Exercice 1 Soit (

Pierre-Louis CAYREL 2009-2010 Licence 1 cours intensifs analyse

Universit´ e de Paris 8

Analyse : suites

Exercice 1 Soit (𝑢 _𝑛 ) 𝑛∈ ℕ une suite de ℝ . Que pensez-vous des propositions suivantes :

∙ Si (𝑢 𝑛 ) 𝑛 converge vers un r´ eel 𝑙 alors (𝑢 2𝑛 ) 𝑛 et (𝑢 2𝑛+1 ) 𝑛 convergent vers 𝑙.

∙ Si (𝑢 _2𝑛 ) _𝑛 et (𝑢 _2𝑛+1 ) _𝑛 sont convergentes, il en est de mˆ eme de (𝑢 _𝑛 ) _𝑛 .

∙ Si (𝑢 _2𝑛 ) _𝑛 et (𝑢 _2𝑛+1 ) _𝑛 sont convergentes, de mˆ eme limite 𝑙, il en est de mˆ eme de (𝑢 _𝑛 ) _𝑛 . Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ ee.

Exercice 3 Montrer que la suite (𝑢 _𝑛 ) 𝑛∈ ℕ d´ efinie par 𝑢 _𝑛 = (−1) ^𝑛 + 1

𝑛

n’est pas convergente.

Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire ` a partir d’un certain rang.

Exercice 5 Soit 𝐻 _𝑛 = 1 + 1

2 + . . . + 1 𝑛 .

1. En utilisant une int´ egrale, montrer que ∀𝑛 > 0 1

𝑛 + 1 ⩽ ln(𝑛 + 1) − ln(𝑛) ⩽ 1 𝑛 . 2. En d´ eduire que ln(𝑛 + 1) ⩽ 𝐻 _𝑛 ⩽ ln(𝑛) + 1.

3. D´ eterminer la limite de 𝐻 _𝑛 .

4. Montrer que 𝑢 _𝑛 = 𝐻 _𝑛 − ln(𝑛) est d´ ecroissante et positive.

5. Conclusion ?

Exercice 6 Soit 𝑞 un entier au moins ´ egal ` a 2. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ , on pose 𝑢 _𝑛 = cos 2𝑛𝜋 𝑞 . 1. Montrer que 𝑢 _𝑛+𝑞 = 𝑢 _𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ .

2. Calculer 𝑢 _𝑛𝑞 et 𝑢 _𝑛𝑞+1 . En d´ eduire que la suite 𝑢 _𝑛 n’a pas de limite.

Exercice 7 On consid` ere la fonction 𝑓 : ℝ −→ ℝ d´ efinie par 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ³

9 + 2𝑥 3 + 1

9

et on d´ efinit la suite (𝑥 𝑛 ) _𝑛⩾0 en posant 𝑥 0 = 0 et 𝑥 𝑛+1 = 𝑓 (𝑥 𝑛 ) pour 𝑛 ∈ ℕ .

1. Montrer que l’´ equation 𝑥 ³ − 3𝑥 + 1 = 0 poss` ede une solution unique 𝛼 ∈]0, 1/2[.

2. Montrer que l’´ equation 𝑓 (𝑥) = 𝑥 est ´ equivalente ` a l’´ equation 𝑥 ³ − 3𝑥 + 1 = 0 et en d´ eduire que 𝛼 est l’unique solution de l’´ equation 𝑓 (𝑥) = 𝑥 dans l’intervalle [0, 1/2].

1

3. Montrer que 𝑓 ( ℝ ⁺ ) ⊂ ℝ ⁺ et que la fonction 𝑓 est croissante sur ℝ ⁺ . En d´ eduire que la suite (𝑥 _𝑛 ) est croissante.

4. Montrer que 𝑓(1/2) < 1/2 et en d´ eduire que 0 ⩽ 𝑥 _𝑛 < 1/2 pour tout 𝑛 ⩾ 0.

5. Montrer que la suite (𝑥 _𝑛 ) _𝑛⩾0 converge vers 𝛼.

Exercice 8 Posons 𝑢 ₂ = 1 − ₂ ¹

et pour tout entier 𝑛 ⩾ 3, 𝑢 _𝑛 = (1 − 1

2 ² )(1 − 1

3 ² ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 − 1 𝑛 ² ).

Calculer 𝑢 𝑛 . En d´ eduire que l’on a lim 𝑢 𝑛 = 1 2 .

Exercice 9 D´ eterminer les limites lorsque 𝑛 tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de pr´ eciser en quelques mots la m´ ethode employ´ ee.

1. 1 ; − 1 2 ; 1

3 ; . . . ; (−1) ^𝑛−1 𝑛 ; . . . 2. 2/1 ; 4/3 ; 6/5 ; . . . ; 2𝑛/(2𝑛 − 1) ; . . . 3. 0,23 ; 0,233 ; . . . ; 0,233 ⋅ ⋅ ⋅ 3 ; . . . 4. 1

𝑛 ² + 2

𝑛 ² + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑛 − 1 𝑛 ² 5. (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

𝑛 ³ 6.

[ 1 + 3 + 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2𝑛 − 1)

𝑛 + 1 − 2𝑛 + 1

2 ]

7. 𝑛 + (−1) ^𝑛 𝑛 − (−1) ^𝑛 8. 2 ^𝑛+1 + 3 ^𝑛+1

2 ^𝑛 + 3 ^𝑛 9. (

1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1/2 ^𝑛 )

puis √ 2 ;

√ 2 √

2 ;

√ 2

√ 2 √

2 ; . . . 10.

( 1 − 1

3 + 1 9 − 1

27 + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) ^𝑛 3 ^𝑛

)

11. ( √

𝑛 + 1 − √ 𝑛 ) 12. 𝑛 sin(𝑛!)

𝑛 ² + 1

13. D´ emontrer la formule 1+2 ² +3 ² +⋅ ⋅ ⋅+𝑛 ² = ¹ ₆ 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) ; en d´ eduire lim 𝑛→∞ 1+2

+3

+⋅⋅⋅+𝑛

𝑛

.

Exercice 10 Soit 𝑎 > 0. On d´ efinit la suite (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 par 𝑢 ₀ un r´ eel v´ erifiant 𝑢 ₀ > 0 et par la relation

𝑢 _𝑛+1 = 1 2

(

𝑢 _𝑛 + 𝑎 𝑢 _𝑛

) . On se propose de montrer que (𝑢 _𝑛 ) tend vers √

𝑎.

1. Montrer que

𝑢 _𝑛+1 ² − 𝑎 = (𝑢 _𝑛 ² − 𝑎) ²

4𝑢 𝑛 2 .

2

2. Montrer que si 𝑛 ⩾ 1 alors 𝑢 _𝑛 ⩾ √

𝑎 puis que la suite (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾1 est d´ ecroissante.

3. En d´ eduire que la suite (𝑢 𝑛 ) converge vers √ 𝑎.

4. En utilisant la relation 𝑢 𝑛+1 2 − 𝑎 = (𝑢 𝑛+1 − √

𝑎)(𝑢 𝑛+1 + √

𝑎) donner une majoration de 𝑢 _𝑛+1 − √

𝑎 en fonction de 𝑢 _𝑛 − √ 𝑎.

5. Si 𝑢 ₁ − √

𝑎 ⩽ 𝑘 et pour 𝑛 ⩾ 1 montrer que

𝑢 _𝑛 − √

𝑎 ⩽ 2 √ 𝑎

( 𝑘 2 √

𝑎 ) 2

. 6. Application : Calculer √

10 avec une pr´ ecision de 8 chiffres apr´ es la virgule, en prenant 𝑢 ₀ = 3.

Exercice 11 On consid` ere les deux suites : 𝑢 _𝑛 = 1 + 1

1! + ... + 1

𝑛! ; 𝑛 ∈ ℕ , 𝑣 _𝑛 = 𝑢 _𝑛 + 1

𝑛! ; 𝑛 ∈ ℕ .

Montrer que (𝑢 _𝑛 ) _𝑛 et (𝑣 _𝑛 ) _𝑛 convergent vers une mˆ eme limite. Et montrer que cette limite est un ´ el´ ement de ℝ ∖ ℚ .

Exercice 12 Soient 𝑎 et 𝑏 deux r´ eels, 𝑎 < 𝑏. On consid` ere la fonction 𝑓 : [𝑎, 𝑏] −→ [𝑎, 𝑏], suppos´ ee continue et monotone, et une suite r´ ecurrente (𝑢 _𝑛 ) _𝑛 d´ efinie par :

𝑢 ₀ ∈ [𝑎, 𝑏] et ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑢 _𝑛+1 = 𝑓(𝑢 _𝑛 ).

1. On suppose que 𝑓 est croissante. Montrer que (𝑢 _𝑛 ) _𝑛 est monotone et en d´ eduire sa conver- gence vers une solution de l’´ equation 𝑓 (𝑥) = 𝑥.

2. Application :

𝑢 ₀ = 4 et ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑢 _𝑛+1 = 4𝑢 _𝑛 + 5 𝑢 _𝑛 + 3 .

3. On suppose que 𝑓 est d´ ecroissante. Montrer que les suites (𝑢 _2𝑛 ) _𝑛 et (𝑢 _2𝑛+1 ) _𝑛 sont mono- tones et convergentes.

4. Application :

𝑢 ₀ = 1

2 et ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑢 _𝑛+1 = (1 − 𝑢 _𝑛 ) ² . Calculer les limites des suites (𝑢 2𝑛 ) 𝑛 et (𝑢 2𝑛+1 ) 𝑛 .

Exercice 13

1. Soient 𝑎, 𝑏 > 0. Montrer que √

𝑎𝑏 ⩽ ^𝑎+𝑏 ₂ . 2. Montrer les in´ egalit´ es suivantes (𝑏 ⩾ 𝑎 > 0) :

𝑎 ⩽ 𝑎 + 𝑏

2 ⩽ 𝑏 et 𝑎 ⩽

√

𝑎𝑏 ⩽ 𝑏.

3. Soient 𝑢 ₀ et 𝑣 ₀ des r´ eels strictement positifs avec 𝑢 ₀ < 𝑣 ₀ . On d´ efinit deux suites (𝑢 _𝑛 ) et (𝑣 _𝑛 ) de la fa¸con suivante :

𝑢 _𝑛+1 = √

𝑢 _𝑛 𝑣 _𝑛 et 𝑣 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 + 𝑣 _𝑛

2 .

3

(a) Montrer que 𝑢 _𝑛 ⩽ 𝑣 _𝑛 quel que soit 𝑛 ∈ ℕ . (b) Montrer que (𝑣 𝑛 ) est une suite d´ ecroissante.

(c) Montrer que (𝑢 _𝑛 ) est croissante En d´ eduire que les suites (𝑢 _𝑛 ) et (𝑣 _𝑛 ) sont conver- gentes et quelles ont mˆ eme limite.

Exercice 14 Soit 𝑛 ⩾ 1.

1. Montrer que l’´ equation

𝑛

∑

𝑘=1

𝑥 ^𝑘 = 1 admet une unique solution 𝑎 _𝑛 dans [0, 1].

2. Montrer que (𝑎 _𝑛 ) 𝑛∈ ℕ est d´ ecroissante minor´ ee par ¹ ₂ . 3. Montrer que (𝑎 _𝑛 ) converge vers ¹ ₂ .

Exercice 15 Soient 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 et (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 la suite d´ efinie par : 𝑢 _𝑛 = 𝑎 ^𝑛 − 𝑏 ^𝑛

𝑎 ^𝑛 + 𝑏 ^𝑛 . Etudier la convergence de (𝑢 ´ _𝑛 ) _𝑛⩾0 .

Exercice 16 Soit (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 la suite r´ eelle d´ efinie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par : 𝑢 ₀ = 1 et 𝑢 _𝑛+1 = √

1 + 𝑢 _𝑛 . 1. Montrer que pour tous 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ :

∣𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑚+1 ∣ ⩽ ∣𝑢 _𝑛 − 𝑢 _𝑚 ∣

2 .

2. La suite (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 est-elle convergente ?

Exercice 17 Soit (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 une suite r´ eelle. Pour 𝑛 ∈ ℕ , on pose : 𝑣 _𝑛 = 𝑢 ₀ + 𝑢 ₁ + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑢 _𝑛

𝑛 + 1 .

1. Montrer que si (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 est monotone alors (𝑣 _𝑛 ) _𝑛⩾0 est monotone.

2. Montrer que si (𝑢 𝑛 ) _𝑛⩾0 est convergente de limite ℓ alors (𝑣 𝑛 ) _𝑛⩾0 est convergente de limite ℓ.

3. Que peut-on dire de (𝑣 _𝑛 ) _𝑛⩾0 si (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 tend vers l’infini ? 4. Si (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 est une suite divergente, (𝑣 _𝑛 ) _𝑛⩾0 est elle divergente ?

Exercice 18 Soit 𝑝 un entier tel que 𝑝 ⩾ 2. Pour 𝑛 ∈ ℕ ^∗ , on pose 𝑢 _𝑛 = 1 + 1/2𝑝 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1/𝑛 ^𝑝 et 𝑣 _𝑛 = 𝑢 _𝑛 + 1/𝑛 ^𝑝−1 . Montrer que (𝑢 _𝑛 ) _𝑛>0 et (𝑣 _𝑛 ) _𝑛>0 sont deux suites adjacentes.

Exercice 19 On consid` ere la suite (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾1 d´ efinie par 𝑢 _𝑛 = 1

𝑛 ( 1

√ 1 + 1

√ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1

√ 𝑛 ).

1. Montrer que la suite (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾1 est monotone et qu’elle est convergente.

2. Majorer 𝑢 _2𝑛 ` a l’aide de 𝑢 _𝑛 . 3. Trouver la limite de (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾1 .

Exercice 20 Montrer que si les suites (𝑢 2𝑛 ) _𝑛⩾0 , (𝑢 2𝑛+1 ) _𝑛⩾0 et (𝑢 3𝑛 ) _𝑛⩾0 sont convergentes, alors la suite (𝑢 _𝑛 ) _𝑛⩾0 est convergente.

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