Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E2. 2007 2008
E2 Savoir travailler avec des fonctions impaires.
N ° 4
Les fonctions paires sont :
A ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x . Voir E1.
B ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² 1. Voir E1 Les fonctions impaires sont :
D ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x +
Car pour tout x réel non nul, alors - x est un réel non nul et f ( - x ) = - x = - f ( x ).
F ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3 x
Car pour tout x réel, - x est un réel et f ( - x ) = ( - x )3 + x = - x3 + x = - f ( x ) . Les fonctions ni paires ni impaires sont :
C ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = .
Si x = 9 alors x [ 0 ; + [ mais - x = - 9 n'appartient pas à [ 0 ; + [.
Car son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0.
E ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² x.
Car f ( - 2 ) = 6 et f ( 2 ) = 2 et f ( - 2 ) f ( 2 ) et f ( - 2 ) - f ( 2 ).
N ° 5
Soit f une fonction impaire sur un intervalle D.
Soit un repère orthogonal.
Soit M ( x ; y ) un point de la courbe représentative de f.
Soit M ' ( x ' ; y ' ) le point symétrique de M par rapport à l'origine du repère.
A ) Exprimer x ' et y ' à l'aide de x et de y.
Alors on a x ' = - x et y ' = - y. il suffit de faire un dessin et de placer M et M ' symétriques par rapport à O.
B ) Justifier que M ' appartient à la courbe représentative de f.
M ' ( x ' ; y ' ) cad M ' ( -x ; - y ) or y ' = - y = - f ( x ) = f ( - x ) = f ( x ' ) Donc M ' appartient à C.
Car tout point de la courbe C a ses coordonnées qui vérifient l'équation de la courbe.
N ° 6
Soient f et g deux fonctions définies sur et impaires sur .
Soir x alors - x et gof ( - x ) = g ( f ( - x ) ) = g ( - f ( x ) ) = - g ( f ( x ) ) = - gof ( x ).
Donc la composée de deux fonctions impaires est une fonction impaire.
