ESPACES VECTORIELS

ESPACES VECTORIELS

PLAN

1 GROUPES, ANNEAUX ET CORPS ... 1

1.1 GROUPE ... 1

1.1.1 Définition et propriétés ... 1

1.1.2 Sous-groupe... 2

1.2 ANNEAU... 2

1.3 CORPS ... 3

2 ESPACE VECTORIEL ... 3

2.1 DEFINITION ET PROPRIETES... 3

2.2 SOUS-ESPACE VECTORIEL ... 4

3 VECT : ESPACE ENGENDRE ... 4

3.1 COMBINAISONS LINEAIRES D’OBJETS ... 4

3.2 ESPACE ENGENDRE PAR UN ENSEMBLE D’OBJETS ... 5

3.3 FAMILLE GENERATRICE D’UN ESPACE ... 6

3.4 FAMILLES LIBRES, FAMILLES LIEES ... 8

4 BASE ET DIMENSION D’UN K-EV ... 9

4.1 BASE D’UN ESPACE VECTORIEL ... 9

4.2 UNICITE DE LA DECOMPOSITION ...10

4.3 DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL ...12

Espaces vectoriels

C’est la base de l’algèbre : dans quels types d’espaces se situent des objets tels que des nombres, des matrices, des vecteurs, des polynômes, des fonctions, …) et quelles sont les propriétés de ces espaces lorsqu’on les munit d’une loi de composition interne (opération entre objets) ?

(un peu comme un astrophysicien étudie les objets présents dans l’espace, mais aussi leurs interactions possibles (gravitation, électromagnétisme, …) et l’espace lui-même).

L’objectif est alors de construire un cadre à l’aide d’espaces « modèles » et d’opérations, et parmi eux un modèle « standard », nommé espace vectoriel, doté d’une structure et de propriétés bien précises et servant de cadre général applicable à différentes classes d’objets (scalaires (entiers, réels,

complexes), vecteurs, matrices, suites, polynômes, fonctions, et toutes sortes d’objets inventés pour une occasion précise).

1 Groupes, anneaux et corps 1.1 Groupe

1.1.1 Définition et propriétés Groupe (E, •) :

Ensemble E d’objets muni d’une loi de composition interne (lci) • (l’addition, notée +, la multiplication, notée ×, ou toute autre loi, que l’on notera généralement •), telle que : 1. ^∀

( )

^{x y, ∈ ×E E, x y• ∈E} (propriété de stabilité) ;

2. la loi • est associative :

(

^{x y• • = • •}

)

^{z x}

(

^{y z}

)

^;

3. • possède un unique élément neutre 0 , dans E ; _E

4. Tout élément x de E admet un unique inverse x⁻¹ dans E (x x• ⁻¹=x⁻¹• =x 0_E)

exemples de groupes : contre-exemples :

( ) (

^{ℤ,+ , ℚ,+}

) (

^{, ℝ,+}

)

^,

( ) ( )

^{ℚ*,× , ℝ*,×}

{ }

(

^{−1 ; 1 ,×}

)

( )

ℤ^,× , point 4. non vérifié pour tout sauf 1x

( )

ℝ^,× , (0E=1), point 4. non vérifié pour x=0

(

^,

)

^{, où} est l'ensemble de tous les vecteurs colinéaires à un vecteur donné, y compris le vecteur nul (0 0)

u u

V V

u +

=

(

ou ^,

)

, où ou est l'ensemble de tous les vecteurs colinéaires à ou à ,

y compris le vecteur nul : point 1. non vérifié

u v u v

V V

u v

+

x x

x x^-1 x y x z

x x•y x

(

^{x y• •}

)

^z

x

E y z•

( )

x• •y z

x y^-1 x 0E x z^-1

exemples de groupes : contre-exemples :

(

^,

)

E

, où est l'ensemble de toutes les suites arithmétiques (0 suite nulle)

a a

U + U

=

(

^,

)

^{, où} est l'ensemble de toutes

les suites géométriques : point 1. non vérifié

g g

U + U

( ( )

^,

) ( )

E

E , où E est l'ensemble de toutes les bijections de E sur E (0 =Id)

G G

( ( )

^,

) ( )

: , où est l'ensemble de toutes les fonctions strictement décroissantes de sur point 1. non vérifié

D D

F ℝ F ℝ

ℝ ℝ

(

²

( )

^,

)

²

( )

E 2

, où est l'ensemble de toutes les matrices carrées de dimension 2 à coefficients réels (0 O )

+

=

ℝ ℝ

M M

( ( ) )

( )

2 , E 2

2

1 0

, (0 ) : point 4. : des 0 1

matrices de ne sont pas inversibles.

 

× = = 

 

ℝ

ℝ M

M I

Remarque : la loi • n’est pas nécessairement commutative (il n’est pas imposé à x•y d’être égal à y x• . Lorsqu’elle l’est, on dit qu’on a un groupe commutatif ou abélien.

1.1.2 Sous-groupe Sous-groupe :

(H, •) est un sous-groupe de (E, •) si : H⊂E et (H, •) est un groupe (donc 0_E∈H).

exemples de sous-groupes : contre-exemples :

(

ℤ^,+

)

est un sous-groupe de

(

ℝ^,+

)

.

( ) ( )

{ } { }

, est un sous-groupe de , où multiples de 0 .

n

n n

+ +

= ∪

ℤ ℤ

ℤ

( ) ( )

( )

, ,

,

n'est pas un sous-groupe de . car n'est pas un groupe (point 4.).

+ +

+

ℕ ℤ

ℕ

( ) ( )

( )

,

,

, ,

,

est un sous-groupe de où est l'ensemble de tous les vecteurs du plan

u u v

u v

V V

V

u v

+ +

( ) (

^,

)

,

, ,

.

n'est pas un sous-groupe de car

i j k

i j k

V V

V V

+ +

⊄

( ( ) ) ( ( ) )

( )

, ,

2 2

2

est un sous-groupe de où est l'ensemble des matrices scalaires de dimension 2.

S S

+ +

ℝ ℝ

ℝ

M M

M

( ( ) )

( ( ) ) ( ) ( )

, ,

2

3 2 3

n'est pas un sous-groupe de

car .

+

+ ⊄

ℝ

ℝ ℝ ℝ

M

M M M

1.2 Anneau

Anneau (E, +, •) :

Ensemble E d’objets muni de deux lci + et • telles que :

1. (E, +) est un groupe abélien, dont l’élément neutre est noté 0 ; 2. ^∀

( )

^{x y, ∈ ×E E, x y• ∈E} (stabilité de E par •) ;

3. la loi • est associative :

(

^{x y• • = • •}

)

^{z x}

(

^{y z}

)

^;

4. • est distributive par rapport à + : ^x• + = • + •

(

^{y z}

)

^{x y x z et}

(

^x+ • = • + •^y

)

^{z x z y z}

Un anneau est dit commutatif si la loi • l’est.

Un anneau est dit unitaire si la loi • possède un élément neutre, (souvent noté 1) E∈ . exemples d’anneaux :

(

ℤ^{, ,}+ ×

) (

^, ℚ^{, ,}+ ×

) (

^, ℝ^{, ,}+ ×

) (

^et ℂ^{, ,}+ ×

)

sont des anneaux commutatifs et unitaires.

(

ℝ

[ ]

X ^{, ,}+ ×

)

est un anneau commutatif et unitaire (ℝ

[ ]

X = polynômes à variable réelle ).

{ }

(

M_n

( )

ℝ ^{, ,}+ ×

)

est un anneau unitaire non commutatif.

1.3 Corps

Corps (E, +, •) :

Anneau unitaire (E, +, •) tel que, avec E^* = E \ {0}, (E^*, •) est un groupe.

(on note simplement 0 l’élément neutre de l’addition) Un corps est dit commutatif si la loi • l’est.

exemples de corps : contre-exemples :

(

ℚ^{, ,}+ ×

) (

^, ℝ^{, ,}+ ×

) (

^et ℂ^{, ,}+ ×

)

: corps commutatifs.

(

^{, ,}

)

^{, car}

( )

^*, n'est pas un groupe (problème de l'existence dans de l'inverse d'un entier).

+ × ×

ℤ ℤ

ℤ

( ( )

^{, ,}

)

est un corps (

( )

est

l'ensemble des fonctions d'une variable réelle).

+ ×

ℝ ℝ

F F

( ( ) )

( ( ) )

,

* ,

, , ,

n'est pas un corps car n'est pas un groupe (ici, problème de l'existence elle-même de l'inverse d'une matrice).

n p n p

+ ×

× ℝ ℝ M

M

2 Espace vectoriel

2.1 Définition et propriétés

K-Espace vectoriel (V, +, ×) :

Groupe abélien (V , +) d’élément neutre 0V, sur lequel agit un corps K par le biais d’une loi de composition externe (lce) ×. Dans K, on note 0 et 1 les éléments neutres de + et × (ses lci).

On a, en particulier :

1. ∀ ∈v V^*, !∃ v⁻¹∈V^* tel que v+v⁻¹=0_V

2. ^∀

( )

^{λ,v ∈ ×K V, λ× ∈v V} (stabilité de V par la lce) ; 2bis.∀ ∈v V, 0× =v 0 et 1_V × =v v ; 2ter. ^∀

(

^{λ µ,}

)

^{∈K2, ∀}

( )

^{u v, ∈V2, λu+µv V∈}

3. × est distributive par rapport à + : λ×

(

u1+u2

)

= × + ×λ u1 λ u2 et

(

λ λ1+ 2

)

× = × + ×u λ1 u λ2 u (attention au signe + : l’addition dans K n’est pas l’addition dans V !)

exemples d’espaces vectoriels (et vérification de points ci-dessus) ℝn, espace des vecteurs de dimension n à coordonnées réelles :

( )

(

^{λ,v v v1, ,...,2 vn}

)

^{n, λv}

⁽

^{λ λv1, v2,...,λvn}

⁾

ⁿ

∀ = ∈ ×ℝ ℝ = ∈ℝ ; ∀ ∈v ℝⁿ, 0× =v 0 et 1× =v v

1 1 : 1

, ! tel que 0 1

n n

v v⁻ v v⁻ v⁻ v v

∀ ∈ℝ ∃ ∈ℝ + = = − = − ×

( )

, 2 3 ℝ

M , espace des matrices de dimensions 2,3 à facteurs réels :

( ) ( )

, ,

,A a c e _{2 3} , A a c e _{2 3}

b d f b d f

λ λ λ

λ λ λ λ λ

    

∀ = ∈ × = ∈

   

  ℝ Mℝ Mℝ ;

( )

, ,

3 2 3 2

A , 0 A O et 1 A A

∀ ∈Mℝ × = × = _;

( ) ( )

, , , :

2 3 2 3 2 3

A a c e , !A tel que A A O A A 1 A a c e

b d f b d f

− − −

   

′ ′ ′

∀ = ∈ ∃ ∈ + = = − = − × = 

− − −

  Mℝ Mℝ  

{

^: telles que

( )

1 0

}

V = f ℝ→ℝ f − = (élément neutre de + : la fonction nulle∈V)

(

^λ,f

)

^V,

( )( )

^{λf 1 λ f}

( )

^{1 0, donc λf V}

∀ ∈ ×ℝ − = × − = ∈

(

^{f g,}

)

^V2,

(

^{f g}

)( )

^{1 f}

( ) ( )

^{1 g 1 0 0 0, donc f g V}

∀ ∈ + − = − + − = + = + ∈

( ) ( )

: )

, ! telle que 0_V ( 1 1 0

f V g V f g g f g f

∀ ∈ ∃ ∈ + = = − − = − − =

2.2 Sous-espace vectoriel

Sous-espace vectoriel :

S est un sous-espace vectoriel (sev) de V si :

V est un K-espace vectoriel, S⊂V et S est un K-espace vectoriel (donc 0_V ∈S).

exemples de sev de ℝ-espaces vectoriels contre-exemples V =ℝ3, espace des vecteurs de dimension 3

à coordonnées réelles (donc visualisable comme notre espace usuel) ;

, avec et réels 0

x

S y x y

  

  

=  

  

  

(plan vectoriel plongé dans cet espace)

V =ℝ3 ; , avec et réels positifs 0

x

S y x y

  

  

=  

  

  

...

0 , , mais n'est pas un -espace

vectoriel : (sauf si 0 )

S S V S

u S u S u

∈ ⊂

∈ ⇒− ∉ =

ℝ

V =ℝ2 (plan vectoriel) ;

{ ( )

^{, 2|}

}

S= x y ∈ℝ y=x (droite vectorielle)

V =ℝ2 (plan vectoriel) ; S=S₁∪S₂=

{ ( )

^{, 2|}

} { ^{( )}

^{, 2|}

}

S= x y ∈ℝ y= ∪x x y ∈ℝ y= −x

*, *

1 2

0 S S, V, mais n'est pas un -ev :S u S v S u v S

∈ ⊂

∈ ∈ ⇒ + ∉

ℝ

3 Vect : espace engendré

Dans les parties 3 et 4, les éléments de V cités, v v₁, ,...,₂ v_n ou e e₁, ,...,₂ e_n, sont tous non nuls.

3.1 Combinaisons linéaires d’objets

Combinaison linéaire :

Soit V un ℝ-espace vectoriel et v v₁, ,...,₂ v_n des éléments de V.

Une combinaison linéaire de ces éléments est la somme λ1 1v +λ2 2v + +... λn nv où λ_i∈ℝ. Elle est donc elle-même élément de V.

(en effet, (V, +) est un groupe (stabilité par +) et on a la stabilité par la lce ×) exemples de combinaisons linéaires dans un ℝ-espace vectoriel ℝn, comme ℝ-espace vectoriel des vecteurs de dimension n à coordonnées réelles :

( )

^{u v, ∈ℝn×ℝn, w=2u− ∈3v ℝn}

( )

3

S ℝ

M , comme ℝ-espace vectoriel des matrices scalaires de dimension 3 à facteurs réels :

( ) ( )

, , , 3 3

A B C D∈M_S ℝ , E=2A B− +3C D− ∈M_S ℝ

V , comme ℝ-espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℝ telles que f

( )

− =1 0 :

(

^{f g h, ,}

)

^{∈V3, k=3f + − ∈g h V}

3.2 Espace engendré par un ensemble d’objets

L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de v v₁, ,...,₂ v_n est noté ^Vect

(

^{v v1, ,...,2 vn}

)

^{et est}

nommé sous-espace engendré par v v₁, ,...,₂ v_n. Propriété 3.2 :

(

^{1, ,...,2 n}

)

Vect v v v est un espace vectoriel, qui est V lui-même ou un sous-espace vectoriel de V.

Explication :

* Vu dans le point précédent : toute combinaison linéaire de v v₁, ,...,₂ v_n est élément de V.

(

^{1, ,...,2 n}

)

Vect v v v est donc inclus dans V.

*

(

^{Vect v v}

(

^{1, ,...,2 vn}

)

^{, ,+ ×}

)

est-il un K-espace vectoriel ? Vérifions les points-clés de la définition : a.

(

^{Vect v v}

(

^{1, ,...,2 vn}

)

^,+

)

doit être un groupe abélien

1. stabilité : soit deux combinaisons linéaires λ_{1 1}v +λ_{2 2}v + +... λ_{n n}v et µ_{1 1}v +µ_{2 2}v + +... µ_{n n}v . Il est clair que leur somme est dans Vect v v

(

1^{, ,...,}2 vn

)

;

2. associativité : immédiate ;

3. élément neutre : la combinaison (= 0V) telle que

(

^{λ λ1, 2,...,λn}

) (

^{= 0 0, ,...,0}

)

^;

4. inverse unique de λ_{1 1}v +λ_{2 2}v + +... λ_{n n}v : −λ_{1 1}v −λ_{2 2}v − −... λ_{n n}v b. Points vus en définition d’un espace vectoriel :

2. stabilité par la lce :

(

λ λ^, 1 1v +λ2 2v + +^... λ_{n n}v

)

∈ ×K Vect v v

(

1^{, ,...,}2 v_n

)

, ^{λ λ×}

(

^{1 1v +λ2 2v + +... λn nv}

)

^{=λλ1 1v +λλ2 2v + +... λλn nv ∈Vect v v}

(

^{1, ,...,2 vn}

)

3. distributivité : immédiate

Exemple 1 :

( ) ( ) ( )

, , , , ,

2 2

1 1 1 2 1 1 alors 1 2

V =ℝ v = v = − Vect v v =ℝ En effet :

On sait déjà que Vect v v

(

1^, 2

)

⊂ℝ². A-t-on l’inclusion contraire ?

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , , :

, , . ,

2

1 2 1 1 2 2

1 2

2

1 2 1 2

tel que

il suffit de prendre et .

2 2

Donc

a b v v a b

a b a b

a b Vect v v Vect v v

λ λ λ λ

λ λ

∀ ∈ ∃ + =

+ −

= =

∈ ⊂

ℝ

ℝ Par exemple :

( )

^{3 1, =2v1+v2}

plan ℝ2

Exemple 2 :

[ ]

^{, , , 2,}

(

^{, ,}

) [ ]

2 (polynômes de degré 2) 1 1 2 3 alors 1 2 3 2

V =ℝ X ≤ p = p =x p =x Vect p p p =ℝ X

En effet : on sait déjà que

(

^{1, 2, 3}

)

²

[ ]

Vect p p p ⊂ℝ X . A-t-on l’inclusion contraire ?

[ ] ( )

( )

[ ] ( )

, , ,

: ,

, , .

, ,

2

2 1 2 3

2

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2

1 2 3

2 1 2 3

tel que

il suffit de prendre et . Donc

ax bx c X

p p p ax bx c

c b a

ax bx c Vect p p p X Vect p p p

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

∀ + + ∈ ∃

+ + = + +

= = =

+ + ∈

⊂

ℝ

ℝ Exemple 3 :

( ) ( ) ( )

, , , , , , . ,

3 3

1 1 1 0 2 1 0 1 A-t-on 1 2 ?

V =ℝ v = v = Vect v v =ℝ

On sait déjà que ^{Vect v v}

(

^{1, 2}

)

^⊂ℝ3. A-t-on l’inclusion contraire ?

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ? , , ,

, , , , , ,

3

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

tel que ?

0 + 0

a b c v v a b c

v v

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

∀ ∈ ∃ + =

+ = = +

ℝ

Or tous les triplets

(

^{a b c, ,}

)

ne vérifient pas cette condition qui veut que a= +b c, loin de là ! Ici, les vecteurs v₁ et v₂ engendrent un plan P inclus dans ℝ³: ^{Vect v v}

(

^{1, 2}

)

= P. Mais les vecteurs de ℝ³ n’appartenant pas à ce plan ne peuvent être combinaisons linéaires de v₁ et v₂.

3.3 Famille génératrice d’un espace

L’ensemble

{

^{e e1, ,...,2 en}

}

d’éléments de même nature (vecteurs, polynômes, matrices, suites, etc.) est nommé famille génératrice de ^{Vect e e}

(

^{1, ,...,2 en}

)

^.

Plusieurs familles peuvent être génératrices du même espace vectoriel.

Exemple 1 : (MD2

( )

ℝ ^: matrices diagonales de dimension 2,2 à coefficients réels)

( )

, ₂ :

1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 ^D A 0 0 0 0 1

Vect a a b

b

         

= = = +

         

         

  M ℝ ,

( ) ( )

, ₂ :

1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 ^D A 0 0 1 0 1

Vect a a a b

b

         

= = = + +

         

− −

         

  M ℝ

( )

, , ₂ :

1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 ^D A 0 2 0 1 2 0 1 2 0 0

a a a a

Vect b

b

              

= = = + + +

              

− −  

             

  M ℝ

[ ]

espace ℝ2 X

( )

plan M_D2 ℝ

Exemple 2 :

, , :

1 0 1 0

0 1 ^{i j} 0 1

Vect i j v a a b

b

          

= = = = = +

          

         

  P ,

( )

, , :

1 2

1 1 1 1

0 1 ^{i j} 0 1

Vect v v v a a b b

b

 −      −   

= = = = = − − −

          

− −

         

  P

( ) ( ) ( )

, , , :

1 2 3

1 1 1 1 1 1

2 2 2

0 1 2 ^{i j} 0 1 2

Vect v v v v a a b a b a b

b

 −        −     

= = = = = = + + + + +

              

− −

             

  P

Exemple 3 :

(

^{1: 1, 2: , 3: 2}

)

²

^{[ ]}

^:

^{( )}

^{2 1}

^{( )}

²

^{( )}

³

^{( )}

Vect p x֏ p x֏x p x֏x =ℝ X p x =ax +bx+ =c cp x +bp x +ap x

(

4 1 ^, 5 1 ^2, 2

)

2

[ ]

^:

( )

²

( )

4 5

( )

2

Vect p = +x p = +x p =x =ℝ X p x =ax +bx+ = −c c a p +ap + + −a b c p

( ) ^{[ ]}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , ², ² :

1 6 3 7 2

2

1 6 3 7

1 1

2 2 2

Vect p p x p x p x x X

p x ax bx c a b c p a b p a b p a b p

= = − = = + =

= + + = + + − + + + − +

ℝ

n.b. : Les combinaisons montrées dans ces exemples prouvent qu’un élément de l’espace considéré est élément de Vect, donc que l’espace est inclus dans Vect, mais pas le contraire. Cette inclusion

« réciproque » est le résultat acquis de la propriété 3.2.

plan ℝ2

[ ]

espace ℝ2 X

3.4 Familles libres, familles liées

On l’a vu, plusieurs familles peuvent engendrer le même espace vectoriel et le nombre d’éléments qu’elles contiennent n’est pas forcément le même.

Il serait intéressant, pour un espace vectoriel donné, de chercher une famille capable de l’engendrer et dont le nombre d’éléments soit minimal.

On appelle famille liée un ensemble

{

e e1^{, ,...,}2 en

}

dont un élément est une combinaison linéaire des autres : ∃ ∈k

[ ]

1^;n et

( )

λ_{i i k≠} non tous nuls tels que e_k =λ1 1e +λ2 2e + +^... λ_k−1e_k−1+λ_k+1e_k+1+ +^... λ_{n n}e . Exemples (en reprenant ceux de la partie 4.1) :

Dans la famille de matrices 1 0 , 0 0 , 1 0

0 1 0 1 0 0

     

 

 −     

     

 , 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1

     

= −

     

−

     .

Dans la famille de vecteurs ₁ 1 , ₂ 1 , ₃ 1

0 1 2

u u u

 −     

 

= = =

      

−

      

 , u₃= −3u₁−2u₂.

Dans la famille de polynômes

{

^{p1=1,p6= −1 x p, 3=x2,p7= +x x2}

}

^{, p7 =p3−p6+p1.}

Attention : tout élément e_i d’une famille liée n’est pas forcément une combinaison linéaire des autres. Dans ₁ 1 , ₂ 2 , ₃ 0

0 0 1

u u u

      

 

= = =

      

      

 , u₃ n’est pas combinaison linéaire de u₁ et u₂. Proposition 3.4-1 :

{

e e1^{, ,...,}2 en

}

est liée ⇔ ∃

( )

λ_i 1_{≤ ≤i n} non tous nuls tels que λ1 1e +λ2 2e + +^... λ_{n n}e =0_V. Démonstration :

* ⇒ : _{1 1 2 2} ... _{1 1 1 1} ...

1

0 avec 1

n

k k k k k n n i i V k

i

e λe λe λ −e − λ+ e + λ e λe λ

=

= + + + + + + ⇒

∑

= = −

* ⇐ :

1 1

0 avec 0

n n

i

i i V k k i

i i k

i k

e e λ e

λ λ λ

= =

≠

= ≠ ⇒ = −

∑ ∑

, et donc la famille est liée.

On appelle famille libre ou linéairement indépendante une famille non liée.

Aucun de ses éléments n’est une combinaison linéaire des autres.

Propriété 3.4-2 :

{

e e1^{, ,...,}2 en

}

est libre

(

1^,...,

) (

^,...,

)

1

0 0 0

n

i i V n

i

λe λ λ

=

 

⇔ = ⇒ = 



∑

^.

Exemples de familles libres : 1

i 0

  

 

=

  

  

 , comme tout singleton d’un élément non nul, est libre.

1 , 0

0 1

i j

    

 

= =

    

    

  est libre. En effet : 1 2 ¹

(

1^, 2

) ( )

^,

2

0 0 0 0

i j λ 0

λ λ λ λ

λ

   

+ = ⇔   = ⇔ =

 

 

1 , 1

2 1

u v

   − 

 

= =

    

    

  est libre.

En effet : 1 2 ^{1 2 1 2}

(

1^, 2

) ( )

^,

1 2 1

0 0 0 0

2 0 3 0

u v λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

− =

    

+ = ⇔ +   = ⇔ = ⇔ =

, , ,

1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1

       

 

       

       

  est libre.

{

^{x֏1, x֏x x, ֏x2}

}

est libre ;

{

^{x֏1+x x, ֏1+x2, x֏x}

}

est libre.

{

^{x֏sin ,x x֏cosx}

}

est libre ;

{

^{x֏x x, ֏ex}

}

est libre.

Proposition 3.4-3 : Si

{

^{e e1, ,...,2 en}

}

est une famille liée où e_n est combinaison linéaire des autres éléments, alors Vect e e

(

1^{, ,...,}2 en

)

=Vect e e

(

1^{, ,...,}2 en₋1

)

.

Démonstration :

( ) ( )

( )

, ,..., , ,...,

1 1 1 1

1 2

1 1 1 1 1

1 2 1

n n n n n

n i i i i n n i i n i i i n i i

i i i i i

n

v Vect e e e v e e e e e e

v Vect e e e

λ ⁻ λ λ ⁻ λ λ ⁻ µ ⁻ λ λ µ

= = = = =

−

∈ ⇔ = = + = + = +

⇔ ∈

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Exemple :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , , , , , .

, , , , , , , ,

, ,

2 1 0 0 1 1 1 . En effet : 2 1 0 2 0 1 1 1

Or 1 1 1 0 0 1 , donc 2 1 0 2 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

Vect v a b a b b a a b

v a b a b b a a b

a b

= = = + + + − +

= + = = + + + − + +

= +

ℝ

Ainsi, les vecteurs v de ^Vect

( ( ) ( ) ( )

^{1 0, , , , ,0 1 1 1}

)

sont ceux de ^Vect

( ( ) ( )

^{1 0, , ,0 1}

)

^.

Le couple

( )

1 1 est ici superflu, associé à ^,

( )

^{1 0 et ,}

( )

0 1 , pour engendrer ^, ℝ².

4 Base et dimension d’un K -ev 4.1 Base d’un espace vectoriel

Base :

Soit V un K-espace vectoriel et e e₁, ,...,₂ e_n des éléments de V.

B =

(

^{e e1, ,...,2 en}

)

est une base de V si, et seulement si :

* B est linéairement indépendante, * ^{Vect e e}

(

^{1, ,...,2 en}

)

^=V (B engendre V).

Exemple :

( ) ( ) ( )

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

, , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , , :

3

1 2

1 2 3 3 1 2 3

1 3

1 0 1 1 0 0 0 1 0 est une base de .

* linéairement indépendante ?

0

1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0

* 1 0 1 1 0 0 0 1 0 ?

1 0 1 1 0 0 0 1 0

Vect

v a b c c a c b

λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

λ

− −

+ =



− + + − = ⇔ = ⇔ =

 =



− − =

= = − − + + − −

ℝ

ℝ

( ) ( ) ( )

(

^{, , , , , , , ,}

)

3 1 0 1 1 0 0 0 1 0

(inclusion réciproque : propriété 3.2)

⊂Vect − −

ℝ

4.2 Unicité de la décomposition

Propriété 4.2 : Soit v un élément d’un K-ev V et B une base de V.

Alors la décomposition de v dans cette base est unique.

Démonstration :

Supposons deux décompositions différentes de v (deux combinaisons linéaires de la même famille montrant des coefficients différents) :

(

1^, 2^,...,

) (

1^, 2^,...,

)

^.

1 1

avec

n n

i i i i n n

i i

v λe µe λ λ λ µ µ µ

= =

=

∑

=

∑

≠

Par différence :

( )

1 1 1

0 0

n n n

i i i i V i i i V

i i i

e e e

λ µ λ µ

= = =

− = ⇔ − =

∑ ∑ ∑

^.

Or la famille

{

e e1^{, ,...,}2 en

}

est libre, puisque B =

(

e e1^{, ,...,}2 en

)

est une base de V.

La propriété 3.4-2 établit alors que pour tout i, λ µ_i− _i =0.

Ainsi, les deux combinaisons linéaires sont obligatoirement identiques.

Coordonnées :

Les coefficients de cette unique décomposition sont alors appelés coordonnées de v dans la base B.

La propriété 4.2 est bien une propriété des bases, car dans une famille génératrice liée, la décomposition de v ne serait pas unique !

Reprenons divers exemples vus précédemment.

Exemple 1 :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , , , , , ,

, ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

3

1 2

1 2 3 3 1 2 3

1

1 2 3

1 0 1 1 0 0 0 1 0 .

La décomposition de dans cette famille est-elle unique ?

1 0 1 1 0 0 0 1 0

est unique. 1 0 1 1 0 0 0 Vect

v a b c

a

a b c b c a c b

c λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

− − =

=

+ =



− + + − = ⇔ − = ⇔ = − + −

 − =



− ℝ

( )

(

^,

)

³

1 2 3

1 0 est une base de et λ λ, et λ sont les coordonnées de dans cette base.v

− ℝ

Exemple 2 :

( )

( )

,

, ,

,

2

2 1

1 2

1 2 1 2

1 2 1

1 2

1 1

. La décomposition de dans cette famille est-elle unique ?

2 1

1 1 2

2 1 2 3 3

3

Vect v a

b a a

a a b a b

a b b

b

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

  −   

= =

     

     

 

= −

− = 

− 

        + − + 

+ = ⇔ ⇔ + ⇔ =

      + = =  

       

ℝ

, ²

1 2

1 1

est unique. est une base de

2 1

et λ et λ sont les coordonnées de dans cette base.v

  − 

   

   

  ℝ

Exemple 3 :

( ) ( )

, ₂ :

1 0 0 0 0 1 0 0 0

est une base de A

0 1 0 1 ^D 0 0 1 0 1

a a a b

b

         

= = + +

         

− −

         

  M ℝ

Exemple 4 :

( )

, , _{2 1 2 3}

1 3 1 3 3 1

2 1 2 1 2 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 A 0 0 1 0 1 0 0

0 0

0 0

D

Vect a

b

a a

a

b b

b

λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

             

= = = + +

             

− −

             

 

+ + = = −

     

⇔  = ⇔ ⇔

−   − = = +

   

M ℝ

Deux conditions sont à respecter par trois coefficients : on peut donner à λ₁ la valeur que l’on souhaite, ce qui nous fera obtenir λ₂ ^et λ3. La décomposition de A dans cette famille n’est pas unique et donc 1 0 , 0 0 , 1 0

0 1 0 1 0 0

     

     

−

     

  n’est pas une base de MS2

( )

ℝ .

Cela correspond au fait que cette famille est liée. En effet : 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1

     

= −

 −     

     .

Exemple 5 :

, , , :

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 3

2 3 2 3

1 1 1 1 1 1

0 1 2 0 1 2

3

2 2

i j

Vect u u u v a

b

a a b

b b

λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

 −        −     

= = = = = = + +

              

− −

             

 

− + + = = − −

 

⇔ ⇔

− + = = −

 

P

Deux conditions sont à respecter par trois coefficients : on peut donner à λ₃ la valeur que l’on souhaite, ce qui nous fera obtenir λ₁ ^et λ2. La décomposition de v dans cette famille n’est pas unique et donc ₁ 1 , ₂ 1 , ₃ 1

0 1 2

u u u

 −     

= = =

   −    

  n’est pas une base de P_{i j,} .

Cela correspond au fait que cette famille est liée. En effet : u₃= −3u₁−2u₂. Exemple 6 :

( ) ^{[ ] ( )}

( ) ( ) ^{[ ]}

, , :

, , , ,

2 2

4 5 2 2 1 4 2 5 3 2

2 2

2 2

1 1 2 2 3 1 3 3

1 2 1

2

1 2 3 2

1 2 3

1 1

est unique. 1 1 est une base de et , et son

Vect p x p x p x X p x ax bx c p p p

a a

ax bx c x x x b a b c

c c a

x x x X

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

= + = + = = = + + = + +

= =

 

 

⇔ + + = + + + + ⇔ + = ⇔ = + −

 + =  = −

 

+ + ℝ

ℝ

( )

t les coordonnées de p x dans cette base.

Base canonique :

Il s’agit de la base dont les éléments sont unitaires et orthogonaux entre eux, dont les coordonnées sont « les plus simples possibles » (composées de « 0 » et de « 1 »).

Les coordonnées d’un vecteur dans la base canonique sont appelées ses composantes.

Exemples :

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

[ ] ( ) ^{( )}

, , , , , , , , , , ,

, , , , ,

2 3

2

2 2

1 0 0 1 ; 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ;

1 0 0 0 0 1 0 0

1 ;

0 0 1 0 0 0 0 1

V V

V X x x V M

= → = = → =

       

= → = = → =       

       

 

ℝ ℝ

ℝ ℝ

B B

B B

4.3 Dimension d’un espace vectoriel

Proposition 4.3-1 :

Soit B =

(

e e1^{, ,...,}2 en

)

une base d’un K-ev V, soit v un élément de V.

Alors la famille

{

e e1^{, ,..., ,}2 e vn

}

est liée.

Preuve : en effet puisque v se décompose dans la base B.

Proposition 4.3-2 :

Soit B =

(

^{e e1, ,...,2 en}

)

une base d’un K-ev V, et

{

^{v v1, ,...,2 vp}

}

une famille d’éléments de V, où p>n. Alors la famille

{

^{v v1, ,...,2 vp}

}

est liée.

Démonstration :

Nommons X la famille

{

^{v v1, ,...,2 vp}

}

et Y la partie

{

v v^{1, ,...,2} vn

}

strictement incluse dans X.

1) Si Y est liée, la combinaison linéaire entre l’un de ses éléments et les autres existe aussi dans X et donc X est liée également.

2) Si Y est libre, montrons que Y est alors une base de V puis, grâce à la proposition 4.3-1, nous pourrons conclure que X est liée.

B =

(

^{e e1, ,...,2 en}

)

est une base de V. Donc :

...

...

...

...

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

n n nn n n

e e e v

e e e v

e e e v

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

+ + + =

 + + + =



 + + + =



Le fait que

{

^{v v1, ,...,2 vn}

}

soit libre implique qu’aucun des v_i n’est combinaison linéaire des autres, autrement dit : aucune des listes

(

λ λi^1, i^2,...,λin

)

n’est combinaison linéaire des autres listes.

On est donc en présence d’un système de Cramer : sa matrice peut être inversée, et il existe donc des coefficients µ_ij uniques tels que :

...

...

...

...

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

n n nn n n

v v v e

v v v e

v v v e

µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

+ + + =



+ + + =



 + + + =



Comme tout élément v de V est une combinaison linéaire des e_i, il est aussi par ce système une combinaison linéaire des v_i. Donc V ⊂Vect v

(

1^,...,vn

)

. On sait que la proposition 3.2 établit l’inclusion contraire. Ainsi, la définition étant respectée, Y est une base de V.

Enfin, grâce à la proposition 4.3-1, X est liée.

Proposition 4.3-3 :

Soit B =

(

^{e e1, ,...,2 en}

)

une base d’un K-ev V. Alors la famille

{

^{e e1, ,...,2 en−1}

}

ne peut engendrer V.

En effet, tout élément v de la forme λe_n ne peut être combinaison linéaire de

{

e e1^{, ,...,}2 en₋1

}

. Ces trois dernières propositions montrent deux résultats fondamentaux :

Toutes les bases d’un K-espace vectoriel comportent obligatoirement le même nombre d’éléments.

Toute famille libre comportant ce nombre précis d’éléments est une base de ce K-espace vectoriel.

Un élément de plus, et la famille est liée, un élément de moins et la famille ne peut engendrer V.

Dimension d’un K-ev :

La dimension d’un espace vectoriel V est le nombre d’éléments d’une de ses bases quelconques.

Exemples :

( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ^{( )} ) ( ^{( )} )

( [ ] ) ( [ ] )

dim dim dim

dim dim dim dim

dim dim

2 3

2

2 2

2

2 ; 3 ; ;

2 ; ; 4 ; ;

3 ; 1

n

D Dn n

n

n

n n

X X n

= = =

= = = =

= = +

ℝ ℝ ℝ

ℝ ℝ ℝ ℝ

ℝ ℝ

M M M M

Proposition 4.3-4 :

Soit B =

(

e e1^{, ,...,}2 en

)

une base d’un K-ev V et ^{B′ =}

(

^{e ei1, ,...,i2 eip}

)

une liste formée de p éléments de B (donc p≤n). Alors

{

^{e ei1, i2,...,eip}

}

engendre un sous-espace vectoriel de V dont B′ est une base.

Exemples :

[ ] { ( ) }

( ) ^{( )}

[ ] { ( ) }

( ) ( )

, , ,

, , dim

, ,

, dim

2 3

2 2

2 1

;

1 ; 3

sev de ;

1 ; 2

V X ax bx c a b c

x x V

W X bx c b c V

x W

= = + + ∈

= =

= = + ∈

′ = =

ℝ ℝ

ℝ ℝ

B

B

( ) ( )

( )

( )

, ,

, dim

,

dim

2 2

0 ;

0

1 0 0 0

; 2 ;

0 0 0 1

0 sev de ;

0 0 1 0

; 1

0 0

D

V a a b

b

V

W a a V

W

  

 

= =  ∈ 

  

 

   

=    =

   

 

  

 

=  ∈ 

  

 

 

′ =  =

 

 

ℝ ℝ

ℝ M

B

B