Traitement du Signal Aléatoire Lundi 19 février 2004

(1)

ESCPI EI4

Traitement du Signal Aléatoire Lundi 19 février 2004

3 heures avec documents – 4 exercices indépendants - Exercice n°1 :

Soit le signal numérique constitué d'une suite de symboles s(n) indépendants de valeur ±A et de durée T.

{

... ( ), ( ), ( ), ( ),...

}

)

(n s 1 s0 s1 s2

s = −

Ce signal traverse un canal se comportant comme un filtre RIF dont la réponse impulsionnelle exprimée à la cadence symbole vaut :

1 0

h( )= (trajet direct) α

= ) (1

h (echo : α<1) 0

n

h( )= ∀n∉

{ }

0,1

1) Exprimer le signal y(n) en sortie du canal en fonction de la suite de symboles d'entrée.

2) Exprimez la fonction de transfert en Z du canal.

Le signal y(n) présentant de l'interférence intersymbole, on se propose de l'égaliser au moyen d'un filtre numérique que l'on appellera "égaliseur".

3) Exprimez la fonction de transfert en Z de l'égaliseur idéal.

En pratique on va utiliser un égaliseur sous la forme d'un filtre RIF à N coefficients, dont la sortie sˆ(n) s'écrit :

( ) ∑

⁻

= −

=^N ¹

0

i aiyn i n

sˆ ( )

4) Calculez la suite des coefficients a_i idéale (pour l'instant on n'ajoute pas de bruit).

5) Quelle est la longueur N idéale de la réponse impulsionnelle de l'égaliseur.

Le signal y(n) en sortie du canal est maintenant bruité par un bruit blanc b(n) de variance σ². 6) Exprimez le rapport signal sur bruit en sortie du canal.

7) Calculez le rapport signal à bruit après égalisation (avec les coefficients proposés à la question n°4).

8) Décrire une méthode de filtrage adaptatif capable de calculer le filtre égaliseur lorsque le canal est inconnu.

Vous proposerez un schéma en indiquant avec précision les différents signaux.

Exercice n°2 :

On considère un réseau de N antennes espacées entre elles de 2

λ (λ représente la longueur d'onde de la porteuse utilisée pour la transmission). Ce réseau d'antennes sert à recevoir une source bande étroite située à une très grande distance du réseau. Le signal source aléatoire est noté s(t)e^j^ω^t, il est de puissance p_s. La source est située dans une direction θ par rapport à la normale au réseau.

On considère que sur chaque antenne le signal est reçu avec une variable additive de bruit blanc gaussien de variance σ2. Après suppression de la porteuse (multiplication par e⁻^j^ω^t), on applique un jeu de coefficients complexes

















=

N 2 1

w w w

W # aux signaux des N antennes pour recevoir la source utile avec le meilleur rapport signal sur bruit possible.

1. Exprimez le vecteur directeur de la source utile en fonction de l'angle θ, que fait la direction de cette source avec la normale au réseau.

2. Exprimez le filtre spatial adapté à cette source.

En analysant les valeurs des coefficients, on obtient, dans le cas N=6, les valeurs suivantes :

(2)













−

= −

j 1 j 1 j 1

W

3. Compte tenu des valeurs de W , quelle est la valeur, exprimée en degrés, de θ ?

Supposons que le réseau d'antennes reçoive aussi un signal interférent q(t) (signal blanc, indépendant de s(t) et de puissance p_q) situé à un angle de 0° par rapport à la normale au réseau.

4. Exprimez le rapport signal sur interférent (SIR: Signal to Interference) sur une antenne.

5. Exprimez le rapport signal sur bruit plus interférent (SNIR: Signal to Noise plus Interference) sur une antenne.

6. En utilisant le filtre à 6 coefficients donné précédemment, exprimez le rapport signal sur bruit plus interférent en sortie du filtre spatial W .

Exercice n°3 :

On considère un bruit blanc gaussien b(n) de variance σ² qui traverse un filtre à réponse impulsionnelle finie dont la transformée en Z s’écrit H(Z)=1+a₁Z⁻¹+a₂Z⁻²+a₃Z⁻³. On note x(n) le signal en sortie du filtre.

1. Exprimez )x(n en fonction de b(n)

2. Exprimez la densité spectrale de puissance Px(f) du signal x(n) en fonction de σ²,a₁,a₂ et a₃ En mesurant les coefficients d’autocorrélation du signal x(n), on obtient :

6 2

) 0 ( = σ

rxx , r_xx(1)=−4σ², r_xx(2)=σ², r_xx(3)=0, rxx(n)=0,∀n>3 et rxx(−n)=rxx(n) 3. Donnez les valeurs des coefficients a_i

4. Quelle fréquence est totalement coupée par le filtre H(Z)

Exercice 4 :

Le programme ci-dessous est un filtre de prédiction linéaire adapté au moyen d'un algorithme du gradient.

Malheureusement, le code comporte plusieurs erreurs. Indiquez et corrigez ces erreurs

#include "dspio.h"

// Definition des variables globales

#define N 20

#define pas 0.001 float x[N],w[N];

// Initialisation des variables void Init() {

int i;

for(i=0; i<N; ++i) x[i]=w[i]=0;

w[0]=-1;

LOG_printf(&trace, "Init OK\n");

}

// Traitement des echantillons void Process(float *ech) { int i;

float e=0.0;

x[0]=*ech;

for(i=0; i<N; ++i) e+=w[i]*x[i];

for(i=0; i<N; ++i) w[i]-=pas*x[i]*e;

for(i=1; i<N; ++i) x[i]=x[i-1];

*ech=e;

}

(3)

Correction du DS du 19/02/04 Exercice 1

1) y ( n ) = h ( n ) * s ( n ) = s ( n ) + α s ( n − 1 ) 2) H ( Z ) = 1 + α Z

⁻¹

3)

₁

1 ) 1

(

₋

= + Z Z

A α

4) ∑ ∑ ∑

^∞

=

∞ −

=

−

∞ −

=

−

= = =

= +

0 0

1 0

1

( )

1 ) 1 (

i

i i i

i i

i

Z a Z

Z Z Z

A α α

α ^Î

i

a

i

= ( − α ) 5) L’égaliseur idéal A (Z ) est un filtre RII Î

N =∞

6) Les symboles sont indépendants de puissance A

²

.

²

1

₂ ²

σ

α

= A + B S 7) Après égalisation ∑

^∞

=

− +

=

0

) ( )

( ) ( ˆ

i

a

i

b n i

n s n

s . ) b (n est un bruit blanc de puissance σ

²

Î

∑

^∞

=

0 2 2

2

i

a

i

A B

S σ

8) L’égalisation peut être réalisée avec un filtre RIF de grande longueur adapté en minimisant l’erreur entre sa sortie et un signal réplique du signal émis en entrée du canal (séquence d’apprentissage).

Exercice 2

1) ) d ( θ est un vecteur de dimension

N

dont les composantes d’indice

1≤k≤ N

sont :

θ

θ , )

π ^sin

( k e

^j ^k

d =

⁻

2) ) W ( θ ) = d ( θ (on applique W ( θ )

^T

aux signaux ; les pondérations sont donc conjuguées) 3) En appliquant W

^*

, on trouve que sin( θ ) = 0 . 5 Î

6 θ = π ou θ = π + π 6 4)

q s

p SIR = p

5)

₂

σ

= +

q s

p SIR p

6)

₂

6 2

36 σ

= +

q s

p

SIR p

(4)

Exercice 3

1) x ( n ) = b ( n ) + a

₁

b ( n − 1 ) + a

₂

b ( n − 2 ) + a

₃

b ( n − 3 ) 2) P

_x

( f ) = σ

²

H ( f )

²

Î

( â â â â â â â â ^fTe â â â ^fTe â ^fTe )

f

P

_x

( ) = σ

²

1 +

₁²

+

₂²

+

₃²

+ (

₁

+

₁ ₂

+

₂ ₃

) 2 cos 2 π + (

₂

+

₁ ₃

) 2 cos 4 π +

₃

2 cos 6 π

3) {

2 1 1 2 2 3 2 1 3 3

}

3 2 2 2 1 2

2

( ) * ( ) 1

)

( n h n h n a a a a a a a a a a a a

r

_xx

= σ = σ + + + + + + Î

; 2

; 1

;

0

₂ ₁

3

= a = a = −

a

4) H ( Z ) = 1 − 2 Z

⁻¹

+ Z

⁻²

= Z

⁻²

( Z − 2 Z + 1 ) = Z

⁻²

( Z − 1 )

²

Î H ( Z = e

^j²^π^fTe

) = 0 pour Z = 1 et donc pour f = 0 .

Exercice 4

Il y a deux erreurs :

Erreur 1 : le coefficient w[0] du prédicteur doit être maintenu à –1 . Il ne faut donc pas l’adapter.

Pour cela, on peut commencer la boucle d’adaptation à i=1 : for(i=1 ; i<N ; ++I) w[i]-=pasx[i]e;

Erreur 2: Le décalage des échantillons dans le tableau x[] est mal réalisé : x[0] se trouve recopié dans tout le tableau. Il faut décrire la boucle dans l’ordre inverse :

for(i=N-1 ; i>0 ; --i) x[i]=x[i-1];

Traitement du Signal Aléatoire Lundi 19 février 2004

ESCPI EI4