N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. I AGGI
Relations entre les zéros et les coefficients d’une fonction entière
Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 1 (1901), p. 16-19
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1901_4_1__16_1>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1901, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
[D4a]
RELATIONS E\TRE LES ZÉROS ET LES COEFFICIENTS IIIAE FONCTION ENTIÈRE;
P \ R M. E. I.VGGI.
Soit une fonction entière F ( x ) donnée par son déve- loppement en série sous la forme
( 1 7 )
Nous nous proposons de trouver des relations entre les coefficients A et les zéros
de la fonction F ( # ) . On sait que la fonction F(x) se met sous la forme
où G(JC) est une fonction entière indépendante des zéros ai, et les gi{x) sont des polynômes dépendant respectivement des zéros a, et rendant convergent le produit précédent, ou, si Ton veut, la série
Pour simplifier l'écriture, nous supposerons d'abord que G(«r) est une constante et nous poserons
en sorte que
( 3 )
Pour identifier (i) et (3) nous n'avons donc qu'à déve- lopper cette exponentielle; on a immédiatement
£l£2
D'ailleurs
i. ö?e Matkernat., \" série, t. I. (Jan\ipr 1901.)
( •» )
et, par conséquent, A, =
En résumé, les coefficients An A2, A3, . . . s'ob- tiennent par la même loi que les coefficients du déve- loppement
- - 3 ,AMO ) / ( 0 ) 4 - ^ ( Q ) {
1.'2.)
il suffit de remplacer dans celui-ci
Ar v" ( o ) ( n = i , 2 , 3 , . . . ;
par
S'il existe un facteur eGia) dans F ( J : ) , celte fonction se met sous la forme
O u ) - f - 2 / i \ a )
et Ton voit qu'à chacun des termes V /Z" ( o ) il suffit d'ajouter le terme correspondant G(/?)(o).
( l9 la série
Ik
t
est convergente, }©$ exponentielles eê<U) disparaissent dans les facteurs prîi^^es de F ( # ) , et Ton a
-= — i . ?. 3 V î ( / .- / ^ /
Ces formules conviennent, en particulier, au cas où F ( x ) est un polynôme, et ne sont autres que celles qu'on obtient en changeant x e n - dans le polynôme et en exprimant les coefficients du polynôme par les sommes de puissances semblables des racines.
Les formules générales que nous avons démontrées soul susceptibles de nombreuses applications. Nous nous contenterons, actuellement, d'en signaler une fort simple : l'application à la fonction
qui donne les sommes
des puissances semblables paires des inverses des nombres entiers.
