.

Sˆta’nˆiŒs„laŒš 2/2 A. C€a’m€a’n€eš