Traitement du Signal Numérique EI3c 2002-2003

Traitement du Signal Numérique EI3c 2002-2003

Devoir Surveillé N° 2 Durée 2h avec documents Exercice 1

Pour estimer la composante continue d'un signal x(n), on envisage deux solutions de filtrage correspondant aux deux équations temporelles suivantes :

1 1 1

1 0

1 1

2 2

1 1

>>

−

− +

−

=

<<

<

+

−

−

=

entier N où )) N n ( x ) n ( x N( ) n ( y ) n ( y

où )

n ( x ) n ( y ) ( ) n (

y ε ε ε

1) Déterminer la fonction de transfert H₁(Z) associée à la première solution y₁(n).

2) Après avoir précisé les pôles et zéros de H₁(Z), tracer le module de la réponse en fréquence grâce à l'interprétation géométrique pour ε =0,1. Préciser sur le graphe les réponses pour le continu et pour

2 fe.

3) Calculer la fréquence de coupure à −3dB en fonction de ε. Ce calcul pourra être effectué rapidement en exploitant l'interprétation géométrique moyennant une approximation exploitant le fait que ε est petit. A.N.: ε =0,1 puis ε = 0,001.

4) Déterminer la réponse impulsionnelle h₁(n) associée à la première solution y₁(n).

5) Déterminer la réponse impulsionnelle h₂(n) associée à la seconde solution y2(n) de façon à montrer qu'il s'agit d'un filtre à réponse impulsionnelle finie. Pour cela, on pourra chercher à établir la réponse au signal δ(n) (adopter une faible valeur pour N puis généraliser).

6) En déduire (par calcul) sa réponse en fréquence H₂(f). On rappelle que

∑

=¹ = −−

0 11

N i

i N

αα

α .

7) Tracer sommairement son module pour N=10 (préciser sa valeur pour le continu ainsi que les fréquences des affaiblissements infinis (zéros) en fonction de N et sa fréquence de coupure à −3dB approximée).

Exercice 2

On désire maintenant sélectionner une composante fréquentielle quelconque f₀ du signal x(n). Pour cela, on étudie deux solutions présentant les réponses impulsionnelles suivantes :

0 1

2 1 0

2 21 2 1 0 1

2

4 0

0 3

>>





 − − ≤ <

=

<<

<

+

−

−

=

entier N ailleurs où

N n pour ) Te N ) n ( f Ncos(

) n ( h

où )

Te ) n ( f sin(

) ( ) ( ) n (

h ⁿ

π

ε π

ε ε ε

1) Les filtres h₃(n) et h₄(n) sont-ils à phase linéaire ? Si oui, indiquer le retard induit.

2) La réponse impulsionnelle h₃(n) est celle d'une cellule du second ordre purement récursive (mais avec un numérateur différent de 1). Préciser ses pôles et en déduire sa fonction de transfert H₃(Z). 3) Calculer sa fréquence de résonance pour

0 fe4

f = ainsi que le module de la réponse en fréquence correspondante (la connaissance de ε est inutile).

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0 8fe

f = avec ε =0,1 . Comment faut-il faire varier ε pour que la fréquence de résonance soit plus proche de f₀.

5) Tracer sommairement le module de la réponse en fréquence pour ε = 0,1 et

0 fe4

f = (préciser sa valeur pour f₀ ainsi que pour le continu et

2

fe et indiquer si possible la fréquence de coupure à dB

−3 approximée).

6) Exprimer h₄(n) en fonction de h₂(n) (exercice 1) ou comme le produit d'une fonction porte et d'un signal sinusoïdal échantillonné. En déduire par transformée de Fourier la réponse en fréquence H₄(f) 7) Tracer sommairement son module pour N =10 (préciser sa valeur pour f₀ ainsi que les fréquences des affaiblissements infinis (zéros) en fonction de N et sa fréquence de coupure à −3dB

approximée).