Initiation aux probabilités
Rappel : On appelle expérience aléatoire une expérience faisant apparaître au hasard des résultats.
1°) Loi de probabilité sur un ensemble fini
définition E = {x1, x2, …..,xn} est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. ( E est l’ univers) Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi positif ou nul de telle façon que p1 + p2 + ….. + pn = 1.
Le nombre pi est appelé probabilité de l’issue xi.
exemple 1 : Une urne contient 6 boules (indiscernables au toucher) numérotées de 1 à 6.On tire au hasard une boule : c’est une expérience aléatoire.
On modélise cette expérience en lui associant la loi de probabilité :
issue 1 2 3 4 5 6
probabilité
exemple 2 : On lance un dé qui a une face 1, deux faces 2 et trois faces 3. Modéliser cette expérience en lui associant une la loi de probabilité
issue 1 2 3
probabilité
Remarque : dans l’exemple 1, toutes les probabilités sont égales : on est dans une situation d’équiprobabilité.
On parle de loi équirépartie. Dans ce cas, la probabilité d’une issue est 1
n où n est le nombre total d’issues.
théorème Loi des grands nombres :
Pour une expérience donnée, réalisée sur une grande série, la distribution des fréquences se rapproche de la loi de probabilité.
exemple :
En lançant un dé pipé 1000 fois, on a obtenu les résultats suivants :
face 1 2 3 4 5 6
pourcentage 15% 15% 15% 15% 15% 25%
Déterminer la loi de probabilité associé à cette expérience :
face 1 2 3 4 5 6
probabilité 2°) Evénements
définition E est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire, muni d’une loi de probabilité.
Un événement A est une partie de E.
exemple : On considère l’exemple 1 ( tirage d’une boule dans une urne).
– Si A est l’événement : « la face est paire », A = { ; ; }.
– B est l’événement : « la face est un multiple de 3 », B = { }.
définition Soient A et B deux événements.
• L’événement « A et B », noté A ∩ B, est constitué des issues qui réalisent à la fois A et B.
• L’événement « A ou B », noté A ∪ B, est constitué des issues qui réalisent au moins un des événements A ou B.
• L’événement contraire de A, noté ̄A , est constitué des issues qui ne réalisent pas A.
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• Les événements A et B sont incompatibles s’ils n’ont aucune issue en commun : A ∩ B = ∅.
(On dit aussi qu’ils sont disjoints.)
• On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Soient C et K les événements suivants : B : « la carte est un cœur. » K : « la carte est un roi .»
B ∩ K : « …... » ;B ∪ K : « ... »
B : « …... » B ∪ K = …... B ∩ K = …...
3°) Probabilité
définition avec A est un événement :
La probabilité de A, notée p(A) est la somme des probabilités des issues qui réalisent A.
• ∅ est appelé événement impossible : p(∅) = 0.
• E est appelé événement certain : p(E) = 1.
• Un événement constitué d’une seule issue est un événement élémentaire.
• 0 ≤ p(A) ≤ 1. A et B son incompatibles si A ∩ B = ∅.
exemple : On considère la loi de probabilité du dé pipé précédemment.
– Si A est l’événement : « la face est paire », p(A) =
– B est l’événement : « la face est un multiple de 3 »,p(B) = théorème Loi de Laplace :
Dans le cas d’une loi équiprobable, la probabilité d’un événement A est : p(A) = nombre d ' éléments de A
nombre d ' éléments de E = nombre de cas favorables nombre de cas possibles
exemple suite : On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. B : « la carte est un cœur. » K : « la carte est un roi .»
Alors : p(B) = , p(K) = théorème • p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
• p( ̄A ) = 1 – p(A)
• Si A et B sont incompatibles, p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
exemple : P( B ∩ K ) = …...P( B ∪ K) = …...
4°) Probabilités conditionnelles :
Définition :Si p(A) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé, notée pA(B) ou p(B/ A), est définie par : p( B / A ) =
( )
( ) p A B
p A
∩
exemple : P(K/B ) =
Autre formule qui s'en déduit directement : P(A ∩B ) = P ( B/A) × P( A) = P ( A/B) × P( B).
Application : on lance plusieurs fois un pièce de monnaie ( arbre pondéré ).
5°) Evènements indépendants
Définition : les évènements A et B sont indépendants si P(A ∩ B ) = P ( B) × P( A) exemple : B et K ne sont pas des évènements indépendants
Propriété : les évènements A et B sont indépendants si et seulement si P(A / B ) = P ( A) ou si P( B/A) = P(B).
Remarque : ne pas confondre incompatibles et indépendants.
exemple : on lance un dé, les événements A = « la face obtenue est paire » et B= « la face obtenue est supérieur ou égale à 3 » sont compatible et indépendants.
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