1 L’espace pr´ ehilbertien D

(1)

Exemples

Dans toute ce chapitre, nous allons nous intéresser aux fonctions 2π-périodiques. Notons que si une fonction f est T-périodique (avec T > 0), on se ramène à une fonction 2π-périodique en définissant une fonction g par :g(x) =f

T 2πx

.

1 L’espace pr´ ehilbertien D

Notation 1.1

On note Dl’ensemble des applications f définies sur R, à valeurs dans C,2π-périodiques, continues par morceaux, vérifiant :

∀x∈R, f(x) = f(x⁺) +f(x⁻)

2 ,

f(x⁺)désignant la limite à droite enxet f(x⁻)désignant la limite à gauche enx.

Proposition 1.2

(i) Dest unC-espace vectoriel ;

(ii) L’applicationh. , .id´efinie surD², `a valeurs dansCpar

∀f, g∈ D,hf, gi= 1 2π

Z 2π

0

f(t)g(t)dt est un produit scalaire surD(on notek.k2 la norme associ´ee).

Preuve.

(i)Dest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications deRdansC. (ii)h. , .iest `a sym´etrie hermitienne. En effet :

∀f, g∈ D,hg, fi= 1 2π

Z 2π

0

g(t)f(t)dt= 1 2π

Z 2π

0

f(t)g(t)dt=hf, gi.

h. , .iest linéaire à droite : c’est une conséquence de la linéarité de l’intégrale.h. , .iest positive :

∀f ∈ D, hf, fi= 1 2π

Z 2π

0

f(t)f(t)dt= 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt>0 cart7→ |f(t)|est positive sur [0 ; 2π].

Supposons maintenant quehf, fi= 0. Soita₀∈Rtel quef soit continue ena₀. Notonsa₁, . . . , a_nles points de discontinuit´e de f sur [a0;a0+ 2π]. Notons an =a0+ 2π. Pour k ∈J0 ;n−1K, notons fk l’application continue sur [ak;ak+1] qui co¨ıncide avecf sur ]ak;ak+1[. Pour toutk∈J0 ;n−1K, on a :

06 Z a_k+1

ak

|fk(t)|²dt= Z a_k+1

ak

|f(t)|²dt6 Z a_n

a0

|f(t)|²dt=hf, fi= 0.

(2)

Les applicationsfk ´etant continues sur [ak;ak+1], on en d´eduit :

∀k∈J0 ;n−1K,∀t∈[a_k;a_k+1], f_k(t) = 0.

Par suite,

∀k∈J0 ;n−1K,∀t∈]a_k;a_k+1[, f(t) = 0.

f est continue ena₀doncf(a⁺₀) =f(a⁻₀) = 0 et pour toutk∈J1 ;n−1K,f(a_k) =f(a⁺_k) +f(a⁻_k)

2 =0 + 0

2 = 0.

f est donc nulle sur [a0;a0+ 2π[. f étant 2π-périodique, on en déduit que f est nulle sur R. h. , .iest donc

d´efinie positive et d´efninit ainsi un produit scalaire sur D.

D´efinition 1.3

Soitf ∈ D. On appelle coefficients de Fourierdef les nombres complexes d´efinis par : (i) ∀n∈Z, c_n(f) =he_n, fi= 1

2π Z 2π

0

f(t) e⁻ⁱ^ntdt; (ii) ∀n∈N, an(f) =cn(f) +c_−n(f) = 1

π Z 2π

0

f(t) cos(nt)dt; (iii) ∀n∈N, b_n(f) = i(c_n(f)−c_−n(f)) = 1

π Z 2π

0

f(t) sin(nt)dt.

Remarque 1.4

Sif est paire, alors pour toutn∈N^∗,b_n(f) = 0. Sif est impaire, alors pour toutn∈N,a_n(f) = 0. En effet, sif est paire, alors pour toutn∈N^∗,bn(f) = 1

π Z π

−π

f(t) sin(nt)dt.t7→f(t) sin(nt)´etant impaire, on ab_n(f) = 0. Mˆeme raisonnement sif est impaire.

D´efinition 1.5

Sif ∈ D, on appelle série de Fourierassociée àf la série de fonction définie pourx∈Rpar c₀(f) + X

n∈N^∗

(c_n(f) eⁱ^nx+c_−n(f) e⁻ⁱ^nx) = a₀(f)

2 + X

n∈N^∗

(a_n(f) cos(nx) +b_n(f) sin(nx)).

Notation 1.6

Pour tout k ∈Z, on noteek l’élément de D défini pour tout t ∈R parek(t) = eⁱ^kt. Si n∈N, on note Pn= Vect{ek,−n6k6n}.

Proposition 1.7

(i) (e_k)_k∈_Zest une famille orthonorm´ee ;

(ii) Pour toutn ∈N, D=Pn⊕ P_n^⊥ et si pn d´esigne la projection orthogonale surPn, on a, pour tout f ∈ D:p_n(f) =

n

X

k=−n

c_k(f)e_k;

(iii) ∀f ∈ D,∀n∈N,kf−pn(f)k2= inf

g∈Pn

kf−gk2; (iv) Pour toutf ∈ D,X

n>1

|c_n(f)|² et X

n>1

|c_−n(f)|² convergent et

|c0(f)|²+

+∞

X

n=1

(|cn(f)|²+|c−n(f)|²)6 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

(3)

Preuve.

(i) Soientn, p∈N.

hek, epi= 1 2π

Z 2π

0

e⁻ⁱ^kteⁱ^ptdt= 1 2π

Z 2π

0

e^i(p−k)tdt.

Si p6=k, 1 2π

Z 2π

0

e^i(p−k)tdt= 1 2π

e^i(p−k)t i(p−k)

^2π

t=0

= 0.

Si p=k, 1 2π

Z 2π

0

e^i(p−k)tdt= 1 2π

Z 2π

0

dt= 1.

(ek)_k∈Z est donc une famille orthonormale.

(ii) Soit n ∈N. Soitf ∈ D. Notons g =

n

X

k=−n

hek, fiek et h=f −g. g ∈ Pn. Montrons que h∈ P_n^⊥. Soit i∈J−n;nK.

he_i, hi=he_i, f−gi=he_i, fi −

n

X

k=−n

he_k, fihe_i, e_ki.

Si k6=i,hei, e_ki= 0 donc hei, hi=hei, fi − hei, fihei, e_ii= 0. Pour touti∈J−n;nK, on a donchei, hi= 0 donch∈ P_n^⊥. Par suite,D=Pn+P_n^⊥. OrPn∩P_n^⊥={0}donc la somme est directe, c’est-à-direD=Pn⊕P_n^⊥. Il en résulte queg=pn(f),pn étant la projection orthogonale sur Pn donc

pn(f) =g=

n

X

k=−n

hek, fiek=

n

X

k=−n

ck(f)ek.

(iii) Soientn∈N,f ∈ D. Soitg∈ P_n.kf−gk²₂=kf−p_n(f) +p_n(f)−gk²₂.f−p_n(f)∈ P_n^⊥etp_n(f)−g∈ P_n donc d’après le théorème dePythagore, on a :

kf−pn(f) +pn(f)−gk²₂=kf−pn(f)k²₂+kpn(f)−gk²₂. On en d´eduit

kf−gk²₂>kf−pn(f)k²₂ puis

kf−gk₂>kf−p_n(f)k₂ donc inf

g∈Pn

kf−gk2>kf −p_n(f)k2. Commep_n(f)∈ Pn, il vientkf−p_n(f)k2= inf

f∈Pn

kf −gk2. (iv) Soitn∈N. D’après ce qui précède,kf−p_n(f)k2= inf

g∈Pn

kf −gk2. (f−p_n(f))⊥p_n(f) donc d’après le théorème dePythagore, on a :

kf−pn(f)k²₂+kpn(f)k²₂=kfk²₂. On en d´eduit :

06 inf

g∈P_nkf −gk²₂=kf−p_n(f)k²₂=kfk²₂− kp_n(f)k²₂ d’o`ukpn(f)k²₂6kfk²₂, ce qui s’´ecrit aussi

n

X

k=−n

|ck(f)|²6 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

Ceci ´etant vrai quel que soitn∈N, on en d´eduit :

|c0(f)|²+

+∞

X

n=1

(|cn(f)|²+|c−n(f)|²)6 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

(4)

2 Convergences

D´efinition 2.1

(i) On appelle noyau deDirichletla suite (Dn)_n∈Nd´efinie par :

∀n∈N,∀x∈R, Dn(x) =

n

X

k=−n

eⁱ^kx. (ii) On appelle noyau deF´ejerla suite(K_n)_n∈_N∗ d´efinie par :

∀n∈N^∗,∀x∈R, Kn(x) = 1 n

n−1

X

k=0

Dk(x).

Proposition 2.2

(i) Pour toutn∈N,Dn et Kn sont paires ; (ii)

∀n∈N, 1 2π

Z 2π

0

Dn(x)dx= 1et∀n∈N^∗, 1 2π

Z 2π

0

Kn(x)dx= 1;

(iii)

∀n∈N,∀x∈R\2πZ, Dn(x) =sin (2n+ 1)^x₂ sin ^x₂ ; (iv)

∀n∈N^∗,∀x∈R\2πZ, Kn(x) = sin² n^x₂ nsin² ^x₂.

Preuve.

(i) Si n = 0, D0 est clairement paire car pour tout x ∈ R, D0(x) = 1. Si n ∈ N^∗, on a pour tout x∈ R, Dn(x) = 1 +

n

X

k=1

(eⁱ^kx+ e⁻ⁱ^kx). Pour toutk ∈N^∗, x 7→ eⁱ^kx+ e⁻ⁱ^kx est paire donc Dn est paire (somme d’applications paires). Pourn∈N^∗,Kn est une combinaison lin´eaire d’applications paires doncKn est paire

´

egalement.

(ii) Soitn∈N. Sin= 0,

1 2π

Z 2π

0

D0(x)dx= 1 2π

Z 2π

0

dx= 1.

Si n6= 0,

1 2π

Z 2π

0

Dn(x)dx= 1 2π

Z 2π

0 n

X

k=−n

eⁱ^kx

! dx=

n

X

k=−n

1 2π

Z 2π

0

eⁱ^kxdx.

Pour toutk∈J−n;nK,k6= 0,

1 2π

Z 2π

0

eⁱ^kxdx= 1

2πik[eⁱ^kx]^2π₀ = 0.

Pour k= 0, on a

1 2π

Z 2π

0

e^{i 0x}dx= 1 2π

Z 2π

0

dx= 1.

Par suite, 1 2π

Z 2π

0

D_n(x)dx= 1.

(5)

Soitn∈N^∗. Par linéarité de l’intégrale, on a 1

2π Z 2π

0

Kn(x)dx= 1 n

n−1

X

k=0

1 2π

Z 2π

0

Dk(x)dx.

Or pour toutk∈J0 ;n−1K, 1 2π

Z 2π

0

D_k(x)dx= 1 donc 1

n

n−1

X

k=0

1 2π

Z 2π

0

Dk(x)dx= 1

n×n= 1.

On a donc 1 2π

Z 2π

0

K_n(x)dx= 1.

(iii) Soitn∈N. Soitx∈R\2πZ.

Dn(x) =

n

X

k=−n

eⁱ^kx=

n

X

k=−n

(eⁱ^x)^k= e⁻ⁱ^nx 1−eⁱ^x(2n+1)

1−eⁱ^x = e⁻ⁱ^nx·eⁱ^x²ⁿ⁺¹²

eⁱ^x² ·e⁻ⁱ^x²ⁿ⁺¹² −eⁱ^x²ⁿ⁺¹² e⁻ⁱ^x² −eⁱ^x²

=e⁻ⁱ^x²ⁿ⁺¹² −eⁱ^x²ⁿ⁺¹²

e⁻ⁱ^x² −eⁱ^x² = −2 i sin ²ⁿ⁺¹₂ x

−2 i sin ^x₂ = sin ²ⁿ⁺¹₂ x sin ^x₂ . (iv) Soit n∈N^∗. Soitx∈R\2πZ.

K_n(x) = 1 n

n−1

X

k=0

D_k(x) = 1 nsin ^x₂

n−1

X

k=0

sin

(2k+ 1)x 2

.

On a :

n−1

X

k=0

sin

(2k+ 1)x 2

= Im

n−1

X

k=0

e^i(2k+1)^x²

! .

n−1

X

k=0

e^i(2k+1)^x² = eⁱ^x²

n−1

X

k=0

(eⁱ^x)^k= eⁱ^x² ·1−eⁱ^nx

1−eⁱ^x = eⁱ^x²·eⁱ^nx²

eⁱ^x² ·e⁻ⁱ^nx² −eⁱ^nx²

e⁻ⁱ^x²−eⁱ^x² = eⁱ^nx² ·sin ^nx₂ sin ^x₂. On a donc

n−1

X

k=0

sin

(2k+ 1)x 2

= sin² ^nx₂ sin ^x₂ d’o`u

K_n(x) = sin² ^nx₂ nsin² ^x₂.

Lemme 2.3 (de Lebesgue)

Soienta, b∈Rtels quea6bet f : [a;b]→Cune application continue par morceaux. Alors Z b

a

f(t) eⁱ^λtdt−−−−−→

λ→+∞ 0.

Preuve. Le lemme est vrai sif = 1 sur [a;b] car on a, pourλ >0

Z b

a

f(t) eⁱ^λtdt

=

eⁱ^λt iλ

^b

a

=

eⁱ^λb−eⁱ^λa iλ

6 2

|λ| −−−−−→

λ→+∞ 0.

Par suite, le lemme est vrai pour toute fonction constante sur [a;b].

(6)

Si f est en escalier sur [a;b], le lemme reste vrai (il suffit d’appliquer la relation deChaslespour conclure, en utilisant ce qui pr´ec`ede).

Soit f : [a;b]→ Cune application continue par morceaux. Il existe alors une suite (f_n)_n∈_N d’applications en escalier sur [a;b] convergeant uniform´ement vers f. Soit ε > 0. Il existe une application en esaclier e: [a;b]→Ctelle que kf−ek_∞6ε. Soitλ∈R⁺.

Z b

a

f(t) eⁱ^λtdt

6

Z b

a

(f(t)−e(t)) eⁱ^λtdt

+

Z b

a

e(t) eⁱ^λtdt .

D’après ce qui précède,

Z b

a

e(t) eⁱ^λtdt

−−−−−→

λ→+∞ 0 donc il existeλ₀∈R⁺ tel que

∀λ∈R⁺λ>λ0⇒

Z b

a

e(t) eⁱ^λtdt

6ε.

Pour toutλ>λ₀, on a :

Z b

a

(f(t)−e(t)) eⁱ^λtdt

6kf−ek∞

Z b

a

|eⁱ^λt|dt= (b−a)kf −ek∞6ε(b−a).

On en d´eduit :

∀λ∈R, λ>λ0,

Z b

a

f(t) eⁱ^λtdt

6(1 +b−a)ε.

On a donc Z b

a

f(t) eⁱ^λtdt−−−−−→

λ→+∞ 0.

Th´eor`eme 2.4 (de Dirichlet)

Soitf ∈ D. Sif est de classeC¹par morceaux surR, alors la s´erie deFourierdef converge simplement surRet a pour sommef :

∀x∈R, c0(f) +

+∞

X

n=1

(cn(f) eⁱ^nx+c−n(f) e⁻ⁱ^nx) =f(x) = 1

2(f(x⁺) +f(x⁻))

∀x∈R, a0(f)

2 +

+∞

X

n=1

(an(f) cos(nx) +bn(f) sin(nx)) =f(x) = 1

2(f(x⁺) +f(x⁻))

Preuve. Soitf ∈ Dune application de classeC¹ par morceaux surR. Soitx∈R. Soitn∈N. p_n(f)(x) =

n

X

k=−n

c_k(f) eⁱ^kx=

n

X

k=−n

1 2π

Z 2π

0

f(t) e⁻ⁱ^ktdteⁱ^kx = 1 2π

n

X

k=−n

Z 2π

0

f(t) eⁱ^k(x−t)dt.

En effectuant le changement de variableu=x−t, on a : pn(f)(x) =− 1

2π

n

X

k=−n

Z x−2π

x

f(x−u) eⁱ^kudu= 1 2π

n

X

k=−n

Z x

x−2π

f(x−u) eⁱ^kudu.

En effectuant le changement de variablev=−u, on a : p_n(f)(x) =− 1

2π

n

X

k=−n

Z −x

2π−x

f(x+v) e⁻ⁱ^kvdv= 1 2π

n

X

k=−n

Z −x+2π

−x

f(x+v) e⁻ⁱ^kvdv.

(7)

x 7→ f(x−u) eⁱ^ku et x 7→ f(x+v) e⁻ⁱ^kv étant 2π-périodiques, on peut écrire, en utilisant le premier changement de variable :

pn(f)(x) = 1 2π

Z 2π

0

f(x−u)

n

X

k=−n

eⁱ^kudu= 1 2π

Z 2π

0

f(x−u)Dn(u)du puis en utilisant le deuxi`eme changement de varible, et sachant queDn est paire :

p_n(f)(x) = 1 2π

Z 2π

0

f(x+v)

n

X

k=−n

e⁻ⁱ^kvdv= 1 2π

Z 2π

0

f(x+v)D_n(−v)dv= 1 2π

Z 2π

0

f(x+v)D_n(v)dv.

On en d´eduit

p_n(f)(x) = 1 2π

Z 2π

0

f(x−u) +f(x+u)

2 D_n(u)du.

pn(f)(x)−f(x) = 1 2π

Z 2π

0

f(x−u) +f(x+u)

2 Dn(u)du−f(x⁺) +f(x⁻)

2 .

Sachant que 1 2π

Z 2π

0

Dn(u)du= 1, on peut ´ecrire :

p_n(f)(x)−f(x) = 1 2π

Z 2π

0

f(x−u) +f(x+u)

2 D_n(u)du− 1

2π Z 2π

0

f(x⁺) +f(x⁻)

2 D_n(u)du.

En utilisant la linéarité de l’intégrale et connaissant l’expression deD_n, il vient alors : pn(f)(x)−f(x) = 1

2π Z 2π

0

(f(x+u)−f(x⁺)) + (f(x−u)−f(x⁻))

2 sin ^u₂ sin

(2n+ 1)u 2

du.

Notons gx l’application d´efinie sur ]0 ; 2π[ pargx(u) = (f(x+u)−f(x⁺)) + (f(x−u)−f(x⁻))

2 sin ^u₂ . Pour tout

u∈]0 ; 2π[, on a

gx(u) =

f(x+u)−f(x⁺)

u +f(x−u)−f(x⁻) u

×

u 2

sin ^u₂. f ´etant de classeC¹ par morceaux surR, on a

f(x+u)−f(x⁺)

u −−−−→

u→0⁺ f⁰(x⁺) et f(x−u)−f(x⁻)

u −−−−→

u→0⁺ −f⁰(x⁻).

Comme

u 2

sin ^u₂ −−−−→

u→0⁺ 1, on en d´eduitg_x(u)−−−−→

u→0⁺ f⁰(x⁺)−f⁰(x⁻). On fait le même raisonnement lorsque u→2π⁻ (ou vers 0⁻,gx étant 2π-périodique).gx est alors une fonction continue par morceaux sur [0 ; 2π].

On en d´eduit, d’apr`es le lemme deLebesgue : 1

2π Z 2π

0

gx(u) eⁱ²ⁿ⁺¹² ^udu−−−−−→

n→+∞ 0 c’est-`a-dire p_n(f)(x)−f(x)−−−−−→

n→+∞ 0 doncp_n(f)(x)−−−−−→

n→+∞ f(x).

Th´eor`eme 2.5 (de Parseval)

Pour toutf ∈ D,kf−pn(f)k2−−−−−→

n→+∞ 0. Autrement dit :

∀f ∈ D, |c0(f)|²+

+∞

X

n=1

(|cn(f)|²+|c−n(f)|²) = 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt

∀f ∈ D, a0(f)²

4 +1

2

+∞

X

n=1

(an(f)²+bn(f)²) = 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

(8)

Preuve. On note P l’ensemble des polynômes trigonométriques admettant 2π pour période, c’est-à-dire P = Vect{en, n∈Z}. Montrons queP est dense dansD.

Soit f ∈ D. Soit ε > 0. Il existe g ∈ D, continue, telle que kf −gk²₂ 6 ε. En effet, si x₀ est un point de discontinuit´e de f, on peut choisir α >0 tel que g soit affine sur [x0−α;xo+α], g(x0−α) =f(x0−α), g(x0+α) =f(x0+α) etkf−gk²₂6ε

2,g co¨ıncidant avecf en dehors de [x0−α;x0+α]. D’après le second théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes trigonométriques convergeant uniformément versg surR. Par suite, il existeh∈ Ptel que kh−gk²_∞6 ε

2. On a alors kh−gk²₂= 1

2π Z 2π

0

|h(t)−g(t)|²dt6 1

2πkh−gk²_∞ Z 2π

0

dt=kh−gk²_∞6 ε 2. On en d´eduit

kh−gk²₂6kf −gk²₂+kg−hk²₂6 ε 2+ε

2 =ε.

Ainsi, on a montr´e que pour toutε >0, il existeh∈ P tel quekf−hk²₂6ε.P est donc dense dansD.

Il reste à prouver que (pn(f))n>0converge versf dansD. Soitε >0. D’après ce qui précède, il existeh∈ P tel quekf−hk26ε.P = [

n∈N

Pn. Il existe n0∈Ntel queh∈ Pn₀. Soit n∈Ntel quen>n0.pn(f) est la projection orthogonale de f surPn donc pour tout g∈ Pn,hg, f−pn(f)i= 0.h∈ Pn donch−pn(f)∈ Pn

et donchh−pn(f), f−pn(f)i= 0. On a alors, d’après le théorème dePythagore:

kh−fk²₂=kh−pn(f) +pn(f)−fk²₂=kh−pn(f)k²₂+kf−pn(f)k²₂>kf−pn(f)k²₂ donckf −pn(f)k26kh−fk26ε. On a ainsi montr´e :

∀ε >0,∃n0∈N,∀n∈N, n>n₀⇒ kf−p_n(f)k26ε donckf −pn(f)k2−−−−−→

n→+∞ 0.

Th´eor`eme 2.6

Soit f ∈ D, continue et de classe C¹ par morceaux sur R. Alors la s´erie de Fourier de f converge normalement surRet a pour sommef.

Preuve. Soitf :R→C, 2π-périodique, continue et de classeC¹ par morceaux surR.f étant 2π-périodique, f⁰ l’est aussi.f étant de classe C¹ par morceaux sur R, f⁰ est continue par morceaux surR. On peut ainsi définir les coefficients deFourierdef⁰.

Soitn∈N^∗.t7→f(t) ett7→ e⁻ⁱ^nt

−in étant de classeC¹ par morceaux, on peut intégrer par parties. Sachant quef ett7→e⁻ⁱ^nt sont 2π-périodiques, on a :

cn(f) = 1 2π

Z 2π

0

f(t) e⁻ⁱ^ntdt= 1 2π

−f(t) e⁻ⁱ^nt in

^2π

0

+ 1

in2π Z 2π

0

f⁰(t) e⁻ⁱ^ntdt= 1 incn(f⁰).

On s’intéresse à la convergence de la série c₀(f) + X

n∈N^∗

(c_n(f) eⁱ^nx+c_−n(f) e⁻ⁱ^nx). Pour n ∈ N^∗, notons u_n:x7→c_n(f) eⁱ^nx+c_−n(f) e⁻ⁱ^nx. Pour toutn∈N^∗, on akunk∞6|cn(f)|+|c−n(f)|.

Pour toutα, β∈R⁺, on a 06(α−β)²=α²−2αβ+β² doncαβ6 1

2(α²+β²). On en d´eduit

∀n∈N^∗,|cn(f)|= 1

n|cn(f⁰)|6 1 2

1

n²+|cn(f⁰)|²

puis

∀n∈N^∗,kunk_∞6 1 2

2

n²+|cn(f⁰)|²+|c_−n(f⁰)|²

.

(9)

f⁰ ∈ D et d’après le théorème de Parseval, X

n>1

(|cn(f⁰)|²+|c−n(f⁰)|²) converge. X

n>1

1

n² étant une série de Riemann convergente, il en résulte que X

n>1

1 2

2

n² +|cn(f⁰)|²+|c_−n(f⁰)|²

converge. Par suite, X

n>1

kunk_∞

converge, ce qui signifie queX

n>1

un converge normalement surR.Notons g=

+∞

X

n=1

un.X

n>1

un converge normalement donc uniformément surR. Toutes les applicationun étant continues sur R, gest également continue sur R. Les un étant 2π-périodiques, il en est de même pourg. La convergence uniforme entraˆıne la convergence quadratique sur un segment donc (p_n(f))_n∈_N converge en moyenne quadratique versg. Or, d’après le théorème deParseval, (pn(f))n∈Nconverge en moyenne quadratique versf. Par unicité de la limite,g=f.

3 Exemples

3.1 Calcul de sommes

Exemple 3.1

+∞

X

n=1

1 n² =π²

6 ;

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² =π² 8 ;

+∞

X

n=1

1 n⁴ =π⁴

90 ;

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)⁴ =π⁴ 96

Preuve. Soit f :R→C, 2π-p´eriodique, paire, telle que pour tout t∈ [0 ;π], f(t) =t. f ´etant paire, on a, pour toutn∈N,b_n(f) = 0.

a0(f) = 2 π

Z π

0

f(t)dt= 2 π

Z π

0

tdt= 1

π[t²]^π₀ =π.

Soitn∈N^∗.t7→tett7→ sin(nt)

n sont de classeC¹sur [0 ;π]. On peut donc appliquer le théorème d’intégration par parties pour calculeran(f) :

a_n(f) = 2 π

Z π

0

tcos(nt)dt= 2

nπ[tsin(nt)]^π₀− 2 nπ

Z π

0

sin(nt)dt= 2

n²π[cos(nt)]^π₀ = 2

n²π((−1)ⁿ−1).

On en d´eduit :

(∀n∈N^∗, an(f) = 0) et

∀n∈N, a2n+1(f) =− 4 π(2n+ 1)²

.

f étant de classeC¹ par morceaux surR, la série deFourierdef converge simplement surR(théorème de Dirichlet) et on a :

∀x∈R, f(x) = π 2 − 4

π

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)²cos((2n+ 1)x).

Pour x= 0, on obtient

0 = π 2 − 4

π

+∞

X

n=0

1 (2n+ 1)² d’o`u

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² = π² 8 . On peut s´eparer les termes pairs des termes impairs dans la s´erieX

n>1

1

n², toutes les s´eries ´etant convergentes :

+∞

X

n=1

1 n² =

+∞

X

n=1

1 (2n)² +

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² =1 4

+∞

X

n=1

1 n² +π²

8 .

(10)

On en d´eduit

3 4

+∞

X

n=1

1 n² = π²

8 puis

+∞

X

n=1

1 n² =π²

6 . f ∈ Ddonc, d’après le théorème deParseval:

a0(f) 4 +1

2

+∞

X

n=1

(an(f)²+bn(f)²) = 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

Z 2π

0

|f(t)|²dt= 2 Z π

0

t²dt=2

3[t³]^π₀ = 2π³ 3 . On a alors

π² 4 + 8

π²

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)⁴ = 2π³ 3 × 1

2π = π² 3 d’o`u

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)⁴ =π² 8

π² 3 −π²

4

= π⁴ 96. En s´eparant `a nouveau les termes pairs des termes impairs, on a :

+∞

X

n=1

1 n⁴ =

+∞

X

n=1

1 (2n)⁴ +

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)⁴ = 1 16

+∞

X

n=1

1 n⁴ +π⁴

96. On en d´eduit

15 16

+∞

X

n=1

1 n⁴ = π⁴

96 puis

+∞

X

n=1

1 n⁴ =π⁴

90.

3.2 In´ egalit´ e de Wirtinger

Th´eor`eme 3.2

Soitf une application2π-p´eriodique, continue, de classeC¹par morceaux surRtelle que Z 2π

0

f(t)dt= 0.

Alors

Z 2π

0

|f(t)|²dt6 Z 2π

0

|f⁰(t)|²dt.

Il y a ´egalit´e si et seulement si f :t7→αeⁱ^t+βe⁻ⁱ^t, avecα, β∈C. Preuve.

Soit f une application 2π-p´eriodique, continue, de classe C¹ par morceaux sur Rtelle que Z 2π

0

f(t)dt = 0.

Alorsf etf⁰ appartiennent à Det on peut appliquer le théorème deParsevalà f et f⁰ : 1

2π Z 2π

0

|f⁰(t)|²dt− 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt=|c₀(f⁰)|²− |c₀(f)|²+

+∞

X

n=1

(|c_n(f⁰)|²+|c_−n(f⁰)|²− |c_n(f)|²− |c_−n(f)|²).

(11)

On rappelle que pour toutn∈N^∗,cn(f⁰) = incn(f) donc

(|cn(f⁰)|²+|c_−n(f⁰)|²− |cn(f)|²− |c_−n(f)|²) = (n²−1)(|cn(f)|²+|c_−n(f)|²).

c₀(f) = 1 2π

Z 2π

0

f(t)dt= 0 par hypoth`ese et 1 2π

Z 2π

0

f⁰(t)dt= 1

2π(f(2π)−f(0)) = 0. On a alors : 1

2π Z 2π

0

|f⁰(t)|²dt− 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt=

+∞

X

n=1

(n²−1)(|cn(f)|²+|c_−n(f)|²)>0 d’o`u

Z 2π

0

|f(t)|²dt6 Z 2π

0

|f⁰(t)|²dt.

On a ´egalit´e si et seulement si

+∞

X

n=1

(n²−1)(|c_n(f)|²+|c_−n(f)|²) = 0. C’est une s´erie `a termes positifs et pour tout n>2,n²−16= 0 donc on a :

∀n∈N, n>2, cn(f) = 0 etc_−n(f) = 0.

On en d´eduit :

∀x∈R, f(x) =X

n∈Z

cn(f) eⁱ^nx=c1(f) eⁱ^x+c−1(f) e⁻ⁱ^x

avecc1(f), c−1(f)∈C. On a donc ´egalit´e si et seulement si f :t7→αeⁱ^t+βe⁻ⁱ^t, avecα, β∈C.

3.3 In´ egalit´ e isop´ erim´ etrique

Proposition 3.3

SoitΓ un arc paramétré fermé de classeC¹dans le plan euclidien, paramétré par une abscisse curviligne s, sdécrivant [0 ;L], L désignant la longueur de la courbe. Pour tout s ∈[0 ;L], x(s)et y(s) désignent les coordonnées dans un repère orthonormal du pointM(s) de paramètres, tel que

Z L

0

x(s)ds= 0. On rappelle que l’aire du plan délimité parΓ est donnée par A=

Z L

0

x(s)y⁰(s)ds. Alors 4πA6L² et on a

´egalit´e si et seulement si Γest un cercle.

Preuve. On peut traiter uniquement le cas o`uL= 2π. SiL6= 2π, on transforme la courbe par une homoth´etie de rapport 2π

L . Γ étant un arc paramétré de classeC¹régulier et simple, alors tout paramétrage de Γ par une abscisse curviligne est normal donc

∀s∈[0 ;L], x⁰(s)²+y⁰(s)²= 1.

Sachant que L= 2π, on a : L²−4πA= 4π²−4π

Z 2π

0

x(s)y⁰(s)ds= 2π Z 2π

0

(x⁰(s)²+y⁰(s)²)ds−2π Z 2π

0

2x(s)y⁰(s)ds

= 2π Z 2π

0

(x⁰(s)²−x(s)²+ (y⁰(s)−x(s))²)ds.

La courbe Γ est fermée donc x(2π) = x(0). On peut donc prolonger x en une fontion 2π-périodique sur R, continue et de classe C¹ par morceaux (car la courbe est de classe C¹). On applique alors l’inégalité de Wirtinger :

Z 2π

0

x(s)²ds6 Z 2π

0

x⁰(s)²ds.

(12)

Par suite, Z 2π

0

(x⁰(s)²−x(s)²)ds>0 et on a :

L²−4πA>2π Z 2π

0

(y⁰(s)−x(s))²ds>0 d’o`u 4πA6L².

Pour avoir l’égalité, on doit déjà avoir l’égalité dans l’inégalité de Wirtinger. Il existe donc α, β ∈Ctels que pour touts∈[0 ;L],x(s) =αeⁱ^s+βe⁻ⁱ^s.xétant à valeurs réelles, il exister∈R,ϕ∈Rtels que pour tout s∈R, x(s) =rcos(s+ϕ). On doit avoir (y⁰−x)² = 0 doncy⁰ =x. Il existe donc λ∈Rtel que pour tout s∈R,y(s) =rsin(s+ϕ) +λ. Γ est alors un cercle centré sur l’axe des ordonnées, de rayon|r|.L= 2π donc|r|= 1. Γ est donc un cercle de rayon 1.

Réciproquement, si Γ est un cercle de rayon 1, on aL= 2πetA=πdonc 4πA= 4π²et L²= (2π)²= 4π². On a bien l’égalité.

Ainsi, si une partie du plan est limitée par une courbe régulière de classeC¹et de longueurL, alors son aire est majorée par L²

4π et cette aire est maximale uniquement pour le cercle.

Remarque 3.4 Si

Z L

0

x(s)ds6= 0, on pose xm = 1 L

Z L

0

x(s)ds(valeur moyenne de x). On a alors Z L

0

(x(s)−xm)ds= 0 et x(s)−x_m est l’abscisse deM(s) dans le repère d’origine(x_m; 0), translation du repère initial. On se ramène ainsi au cas de l’énoncé de la proposition.