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Exercice 1
On considère le signal x(n) sin(n ) cos(n ) 2 4
2
π
π
+= . La fréquence d'échantillonnage est supposée égale à l'unité.
1) Calculer la réponse en fréquence aux fréquences 0,125 et 0,25 du filtre de fonction de tranfert :
2 1(Z)=1+1,2Z−1+0,5Z− H
Donner la réponse y1(n) du filtre au signal x(n). Exprimer les déphasages des composantes fréquentielles comme des retards.
2) On considère maintenant le filtre :
2 2(Z)= 0,5+1,2Z−1+ Z− H
Calculer la réponse y2(n) du filtre au signal x(n). Exprimer les déphasages des composantes fréquentielles comme des retards.
3) On dispose maintenant les deux filtres H1(Z) et H2(Z) en cascade. Calculer la fonction de transfert du filtre H(Z) équivalent. Quelle est sa réponse impulsionnelle ?
4) Donner la réponse y(n) du filtre H(Z) au signal x(n). Exprimer les déphasages des composantes fréquentielles comme des retards.
5) Le filtre H(Z) est-il à phase linéaire ? Quel est le retard apporté par le filtre ? 6) Placer les zéros du filtre H(Z) dans le plan complexe.
1) H1(f = 0.125)= H1(Z = ej2π0.125)=1.85−1.35j = 2.288.e−j0.63 = 2.288.e−j36.11°
°
−
− =
=
−
=
−
−
=
=
=
= 1 1176 6738
1(f 0.25) H(Z j) 1 1.2j 0.5 0.5 1.2j 1.3e j . 1.3e j . H
) ) . n cos((
. ) ) . n sin((
. ) . n cos(
. )
. n sin(
. ) n (
y 4576 08 4
75 2 0 3
1 63 4 0
288 2 2 176 2 1
3
1 =1
π
− + ×π
− = −π
+ −π
2) H2(f = 0.125)= H2(Z = ej2π0.125)=1.35−1.85j = 2.288.e−j0.94 = 2.288.e−j53.89°
°
−
− =
=
−
−
=
−
−
=
=
=
= 2 196 11262
2(f 0.25) H (Z j) 0.5 1.2j 1 0.5 1.2j 1.3e j . 1.3e j . H
) ) . n cos((
. ) ) . n sin((
. ) . n cos(
. )
. n sin(
. ) n (
y 4576 12 4
25 2 1 3
1 94 4 0
288 2 2 96 2 1 3
2 =1
π
− + ×π
− = −π
+ −π
3) H(Z)= H1(Z).H2(Z)= 0.5+1.8Z−1+2.69Z−2+1.8Z−3+0.5Z−4
= ↑
∗
= 05 18 269 18 05
2 1
. . . . ) .
n ( h ) n ( h ) n ( h
4) y(n) . sin(n . . ) . cos(n 0.63 0.94) 288 4
2 2 96 1 176 2 1
3
1 2 − − + × 2 − −
=
π π
) ) n cos((
. ) ) n sin((
. ) n
cos(
. )
n sin(
. ) n (
y 10472 2 4
2 2 69
2 1 236 4
5 2 2
69
1
π
−π
+ ×π
−π
= −π
+ −π
=
5) Le filtre H(Z) est à phase linéaire car sa réponse impilsionnelle est symétrique. Le retard apporté par le filtre est de 2 instants d'échantillonnage.
6) Il y a un couple de zéros complexes conjugués en − ± = ±148° 2 374 1 0 6
0. . j e j qui provient de H1(Z) et un autre constitué des zéros inverses en −1.2m0.748j = 2emj148°provennant de H2(Z).
Exercice 2
Un filtre numérique passe-bas est constitué d'une cellule du premier ordre et d'une cellule du second ordre, en cascade.
1) La cellule du premier ordre a pour fonction de transfert :
1 1
1 1 055
1 −
−
−
= +
Z , ) Z
Z ( H
Calculer les pôles et zéros de H1(Z) et les placer dans le plan complexe.
2) Donner l'expression de la réponse en fréquence et calculer sa valeur (module et phase) aux fréquences 0 ; 0,125 et 0,5 (fréquence d'échantillonnage fe =1).
3) On applique à la cellule H1(Z) le signal x(n) sin(n )
π
4= . Donner l'expression de la sortie y1(n). 4) Après avoir exprimé la réponse impulsionnelle engendrée par le seul dénominateur, calculer la réponse impulsionnelle de la cellule. Vérifier ses premiers termes grâce à la relation d'entrée-sortie (relation de récurrence temporelle).
5) La cellule du second ordre a pour fonction de transfert :
2 1
2 1
2 1 124 067
374 0 1
−
−
−
−
+
−
+
= −
Z , Z ,
Z Z ) ,
Z ( H
Calculer les pôles et zéros de H2(Z) et les placer dans le plan complexe.
6) Le dénominateur de H2(Z) provoque-t-il une résonance. Si oui, quelle est la fréquence et l'amplitude de la résonance (hors numérateur) ?
7) Calculer la réponse en fréquence H2(f) (module et phase) aux fréquences 0 ; 0,125 et 0,5.
8) On considère le filtre de fonction de transfert :H(Z) =0,06H1(Z)H2(Z). Donner les valeurs de sa réponse en fréquence (module et phase) aux fréquences 0 ; 0,125 et 0,5. En exploitant ces valeurs et grâce à
l'interprétation géométrique, tracer le module de la réponse en fréquence.
9) On applique au filtre H(Z) le signal suivant :
) n cos(
) n cos(
) n (
x = +
π
+π
1 4
1
Donner l'expression de la sortie y(n). En exploitant ce seul résultat, montrer que H(Z) n'est pas un filtre à phase linéaire.
1) H1(Z) possède un zéro égal à 1− et un pôle égal à 0.55. 2)
e e e
fT j
fT fT j
j
e . ) e
e Z ( H ) f (
H1 1 2π 2π2π
55 0 1
1 −
−
−
= +
=
=
44 55 4
0 11 1 1
0 1
1 .
) . Z ( H ) f (
H = = = = −+ =
°
−
− =
=
−
=
=
=
=
= 2 0125 4 096 55
1(f 0.125) H(Z ej . ej ) 1.46 2.09j 2.55e j . 2.55e j H
π π 0 1 5
0 1
1(f = . ) = H(Z = − ) = H
3) y(n) . sin(n 0.96) 55 4
1 = 2
π
−4)
>
+
=
<
=
↑
= ↑
− 0
55 0 55 0
0 1
0 55 0
0 55 0 55 0 55 0 1 1
1
1 4
3 2
1
n pour .
. n pour
n . pour
. .
* . )
n ( h
n n
L
5) Le numérateur de H2(Z) possède 2 zéros complexes conjugués : 0.187±0.982j = e±j1.38 = e±j79.22° Le dénominateur posède 2 pôles complexes conjugués : 0.62±0.534j =0.82e±j0.71 =0.82e±j40.76° 6) Oui, le dénominateur de H2(Z) provoque une résonance car la condition de résonance est remplie :
4 1 1
2 2
1 + ≤
− b
) b (
b . En effet : 0773
4 1
2 2
1 .
b ) b (
b + =
− . La fréquence de résonance est :
e arccos( . ) . fe
f T 0773 011
21
0 =
π
= . Et 1 1 4 4 46412 2
2
0 2 .
b b
b ) b
f ( H
Hm =
− −
=
=
7) 378
67 0 24 1
11 0374 1 1
0 2
2 .
, ,, )
Z ( H ) f (
H = = = = −− + + =
°
−
− =
=
−
−
=
=
=
= 2 4 182 104
2(f 0.125) H (Z ej ) 1.06 4.19j 4.32e j . 1.32e j H
π
815 67 0
0 24 1
11 0374 1 1
5
0 2
2 .
, ,, )
Z ( H ) . f (
H = = = − = ++ + + =
8) 007H(f = 0) =0,06H1(f = 0)H2(f = 0) =0.06×4.44×3.78 =1.
78 2 82
1 96 2 0
1 0125 0125 006 255 432 066
06 0 125
0. ) . H(f . )H (f . ) . . . e j( . . ) . e j .
f (
H = = = = = × × − + = −
0 815 0 0 06 0 5 0 5
0 06
0 5
0 = 1 = 2 = = × × =
= . ) . H(f . )H (f . ) . . f
( H
9) y(n) . . cos(n 2.78) 66 4
0 007
1 + −
=
π
0 0.5 1
0 0.5 1 1.5
0 0.5 1
-4 -2 0 2 4
Exercice 3
On considère la fonction de transfert en Z suivante : )
Z ( ) N Z (
H 1
1 = où N(Z)=1−1,30Z−1+0,85Z−2
1) Calculer les pôles deH1(Z)et les placer dans le plan complexe. La cellule est-elle stable ? Pourquoi ? 2) Calculer la fréquence de résonance de cette cellule, puis la valeur maximale du module de sa réponse en fréquence.
3) Calculer la réponse en fréquence (module et phase) aux fréquences 0 ; 0,125 ; 0.25 ; 0.5 (fréquence d'échantillonnage 1fe = ) puis representer son module.
4) On considère maintenant le filtre H2(Z) défini de la manière suivante :
2 1
2 1
2 1 130 085
30 1 85
0 − −
−
−
+
−
+
= −
Z , Z ,
Z Z , ) ,
Z ( H
En exploitant le résultat suivant :
) Z ( N
) Z ( N ) Z
Z (
H2 = −2 −1
Donner le module de la réponse en fréquence H2(f) . A quoi peut servir ce type de filtre ?
5) Calculer la fonction de transfert H3(Z) =1+H2(Z) puis montrer qu'elle possède un zéro de transmission et calculer la fréquence correspondante. Quelle est la valeur de la phase de H2(Z) à cette fréquence.
