Mécanique 4A OMI3 Automne 2013
Examen du 3 décembre 2013
Durée : 2 heure(s)
Documents autorisés: OUI NON Polycopiés de l’UE, notes manuscrites. Livres interdits Calculatrice autorisée: OUI NON Tout type
Exercice 1.
(1) Soit R >0. Intégrer la fonction complexe donnée par f(z) = 1/(1 +z2) sur le chemin défini par la réunion du segment[−R, R]et du demi-cercle de centre 0, de rayon R et inclus dans le demi-plan y≥0, parcouru une seule fois dans le sens trigonométrique.
(2) En déduire, sans utiliser la fonction arctan, la valeur de l’intégrale I =
∞
0
dx
1 +x2. (1)
Exercice 2.
On cherche à calculer dans cet exercice, la valeur de I =
∞
0
tα
1 +t2dt, (2)
pour−1< α <1.
(1) Montrer l’existence de l’intégrale I.
(2)
On considèreγr,R, le chemin défini par la réunion de deux segments et de deux demi-cercles, comme défini sur la figure 1 page suivante. Ce chemin est parcouru dans le sens trigonomé- trique.
Attention, contrairement au cours, on choisira la coupure suivante de C :C =iR−={z∈ C, z=it oùt≤0}. Le logarithme complexe Ln fait donc intervenir un argument appartenant à ]−π/2,3π/2[ (ce qui ne changera pas les calculs en fait).
On intègre la fonction donnée par
∀z∈C\iR−, f(z) = zα
1 +z2 = eαLn(z)
1 +z2 . (3)
sur le chemin γr,R.
1/3
2/3
γ0
γ1
γ2
γ3
r R
Coupure C=iR−
Figure 1. Le chemin γr,R considéré.
(a) Quel résultat fournit le théorème des résidus appliqués àf sur le chemin γr,R?
(b) Pourquoi quandRtend vers l’infini et rtend vers zéro, les intégrales respectives de f sur les demi-cercles de rayons R etr tendent vers zéro ?
(c) En déduire la valeur de I. Exercice 3.
(1) Calculer, au sens des distributions dansD(R), la dérivée de f(x) =|x|.
(2) Calculer, au sens des distributions dans D(R), les dérivées de f(x) = |sin(x)| de g(x) =
|cos(x)|.
(3) Question facultative
(a) Peut-on généraliser le calcul de la dérivée de|g|si g etg sont localement intégrables ? (b) Quel formule utiliserait-on pour calculerf◦gsif etgsont deux fonctions assez régulières ? Exercice 4.
Soitaun nombre réel quelconque.
(1) Rappeler le calcul de la solution de
Y0+aY0 =δ, dans D(R). (4)
(2) Soit F ∈ D(R). Comment peut-on déterminer la solution de
Y+aY =F, dans D(R) (5)
en fonction deF et de Y0?
(3) (a) Déterminer la solution de (5) avecF =H, où H est la fonction de Heaviside. La solution est-elle une fonction ?
(b) Déterminer la solution de (5) avec F =δ. La solution est-elle une fonction ? (c) Question facultative
Comment feriez-vous pour déterminer la solution de (5) avecF =δ(n), oùnest un entier quelconque ? On pourra essayer les petites valeurs den.
Polytech Automne 2013 OMI3 : Examen du 3 décembre 2013
3/3
Exercice 5.
Soitf une fonction de[0,1]dans R. On considère le problème suivant : détermineru de[0,1]dans R vérifiant
−u=f, (6a)
u(0) = 0, (6b)
u(1) = 0. (6c)
(1) Montrer que la formulation variationnelle du problème (6) s’écrit : onconsidère l’ensemble V défini par
V =
v∈L2(0,1) : v ∈H1(0,1) etv(0) = 0
. (7a)
On cherche u appartenant àV telle que
∀v∈V,
1
0 u(x)v(x)dx=
1
0 f(x)v(x)dx. (7b)
On montrera bien l’équivalence entre (7) et (6).
(2) Quelle hypothèse surf doit-on faire ? (3) Question facultative
Montrer que, sous cette hypothèse,u appartient à H2(0,1).
Corrigé
Un corrigé sera disponible surhttp://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html
Polytech Automne 2013 OMI3 : Examen du 3 décembre 2013
