MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Dans tout le problème
1, l'espace euclidien R
3est muni de sa structure euclidienne usuelle et rapportée à sa base canonique (orthonormée) notée (e
1, e
2, e
3) .
Partie I
Soit s l'endomorphisme de R
3de matrice
S = 1 3
5 −1 −1
−1 5 −1
−1 −1 5
dans la base canonique.
1. Montrer que s est un automorphisme de R
3. 2. Soient e
01= (1, 1, 1) , e
02= (1, −1, 0) , e
03= (1, 1, −2) .
a. Montrer que (e
01, e
02, e
03) est une base de R
3.
b. Déterminer la matrice S
0de s dans la base (e
01, e
02, e
03) .
c. Pour n ∈ N, calculer S
0net donner une méthode pour calculer S
n. (on ne demande pas d'eectuer les calculs)
3. a. La famille (I
3, S) est-elle libre dans M
3( R ) ?
b. Montrer que S
2peut s'exprimer comme combinaison linéaire de I
3et S .
c. En déduire que pour tout n ∈ N, il existe un unique couple (a
n, b
n) de réels tels que
S
n= a
nI
3+ b
nS
d. Donner les valeurs de a
0, b
0, a
1, b
1et exprimer a
n+1et b
n+1en fonction de a
net b
n.
e. Montrer que la suite (a
n+ b
n)
n∈Nest constante et que la suite (b
n+ 1)
n∈Nest géométrique. En déduire l'expression de a
net b
npour tous les n .
4. Soit B = S − 2I
3.
a. Calculer B
npour n ∈ N. En déduire l'expression de S
nen fonction de I
3et B . b. Comparer avec le résultat de la question 3.
5. L'expression de S
nobtenue aux questions 3. et 4. est-elle valable pour n ∈ Z ?
1d'après Mines Albi,Alès,... 1998 MPSI
Partie II
Soit f l'endomorphisme de R
3de matrice
A = 1 3
−1 −1 5 5 −1 −1
−1 5 −1
dans la base canonique. On pose
u = f ◦ s
−1et on note U la matrice de u dans la base canonique.
1. Calculer U , vérier que u est un automorphisme orthogonal et que u ◦ s = s ◦ u = f
2. Soit (e
001, e
002, e
003) la famille obtenue en normant les vecteurs (e
01, e
02, e
03) de la question 2.
de la première partie.
a. Montrer que (e
001, e
002, e
003) est une base orthonormale.
b. Écrire la matrice U
0de u dans cette base.
3. a. Exprimer la matrice de s dans la base (e
001, e
002, e
003) en fonction de S
0. b. En déduire la matrice de f dans la base (e
001, e
002, e
003) .
4. a. Quel est l'ensemble des vecteurs invariants par f ?
b. Soit P = Vect(e
002, e
003)) . Montrer que f (P ) = P . Soit g l'endomorphisme de P tel que g(x) = f (x) pour tout x de P . Montrer que g est la composée de deux applications linéaires simples que l'on précisera.
5. On note C(f ) l'ensemble des endomorphismes de R
3commutant avec f . C'est à dire l'ensemble des endomorphismes g tels que g ◦ f = f ◦ g .
a. Montrer que C(f ) est une sous-algèbre de L( R
3) . b. Soit g ∈ C(f ) .
i. Montrer que le vecteur g(e
001) est invariant par f . Que peut-on en déduire ? ii. Soit M la matrice de g dans la base (e
001, e
002, e
003) . Montrer que M commute
avec S
03.
iii. En déduire la forme générale de la matrice d'un endomorphisme de C(f ) dans la base (e
001, e
002, e
003) .
c. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel C(f ) ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Aalglineuc1MPSI B 29 juin 2019
Corrigé
Partie I
1. On peut calculer le rang ou le déterminant. Pour le calcul du rang par exemple, on forme les matrices suivantes par des opérations élémentaires. Elles ont toutes le même rang que s .
5 −1 −1
−1 5 −1
−1 −1 5
−1 5 −1
−1 −1 5 5 −1 −1
−1 5 −1 0 −6 −6 0 24 −6
−1 5 −1
0 1 1
0 4 −1
−1 5 −1
0 1 1
0 5 0
−1 −1 5
0 1 1
0 0 5
2. a. Le rang de la dernière est clairement 3. On en déduit que s est un automorphisme.
b. La famille (e
01, e
02, e
03) avec
e
01= (1, 1, 1), e
02= (1, −1, 0), e
03= (1, 1, −2)
est une base car elle est orthogonale pour le produit scalaire usuel de R
3. c. Calculons les images des vecteurs :
1 3
5 −1 −1
−1 5 −1
−1 −1 5
1 1 1
=
1 1 1
donc s(e
01) = e
011 3
5 −1 −1
−1 5 −1
−1 −1 5
1
−1 0
=
2
−2 0
donc s(e
02) = 2e
021 3
5 −1 −1
−1 5 −1
−1 −1 5
1 1
−2
=
2 2
−4
donc s(e
03) = 2e
03On en déduit
S
0= Mat
(e01,e02,e03)
s =
1 0 0 0 2 0 0 0 2
d. Soit P la matrice de passage de (e
1, e
2, e
3) vers (e
01, e
02, e
03)
P =
1 1 1
1 −1 1
1 0 −2
alors S = P S
0P
−1donc S
n= P S
0nP
−1avec
S
0=
1 0 0
0 2
n0 0 0 2
n
3. a. La famille (I
3, S) est libre car S n'est pas diagonale.
b. Après calcul, on trouve que
S
2= −2I + 3S
c. Il est clair que S
0, S , S
2sont combinaisons linéaires de I
3et S . Si S
nest com- binaison linéaire de I
3et S alors S
n+1est combinaison linéaire de S et S
2. En remplaçant S
2on obtient bien une combinaison de I
3et S . Ceci prouve l'existence par récurrence. L'unicité vient de ce que la famille (I
3, S) est libre. On obtient
S
n+1= −2b
nI
3+ (a
n+ 3b
n)S d. La question précédente conduit aux relations
a
0= 1 b
0= 0 ,
a
1= 0 b
1= 1 ,
a
n+1= −2b
nb
n+1= a
n+ 3b
ne. En utilisant les relations de la question précédente, il vient
a
n+1+ b
n+1= −2b
n+ a
n+ 3b
n= a
n+ b
n= · · · = a
1+ b
1= 1 b
n+1+ 1 = a
n+ b
n+ 2b
n+ 1 = 1 + 2b
n+ 1
= 2(b
n+ 1) = · · · = 2
n(b
0+ 1) = 2
nOn en déduit
a
n= 2 − 2
n, b
n= 2
n− 1 4. a. Soit B = S − 2I
3. Avec les données de l'énoncé on obtient
B = − 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
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Rémy Nicolai Aalglineuc1MPSI B 29 juin 2019
On en déduit B
2= −B puis B
n= (−1)
n+1B .
Comme B = S − 2I
3et que S commute avec I
3, on peut appliquer la formule du binôme
S
n=
n
X
k=0
n k
2
kI
kB
n−k=
n−1
X
k=0
n k
2
k(−1)
n−k+1B + 2
nI
3=
−(−1 + 2)
k+ n
nB + 2
nI
3= (2
n− 1)B + 2
nI
3b. Lors de la question 3., on a obtenu
S
n= (2 − 2
n)I
3+ (2
n− 1)S ici,
S
n= (2
n− 1)B + 2
nI
3= (2
n− 1)(S − 2I
3) + 2
nI
3= (−2
n+1+ 2 + 2
n)I
3+ (2
n− 1)S
= (−2
n+ 2)I
3+ (2
n− 1)S On retrouve bien le même résultat.
5. Pour vérier si la formule donnant S
nreste valable pour des n négatifs, considérons le produit matriciel de S
npar ce que donne la formule pour −n :
[(−2
n+ 2)I
3+ (2
n− 1)S]
(−2
−n+ 2)I
3+ (2
−n− 1)S
= (5 − 2
n+1− 2
1−n)I
3+ (−5 + 3 2
n+ 3 2
−n)S + (2 − 2
n− 2
−n)S
2on remplace alors S
2par
S
2= −2I
3+ 3S
Presque tout s'annule alors, le produit des deux crochets vaut seulement I
3. On en déduit que la formule
S
n= (−2
n+ 2)I
3+ (2
n− 1)S reste valable pour les n ∈ Z.
Partie II
1. D'après la question I.5. la matrice S
−1de u
−1dans la base canonique est
S
−1= (− 1
2 + 2)I
3+ ( 1
2 − 1)S = 3 2 I
3− 1
2 S = 1 6
4 1 1 1 4 1 1 1 4
On en déduit U = 1
18
−1 −1 5 5 −1 −1
−1 5 −1
4 1 1 1 4 1 1 1 4
=
0 0 1 1 0 0 0 1 0
Cette matrice est clairement orthogonale. Elle permute circulairement les vecteurs de la base orthonormée directe (e
1, e
2, e
3) . Il s'agit d'une rotation d'angle −
2π3autour de la'xe orienté par le vecteur somme des trois vecteurs de la base.
Par dénition f = u ◦ s . Pour montrer que f = s ◦ u , on forme le produit matriciel SU . On retrouve bien A la matrice de f .
2. a. En normant les vecteurs (e
01, e
02, e
03) de la question I.2. on obtient e
001= 1
√ 3 (e
1+ e
2+ e
3) , e
002=
√12
(e
1− e
2) , e
003= 1
√ 6 (e
1+ e
2− 2e
3) On avait déjà remarqué que (e
01, e
02, e
03) était orthogonale, (e
001, e
002, e
003) est mainte- nant orthonormale.
b. On cherche la matrice U
0de u dans la base (e
001, e
002, e
003) .
On a signalé que u permutait circulairement (e
1, e
2, e
3) . On en déduit l'eet sur (e
001, e
002, e
003) :
u(e
001) = e
001, u(e
002) =
√12
(e
2− e
3) , u(e
003) = 1
√
6 (e
2+ e
3− 2e
1)
Il s'agit maintenant d'exprimer (e
1, e
2, e
3) en fonction de (e
001, e
002, e
003) . On utilise d'abord (e
01, e
02, e
03) :
e
01= e
1+ e
2+ e
3e
02= e
1− e
2e
03= e
1+ e
2− 2e
3,
e
1=
13e0
1+
12e0
2+
16e0
3e
2=
13e0
1−
12e0
2+
16e0
3e
3=
13e0
1−
13e0
3On en déduit
u(e
02) = −
12e0
2+
12e0
3u(e
03) = −
32e0
2−
12e0
3, (
u(e
002) = −
12e00
2+
√3 2
e00
3u(e
003) = −
√3
2
e00
2−
12e00
3puis la matrice
U
0= Mat
(e001,e002,e003)
u =
1 0 0
0 −
12−
√3 2
0
√3 2
−
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3. a. On voit très clairement sur la matrice de f dans (e
001, e
002, e
003) que l'ensemble des vecteurs invariants par f est Vect(e
001) .
b. Les deux 0 sur la première ligne de la matrice de f dans (e
001, e
002, e
003) montrent clairement que P est stable par f .
La matrice de g (restriction de f ) dans (e
002, e
003) est −1 − √
√ 3
3 1
= 2 −
12−
√ 3
√ 2 3 2
−
12!
On en déduit que g est la composée d'une rotation d'angle
2π3et d'une homothétie de rapport 2.
4. a. Ici, C(f ) désigne l'ensemble des endomorphismes de R
3commutant avec f . Pour montrer que C(f ) est une sous-algèbre de L( R
3) , on doit vérier que :
Id ∈ C(f ) .
Si λ ∈ R et f , g dans C(f) alors :
f + g, λf, f ◦ g ∈ C(f ) Cela ne pose pas de problème.
b. Soit g ∈∈ C(f ) .
i. Comme f(e
001) = e
001et que g commute avec f : g(e
001) = g(f (e
001)) = f (g(e
001))
donc g(e
001) est invariant par f donc
g(e
001) ∈ Vect(e
001)) d'après 4.a.
ii. D'après 1., u et s commutent avec u ◦ s = f . D'autre part, u permute circu- lairement (e
001, e
002, e
003) donc
f
3= (s ◦ u)
3= s
3◦ u
3= s
3Par dénition g commute avec f donc avec f
3= s
3. Les matrices de g et s
3dans n'importe quelle base commutent. On en déduit que la matrice M de g dans (e
001, e
002, e
003) commute avec S
03.
iii. On note
a b c
a
0b
0c
0a
00b
00c
00
la matrice dans (e
001, e
002, e
003) d'un élément g ∈ C(f ) . En écrivant qu'elle commute avec
S
03=
1 0 0 0 8 0 0 0 8
on obtient
b = c = a
00= a
0= 0
En écrivant ensuite qu'elle commute avec la matrice de f on obtient c
0= −b
00, c
00= −b
0La forme générale dans (e
001, e
002, e
003) de la matrice d'un élément de C(f) est donc :
a 0 0
0 b
0−b
000 b
00b
0
L'espace C(f ) est donc de dimension 3.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
