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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Richard, G. (1970). Les techniques audio-visuelles dans l'enseignement des mathématiques (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des Sciences psychologiques et de l'éducation, Bruxelles.

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ONIVERSiTE LBRE DE BRUXELLES

Didactique expiritnemal*

CAMPUS DE LA PLAtNE - C.P 204 Bd. du Triomphe

1050 BRUXELLES

LES TECHNIQUES AUDIO-VTSUELLES DANS L*ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES.

Texte soumis pour l’obtention du grade de Docteur en Sciences Pédagogiques à l’Université Libre de Bruxelles.

G35.818

par

TABLF: des MATIERES

Introduction:

Situation au Canada et en Belgique.

Conditions des expérimentations. 1 Chapitre I: Les techniques dans un espace de

dimension ^ 2*

Le dessin: technique audlo-vlsuelle. Représentation d'objets: aspect statique et aispect dynamique. Les dlagranunes d'Euler-Venn, les cordes multicolores et les graphes.

Prolongement du langage pictural. 8 Chapitre XI: Les techniques dans un espace de

dimension { 3.

Sens du mot espace.

Représentation d'un objet en un plan: de l'objet au plan et inversèment.

De la conceptualisation à la réalisation 29 Chapitre III; Les techniques dans un espace poly-

dlmensionnel.

Les possibilités d'utilisation du film. Les films mathématiques au Canada. Conditions d'utilisation: conditions du du film, les disponibilités matérielles, la méthodologie nécessaire.

Chapitre IV: Les techniques pour l'apprentissage du calcul.

Le Hinlconputer. Elaboration d'une trilogie technique pour la présenta­ tion des techniques de calcul.

L'utilisation des machines à calculer. Chapitre V: Une notion mathématique présentée avec

des techniques audio-visuelles. Esquisse d'un plan de travad.1. Conclusions générales

Liste des ouvrages consultés 102

60

INTRODUCTION

£n 1959, l'Organisation Européenne de coopération et de développement Economique organisait à Royaumont, près de Paris, un séminaire sur les mathématiques nouvel­ les et leur enseignement. Cette session d'études regrou­ pait de ncHnbreuses personnalités du monde entier intéres­ sées à l'amélioration de l'enseignement de la mathématique. Ovurant deux semaines, on tenta d'élaborer un plan pour cor­ riger les déficiences des programmes d'alors et de donner à ces dits programmes une orientation conforme aux besoins de notre société conteinporr2ü.ne.

Cette réunion fut surtout l'occasion pour plusieurs de se défouler, de crier publiquement les anomalies obser­ vées dans l'enseignement de la mathématique et les difficul- tées rencontrées dans toutes tentatives de modernisation, à telle enseigne que, lorsque l'xine des figures dominantes de la mathématique contenporraine jetta ces mots : "A bas

Eucllde ! ", un pacte implicite vit le Jour. La guerre é- tait officiellement commencée, on se sentait nombreux et forts, il fallait passer à l'attaque. On choisit un groupe de spécialistes, dont deux belges, Paul Libois de l'Univer­ sité libre de Brioxelles et wllly Servais de Morlanwelz afin de dresser un programme moderne pour l'enseignement de la mathématique•

en Amérique s*en inspirèrent, les prograirïces scolaires des autres continents en bénéficièrent; une foison de manuels scolaires vit le jour* On parla partout de la guerre entre les tenants des mathématiques classiques et ceux de la mathé­ matique bodeme. Selon les pays, voire même selon les ré­ gions, ae livrèrent au nom de principes divers et dans des climats variant de l'hésitation prudente au débat passionnel des combats des plus

virulents-Les apôtres de la réforme préconisèrent l'urgence de celle-ci tandis que ses opposants invoquèrent de multiples raisons dont la plupart servirent d'écran à une ignorance du sujet quand ce n’était tout simplement à une crainte de per­ dre la permanence confortable du statu quo.

Les écoles normêdes avaient formé plus d'une généra­ tion d* Erasme s en puissance dont les potentialités multivo- quesfeurent tôt fait, devant les nécessités du curriculum ou devant les exigences inhérentes au contrôle, de s'épanouir dans l’enseignement des mathématiques. Ces floraisons furent quelquefois subites mais souventefois furent progressives et conditionnées au succès d’examens, dits de promotion, où l’ancienneté, pour ne pas dire la vétusté, n’était pas la moindre des qualités requises. On comprend dès lors les réticences de ces professeurs vis-à-vis de tout changement, particulièrement de changements impliquant pour eux une mise

à jour, un recyclage.

Au Québec, la Commission Royale d'enquêtéèur l’ensei­ gnement dans la Province de Québec, n’a pas craint d’affir­ mer : ( i )

-3-"La réforme à faire est si profonde qu*elle apparai- tra, pour ceux qui ont étudié les mathématiques tradition­ nelles, presque comme l'introduction d'une nouvelle matière au progranune."

En Ontario, les travaux de l'Ontario Hathematics C(xn- mission de même que ses publications ont amené les profes­

seurs à remettre leur enseignement en question. A la gran­ deur du Canada, on a su ainsi, malgré les difficultés énor­ mes à surmonter, oeuvrer vers un enseignement moderne de la mathématique. Les diverses Associations mathématiques ont concentré leurs efforts sur cette cause et la venue de spé­ cialistes étrangers fut fort appréciée.

En Belgique, un groupe de travail était en chantier dès 1958. On y voyait Frédérique Langer, willy Servais et d'autres professeurs en fonction élaborer un nouveau pro­ gramme de mathématique. Le groupe s'adjoignit vers 1960 un professeur de l'Université Libre de Bruxelles, Georges PaPYt donna une impulsion nouvelle et différente. Le Centre Belge de Pédagogie de la MathâBatiqxie e^paraitra dès lors^et, depuis ce temps il expérimente, selon des tech­ niques scientifiques particulières, de nouveaux procédés et de nouveaux programmes d'enseignement de la mathémati­ que. Durant l'année scolaire 1968-1969 il était loisi­ ble à tout professeur du réseau belge enseignant en 6ie de suivre im programme modernisé, lequel progranune est mainte­ nant obligatoire pour toutes les 6ie depuis septembre 1969. Le programme de 5ie est déjà connu et devient obligatoire

à partir de septembre 1970.

bué présenter une réforme fort inégale, voire divergente

d*un endroit à l'autre. N'attendant pas les décisions of» ficielles, un professeur d'Ecole Normale, s'adjoignit en 1961 trois professeurs de l'enseignement secondaire, dont l'auteur de ce texte, pour préparer un prograoune rénové de l'fmseignenent de la mathématique* Les travaux des c<xn- nissions de l'Organisation pour la Coopération et le Dé- veloppeeent Econc»iique, les rapports des organismes et des congrès internationaux, le rapport du College Entrance Exemlnation Board (New-York), les publications du School Hathematics Study Group (New Haven) et les résultats de travaux scientifiques entrepris en ce domedne par des organismes privés servirent de base à ce programme que l'on voulait le plus près possible des objectifs d'un en- éeignement authentique de la mathàaatique modexme, compte tenu du milieu scolaire québéquois auquel les auteurs des­ tinaient leur travail. Ce progreunme servit de plan pour la rédaction de manuels scolaires (1). Chacun des volu­ mes sortit de presse après une expérimentation intensive auprès de centaines d'étudiants de l'enseigneaient secon­ daire. Les remarques des professeurs utilisant les pré­ textes et les recherches des auteurs 2u&enèrent des modi­ fications pour l'amélioration des textes à publier*

Des obsexrvations relatives au contenu mathématique du programme ou à l'incidence mathématique de telle ou telle technique utilisée naquirent diurant ces expérimen­ tations et leur justesse fut immédiatement somd.se à de multiples épreuves* Que nul ne s'étonne alors de ne voir

-5-apparaître de multiples tableaux alignant à profusion des colonnes de chiffres. Les mathématiciens eux-mêmes n’ap­ pellent plus CERTAIN un évènement de probabilité 1. (1) L'expérience leur a appris à doser de plus en plus les prédictions. Une affirmation radicale est souvent sujet­ te à caution de sorte que le présent travail n'offre pais de recettes infaillibles ou des théories de vérité abso­ lue mais présente plutôt des constantes^Sbseivées dans une suite d'applications locales et suggère des techniques passées au creuset de l'expérimentation.

Cette expérimentation entreprise en rapport avec l'implantation de la mathématique nouvelle pour l'ensei­ gnement avait pour but initial la découverte de procédés méthodologiques aptes à rendre possible l'apprentissage de cette discipline par les enfants et par les adoles­ cents. Le perfectionnement des techniques facilitant l'apprentissage fût peu à peu l'objectif poursuivi. La poursuite de ce dernier but nous amena à l'étude plus attentive du contexte sociologique des milieux d'expéri­ mentation.

La distance» l'éloignement, l'isolement, la pau­ vreté des ressources financières, voilà autant de facteurs qui parmi plusieurs autres ont guidé la recherche vers la découverte des techniques audio-visuelles pour l'ensei­ gnement de la mathématique. Nous avons certes été favo­ risés à certains moments, puisque nous avons pu utiliser et expérimenter certains appeureils fort dispendieiix, tels circuits fermés de télévision, magnétoscopes, vidéo, camé­ ras et appareils-photos dé professionnels, studio-son, etc.

-6-mals le coût nettement prohibitif de ces appareillages ne nous permet pas d*en entrevoir ime utilisation généralisée dans les écoles avant plusieurs décades. ZI ne faut pas, par conséquent, rechercher dans ce travedl des résultats concernamt 1* utilisation de tout app2ureil coûteux mais y découvrir les avantages d*un emploi rationnel des techniques

audioovlsuelies disponibles à tout enseignant même s*il oeuvre en une région peu favorisée stu: le plan matériel.

La méthodologie des techniques audio-visuelles pré­ conisée ici ne sera pas, pour une pseudo justification, farcie de coefficients de corrélation linéaire, curviligne ou tétrachorique. La détermination de telles valeurs, à grande utilité pour des sciences pures, oblige au main­ tien d*une certaine fixité des variables en cause laquel­ le rend plus longue 1*obtention de résultats pratiques dans le domaine pédagogique. Les recherches théoriques^ ou l'intuition^nous ayant proposé un but à atteindre,

nous tentons, à l'instar de nos navigateurs dans le cosmos, d'y parvenir par une suite de corrections successives.

Ces corrections sont amenées à mesure qu'elles se révè- lent expédientes^ leur à proposse manifeste lors de l'é­ tude des résultats de contrôle scientifique de l'expéri­ mentation. Les mesures prises tout au long de l'expérien­ ce ne donnent pas^ chacune prise isolément^ une preuve in­ discutable de la faiblesse ou du mérite de la technique employée; elles n'en sont tout au plus qu'un indice. La preuve prend son éclat lorsqu'on effectue une sommation de ces indices.

-7-diverses techniques selon les axes de références sous-enten­ dus. Nous verrons donc, en preJiier lieu, les travaux à concrétisation exprimée sur un plan; la métrique sur l*un des axes nous donnant quelquefois des mesures nulles.

Nous passons ensuite à 1*espace tridimensionnel puis abor­ dons avec le film les espaces où les points de repères peuvent se trouver sur plus de trois axes. La mathémati­ que appliquée ayant elle aussi ses exigences, 11 fallut consacrer un chapitre aux techniques audio-visuelles re­

latives à l'enseignement du calcul et de la numération. Les divers résultats obtenus nous Incitent, enfin, à sug­ gérer l'esquisse d'une présentation d'un chapitre de la mathématique: nous avons choisi la fonction trigonomé-trique. Nous voulons y montrer comment en pratique la technique audio—visuelle peut être un apport enrlchis- seuit dans l'enseignement de la mathématique par son lan­ gage ^facilitant pour l'auditeur^1'acquisition et la

-8 CHAPITRE I

LES TECHNIQUES DANS UN ESPACE DE DIMENSION >12,

I— LE DESSIN: Ti^CHNIQUE AUDIO-VISUELLE.

L'école traditionnelle a toujours eu le dessin à sa disposition pour l'enseignement de la mathématique. Cette technique audio-visuelle n*était malheureusement pas exploitée de sorte que le dessin qui n*apparaissait qu'aux tout premiers cours de l'élémentaire disparaissait presqu'aussitôt pour n'apparaître que sporadiquement à

l'occasion de cours de gécwiétrie ou de toisé. L'enfant, pourtant, aime dessiner et y trouve un mode d'expression par lequel il peut non seulement reproduire l'objet qu'il voit mais aussi montrer un objet auquel il se réfère.

Le dessin utilisé à l'école élémentaire avait une valeur figurative que l'on aurait profit à mettre à la dispo­

sition des professeurs de mathématique. Le dessin géo­ métrique pour sa part se situe à un autre niveau d'abstrac­ tion. Pendant que le dessin figuratif laisse place à la fantaisie et à l'imagination, voire même au décoratif, le dessin gécmtétrique exige une plus grande précision. La représentation d'un homme, par l'enfant, passe de la sim­ plicité du symbole chinois pour désigner un homme à une

photographie plus ou moins parfaite, plus ou moins com­ plète et, au besoin, agrémentée de fioritures. La re­ présentation d'un carré ne saurait être imparfaite, car une seule figure, à la métrique linéaire près, porte le nom de carré. Cet état de chose découle du concept plu- riforme d'ho.me par opposition à la rigidité conceptuel­ le d'une figure géométrique.

-9-autres représentations figuratives, présuppose un souci d*adéquation entre l’image abstraite du réel et la figure sans l’intervention des facultés créatrices de la personne qui dessine. Les études (1) démontrent que l’enfant montre naturellement et inconsciemment en son de.^sin diverses fa­ cettes de sa personnalité. Vouloir amener l’enfant à exé­ cuter très tdt des dessins dans un monde où il ne peut s’exprimer, où sa liberté est contrainte, est peut-être dé­ sirable par certains, mais s'oppose à un idéal de formation authentique.

La figure géométrique demande \me précision dans sa représentation:! une carence de cette précision amène vine représentation d'une tout autre figure. Ainsi, une erreur de mesure sur deux cêtés parallèles d'une figure, voulue carrée, peut nous donner un rectangle, si l’orthogonalité est conservée sinon nous obtenons un parallélogramme, mais l’erreur sera surtout faite sur une seule mesure linéaire de sorte que le quadrilatère convexe engendré sera quelcon­ que: le dessin ne représentera pas un carré.

Le dessin aux instruments, partie intégrante de l’en­ seignement traditionnel de la géométrie, comporte une dou­

ble difficulté d’emploi qui en limite l’accès aux élèves d’au—moins onze-douze ans. Une de ces difficultés provient de l’instrument lui-même, l’autre, plus importante, puise ses racines dans les techniques de l’abstraction. On peut surmonter les premières par l’emploi, pour les figures de base: cercle, carré, triangle, etc., de stencils qui per­ mettent d’obtenir, même des mains moins habiles des plus petits, des dessins d'une netteté suffisante.

L'emploi généralisé de ces stencils avec les adoles­ cents est une capitulation devant le pragmatisme, une

'10~ se solution de facilité, un oubli de 1*utilité même du des» sin géométrique. Le stencil nous permet de dessiner un triangle mais ne fait pas découvrir exparimentalement les relations métriques entre ses c6tés. Le stencil permet de dessiner plusieurs c&rvés pour en étudier les rotations

par exemple, î. 1^, mais seul le dessin avec règle et compas permet de comprendre expérimentalement ce qu*est un carré, ce qu*est la rotation d*un carré, quels sont les invariants dans une rotation, etc.; en d'autres mots, quels sont les effets d*une rotation sur chacune des par­ ties d*un carré.

Des expériences menées dans le Hainaut ont permis, à la fois, d'éviter l'emploi des techniques du genre sten­ cil et d'amener l'adolescent à expérimenter l'e.fet d'une symétrie, par exemple, sur chacune des parties d’une figure. Les adolescents ont choisi des esquisses de sujets connus: Snoopy, Obélix, Donald, etc. pour voir l'effet d'une symétrie non seulement sur l'ensemble du sujet mais Qussi en ses

parties. Qu'arrive-t-il aux oreilles de Snoopy lorsque sa représentation sijbit une rotation ? Quelle position ont, l'une par rapport à l'autre, les Jambes d'Cbélix ai on fait un rabattement ?

-ai

arrive-t-il î L*imagination le fait vivre, la statique du dessin géométrique est doiiblement rompues la mathé­ matique moderne livre une action comme objet d’étude, la

technique audio-visuelle rompt l’inertie de l’objet en lui donnant vie.

Technique audio-visuelle, avons-nous dit, techni­ que visuelle tout au plus, diront d’autres. Le terne technique audio-visuelle est une expression collective. La pcurtie audio n’est pas, dans le dessin, prépondérante

tout comme dans le film muet et le rétroprojecteur que tous classent d’emblée dans les techniques audio-visuel­ les, mais la partie visuelle est déjà un mode de commu­ nication, un langage. Snoopy a subit un déplacement, l’enfant dit: ”Snoopy s’est déplacé.3 L’adulte en vient à oublier la distinction entre l’être et sa représenta­ tion, il oiiblie les modalités d'existence dé cet être; l’enfant va plus loin, l’action est imputée à l’être même s’il n’existe pas dans le réel vivant. Un mode de communication voit le jour, il a un dynamisme propre, il est digne de l’école active. Cette technique parle à l’enfant, l’enfant parle par cette technique, c’est une véritable technique audio-visuelle.

Le dessin peut prendre une extension beaucoup plus grande dans sa représentativité et son langage. Le des­ sin peut être analysé d’un double point de vue:

•) lorsqu’il reproduit un objet pour lui-même, ’*) lorsqu’il reproduit un objet en relation avec

d’autres ;

-12-II— REPRESENTATION D'OBJETS: ASPECT STATI'UE*

L'enfant, qui dessine un carré avec un stencil, ne peut par son acte étudier expérimentalement ce qu'est le carré; c'est une lacune déjà dénoncée. Il importe de con­ naître ce qu'est le carré, ce que représente toute figure géométrique. Lorsque je cherche le symétrique d'im point, il n'est point nécessaire que ce point soit élément d'un carré ou d'une autre figure géométrique traditionnelle. La pédagogie demande que ce point fasse autant que pos­ sible partie d'un ensemble. Or cet ensemble peut être l'un quelconque de la famille de ceiix qui satisfont à la condition: contenir au moins un point. Snoopy est l'un de ces ensembles qui parle à l'enfant et qui appartient à cette famille. Le point c'est le bout du nez de l'a­ nimal., l'extrémité de la queue ou d'une oràille, mais surtout c'est pour l'enfant une connotation d'existence en son monde.

Le dessin est considéré par l'enfant dans son en­ semble, l'une des parties de ce dessin n'étant l'objet d'une attention particulière que si elle est mise en évi­ dence pcir un procédé quelconque. Lorsque l'on regarde la photographie de sa mère ou que l'on parle de celle qui nous a donné le jour, c'est à sa mère dans son ensemble que l'on pense. A moins de circonstances ou d'un stimu­ lus particuliers, on ne songe pas à son nez, à ses yeux; c'est le tout qui est l'objet de notre considération. L'enfant est donc amené naturellement à considérer un tout, à faire abstraction des parties.

•13' èux-ciâmes (D# Prenons un exemple* Soit l’ensemble

élèves de la classe* On y voitî Cécile, Philippe, Marti­

ne, Jean-Pierre, Hélène, etc» Oiacun a telle ou telle pro­ priété, telle ou telle qualité, un lien comnun les unit tous: ils font partie de la classe* Conraent montrer cet­ te situation, comment représenter cet ensemble*

Cn les place entre les murs de la classe ou encore

car la forme des murs a peu d’importance pour l’ensectble considéré* Voici donc apparaître les dla- gratrmes d’Guler-Venn* Ces derniers apparaissent aussi, spontahéroent , par des manipulations exécutées avec les blocs logiques (2)} la courbe représentant la corde qui entoure les blocs utilisés* Ce dessin perrset à l’enfant de représenter les ensembles dont il a besoin.

(1) Cos éléments sont eux-rnémes des ensembles selon la théorie de Praenkel-Sermelo* Notre position ne s’en trouve pas amoindrie mais il en résulte un processus ad infinitum*

PREDSRIOÜCî Sur le premier enseignement do la mathé­ matique et une méthodologie de la formation continue des enseignants. Thèse doctorale. Université Libre de Bruxelles, 1968.

-14-L*ensemble des enfants de la classe n*est pas un ensemble ordonné» Les enfants ne sont pas disposés en remgées et colonnes cosime dans une ma! rlce ou dans un dé­ terminant; ils peuvent, dans une classe où l*on emploie les méthodes actives, occuper diverses places» Les points symbolisant les élèves peuvent donc prendre diverses pla­ ces dans le diagramme» L*ensemble des objets placés sur le pupitre n*est pas lui non plus ordonné» L'enfant

conçoit l'ensemble comme il le voit, en réalité ou en ima­ gination, l'idée d'ordre nait beaucoup plus tajrd.

La courbe, dans un diagramme, circonscrit en quel­ que sorte tous les éléments en faisant ressortir l'idée d'un tout. Le diagramme est sécurisant pour l'enfant» Des expériences de Caleb Gattegno ont démontré que les enfants laissés à eux-mémes dessinent toujours des figu­ res fermées» Ils ont ainsi l'impression de dcMtiner la si­ tuation, de posséder le contenu de la figure» Les

dia-■c

grammes d'£uler-Venn rassure'*'donc l'enfant» Soit un en­ semble de crayons. L'enfant ne sait pas combien il y a de crayons dans l'ensemble mais il va maîtriser la situa­ tion, il va prendre le contrôle, la propriété de tous les crayons de l'ensemble, il dessine un ensemble C de

-15-Cette technique, comme tout langage, est suscepti­ ble en son emploi d*abus qu*ll faut éviter dans l'ensel- geroent* Soit l'ensemble des objets placés sur cette ta- ‘ le* Ces objets sont nettement localisés, toute corde pour les entourer sera, en général, superflue* La repré­ sentation de cette ensemble n'a pas besoin elle non plus de comprendre une courbe fermée pour entourer les éléments* Les objets sont représentés, l'ens&nble est complet. Met­ tre constamment une ligne autour de la représentation des éléments peut amener l'enfant à croire qu'elle est une partie essentielle de l'ensemble* Les étudiants du cours secondaire et leurs professeurs à qui l'on demande de re­ présenter un ensemble ccmunencent Invariablement par tra­ cer le contour du diagramme d'Euler—Venn à l'Intérieur duquel Ils placent les éléments* Il suffit de les arrêter Immédiatement après qu'ils ont dessiné la courbe et de leur demander pourquoi Ils l'ont dessiné pour obtenir des réponses du style: "Mais c'est l'ensemble*" Le diagram­ me comprend une courbe que l'on fait peu à peu partie es­ sentielle) on confond xine représentation avec l'objet re­ présenté* Le langage est-11 faussé ?

Que faut-il faire pour remédier à la situation diagramme est un excellent mode de communication, 11 n être question de le supprimer* Il faut tout au plus en préciser la portée significative. Soit l'ensemble

X de ce dessins ^

démeirca-

16-^ion entre les él4nent9 qui appartiennent h I* ensemble con­ sidéré et ceux qui lui sont étrangers. l«e courbe n'eppar- tiwit pas l*«isenble, elle conserve sa fonction propre. Certains professeurs rétorquent» Ils n*ont Jamais enseigné que la courbe faisait partie de l'ensemble et c'est exact» mais leur attitude prise dans les cours sous-entend une conception opposée.

Z«e professeur dits Prenons l'ensemble des élèves de cette classe. Il trace la courbe fermée et y place les élé­ ments. La courbe prend de l'importance. ZI fwt procéder à l'inverse, on place les éléments puis la courbe vient mon­ trer où se trouve l'ensemble considéré. Cette façon de

faire n'oblige pas è expliciter la présence d'éléments ex­ térieurs. J'ai un certain nombre d'éléments» y (an consi­ dère l'ensemble. Le diagramme indique la d^knarche entra- prise. L'ensembla est circonscrit» les autres éléments ne seront pas considérés.

L'arrivée d'un second ensemble apporte un problème si l'on tente de visualiser clairement la situation. Nous n'avons pas trouvé da recherchas prouvant la supériorité de l'emploi de la couleur stir le noir et blanc dans une technique pédagogique ou dans un mode de transmission de connaissance; tous semblent considérer le fadt comme un postulat que les "Nombres en couleuxr" viennent brillam­ ment corroborer. Acceptant ce postulat» nous devons dire qua la couleur est fortement souhaitée pour la préaenta- ticm d'un seul ensemble et nécessaire pour celle da plu­ sieurs ansemblas.

17 est mise dans une autre couleur. en peut obtenir un ren­ forcement du message comme le montre le Aie^^reunme suivant:

Lorsque plusieurs ensembles sont en présence, la couleur devient nécessaire pour distinguer chacun des en­ sembles considérés. Les diagrammes en feuille de trèfle prennent leur relief propre lorsque la couleur est utili­ sée. L'expérience montre que l'emploi des couleurs pri­ maires aunène iin résultat plus que satisfaisants

On rejoint dès lors les préoccupations des profes­ seurs d'arts plastiques (1), l'enfant fait le lien entre

-18-diveJtSÉS disciplines. Il est amené à maintenir un souci

d’esthétique élémentaire d’où renforcement de cette pro­ pension naturelle à vouloir obtenir un ** beau dessin la­ quelle propension fut plus d'une fois décelée (l). Le diagramme présenté est une oeuvre où la personnalité de l'enfant est omniprésente. Nous sommes en présence d’un travail où l’expression picturale ne vient pas contrecar­ rer le langage mathématique mais l’exprimer adéquatement en un langage conforme aux aspirations de l’enfant; ûa

mathématique prend vie pour eux.

III— REPRESENTATION D'.OBJETS; ASPECT DYSMIIQVE.

L’étude de la représentation d’un objet en lui-même nous a amené à regarder le cas où ces objets étaient nom­ breux. Il faut maintenant regarder quel est l’apport du dessin pour exprimer les relations d’un objet avec d’au­ tres, l’autre pouvant, à l’occasion, être l'objet initial.

Il faut observer ces relations en doux temps? le passif et l'actif* Dans le premier cas nous contemplons les propriétés découlant de la nature même des objets, tou­ te action provenant de l’extérieiuc — la technique emplo­ yée? les cordes multicolores —, tandis que dans le dexixiè- me cas les objets seront la source de l'action, il y atura interrelation, le graphe sera la technique utilisée*

Les cordes multicolores.

Les opératiohs, particulièrement celles sur les en­ sembles, peuvent être présentées grâce aux diagrammes d'Eu- ler-Venn selon les modalités déjà vues. Les cordes multi­ colores ne sont qu'xone extension du rôle de ces diagrammes.

-19-On en volt une première utilisation dès 1963 (1) lorsqu'on étudié un ensemble A (en bleu) et un ensemble B (en rouge) pour retrouver les cas où A • B« On obtient entre autres le dessin sulvitntt

Le dessin iSvolue et en arrive (2) à montrer quel ensemble est le résultat d*ime opération.

A0&

ZI n*y a rien de bien spectaculaire jusqu'à mainte­ nant et le danger de produire une carte de couleuur n'est pas le moindre à redouter chez les mselgnants. Les cordes multicolores prennent toutefois une Importance prlâiordlale

lorsque l'on veut s'en servir pour démontrer des propriétés, pour vérifier des tautologies. On assiste alors à une le­ vée de boucliers chez les tradltlonnallstes.

Les grecs avalent choisi de développer le côté verbal et par conséquent avaUient négligé l'Image. Tributaires de cette clvlllsatloai- nous avons agi de la mêsa» façon, ne

disposant pas, comme eiix, d'un arsenal garni de techniques pour la transmission de l'imzikge. Il en est résulté une

(1) Papyi Mathématiques modernes I, Bruxelles, Didier, 1963, p.l3.

(2) Papy, Ibld. p.2^.

6

20-orlentation bien définie de la logique: la démonstration ou la preuve ne peut être faite qu*à l*alde de mots*

Cette façon de penser a amené plus d*un mathématicien^ Euclide y comprisÿ à vouloir démontrer avec force? artifices et nombreuses locutions des théorèmes dont l'énoncé tombait sous le sens commun, résultait d'une définition ou pouvait être accepté d'emblée en regardant une image. Il suffit de songer au début du Livre II des Elénents d* Euclide ou tout simplement aux cas d'égalité de triangles dans la version originale ou avec les artifices de Coxeter.

La démonstration est nécessaire pour obtenir la quié­ tude de l'espritj si elle n'atteint pas ce but elle est superflue ou mal f2d.te. Une démonstration absolue n'existe pas, elle vit dans un contexte que l'on a voulu verbal.

"Il est pourtant possible de produire des méthodes de démonstration dans des contextes qui ne soient pas verbaux et même qvii ne soient p&s littéraux*"

(1; La preuve la plus convaincante de l'efficacité d'un circuit c'est de voir l'effet produit. L'ampoule s'allume, le circuit est bien fermé, la démonstration est complétée. Tout verbalisme serait superflu. Le geste suffit à démon­ trer plus d'iane propriété géométrique j des géomètres

l'emploient régulièrement comme preuve, se gardant de tout commentaire inutile. Georges Papy a su mettre à profit la valeur du langage des cordes multicolores en s'en servant comme médium de démonstration. A titre d'exemples, voyons deux démonstrations différentes pour un même énoncé.

Quels que soient les ensembles A,ByC, on a AL» (Br>C) « (A U B) n (A U cK Démonstration •)

Soit xé A

U

car a£au BetAOA L»C donc X é (A U B) (A U C) m

Si X é B ne, alors X 6 B et x é C,

i»e« x6A UBet x €■ A U C

don<^ X é (A U B) 0 (a Ü C).

Dans les deux cas A U (B H C) ^ (AU B) D (A L» C). Inversénent,

soit X 6 (A 1/ B) n (A U C) i;e. x

U

D»où (A

U

ainsi A U (B n C) m (a U B) H (A U C), (1)

-21-Démonstration ••)

(

)

(1) rang Joong: Abstract Algebra, New-York, SchAxm, 1963^ vy.

Le fondexttent preuve eiît ideotlque dane les 4eux: cas* 3eul le contexte varies contexte verbal ou con­

texte pictural* Ce genre <5a situation se répète maintes fois en algèbre élfementaire. XI ap; ert que la longueur 4e la démonstration dans le contexte verbal n*est certes pas dons la ligne 4e pensée 4e 1*écrivain;

•Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement***'^‘ <i)

et que cette longueur rend plus difficile la comprébension globale 4e la preuve* ta valeur probante dans le contexte pictural est d^autant plus accessible qu’elle ne requiert que les notions explicitées dans l’énoncé; ensetsblot inter­ section d’ensembles I réunion 4’enserribles et réflexivité 4e 1» égalité t alors que la preuve dans le contexte verbal defflan- de en outre une connaissance de l’implication logiquei de la conjonction et de la disjonction Inclusive, des opérations sur les ensembles définies en fonction des connectifs logi­ ques, de le notion d’appartenance, de It notion de sous- ensecdales au sens large et de le définition d’égalité de deux ensembles en termes de double inclusion*

f accessibilité beaucoup plus grande de cette d^on- stration en langage pictural, tout co. me celle de nombreuses autres défoonstratlons — qu’on songe aux preuves de I* as­ sociativité ou de la axnmutativité —• nous Incite à préfé­ rer l’emploi, chaque fois quo cola est possible, de cette technique audio-visuelle.

Los graphes*

Arthur Cayley {Mehmond tb2t-CaTibridgo i€9S) présen­ ta ver» l 76 les "Cîolour Groups’» à l’ »ttenti<xï des mathéna- tlciena* Oes propriétés étudiées en Xhéotiu des Groupes y étaient mises en évidence par l’emploi de la couleur* Cette

-23

-technique ae £ut guère utilisée par la suitej l*oeuvre de K fihing sur les graphes ( î: 36) ne s*en soucie guère* Geor­ ges l*apy connaissait toutes ces données, mais, comme d’au­

tres, n*y avait porté d’attention particulière jusqu’au jour où, donnant mie conférence devant des enseignants il

fût à bout de ressources pour convaincre certains éléments do son auditoire et tenta en dernière instance un emploi de certains graphes* Ïæ résultat espéré ne se fit pas at­

tendre; f^apy entrevit iinmédiateroent la portée pédagogique de Cette technique et depuis lors s’en est fait l’ardent a-

pôtre* De nos jours on ne publie guère de manuels scolaires où les graphes ne font pas leur apparition. (1) L’emploi de ces graphes est cependant fort diversifié, certains l’em­ ployant en dernier recou^rs, d’autres en en faisant un emploi abusif.

Les graphes sont de divers types: cartésiens, sta­ tistiques, etc.,,ceux que nous étudions ici sont dé type sagittal. Ils impliquent l’idée de mouvement. Nonobstant l’opinion dianétraleisent opposée de Frédérique (2), nous soutenons, et ce avec de nombreux pédagoguesÿ que cette idée de mouvement doit être présentée avec iine aide gestuel­ le doublée de l’eæaploi d’un verbe indiquant un mouvement. Certes, le cas,évoqué par Frédérique (3), où Didier suggè­ re ♦’par une flèche" est-il un beau cas-laboratoire mais l’expérience montre qu’il n’on est pas toujours ainsi.

La projection, à l’avance, aux élèves de graphes déjà faits obvie à la difficulté de présentation du xaphe sagittal mais s’inspire trop de l’école traditionnelle: présentation d’un modèle. I*e graphe présenté ne l’est pas à titre de modèle mais, l’enfant, voyant de beaux graphes sagittaux

(1) Nous en avons trouvé plus d'une douzaine en français en Belgique pour la seule amnée 1969.

(2) Frédérique: Lés enfants et la mathématique, p. XIX,

devant MS yeux« va tentar d*an «éaorlaar l'aapact général at de laa reproduira* 11 aura pardu la joie da la découvar- ta d*un puissant laoyan d*axpras ion.

La coda da la routa rend fMolllèra aux enfants l*idéa da flécha avec connotation da moxtvement* vihia ca soit l'indi­ cation da sans obligatoira» da sans giratoire « da cartainas priorités pour 1*Europe, da sans unidiractionnal » da virages pour la Canada^ da choix da routas, partout la flécha ast là, alla indiqua un skouve»ant| l*enf«it la connaît, il peut

vous an expliquer la portée significative*

Devant cet acquis, la présentation de situations où il y a aouvMont anàne l'anfant à prendre naturellotsent la flèche comae moyen d'expression dans des situations où il y «I mouvement réel, quitte pliui tard à agir de même pour des situations où le mouvement est implicite oa apporté par son imagination créatrice* Le professeur demande: "Où êtes-vous allé»en vakcancas ?"

Châctm annonce avec enthousiasmet — : oi à Gaspé.

— Moi Rouyn, etc{ François et Fichàle ne disent rien.

Où êtes-vous allés pour les vacances ? — Nous soffunea restés ici*

— Vo\is êtes donc allés en vacances à ?<csitréal*

— oui l s'exclament les deux enfants, heureux de participer eux aussi, à l'action collective*

Pendant que d'une part apparaissent les noms des enfants on voit surgir alllsurs le nom des diverses villes visitées* — Où es-tu allé$ Karguerite 7

— A Boucherville*

25-all^C-à Boucherville".

Jules s*écriei "Mol aussi. Je suis allé à Boucherville"; il vient montrer "Jules est allé k Boucherville".

— D’autres sont-ils allés à Bouchervi.le 7 — Non, eux seuls y sont allés.

— Coraraent montter que Jules et ::arguer!tt. sont allés à Boucherville 7

Diverses suggesti ns sent toujours apportées par les enfants pour -ettra en évidence la relation Karguer!te-Bou- chervllle, Jules—Boucherville, la flèche venant souvent à la surface. Quelquefois an ne voit qu’un trait continu.

Dans ce cas, il suffit d’apporter un autre exemple, où cette fois, potur une direction donnée, le deux sens sont nettement distincts pour les enfants. "Isabelle est allée en congé k Toronto, puis elle est revenue à Montréal." Les

enfeuits recourent immédiatement aux flèches pour bien mon­ trer le sens du parcours. Dès que la flèche a été utilisée une fois, tous sont satisfadts et sont disposés à l’aaplo- yer ultérieurement pour des graphes relationnels.

L’enseignement moderne de la mathématique met très tôt en évidence la notion de relation pour en arriver par la suite à celle de fonction ou application, on y étudie donc les fondements de la mathématique pure et la source des mathématiques syppliquées. La numération devient elle- même, grâce è cette mentalité, grâce aux techniques audio­ visuelles utilisées, un objet intéressant k étudier. Les

enfants font parler les nombres. Les opérations arithmé­ tiques élémentaires présentées coimse une fonction de la forme

X

—

a,

X ---^ ax, Aé ^ (U

(1) Peu à peu on prend m€R et des résultats obtenus dans R^.

/* ou

r- -26-dans Z donnent lieu à 1*emploi de graphes, ce qui a pour effet in;médiat de dégager très tôt 1*enfant des contingen­ ces du matériel tout en soulevant son enthousiasme. L’in­ térêt est soutenu, l’opération est une action vécue par l’enfant, les nombres parlent...

IV-- PRCLONGISKSriî* DU LANGAGE PICTURAL. (1)

Les dessins exécutés par les élèves ou par les pro­ fesseurs ont une puissancô de langage accrue lorsque l’on peut les montrer à toute la classe. L’apport de la psycho­ logie différentielle permet de mesurer l’ampleur de la dyna­ mique engendrée parmi les élèves à la vue d’un dessin pro­

jeté devant eux,

L’épiscope est d’un emploi assez restreint de sorte que son acquisition n’est pas toujours considérée rentable surtout dans les petits établissements. Le rétroprojecteur, par contrej est beaucoup plus versatile, à telle enseigne que son achat doit être considéré irntriédiatement avec celui du matériel de base pour la classe. Le rétroprojecteur sert pour les cours, il est utilisé par les conférenciers, le principal l’emploie pour ses allocutions, bref c’est un instrxament indispensable pour toute la famille scolaire.

Le marché est inondé de ces appareils et il ne nous appartient pas d’en recommander l’un ou l’autre. Signalons que ceux munis d’une tablette auxiliaire et de canules s’a­ vèrent les plus pratiques. Quels avantages pédagogiques

t

pimente le rétroprojecteur ? Quels en sont les procédés d’utilisation ?

W’exigeant pas la noirceur dans la classe, le rétro­ projecteur peut être utilisé en tout temps comme complément

-27-au table-27-au. L'emploi de la couleur -27-au table-27-au est souvent limité si l'on songe à effader par la suite pour pouvoir dessiner ou écrire à nouveau, limite que la rétroprojecteiir ne connait pas. Les enfants viennent dessiner tout à

tour, avec les crayons appropriés ou avec leurs magi-colors, les diagrammes pu les graphes nécessaires. Ils ont à

réaliser un dessin dans des proportions où ils se sentent plus à l'aise, s'émerveillant par la suite du gigantisme de liour travail lorsqu'ils le voient projeté sur l'écran. 11 n'est plus besoin de répéter, comme on le fait en ütili- sant le tableau, de faire des dessins plus grands pour

pérraettrë aux camarades de bien voir ce qui se fait. Le professeur trouve dans le rétroprojecteur un aide précieiox qui lui permet de s'adresser toujours à sa classe sans lui tourner le dos. Il doit craindre de l'em­ ployer constamment car à la longue la persistance du jet lumineux sur le mur ou sur l'écran fatigue l'observateur. L'expérience a montré que son emploi avec le tableau est un atout précieux. Deux cas illustreront cet avancé.

•) En géométrie ou dans une autre discipline exigeant un dessin ou une figure élaborée (1) il est possible de préparer à l'avance une diapositive pour pouvoir la pro­ jeter au moment opportun»

•♦) La projection d'un énoncé ou d'xine définition durant l'étude des propriétés qui en découlent, d'une proposition pour en tirer les corrollaires. Une expérience fut tentée sur l'emploi simultané de deux rétroprojecteurs; elle n'a pas apporté;; de résultats plus probants. L'emploi du tan­ dem tableau-rétroprojecteur s'est avéré plus efficace à cause de l'effet de polarisation apportée par l'appareil*

-28-Le rétroprojecteur ne doit pas constituer ùn apport tout à fait extraordinaire. Il doit s’insérer dans l’en­ seignement et apparaitre en chaque classe au même titre que le tableau. L’enfant y doit avoir libre acc^S car il de­ vient pour lui un mode normal d’expression; l’enfant est à l’ère de la communication par les techniques audio-visuel­ les.

Les diapositives, vendues toutes prêtes, sur le marché ne doivent pas, en général, être reco:vimandées• Il ne s’agit pas de présenter des modèles. Hiçux vaut pour l’enfant comme pour le professeur une diapositive; faite selon des procédés artisanaux, comportant même des des­ sins moins parfaits, si elle parle véritablement, que des diapositives sériées faites pour un contexte social néces­ sairement différent. Le professeur et les enfants n’ont pas à préparer des articles d’exposition mais à s’exprimer eux-mêmes, à exprimer leur conception d’ün sujet, à révéler ce qu’ils comprennent. L’exploration est alors ouverte, les recoupements se manifestent, les processus dé rétroaction se font sentir (4), bref on communique librement;

-29-CHA PITHE II

LES TECHKIQÜE5 DANS UTJ ESPACE DE DIiaSNSICW y< 3.

Le langage coiirant emploie le mot "espace” pour dé­ signer l'étendue entourant les objets. De plus cet espace est considéré conune tridimensionnel. Il fut durant des

années l'objet de soucis et d'appréhensions de la part des étudiants du cours secondaire et même du niveau universi­ taire. Le curriculiOT d'aujourd'hui chasse de plus en plus la géométrie euclidienne dans l'espace et la trigonométrie

sphérique tandis que la descriptive devient le lot de spécialistes ingénieurs ou techniciens. Cn trouve cos disciplines trop ardues pour les adolescents, la capi­ tulation est à la mode. Il est évident qu'une partie im­ portante de ces disciplines était un fardeau assez inutile au programme et qu'un époussièrage s’avérait nécessaire. Les excès sont toujours à craindre, la disparition totale de la géométrie euclidienne dans l'espace est entre autres un mal à éviter. Les techniques audio-visuelles seront

l'adjuvant du langage traditionnel pour rendre plus facile­ ment assimilables les notions nécessaires puisées à l'étu­ de de l'espace.

Les récents travaux de Dienes (1) montrent l'inté­ rêt nettement accru de l'enfant lorsqu'il étudie dans un monde à trois dimensions. Il croit se retrouver dans le monde où il évolue; la technique audio-visuelle lui donne

un sentiment de sécurité propice à un meilleur rendement.

Il en résulte une intégration effective des notions acqui­ ses au contexte sociologique ambiant. La portée utilitai­ re du savoir appaAt, on atteint l'enfant pour qui la cul­ ture n'est pas encore une raison motivante pour l'agir.

La difficulté rencontrée dans l’enseignement de ces disciplines repose non pas sur l’absence de vision tridimen­ sionnelle che* l’enfant <!)» mais sur des problèmes dans la représentation planaire des objets de l’éspacc* Cette re­ présentation en un plan d*un objet spatial iiaplique une dou*» ble hésitation, l’une dans la réalisation de cette repré­ sentation, l’autre dans son interprétation*

I- Représentation d’un objet en un plan; de l’oblet au plan»

Les artistes ont eü beaucoup dé difficultés avec la perspective* Les tympans de Verelay et de la cathédrale d’Angoulème montrent le cheminement de l’hosane pour en ar­ river à tine technique adéquate* La représentation de per­ sonne assise est un indice des problèmes soulevés par une telle représentation^ la solution prendra des siècles a- vant de voir le jour* Aujourd’hui les techniques de i'onge permettent de contourner certaines difficultés mais l’éla­ boration d’une figure de géométrie descriptive est encore laborieuse* Les enfants de leur côté tentent aussi de dessiner ce qui les entoure, ils font face à des problèmes techniques qu’ils pauri^iennent à surmonter par une foule de procédés ingénieux* L’habileté en ce domaine sert même à déterminer le niveau de 1’Intelligence de l’enfant (

2

Une autre technique, celle des cxîibres, permet de

donner une impression de tridimensionnalité à un dessin. Si l’ombre portée gui est perçue par l’enfant est reproduite en certains cas, il n’en est pas de même de l’ombre propre* C’est pourtant cette dernière qui permet de donner le re­ lief à une figure reposentant un solide isolé* La

repré-<1) Gattegno Caleb In Gymnasiuia ïîclveticum, vol. n^ 5, octobre îS5E*

-31-sentation d'une sphère où l'ombre propre a 4té dessinée est plus éloquente pour l'enfant que la figure géométri­ que correspondante où plus d'un enfant ne perçoit que des cercles.

l*a photographie est la technique suggérée pour ob­ vier à une partie de ces difficultés. I^éme si la télé­ vision est plus familière à l'enfant que la photographie, il demeure que cette dernl're technique est plus accessi­ ble à l'enfant non seulement à cause du coût apparfunment mork élevé de celle-ci mais aussi à cause de la permanence et de la stabilité du résultat obtenu.

l.es appareils les plus simples sont suffisants pour les enfants de l'él^entaire et secondaire à condition de leur fournir un éclairage convenable. Ne pouvant obtenir ce dernier en certaines écoles, les enfants ont dû, pour travail!^ convenablement, se mettre à l'extérieur ou em- ployerV^'^grande sensibilité — 400 A3A ou 27 DIN — (1). Nous avons ainsi réussi à rendre les enfants de la fin de l'élémentaire nettement conscients du passage de la dimen­ sion 3 A la dimension 2 et inversément.

Une boite à chaussures est placée sur la table. On la photographie. La photo obtenue, on la place sur l'é- piscope et on la projette sur le mur ou préférablement sixr le tableau d'affichage. Les enfants viennent, tour è tour, épingler une feuille de papier pour que la projection soit centrée sur leur feuille. Avec un crayon feutre, ils tra­ cent les arêtes de la boite et retournent à leur place. Durant que les autres font de même, ceux qui sont déjà à leur place examinent le dessin obtenu et le ccmplètent s'ils le veulent. Diverses photos ^yant été prises, l'enfant

-32-fant en arrive à posséder une collection de dessins repré- sentemts la boite. La majorité des enfants troiave le des- sin incomplet, ils essayent de le compléter. En''Suçgérant de najouter que des lignes pointillées pour compléter la figure, les enfants en arrivent à présenter la figure tra­ ditionnelle pour montrer un cube ou un parallélépipède rectangle. La figure parle désormais à l*enfant, c’est leur boite h. chaussures. Ils ont obtenu une représentation

en un pflban d’un objet de l’espace, ils voient en leur des­ sin cette troisième dimension. Les enfants veulent recom­ mencer le jeu et apportent d’autres boites, boite à chapeaxax entre autres, pour obtenir d’autres figures, cylindres,etc.

Une expérience analogue fut tentée qvec des élèves de dixième année. Ces derniers furent étonnés de découvrir qu’une simple figiire

pouvait avoir une double interprétation selon

qu’il s*agi,se d’une figure dans un plan ou d’une représen­ tation d’ün objet tridimensionnel. Alors que sur la boite on ne mesurait que 270“ autour du point A on en avait 360 dans le dessin. Ce problème intrigue beaucoup les enfants car ils entrevoient aussitôt de nombreux cas similaires et se mettent à douter, à se méfier de la représentativi­ té d’une figure. L’enfant entrevoit aussi la nécessité de confronter la réalité; c’est là qu’intervient le be­ soin de créer des lions entre le réel et la géométrie (1). C’est à ce prix que la portée sémantique de dessin petit être saisie, que la technique audio-visuelle utilisée peut jouer adéquatainant son rôle de moyen de Communica­ tion.

-33-.

La photographie peut aider le professeur de mathé­ matique de bien d’autres façons mais on implique à ce mo­ ment la présence d’un appareillage plus élaboré. Des ex­ périences faites à l’Ecole Uecroly ont montré l’utilisation que peuvent faire d*un agrandisseur photographique des étu­ diants du cours secondaire. En disposant une feuille de papier émulsionné selon divers angles, ils peuvent avec la projection d’un cercle obtenir des ellipses et découvrir expérimentalement que la parabole est aussi une conique bifocale, que l’un de ses foyers est à l’infini, qu’elle constitue un cas limite de l’ellipse, etc. La photographie se révèle une source féconde d'inspiration pour l’étudiant, laquelle propriété doit être mise en évidence dans l’ensei­ gnement de la géométrie projective plus particulièrement.

34-II- Représentation d*un objet en un plan! du plan à l*ob1et.

du concept à la réalisation concrète et Inversément«

La lecture et l'interprétation de plans de construction sont certes les opérations les plus courantes où les proces­ sus de passage d'une représentation bidimensionnelle à une édification pluridimensionnelle sont mis en «etion. A l'é­ cole il est cependant possible d'agir de mSme à une échelle réduite par la réalisation de maquettes, ce qui permet à l'élève de montrer à la fois ses connaissances et son ingé­ niosité. Certains modèles géométriques ne peuvent être faits que par des étudiants ayant atteint le niveau secon­ daire ou universitaire, mais il reste des travatuc que même les plus jeunes peuvent réaliser.

Avec les tout-petits nous nous sommes rendu compte que l'emploi des jeux LLGO pouvait être un excellent exer­ cice. L'enfant voit une photographie représentant une mai­ son, un avion, un train construit avec ces blocs et il ten­ te de construire lui-même l'objet représenté. Ce travail l'amène à trouver l'effet de perspective, à découvrir la troisième dimension qui est représentée. Nous aurions beaucoup aimé faire construire une maison avec ces blocs danois, en faire une photographie et demander aux enfants de tracer à partir de cette photo les lignes essentielles pour que l'on sache bien que le dessin obtenu représente une maison.

aime vérifier expérimentalement- Cette orientation dif­ férente dans la création d*ian modèle, le professexir doit la détecter chez 1*enfant pour 1*amener à créer des modè­ les différents selon le degré atteint dans 1*évolution de ses techniques d’apprentissage. Une action inconsidérée en ce domaine ne pourrait que fayoriser la régression et partant faire perdre à.la technique utilisée sa valeur pédagogique.

La mise en oeuvre d’im modèle peut débuter avant l’élaboration d’un plan. Elle peut partir de la décou­ verte conceptuelle d’une figure ou être la traduction d'une mémo réalité en un langage différent.- On apprend à l’enfant du coiurs secondaire que

représente îine ellipse où là somme des distances d'un point £k»s quelconque de la courbe aux deux foyers est toujours égale à 2A. C’est

à partir de cette propriété que l’on a trouvé analytiquement l’équation, on veut vérifier si cette propriété est

bien présente dans l’ellipse. Une expérimentation s'impo­ se, un modèle est nécessaire.

On passe à trois dimensions et on écrit plus ou raoir.s consciemment

B “2 = ^ C^

on

-36-Lorsque le signe •’moins" entre en jeu, 1*adolescent est perdu. La présence d*un aoce des nombres complexes rend certes le problème de taille nais la réalisation d'un

modèle devient de plus en plus impérieuse. On veut bien que l'équation

«B 1 soit celle d'une hyper­

bole que l'on construit point par point au besoin mais le passage en un univers où il y a une dimension additionnelle amène des problèmes algébriques, la surface du second ordre pourra s'appeller une hyperboloide mais quelle forme a le solide dans la réalité ? Quelle différt^nce y a—t-il entre les représentations des solides désignés par les équa­

tions 2 ii- - X- . A B 1, 2 2 2L. . X_ + 2 2 A B et 2 2 2 2 B C L'enfant apprend

encore facilement les mots pour désigner les objets repré­ sentés, mais en réalisant les modèles il connaîtra ces nouveaux êtres, il les palpera; la technique aura donné vie à l'enseignement. Les propriétés des divers soli­ des pourront alors être découvertes soit par déduction sur l'équation^ en employant les techniques algébriques, soit par recherche expérimentale sur le solide construit, soit par analyse géométrique, soit un mélange harmonieux de ces divers procédés»

L'expérience nous apprend à se défier, en ce domai­ ne, de l'imagination supposée. Des adultes à qui nous avons donné un cours d'analyse avalent à trouver le volume de

-37-compréhension de la doimée du problème, tous répondirent que la donnée était claire, qu'ils imaginaient très bien ce qu'était effectivement l'intersection de ces deux cy­

lindres. La séance de correction fit évanouir les illu­ sions qu'aurait pu avoir le professeur. Le jeu de la couleur peut lui aussi amener des illusions optiques de sorte qu'une figure voulue plane peut quelquefois apoarai- tre comme une représentation d'un objet dans trois dimen­ sions. Il est vrai que cette vision de la représentation d'un troisième dimension peut amener notre imagination à faire des découvertes intéressantes, voire même regarder la figure du Théorème de Desargues comme une figure à trois dimensions (1).

La réalisation de modèles s'avère un outil indis­ pensable pour découvrir non seulement.la donnée du pro­ blème mais aussi pour trouver le cheminement nécessaire à l'élaboration de là solution. Le calcul dés probabi­ lités (2) est un domaine où,ces modèles constituent le meilleur moyen de trouver une bonne solution au problème poséi L'effet produit par la variation d'un paramètre dans une équation, même du premier degré, n'est bien saisi par l'enfant qu'avec le support apporté par un modèle réalisé par l'enfant lui-même.

Les "bien pensants” trouvent ce travail dégradant. Ils n'ont pas saisi l'importance du maintien d'une phase syncrétique prolongée;

à l'échelle de l'individu, la persistance d'un certain syncrétisme sous le formalisme usuel et col­

lectif de la perception ou de la connaissance est sans doute la condition dans tous les domaines, esthétique ou savant, d'une invention vraiment nouvelle.” (2)

(1) Gattegno Caleb, op. cit. in Gymnasitim Helveticum. (2) Wallon Henri: Les origines de la pensée chez l'en­

La réalisation de modèles est souiais à la conviction per­ sonnelle du professeur. Cette conviction fut loin d*5tre avivée par les cours doctrinaux qu'ont eu à subir les pro­ fesseurs de l'élémentaire et du secondadLre dturant leur formation. Rendus sur le chantier, les professeurs for­ més & l'analyse in abstracto se sentent perdus dans le domaine des réalisations concrètes et craignent une véri­ fication expérimentale de leurs connaissances livresques. La solution toute simple est encore loiiu d'être trouvée par les formateurs de nos jeunes professeurs canadiens:

"Si, dans les universités, on prend l'habitude d'illustrer la leçon de^’^écmiétrie par des modèles, lorsque

les étudiants — naturellement portés à imiter leurs maîtres — deviendront à leur toxir des enseignants, ils ressentiront d'une façon durable le besoin de porter de­ vant leurs plus jeunes élèves des ccsistructions, des fils, en so i..e un objet quelconque qxii serve à donner le sens des figures spatiales." (t)*

Y

un professeur do l'Université Libre de Bruxelles le fait depuis plus de vingt i^s. Nous avons vu ses élè­ ves è l'oeuvre dans l'enseionœent, la leçon a porté fruit.

K

Un problème pratique qui surgit lors de la construc­ tion des divers modèles est l'entreposage de ces modèles. Il est très heureux qu'il en soi^ ainsi car on évite une situation de création suivie d'uhe foule de répétitions. L'enfant de chaque génération a ainsi la chance de pouvoir créer, avec le matériau de son choix, les modèles dont il a besoin. Le modèle sera mieux ou moins bien fait que celui analogue de l'année précédente mais il aura l'avan­ tage de parler avec une intensité plus grande de portée significative à l'enfant qui l'a réalisé.

Il arrive cependant que certains montages demandent une préparation et une élaboration fort onéreuse. Il est

alors impérieux de pouvoir conserver les modèles. Si un local approprié n*est pas disponible il est toujours loisi­ ble d*en garder trace. Nous avons ainsi réalisé une série de diapositives (1) représentant des constructions dans des espaces de dimension — la couleur n»étant pas ici comptée comme dimension (2) ~ lesquelles diapositives étaient présentées avec une tramé sonore pour compenser la perte des dimensions perdues par l'emploi de la techni­ que photographique.

La photog-caphie suivante illustre bien la portée du langage d'une technique audio-visuelle pour l'enseignement. Elle fut prise lors de la vingtième exposition annuelle de matériel géométrique réalisée par des étudiants de l'Xjfni-

versité Libre de Bruxelles, durant 1»année académique 1969- 197C.

-39~

—40—

CHAPITRE III

LES TECHWiQügS OAHS UN ESPACE POLYDIHEtiSlOHNEL.

L* Utilisation du film dans l*ens ignement des nathé— matiq[ue8t ^ pourrait dire dans 1 *enselgneeaent en général, est très peu en vogue au Canada. Les professeurs de

sciences naturelles et les professeurs de géographie y ont recours un peu plus souvent que leurs confrères des au­ tres disciplines car ils s'aperçoivent très tdt de la faiblesse

des

le vie dans la brousse. La plupart des profesf;eur8 sont réticents car leur formation antérieure ne les s pas

préparés à une utilisation rationnelle du film en classe. Ils ne sont pas pénétrés de la valeur ddéilm comme instru­ ment pédagogique. Ils passeront volontiers un film à

le\UT8 élèves pour faire plaisir à un confrère qui le leur demande ou poiir se soumettre à une demande de la direction. Ils ne prendront pas l'initiative dans ce do­ maine.

-41-La direction des écoles rend psychologiquement dif- icile l*utilisatlon du film. On donne aisément la permis­ sion de l’employer mais on demande au professeurjf"Pourquoi voulez-vous projeter un film question que l’on ne vou­ drait pas transformer en "Pourquoi voulez-vous utiliser le tableau ?"4 La direction semble considérer l’utilisateur du film comme un novateur étrange dont chacune des projec­ tions est une nouvelle tentative ou expérience sur le dos des enfants^ pour laquelle il faut chaque fois demander la permission» O*autres directions feront des reproches non moins voilés à l’égard de "ceux qui causent trop souvent des mouvements d’élèves sans motifs valables" lors des réunions pédagogiques. La pr-jection d’un film en classe doit être précédée d’une série de démarches qui ne rendent pas la tâche plus simple: retenir les films, retenir la salle de projection, demander la permission d'utiliser la machine, trouver le projectionniste. On désigne d’office,

au début de l’année, un professeur, une secrétaire ou

le concierge pour opérer le projecteur. La direction con- sidè^re ce projectionniste comme lan alchimiste qui seul a droit de s’approcher sans danger du monstre sacré et qui, surtout, garantit une utilisation sans bris.

L’expérience montre que chacun des professeurs peut utiliser la ou les machines communes si on a pris soin de lui en montrer non seulement le fonctionnement routinier mais aussi le mode de nettoyage et la façon d’en changer la lampe de projection ou la lampe de son. Cette leçon ne demande qu’une demi-heure tout au plus; elle doit être offerte, et non imposée, à tous ceux qui veulent

-4ê-fllm en classe sans recourir à d’autres personnes» t.a direction de l’école est le plus souvent l'obstacle à vain­ cre en de telles circonstances; elle ne veut pas faire confiance aux professeurs et les faux-fuyants par elle in­ voqués passent de l’extrême complexité de l’appareil à la défense formelle imposée par les commissaires d’écoles*

bes professeurs, de leur côté, ne manquent pas d’in­ voquer l’attitude de la direction pour pouvoir masquer

leur inertie de repos. La plupart pressentent que le film peut apporter à leur classe un surcroit de vitalité mais réalisent qu’en même temps ils devront changer leurs habi­

tudes et modifier leur conception de l’enseignement» Les enseignants qui utilisent le film le plus vclontiers stmt en général dc,s jeunes dans le métier dont la formation ne prépare pas davantage à l’emploi du film mais dont l’impétuosité et la fougue de Jeunesse incitent davantage à sortir des sentiers battus, à tenter des expériences.

Plusieurs pays ont apporté leur contribution non seulement à la production mais aussi à la mise en marché de films mathématiques. En Suisse le nom de nlcolet, de Lausanne* évoque un pionnier qui a produit plus d’une vingtaine de films noirs et blancs, muets, tous Consa­ crés à la géométrie» On évoque avec plaisir le nom de Biguenet en france et de Fletcher en Angleterre, mais plusieurs autres noms mériteraient d'être cités tant en C S pays qu’en Allemagne Fédérale et en Allemagne de

-43-Pour les Etats-Unis, où les capitaiix sont plus f^celenent accessibles en ce doneLlne, nous avons recen­ sé 466 filais mathàaatiques, 16 mm, sonores pour la plu­ part. Oe ce nombre 281 sont disponibles en couleurs, 185

sont en noir et blanc seulement; plusieurs des films en couleur sont aussi disponibles en noir et blanc. 11 faut

ajouter une quantité Impressionnante de films fixes et de films en boucle.

Malgré 1*opulence de son voisin d*outre quarante- neuvième, le Canada est limité dans ses ressources de sorte qu*actuellement trois films en boucles, en couleur, sont l’objet de recherche pédagogique en mathématique: Contours et surfaces. Du triangle isocèle à la circonférence, le cercle et ses tangentes. Au chapitre du film proprement dit nous c^n considérons cinq plus particulièrement sans oublier ''Comment Savoir** de Claude Jutras, qui est un film de vulgarisation des tec|inlques modernes d'enseigne­ ment. La mathématique a un rôle prépondérant dans les techniques montrées en ce film; c'est un instrument de grand intérêt pour celui qui s'occupe de formation de maî­ tres.

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La lecture d*une description détaillée des films utilisés ou 1*assistance à une projection de ces films n*est pas essentielle pour la ccmtpréhension des conclu­ sions tirées de l*expérience faite quoiqu'elle serait souhaitable.

Famille de coniques est un film de haute teneure mathématique. Il fut utilisé avec des groupes restreints de 12 à 31 personnes,chacune ayant au moins une onzième année de scolarité en cours. Tous s'accordent à vanter l'excellence de la présentation technique mais trouvent la densité du contenu telle^ que la compréhension en est rendue beaucoup plus difficile que d2uns les autres films. Ce film est tellement dense qu'une première projection donne très peu de résultats dans le domaine de l'acquisi­ tion ou de la compréhension. Le spectateur saisit aisém nt le processus de génération des coniques tangentes à des droites initiales mais une première hésitation surgit quant au nombre exact de dégénérescences de sorte que la vision des couples engendrant le triauigle diagonal est floue. Une cinquième droite introduite apporte une nou­ velle situation qui n'est pas saisie comme telle de sorte que presque personne ne se rend compte que la tangente à la deuxième conique est véritaiblement la conjuguée de la première par rapport à la famille de la conique. Nous n'avons relevé que 2.4% des spectateurs ayant saisi cet­ te notion après une première projection. La suite du film n'apporte donc rien à la grande majorité des spectateurs. Lors d'une seconde projection, on est convaincu à l'avan­ ce de la densité du film de sorte que la majorité veut bien revoir le film à nouveau pour deux projections con­