Traitement du Signal Numérique EI3c 2004-2005

Traitement du Signal Numérique EI3c 2004-2005

Devoir Surveillé N° 2 Durée 2h avec documents

Exercice 1

Une cellule du second ordre purement récursive a pour pôles P_1,2 =0,8e^±jπ6. 1) Donner sa fonction de transfert H(Z).

2) Calculer la fréquence de résonance f₀ et l’amplitude à la résonance H_m. 3) Donner la réponse en amplitude et en phase à la fréquence 0,25fe.

4) On applique à l’entrée le signal x(n)=sin(nπ/2). Donner l’expression de la sortie y(n). 5) Quel est le retard apporté par la cellule à ce signal ?

6) En prenant n=1, vérifier que la suite y(n) satisfait la relation d’entrée-sortie de la cellule.

Exercice 2

On considère le filtre numérique de fonction de transfert : N(Z)=1−Z⁻⁴ 1) Calculer sa réponse en fréquence. Représenter son module et sa phase.

2) Donner les valeurs de ses zéros.

3) Recommencer avec le filtre D(Z)=1−bZ⁻⁴ avec b=0,9⁴ =0.6561 4) Exprimer et représenter le module de la réponse en fréquence du filtre

) Z ( D

) Z ( ) N Z (

H =

Exercice 3

On considère le signal





≠

= =

p n pour

p n pour ) n ) sin(

n (

x 0 4

4 π 6

1) En utilisant les propriétés de l’échantillonnage ou grâce à la TFD (N =12) , montrer que ce signal possède 4 composantes fréquentielles. Donner son expression en fonction de ces 4 composantes.

2) Quelle est la puissance du signal x(n) ?

3) On désire interpoler le signal x(n) pour obtenir le signal y(n)=sin(nπ +6 ϕ) (ϕ quelconque). Quels sont les zéros que doit posséder le filtre RIF pour réaliser cette interpolation ?

4) Calculer la fonction de transfert H(Z) du filtre RIF possédant ces seuls zéros.

5) Quelle est la phase ϕ du signal y(n) ? Quel est le retard équivalent ?

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Exercice 1 – Correction

1) _{2 1 2}

2 1 1 2 1 1

1 2

1 1 13856 064

1 1

1 1

1

1 − − − − −

− = − +

+ +

= −

−

= −

Z , Z , Z

P P Z ) P P ( ) Z P )(

Z P ) (

Z ( H

2) 08877

4 2 1

2 2

1 ,

b ) b ( ) b foTe

cos( + =

−

π = Î fo=0,0762fe et 55556

4 4 1 1

12 2

2 2

b , b

b ) b

fo ( H

H_m =

− −

=

=

3) _{− −} = ⁻ = ^{− °}

−

= + +

= −

=

=

= _{1 2} 06985 ¹³¹⁶⁶ 06985 ⁷⁵⁴⁴

64 0 3856 1

1 1

64 0 3856 1 1 25 1

0 , e ^j, , e ^{j ,}

, j j ,

, j ) ,

j Z ( H ) fe , f ( H

4) x(n)=sin(nπ 2)=sin(2πfTe) avec f =0,25fe Î

) , n sin(

, ))) fe , ( H arg(

n sin(

) fe , ( H ) n (

y = 025 π 2+ 025 =06885 π 2−132

5) ) )

n Te sin((

, ) n (

y ₌06885 ₋ τ π 2 Î Te , Te

/ pi

, 084

2 32

1 =

τ =

6) y(n)=x(n)−b₁y(n−1)−b₂y(n−2) ; soit y(n)=x(n)+1,3856y(n−1)−0,64y(n−2). En n=1 : )

( y , ) ( y , ) ( x ) (

y 1 = 1 +13856 0 −064 −1 . Dans le cas du signal x(n)=sin(nπ 2), pour n=1, la relation d’entrée-sortie est vérifiée :

1124 0 9367

0 1

1757 0

32 1 2 6885

0 64 0 32 1 6885 0 3856 1 2 32

1 2 6885

0

, ,

,

) , / sin(

, , ) , sin(

, ,

) / sin(

) , / sin(

,

−

−

−

−

×

−

−

× +

=

− π π

π

Exercice 2 – Correction

7) N(f )=N(Z =e^j2πfTe)=1−e^−j8πfTe =e^j4πfTe(e^+j4πfTe −e^−j4πfTe)=2jsin(4πfTe)e^+j4πfTe =2sin(4πfTe)e^{j(π2−4πfTe)}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2

|N(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-100 0 100

arg(N(f)) (°)

f/fe

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2

|D(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-50 0 50

arg(D(f)) (°)

f/fe

8) Les zéros Z_i sont au nombre de 4. Ce sont les racines quatrième de l’unité : Z_i =e^jπ2i = jⁱ

9) D(f )=D(Z =e^j2πfTe)=1−be^−j8πfTe. D( f )= 1+b²−2bcos(8πfTe), 



 





− −

= bcos( fTe) ) fTe sin(

artg b ) f

( π

ϕ π

8 1

8

Les zéros de D(Z) sont les racines quatrième de b ; c’est-à-dire : 0,9e^jπ2i =0,9jⁱ

10) D(f )

) f ( ) N f (

H = Î

) f ( D

) f ( ) N f (

H = et arg(H( f ))=arg(N(f ))−arg(D( f ))

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5

0 1 2

|H(f)|

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5

-5 0 0 5 0

arg(H(f)) (°)

f/ fe

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Exercice 3 – Correction

1) x(n) peut être considéré comme une version sous-échantillonnée d’un facteur 4 du signal )

/ n sin(

) n (

z = π 6 Î ^{= ×}

∑

⁻

p

) p n ( ) n ( z ) n (

x δ 4 Î ^{= ∗}

∑

⁻

p

) fe p ( f )

f ( Z ) f (

X 14

4

1 δ : le spectre de x(n) est le spectre de z(n) périodisé avec un pas

4

fe et multiplié par un facteur 4

1. La composante initiale en 12

± fe se retrouve alors également en

12 4

fe fe±

± et

12 2

fe fe±

± . On peut obtenir le même résultat en

effectuant la série de Fourier du signal x(n) de période 12Te ou, ce qui est strictement identique, la TFD

avec N =12 :

∑

⁻

=

= −

= ¹

0

1 ^N 2 n

N j kn

e ) n ( N x N ) k fe f (

X ^π . Le signal x(n) est non nul uniquement quant n=4

( 2

3 3 2 4)=sin( / )= (

x π ) et n=8 (

2 3 3 4

8)=sin( / )=− (

x π ) et finalement on a

( )

jsin(k ) e

e e

e e

fe) k f (

X ^{jk jk jk jk jk k}

2 3 2 1

3 121 2

3 121 2

3 121

12 ¹²

12 4 12 4 12 12

128 16^{π π π π} _{= −} π







 −

=







 −

=

= ^{− − − + −}

N N N N N N N N





















+

− +

− +

− +

−

=

=

−

−

−

− 12

12 11 12 2

12 10 12 4

12 8 12 5

12 7 12 5 12 4 12 2 12

0 0

0 8 0

12 1

/ fe

/ fe / fe

/ fe /

fe / fe / fe

/ fe /

fe / fe /

fe / fe

j j

j j

j j j

j fe)

k f ( X

Les quatre composantes fréquentielles sont fe/12,2fe/12,4fe/12et 5fe/12. En calculant la TFD inverse, la décomposition fréquentielle apparaît :

(

sin(n / ) sin(n / ) sin(n / ) sin(n / )

)

e ) k ( X ) n ( x

k

j kn

6 5 3

2 3

4 6

11 1

0

2 11

π π

π

π π

− +

−

=

=

∑

=

+

2) Chacune des sinusoïdes présente une puissance de

321 2 1 4

1²× =





 . La puissance totale est la somme des puissances car les sinusoïdes sont décorrélées (fréquences différentes). Î

8 1 321 4× =

x =

P . On obtient le

même résultat en effectuant la moyenne sur une période des échantillons du signal x(n) au carré :

(

^{4 8}

)

₁₂¹ ₂^{3 2} ₈¹

121

121 12 2 2 ²

0

2  × =





×

= +

=

=

∑

=

) ( x ) ( x )

n ( x P

x n .

3) Pour retrouver y(n)=sin(nπ /6+ϕ) (fréquence 12

fe), il faut éliminer les composantes 12

5 12 4 12

2fe/ , fe/ et fe/ . Il faut donc 3 paires de zéros complexes conjugués : e^±jπ3, e^±j23π et e^±j56π et donc :

4) H(Z) a ( Z Z )( Z Z )( Z Z ) a ( Z Z Z Z Z Z )

j j

j e e

e

6 5 4

3 2

0 1 2 1 2

1 2

0 1 1 1 1 3 1 3 2 3 2 3

63 5 3

2 3

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− + + + + + = + + + + + +

−

=

±

±

±

π π π

a0 doit être réglé pour offrir un gain de 4 à la composante 12

fe présente avec une amplitude de

41dans le signal x(n).

0 6 0

6 6 6 5

6 4 6 3

6 2

0 1 3 2 3 2 3 4 3 6928

12) a ( e e e e e e ) j a j , a

(Fe

H = + ^−jπ + ^{−j π} + ^{−j π} + ^{−j π} + ^{−j π} + ^{−j π} =− =− Î

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5774 3 0

1 3 4

0 4 ,

a = = = et finalement : ^{1 2 3 4 5 6}

3 1 3

2 3

2 3

1 + − + − + − + − + − + −

= Z Z Z Z Z Z

) Z ( H

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1 -0.5 0 0.5 1

sin(n*pi/6) x(n) y(n)

5) 4 4 ²

12

jπ

e j fe) (

H =− = ⁻ Î

2

ϕ=−π Î y(n) sin(n ) sin((n ) ) 3 6 2

6 π π

π _{− = −}

= Î τ =3Te

S’agissant d’un filtre à phase linéaire (symétrie de la réponse impulsionnelle), ce retard de 3Te est identique à toutes les fréquences. Ce retard est égal à la demi longueur de la réponse impulsionnelle :

N Te 2−1

τ = (ici N=6).