Filière MP

MATHÉMATIQUES I

Pour tout entier naturel non nul , on notera le polynôme de Taylor d’ordre de l’exponentielle au point 0 :

On notera : un système de racines complexes de . On remarquera qu’en posant

pour tout , ,

le système est un système de racines du polynôme

. (1)

Le but de ce problème est d’établir les deux résultats suivants, auxquels on don- nera un sens précis et dont la preuve fera l’objet des parties II et III du pro- blème, qu’on peut conjecturer à l’aide d’un logiciel de calcul formel :

Lorsque , les nombres complexes tendent à "s’accumu- ler" sur le cercle de centre 0 et de rayon .

Les nombres complexes tendent à se répartir "régulièrement" sur le cer- cle précédent. Dans la dernière partie on applique ce résultat à l’obtention d’un équivalent du nombre de racines de dont la partie réelle est positive.

Enfin quelques rappels dont la preuve n’est pas demandée.

1- Une suite extraite (ou sous suite) d’une suite ( ) de nombres complexes est une suite de la forme où est une suite strictement croissante d’entiers on pourra noter , si l’on préfère .

2- De toute suite bornée de nombres réels ou complexes on peut extraire une suite convergente.

3- (Convergence dominée pour les séries) Soit , une suite double de nombres complexes. On suppose qu’existe une suite de réels positifs telle que :

Pour tout couple , .

Pour tout entier , la suite admet une limite .

n P_n

n

P_n( )X X^k ---k!

k=0

∑n

=

λ_n,1 λ_n,2, ,… λ_{n n,}

[ , ] P_n

n∈IN^* z_{n k,} λ_{n k,} ---n

= z_{n k,}

[ ]_{1≤ ≤k n} Π_n= P_n(nX)

n→∞ ξ_{n k,} = z_{n k,} e^{–zn k,} 1⁄e

ξ_{n k,}

P_n

z_n z_p

( n) (p_n)

[ p_n p n( ) ]

u_{n k,}

( )_{(n k, )∈IN×IN} v_k ( ) n k,

( ) u_{n k,} ≤v_k

k nau_{n k,} l_k

Filière MP

Alors pour tout la série

converge et la série converge et l’on a :

Les trois premières parties sont indépendantes entre elles sauf les ques- tions II.E.3 et III.C.1.

Partie I - Étude d’une courbe plane

I.A - Soit un nombre complexe ( et ). Déterminer, en fonc- tion de et de une forme trigonométrique du nombre complexe . I.B - Démontrer que la fonction , définie sur par :

est un homéomorphisme croissant de sur dont la fonction récipro- que est de classe sur .

I.C - En déduire l’existence d’une fonction de dans telle que pour tout réel , et :

I.D - Exprimer de manière simple , . Donner une valeur approchée à près, en justifiant l’algorithme utilisé, de la constante .

I.E - Montrer que est une fonction continue, -périodique et paire ; démontrer qu’elle est de classe sur et que, pour tout :

n∈IN u_{n k,}

k∑≥0 l_k

k∑≥0

u_{n k,}

k=0

∑∞

nlim→∞ l_k

k=0

∑∞

=

z = ρe^iθ ρ∈IR₊^* θ∈IR

ρ θ ξ= ze^–z

u ] 0 1, ]

u t( ) 1+lnt ---t

=

] 0 1, ] ] -∞, ]1 C¹ ] -∞,1 [

θar( )θ IR IR θ r( )θ ∈] 0 1, ]

r( )eθ ^{–r( )θ cosθ} 1 ---e

=

r( )0 r(π⁄2)

10^–6 r( )π

r 2π

C¹ ]0 2π, [ θ∈]0 2π, [

r d

θ

d--- r²sinθ rcosθ–1 ---

=

I.F - Donner un équivalent simple en de la fonction définie par lorsque par valeurs supérieures ( est défini au I.B). Grâce à une expression de à l’aide de , en déduire que, lors- que par valeurs supérieures :

Prouver que est de classe par morceaux sur .

I.G - Un plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé di- rect ; dessiner sommairement la courbe dont une équation polaire est

. Quelle est l’image de par la transformation complexe ?

Partie II - Étude des modules des racines

désigne toujours un entier naturel non nul.

II.A - Prouver que, pour , les sont deux à deux distincts. Il en est donc de même des .

II.B - Pour entier naturel, on pose :

On considère le polynôme défini par :

où a été défini par la formule (1). Montrer que

Exprimer les racines de à l’aide des . II.C -

II.C.1) Soit un réel tel que . Montrer que, pour tout nombre com- plexe tel que :

h v

hav h( ) = 1–u(1–h) h→0 u

1–cosθ u r( ( )θ ) θ→0

r( )θ = 1–θ+o( )θ

θar( )θ C¹ IR

Γ

ρ = r( )θ Γ zaze^–z

n

k∈[[ 1,n]] λ_{n k,} z_{n k,}

p

q_{n p,}

1 si p =0

n!

n^p(n–p)!

--- = 1 j n---

 – 

 

j=0 p–1

∏ si 1≤ ≤p n

0 si p>n











=

Q_n Q_n( )X n!

nⁿ

---XⁿΠ_n 1 ---X

  

=

Π_n

Q_n( )X q_{n p,} X^p

p=0

∑n q_{n p,} X^p

p=0

∑∞

= =

Q_n z_{n k,}

r 0< <r 1

z z ≤r

1 1–z

---–Q_n( )z (1–q_{n p,} )r^p

∑∞

≤

Déterminer :

II.C.2) En déduire que, pour assez grand, toute racine de satisfait puis que pour tout , il existe un entier naturel tel que pour tout entier naturel , on ait :

,

II.D - On considère une suite de nombres complexes qui converge vers un complexe tel que .

II.D.1) Déterminer la limite de la suite si .

II.D.2) On suppose , déterminer la limite des suites de terme général :

et

puis la limite de la suite de terme général :

II.E - Comportement asymptotique des

II.E.1) Soit une racine complexe du polynôme . Prouver la relation : (2) (on pourra utiliser une formule de Taylor)

II.E.2) Soit une suite strictement croissante d’entiers naturels et une suite de complexes telle que, pour chaque entier , soit une racine de

. On suppose de plus que cette suite converge vers un nombre complexe . Montrer que et en déduire, à l’aide de la formule (2), que . II.E.3) Démontrer qu’en posant :

(on pourra raisonner par l’absurde et utiliser la question précédente).

sup

nlim→∞ z≤r

1 1–z ---–Q_n( )z

n z Q_n

z >r R>1 N

n>N

∀k∈{ ,1 2, ,… n} z_{n k,} <R z_p ( )

z z ≤1

z_pe^–zp

( ) Re z( ) = 1 Re z( )≠1

α_p 1 t

----p

 – 

 ^pe^zptdt

0

∫p

= β_p p^p

---p!

 

 

1 p+1 ---

=

p^p

---p! 1 t ----p

 – 

 ^pe^zptdt

0

∫p

1 p+1 ---

ξ_{n k,}

z Π_p

z

– (ze^–z)^p+1p^p

---p! 1 t ----p

 – 

 ^pe^ztdt

0

∫p

=

p_n

( ) z_p

( n) n z_p

Π_p n

n z

z ≤1 ze^–z 1

---e

= ξ_{n k,} = z_{n k,} e^{–zn k,}

nlim→∞max

1≤ ≤k n ξ_{n k,} 1 e--- – = 0

Partie III - Répartition des arguments

Dans toute cette partie, est un entier naturel non nul. On pose, pour , non nul :

(toujours avec )

On note le module de et l’un quelconque de ses arguments, de sorte que :

Enfin on rappelle que le polynôme et les ont été définis à la question II.B.

III.A - Démontrer, que la fonction de la variable réelle :

est développable en série entière au voisinage de et que :

III.B - Majoration des

III.B.1) Établir, pour , et , la relation :

III.B.2) Calculer . Prouver, par récurrence sur l’entier , que, pour tout et pour tout :

en déduire :

n p∈IN

s_{n p,} z_{n k}^p_,

k=1

∑n

=

S_{n p,} ξ_{n k}^p_,

k=1

∑n

= ξ_{n k,} = z_{n k,} e^{–zn k,} ρ_{n k,} ξ_{n k,} φ_{n k,} ∈IR

ξ_{n k,} = ρ_{n k,} e^{iφn k,}

Q_n q_{n p,}

f_n x

x Q′_n( )x Q_n( )x --- a–

0 f_n( )x s_{n p, +1}x^p

p=0

∑∞

=

S_{n p,} n≥1 p≥0 p+1

( )

– q_{n p, +1} q_{n i ,} s_{n p, +1–i}

i=0

∑p

=

s_n,1 p

n≥1 p≥1

s_{n p,} ≤3^p

S_{n p,} ≤3^pe^3p

III.C - Équirépartition des

III.C.1) Soit non nul. Prouver que :

III.C.2) En déduire que, si est une fonction -périodique, continue, de classe par morceaux sur , à valeurs complexes :

Partie IV - Étude des racines de partie réelle positive

IV.A - Notons le module de et son argument tel que . Démontrer que :

(on pourra raisonner comme à la question II.E.3).

Comment interpréter ce résultat qualitativement ?

IV.B - Déduire de la question III.C.2 et de la précédente que, si est une fonction -périodique, continue, de classe par morceaux sur , à valeurs complexes :

IV.C - On note le nombres de racines de dont la partie réelle est positive.

Démontrer que lorsque :

••• FIN •••

φ_{n k,} p∈ZZ

1

n--- e^{ipφn k,}

k=1

∑n

nlim→∞ = 0

f 2π

C¹ IR

1 n---

nlim→∞ f(φ_{n k,} )

k=1

∑n _2π^---1 f( )φ dφ

π –

∫π

=

r_{n k,} z_{n k,} θ_{n k,} –π≤θ_{n k,} <π

(1^max≤ ≤k n r_{n k,} –r(θ_{n k,} ))

nlim→∞

f

2π C¹ IR

1 n---

nlim→∞ f[θ_{n k,} –r(θ_{n k,} )sinθ_{n k,} ]

k=1

∑n _2π^---1 f( )φ dφ

π –

∫π

=

N_n P_n

n→∞ N_n~ 1

2--- 1 ---eπ

 – 

 n