Interrogation de mathématiques Durée :1h TES
Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun document n’est autorisé.
Exercice n° 1 : (8pts)
Une association caritative a constaté que, chaque année, 40% des donateurs de l’année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l’évolution du nombre de donateurs au fil des années.
On note le nombre de donateurs lors de la n-ième année.
1. Sachant que =1000, calculer et
2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
3. On introduit la suite ( ) définie pour tout entier naturel non nul n, par
a. Montrer que ( ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
b. En déduire l’expression de puis de en fonction de n.
c. Si la tendance se poursuit, combien y aura-t-il de donateurs dans la 20ème année ? Exercice n° 2 : (8pts)
Pour tout entier naturel n, a0=30 et an+1=0,8an+10.
1. Calculer a1 et a2.
2. Soit (un) la suite définie par un=an-50pour tout n
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer un en fonction de n.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, . d. Montrer que la suite (an) est strictement croissante.
e. Déterminer la limite de (an).
Exercice n° 3 : (4pts)
Pour tout entier naturel n, 1.Montrer que
2. En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier m tel que si alors
3. Déterminer la limite de (an).
