Traitement du Signal EI4 2003-2004
Rattrapage Traitement du Signal Durée 1h45 avec documents
2 exercices indépendants
Exercice 1
On considère un bruit blanc réel b(n) de variance σ2. Ce signal traverse un filtre numérique dont la fonction de transfert en Z est égale à H(Z)=1+0.5Z−1−0.5Z−2 et on note x(n) le signal en sortie du filtre.
1) Calculez la fonction d'autocorrélation rxx(p)=E
[
x(n)x(n−p)]
du signal x(n). Vous donnerez la valeur de cette fonction pour n'importe quelle valeur de l'indice p.2) Calculez les valeurs de la densité spectrale de puissance du signal x(n) aux fréquences 0, 4 Fe
et F2e . On cherche à prédire linéairement le signal x(n) à partir de x(n−1). L'équation de prédiction s'écrit ainsi sous la forme : e(n)=x(n)−αx(n−1)
3) Que représente le signal e(n) ? 4) Que représente le coefficient α ?
5) Quelle est la valeur optimale au sens du minimum de l’erreur quadratique moyenne du coefficient α ? 6) Calculez la fonction d'autocorrélataion ree(p)=E
[
e(n)e(n−p)]
du signal e(n).7) Le signal e(n) est-il blanc ?
Exercice 2
Le programme ci-dessous est un filtre de prédiction linéaire (prédiction de x(n) à partir de )
N n ( x ),...
n ( x ), n (
x −1 −2 − ) adapté au moyen d'un algorithme du gradient.
% Programme de prédiction linéaire - Algorithme LMS clear all
f=100; % fréquence signal : 100 Hz
Fe=1e3; % fréquence d'échantillonnage 1 kHz Te=1/Fe; % période d'échantillonnage
Nech=1000; % nombre d'échantillons x=sin(2*pi*f*[0:Nech-1]*Te); % Signal utile
N=4; % Ordre du prédicteur delta=0.01;
A=zeros(N,1);
X=zeros(N,1);
for k=1:Nech-1 % Gradient stochatisque X(1)=x(k); % Vieillissement des X(2:N)=X(1:N-1); % échantillons de signal e(k+1)=x(k+1)+A'*X; % Filtrage
A=A+delta*X*e(k+1)'; % Adaptation du filtre end;
1) Le code comporte plusieurs erreurs. Indiquez et corrigez ces erreurs.
2) Que va devenir le signal d'erreur au cours de la convergence de l'algorithme (une fois les erreurs corrigées) ? justifiez en discutant sur les positions des zéros du polynôme correspondant à la transformée en Z du filtre prédicteur.
3) Vers quelles valeurs devraient converger les coefficients du filtre prédicteur.
