Exercices niveau Sup

(1)

Chapitre 0

Exercices niveau Sup

0.1 Nombres complexes, calculs algébriques

Exercice 0.1 : Mines-TELECOM MP 2018 – Sophie Viard (?)

I. Démontrer que les affixes des racines du polynômeP(X) =X³+ (1 +i)Z²+ (4−i)X+ (12−6i)à coefficients complexes forment un triangle isocèle.

II. Voir 5.27.

Exercice 0.2 : Petites Mines MP 2015 – Joffrey Roger (?) I. Un exercice avec une matrice, oubliée par le Candidat.

II. Soitu∈[0, π].

1. Résoudre dansCl’équation : z²+ 2(1−cos(u))z+ 2(1−cos(u)) = 0.

2. Trouver le module et l’argument des solutions.

Exercice 0.3 : équation classique — CCP PC 2012 — E. Clément (?) I. Voir 12.72.

II. Soitn∈N^∗. Déterminez les nombres complexesz tels que

z+ 1 z−1

n

+ z−1

z+ 1 n

= 1.

Exercice 0.4 : Mines-TELECOM MP 2014 – Khalil Tabat (?) I. Déterminer lesz∈Ctels quesinz= 3.

II. Voir 0.18.

1

(2)

0.2. ALGÈBRE LINÉAIRE MP 2020-21

Exercice 0.5 : ENSEA/ENSIIE MP 2014 – Arthur Kalt (?)

I. Déterminer(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ tel que

( x1+· · ·+xn = n x²₁+· · ·+x²_n = n . II. Voir 19.49.

Exercice 0.6 : CCP 2015 MP – Constance Dworniczek (? ?)

En binaire, on peut écrire un nombre entier non nul avecpfois0etqfois1, sachant que le premier chiffre doit toujours être1.

1. Combien de tels entiers peut-on écrire en binaire avec cesp+qchiffres ?

2. (a) Sur le nombre considéré, on enlève le premier tas de1et le premier tas de0.

Combien d’entiers non-nuls peut-on écrire avec au plusp−1fois0 etq−1fois1? (b) Combien d’entiers non-nuls peut-on écrire avec au plusp+ 1fois0 etq+ 1fois1? 3. Démontrer que

p+q+ 1 q

=

q

X

k=0

p+k k

. 4. En déduire une expression simplifiée de 2.a).

0.2 Algèbre linéaire

Exercice 0.7 : c’est le début – École de l’Air MP 2012 – Henri Flavigny (?) I. On définitΦa:Rn[X]→R[X]parΦa(P) =P(X+a), oùa∈Rest fixé.

1. Démontrer queΦ_a est un endomorphisme deRn[X].

2. Écrire la matriceMa deΦa dans la base canonique deRⁿ[X].

3. Démontrer queMa est inversible et calculerM_a⁻¹. II. Voir 6.20.

Exercice 0.8 : Mines-TELECOM MP 2018 – Youssey Igli (?)

I. SoitEun espace vectoriel et f un endomorphisme deE tel que f◦f =f. 1. Démontrer queE= Ker (f)⊕Im (f).

2. SiE est de dimension finie, alors donner la nature def. La représenter géométriquement.

Sous quelle forme matricielle peut-on mettref?

3. Donner un exemple d’endomorphisme deEvérifiant 1. mais tel quef◦f 6=f.

4. SupposonsE de dimension au moins2. Donner un exemple d’endomorphisme deE qui ne vérifie pas 1.

II. Voir 18.26.

Exercice 0.9 : Mines-TELECOM MP 2017 – Ludovic Thaï (?)

(3)

CHAPITRE 0. EXERCICES NIVEAU SUP MP 2020-21

I. Sur 13 points.

Voir 16.36.

II. Sur 7 points.

SoitEet F deuxK-espace vectoriel (KétantRouC). Considérons une application linéairef deE dansF.

1. Rappeler la définition deKer (f)etIm (f). Démontrer que ce sont desK-espaces vectoriels.

2. Démontrer quef est injective si et seulement siKer (f)est réduit à{0}.

Exercice 0.10 : Navale MP 2015 maths 2 – Vianney Malcouronne (? ?)

I. 1. Soitul’application définie surKn−1[X]défini par :∀P ∈Kn−1[X],u(P) =P(X+ 1)−P(X).

Prouver qu’il s’agit d’un endomorphisme deE.

2. Démontrer qu’il existe(a1, . . . , an)∈Kⁿ tel que :∀P∈Kn−1[X],P=

n

X

k=1

akP(X+k).

II. Voir 15.14.

Exercice 0.11 : Navale MP 2017 maths 2 – Clément Dorrier (? ?) I. SoitEun espace vectoriel de dimensionn.

1. Considérons un endomorphismeudeE.

Démontrer que pour toutk∈[[0, n]], dim(Ker (u^k))≤kdim(Ker (u)).

2. Déterminer les endomorphismesudeE tels que pour toutk∈[[0, n]],dim(Ker (u^k)) =kdim(Ker (u)).

II. Voir 16.7.

M. Cochet :oral avec le terrrrible M. Gugger !

Exercice 0.12 : Polytechnique MP 2017 maths 1 – Louis Jalenques (???) Voir 0.28.

SoitE unK-espace vectoriel. Considéronsp+ 1formes linéaires : d’une part(fi)_1≤i≤p formant une famille libre, d’autre partg. Démontrer que

p

\

i=1

Ker (f_i)⊂Ker (g)si et seulement sig∈Vect

(f_i)_1≤i≤p .

Exercice 0.13 : Navale MP 2016 maths 2 – Florian Szczepaniak (???) I. Voir 2.32.

II. Voir 0.12.

Considérons unK-espace vectorielE. Soientf1,f2, . . . ,fpdes formes linéaires surE formant une famille libre, etg une forme linéaire surE.

Supposons que pour toutxappartenant àE,f1(x) =· · ·=fp(x) = 0 implique queg(x) = 0.

Montrer alors quegappartient àVect(f1, . . . , fp).

Indication :on pourra poserφ(x) = (f₁(x), . . . , f_p(x)).M. Cochet :on pourra faire sans ! III. Voir 0.27.

Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/299 27 août 2020

(4)

0.3. ALGÈBRE MATRICIELLE MP 2020-21

Exercice 0.14 : Mines-TELECOM MP 2018 – Alexis Sonolet (? ?)

I. SoitE={M ∈ M_n(R)/^tM =−M}, et soitA∈ M_n(R)(Apas forcément antisymétrique).

Pour toutM ∈E, on définitf telle que :f(M) =^tAM+M A.

1. Montrer quef ∈ L(E).

2. Déterminer tr (f)en fonction de tr (A).

II. Voir 6.12.

Exercice 0.15 : Mines-TELECOM MP 2013 – Samuel Toledano (? ?) I. Voir 11.31.

II. SoitEunK-espace vectoriel (K étantRouC) etp, q, deux projecteurs deE.

1. Montrer quep+qest un projecteur si et seulement sip◦q=q◦p= 0.

En déduireIm (p+q) = Im (p)⊕Im (q).

2. Une seconde question oubliée par le candidat !

M. Cochet :une question possible est « déterminerker(p+q)».

0.3 Algèbre matricielle

Exercice 0.16 : Mines-TELECOM MP 2013 – Florence Penelle (?) I. Voir 0.17.

Soit(A, B)∈ Mn(R)². Résoudre l’équationX+ tr (X)A=B, d’inconnueX ∈ Mn(R).

II. Voir 0.62.

Exercice 0.17 : TPE/EIVP MP 2015 maths 2 – Constance Dworniczek (?) I. Voir 16.2.

II. Voir 0.16.

RésoudreX+ tr (X)A=B dansM_n(C), où(A, B)∈ M_n(C)².

Exercice 0.18 : Mines-TELECOM MP 2014 – Khalil Tabat (?) I. Voir 0.4.

(5)

II. Calculer

∆n =

2 cosθ 1 0 · · · 0 1 2 cosθ . .. . .. ... 0 . .. . .. . .. . .. ... ... . .. . .. . .. . .. 0 ... . .. . .. . .. 1 0 · · · 0 1 2 cosθ

.

Exercice 0.19 : ENSEA MP 2018 – Sophie Viard (?) I. Voir 12.22.

II. Considérons la matrice A=







−1 0 −2

1 1 1

1 0 2





∈ M3(R)etf l’endomorphisme deR³ canoniquement associé.

1. Donner une base deKer (f)et une base deIm (f).

2. Démontrer queR³= Im (f)⊕Ker (f).

3. Déterminer la matrice dans la base canonique deM3(R)de la projection surIm (f)parallèlement àKer (f).

Exercice 0.20 : Mines-TELECOM MP 2018 – Alexandre Trochon (?) I. SoitAune matrice réelle d’ordrentelle queA⁵+A=In.

Démontrer queA²+A+In est inversible et calculer son inverse.

II. Voir 19.27.

Exercice 0.21 : CCINP MP 2016 – Damien Habets (?)

Résoudre le système linéaire suivant en discutant selon la valeur du paramètrem:







2mx+y+z = 2, x+ 2my+z = 4m, x+y+ 2mz = 2m².

Exercice 0.22 : Saint-Cyr MP 2017 maths 1 – Olivier Foult (?)

I. Déterminer une matriceM telle que M² = A =







1 0 0 0 4 0 0 1 9





. II. Voir 6.17.

(6)

Exercice 0.23 : CCINP MP 2017 – Pierre Leroux (? ?) Considérons l’ensembleE des suites réellesu= (un)n∈N vérifiant

∀n∈N, un+3 = 2un+2+un+1−2un.

1. (a) Démontrer que E est un espace vectoriel. Trouver la dimension de E. On pourra utiliser l’application u7→(u₀, u₁, u₂).

(b) Déterminer les solutions de l’équation x³−2x²−x+ 2 = 0. En déduire une base deE.

2. (a) On pose la matriceA=







0 1 0

0 0 1

−2 1 2





. Démontrer que

Aⁿ =







1

3(−1)ⁿ+ 1−¹₃2ⁿ −¹₂(−1)ⁿ+¹₂ ¹₆(−1)ⁿ−¹₂+¹₃2ⁿ

−¹₃(−1)ⁿ+ 1−²₃2ⁿ ¹₂(−1)ⁿ+¹₂ −¹₆(−1)ⁿ−¹₂+²₃2ⁿ

1

3(−1)ⁿ+ 1−⁴₃2ⁿ −¹₂(−1)ⁿ+¹₂ ¹₆(−1)ⁿ−¹₂+⁴₃2ⁿ





.

On pourra expliquer le calcul deA·Aⁿ.

(b) On fixe(u0, u1, u2)∈R³, définissant une suiteudeE. CalculerA·U0, oùU0=





 u0

u₁ u₂





. En déduire l’expression deun en fonction denainsi que deu0,u1 etu2.

Servi avec l’exercice n^◦41 de la banque CCP.

Examinateur pointilleux, qui n’eut de cesse de demander les définitions de TOUS les termes employés (notamment pour l’exercice 41 de topologie de la banque).

Exercice 0.24 : Mines-TELECOM MP 2018 – Léo Besson (? ?) I. Voir 6.11.

II. Voir 0.25.

Considérons un corpsK.

1. Démontrer queVect{AB−BA /(A, B)∈ Mn(K)²}={M ∈ M(K)/ tr (M) = 0}.

2. Soitϕune forme linéaire surM_n(K)telle queϕ(AB) =ϕ(BA)pour tout(A, B)∈ M_n(K)². Démontrer qu’il existe un scalaireλtel queϕ=λtr.

Exercice 0.25 : Mines-TELECOM MP 2017 – Andéol Chauveau de Quercize (? ?) Voir 0.24.

ConsidéronsH ={AB−BA /(A, B)∈ Mn(R)²}.

1. Démontrer que l’application trace tr :Mn(R)→Rest une forme linéaire non nulle.

2. Notons(E_i,j)_1≤i,j≤n la base canonique deMn(R). CalculerE_i,jE_k,`.

3. Démontrer que pour tout(A, B)∈ Mn(R)², tr (AB) = tr (BA). En déduire queKer ( tr ) =H. 4. Soitϕune forme linéaire surMn(R)vérifiant : ∀(A, B)∈ Mn(R)², ϕ(AB) =ϕ(BA).

Démontrer que(ϕ,tr )est une famille liée.

(7)

5. Déterminer un supplémentaire deKer ( tr ).

Exercice 0.26 : Navale MP 2016 maths 2 – Thibault Delahaye (?) Attention : M. Gugger examinateur méchant !

I. Voir 7.55. Voir 7.54.

II. SoitAetB dansMn(R). Démontrer que si tr (AM) = tr (M B)pour touteM deMn(R), alorsA=B.

III. Voir 16.12.

Exercice 0.27 : Navale MP 2016 maths 2 – Sonia Poncelin de Raucourt (?) I. Voir 7.58.

II. Voir 0.28.

Considérons une matriceM ∈ M_n(R). Démontrer que :

tr (M AB) = tr (M BA)pour tout(A, B)∈ Mn(R)² si et seulement siM =kIn, pour kun réel.

Exercice 0.28 : Navale MP 2016 maths 2 – Florian Szczepaniak (?) I. Voir 2.32.

II. Voir 0.13.

III. Voir 0.27.

Considérons une matriceM ∈ Mn(R). Démontrer que :

tr (M AB) = tr (M BA)pour tout(A, B)∈ M_n(R)² si et seulement si M =kI_n, pour kun réel.

Exercice 0.29 : TPE/EIVP MP 2015 maths 2 – Mathieu Le Pape (? ?)

I. « Une histoire d’irréductibilité dansQ[X]et de racines complexes (avec utilisation du théorème de Bézout pour les polynômes. »

II. SoitAune matrice telle queA^p=I.

1. Démontrer queB=1 p

p

X

k=1

A^k est une projection.

2. Montrer queKer (B−I) = Im (B).

3. En déduire quedim(Ker (B−Ip)) = 1 p

p

X

k=1

tr (A^k).

(8)

Exercice 0.30 : TPE/EIVP MP 2014 maths 2 – Alice Ribaucourt (? ?) I. Voir 13.8.

II. SoitAune matrice deMn(R)composée des vecteurs colonnesC1, . . . ,Cn. SoitA⁰la matrice deMn(R)composée des vecteurs colonnesC₁⁰, . . . ,C_n⁰ tels que

C_i⁰ = X

k6=i

Ck.

Exprimerdet(A⁰)en fonction dedet(A).

III. Voir 5.20.

Exercice 0.31 : Bézout pour les matrices – Telecom Sud’Paris MP 2012 – Henri Flavigny (? ?) I. Soit(A, B)∈ Mn(Z)². Supposons quepgcd(detA,detB) = 1.

Démontrer qu’il existe(U, V)∈ Mn(Z)² tel queAU+BV =In. II. Voir 18.15.

Exercice 0.32 : Mines-TELECOM MP 2012 — Antoine Capoulade (?) I. Voir 18.19.

II. SoitE=R³. Fixons un plan vectorielP et une droite vectorielleD non incluse dans P. Considérons G={u∈ L(E) ;u(P)⊂D, u(D)⊂P}.

Vérifier queGest un sous-espace vectoriel deL(E). Déterminer la dimension deG.

Exercice 0.33 : ENSEA/ENSIIE MP 2013 – Florence Penelle (?)

I. Calculer∆ =

1 a a² a⁴ 1 b b² b⁴ 1 c c² c⁴ 1 d d² d⁴

.

II. Voir 12.83.

Exercice 0.34 : Mines-TELECOM MP 2013 – Irène Giger (?) I. Calculer le déterminantn×n:

D_n =

5 3 0 · · · 0 2 5 . .. . .. ... 0 . .. . .. . .. 0 ... . .. . .. . .. 3 0 · · · 0 2 5

.

II. Voir 12.97.

(9)

0.4 Algèbre des polynômes et des fractions rationnelles

Exercice 0.35 : Mines-TELECOM MP 2018 – Antoine Parel (? ?) I. Calculer la fraction rationnelle

F(X) =

n−1

X

k=0

1 X−ωk

où ωk = e^2ikπⁿ . II. Voir 12.14.

Exercice 0.36 : Mines-TELECOM MP 2018 – Daniel Gabaï et 2019 – Matthieu Comes (? ?) I. Voir 0.63.

II. Voir 7.13.

III. Voir 0.37.

Trouver tous les polynômesP à coefficients complexes tels que quel que soitz∈C, on aitP(z)∈R.

Exercice 0.37 : Telecom Sud’Paris MP 2014 – Khalil Tabat (?) I. Voir 0.36.

Trouver tous les polynômesP à coefficients complexes tels que quel que soitz∈C, on aitP(z)∈R. II. Voir 12.38.

Exercice 0.38 : CCINP MP 2018 – Sébastien Journé (? ?)

Considérons l’applicationf deR[X]dansR[X] qui àP(X)associeP(X) +P(X+ 1).

1. Démontrer quef est un isomorphisme.

2. Démontrer que pour tout entier naturelk, il existe un unique E_k dansR[X]tel queE_k(X+ 1) +E_k(X) =X^k etE_k⁰ =kE_k−1.

3. Démontrer que pour tout entier naturelnet tout polynômeP : fⁿ(P(X)) =

n

X

k=0

n k

P(X+k).

Accompagné de l’exercice 44 de la banque CCP.

Exercice 0.39 : Mines-TELECOM MP 2017 – Pierre Leroux (?) I. Voir 16.15.

II. 1. Rappeler la définition d’une racine de multipliciték d’un polynôme.

L’examinatrice a demandé une preuve orale uniquement.

(10)

0.4. ALGÈBRE DES POLYNÔMES ET DES FRACTIONS RATIONNELLES MP 2020-21

2. On fixe un réela. Soit P un polynôme réel de degré supérieur ou égal à3. On définit un polynôme Qen posant

Q(X) = (X−a)(P⁰(X)−P⁰(a))²+ (P(X)−P(a))³. Démontrer queQadmetacomme racine d’ordre de multiplicité au moins3.

M. Cochet :polynôme modifié par rapport à l’original, sinon exercice impossible.

Exercice 0.40 : Telecom Sud’Paris MP 2015 – Charles Wième (? ?)

I. Déterminer le nombre de racines réelles deP_n(X) =nXⁿ−Xⁿ⁻¹−Xⁿ⁻²− · · · −X−1.

II. Voir 0.74.

Exercice 0.41 : ENSEA MP 2015 – Clémentine Cazenave (?) I. Voir 11.21.

II. Déterminer les polynômesP ∈C[X]tels queP(X²) = (X²+ 1)P(X).

Commentaire :« examinatrice qui n’aide pas, plutôt sèche ».

Exercice 0.42 : CCINP MP 2018 – Ludovic Thaï (?)

Soit (a_n)_n∈_N une suite réelle fixée. Construisons une suite (b_n)_n∈_N par la formule : ∀n ∈ N, b_n =

n

X

k=0

n k

a_k. Considérons l’application linéaireϕ:R[X]→Rdéfinie parϕ(X^k) =ak.

1. (a) SoitY =X+ 1. Pour toutn∈N, calculerϕ(Yⁿ)en fonction desak. (b) Démontrer que : ∀n∈N, a_n=

n

X

k=0

n k

(−1)^n−kb_k.

2. (a) NotonsS_q,n le nombre de surjections d’un ensemble àq éléments dans un ensemble ànéléments.

Pourk∈[[1, n]], déterminer en fonction deSq,kle nombre de fonctions d’un ensemble àqéléments dans un ensemble ànéléments telles que le cardinal de l’image def soit égal à k.

(b) En déduire quen^q =

n

X

k=1

n k

S_q,k. Accompagné de l’exercice 97 de la banque CCP.

Exercice 0.43 : Petites Mines MP 2015 – Hugues Isselin (?) I. 1. Déterminer toutes les racines deP(X) = 4X⁴+ 3X²+ 1.

2. FactoriserP(X)dansR[X].

3. En déduire deux diviseurs de40301.

II. Donné en direct.Voir 8.13.

(11)

Exercice 0.44 : Mines-TELECOM MP 2014 – Guillaume Lacheteau (?) I. Voir 12.20.

II. Factoriser dansRpuis dansC: P(X) = X⁷−5X⁶+ 8X⁵−4X⁴−4X³+ 8X²−5X+ 1.

Exercice 0.45 : CCP MP 2013 – Irène Giger (? ?)

On définit une suite de polynômes parT0= 1,T1=X etTn+1= 2XTn−T_n−1pour toutn≥1.

1. (a) Déterminer le degré et le terme de plus haut degré deTn. (b) Prouver queTn(cos(θ)) = cos(nθ).

2. SoitE_n={P ∈R[X]/(1−X²)P⁰⁰(X)−XP⁰(X) +n²P(X) = 0}.

(a) Démontrer que si P∈En alorsdeg(P) =nouP = 0.

(b) Prouver queT_n∈E_n.

(c) Montrer que siP ∈E_n alors il existeλ∈Rtel queP =λT_n.

Exercice 0.46 : CCP MP 2013 – Corentin Ginisty (?)

NotonsP =

n−1

X

k=0

X^2k.

1. ÉcrireP sans le symboleP

. En déduire les racines deP. 2. FactoriserP dansR[X].

3. Déterminer

n−1

Y

k=0

sin kπ

2n

.

Remarque :servi avec l’exercice n^◦59 de la banque CCP.

0.5 Algèbre bilinéaire, produits scalaires

Exercice 0.47 : ENSEA MP 2015 – Charles Wième (?) I. Voir 9.8.Aussi poly CCP n^◦10 (analyse).

II. Pour(A, B)∈ M_n(R)², on pose(A|B) = tr (^tA·B).

1. Démontrer que(· | ·)est un produit scalaire surM_n(R).

2. Rappeler l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

3. Démontrer que :∀A∈ Mn(R),|tr (A)| ≤√ n·p

tr (^tA·A).

Exercice 0.48 : ENSEA MP 2015 – Arnaud Ribeyrolles (?)

(12)

0.6. SUITES ET SÉRIES MP 2020-21

I. Voir 0.49.

SoitB= (e₁, . . . , e_n)une famille de vecteurs unitaires d’unR-espace vectorielEmuni d’un produit scalaire. On suppose que l’on a :

∀x∈E, kxk² =

n

X

i=1

(e_i|x)². Démontrer que la familleBest une base orthonormée deE.

II. Voir 12.69.

Exercice 0.49 : Mines MP 2017 – Jules Tisseyre (?) I. Voir 11.30.

II. Voir 0.48.

SoitE un espace préhilbertien réel,nun entier naturel non nul et(ei)_1≤i≤n une famille de vecteurs normés de E telle que :

(H1) La famille(e_i)_1≤i≤n est libre.

(H2) Pour toutx∈E,kxk²=

n

X

i=1

(x|ei)².

Montrer que(ei)1≤i≤n est une base orthonormée deE.

Le résultat reste-t-il vrai si on remplace (H1) par l’hypothèse (H3) Pour touti∈[[1, n]], ei 6= 0E?

0.6 Suites et séries

Exercice 0.50 : Mines-TELECOM MP 2016 – Florian Szczepaniak (?) I. Voir 13.26.

II. NotonsHn =

n

X

k=1

1

k la somme partielle de la série harmonique. SoitXp={n∈N^∗/ Hn≥p}etnp= minXp. 1. Démontrer quenpexiste.

2. Calculern0, n1,n2,n3.

3. Démontrer que(n_p)_p est une suite divergente.

Exercice 0.51 : Mines-TELECOM MP 2014 – Thomas Gouedard (?)

I. Soit(u_n)_n∈_N et(v_n)_n∈_Ndeux suites réelles positives telles quePu_n etPv_n convergent.

Démontrer queP√

unvn converge.

II. Voir 14.17.

Exercice 0.52 : TPE/EIVP MP 2016 maths 1 – Sonia Poncelin de Raucourt (?)

(13)

I. On poseun= Z ^π_n

0

sin³(x)

1 +x dx. Déterminer la nature de la sériePun. II. Voir 20.11.

Exercice 0.53 : Mines-TELECOM MP 2017 – Geoffroy Mateu (?)

I. Soit(un)n une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle queP

un converge.

Démontrer que la suite(nun)n est convergente de limite nulle.

II. Voir 7.23. Voir 7.26.

Exercice 0.54 : Navale MP 2015 maths 1 – Vianney Malcouronne (? ?)

Soitf une fonction continue surR+, dérivable en0, telle quef(0) = 1 et pour toutx >0,0≤f(x)<1.

Construisons une suite(un)n avecu0∈R^∗+et la relation de récurrence : ∀n∈N,un+1=unf(un).

1. Étudier la suite(u_n)_n.

2. Supposonsf⁰(0)6= 0. Montrer quePu²_n est convergente.

3. Deux autres questions.

Exercice 0.55 : Mines-TELECOM MP 2014 – Dimitri Mancy (? ?) I. Voir 7.45.

II. 1. Montrer que pour tout entier natureln, l’équation x−e^−x=nadmet une unique solution que l’on notera x_n.

2. Donner un développement asymptotique à quatre termes dexn.

Exercice 0.56 : TPE/EIVP MP 2014 maths 1 – Ariel Chiche (? ?) I. Voir 10.56.

II. Voir 4.5.

III. Nature et calcul de la somme de la série X

n≥2

ln

1− 1 n²

.

Exercice 0.57 : Telecom Sud’Paris MP 2013 – Irène Giger (?) I. Voir 12.57.

II. Voir 13.34.

III. Nature de la sérieP

un avecun= ln(1 +√

√ n)

n+n+n²,n≥1.

(14)

0.7. CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ MP 2020-21

Exercice 0.58 : Mines-TELECOM MP 2013 – Corentin Ginisty (? ?)

I. Soitu_n= 1 Pn

k=1

√k

k. Étudier la convergence de la série X

n≥1

u_n. II. Voir 7.59.

Exercice 0.59 : Telecom Sud’Paris MP 2013 – Arnaud Paoletti (? ?)

I. Soit(un)_n∈N^∗ une suite à termes réels telle queu1>0 et∀n≥1,un+1−un = 1 n^αun

. Déterminer les conditions surαpour que la suite(u_n)_n∈_N^∗ soit convergente.

II. Voir 7.60.

Exercice 0.60 : SATP — Mines-TELECOM MP 2012 — Victor Camara (? ?) I. SoitX

u_n une série convergente à termes réels positifs. Démontrer que la sérieX√

u_nu_2n est convergente.

II. Voir 5.44.

Exercice 0.61 : Mines-TELECOM MP 2012 — Florence Penelle (?) I. Voir 7.18.

II. Soitu_n= 1 n

(2n)!

n!

_n¹

,n≥1. La suite(u_n)_n≥1 converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?

Exercice 0.62 : Mines-TELECOM MP 2013 – Florence Penelle (???) I. Voir 0.16.

II. Soitnetkdeux entiers naturels. Notonsn_k le reste de la division euclidienne denpark.

Étudier la suite de terme généralun= n1+n2+· · ·+nn

n² .

A FAIRE !

Indication :posern⁰_k=nk−net étudier la suite de terme généralvn= n⁰₁+n⁰₂+· · ·+n⁰_n

n² .

0.7 Continuité, dérivabilité

Exercice 0.63 : Mines-TELECOM MP 2018 – Daniel Gabaï et 2019 – Matthieu Comes (?) I. Considérons la fonction

f :x 7→





 x²sin

1 x

si x∈R^∗, 0 si x= 0.

1. La fonctionf est-elle dérivable sur R?

(15)

2. La fonctionf est-elle de classe C¹ surR? II. Voir 7.13.

III. Voir 0.36.

Exercice 0.64 : Saint-Cyr MP 2013 maths 1 – Alexandre Martin (???) I. Voir 7.32.

II. Voir 0.64. Montrer que : ∀t∈[0,1],∀n∈N^∗, (1−t)· · ·(n−t)

n! ≤ 1

(1 +n)^t.

0.8 Intégration

Exercice 0.65 : Mines-TELECOM MP 2012 – Paul Bernard (?)

I. Étudier la sérieX

un avecun=

n

X

p=1

1 p²+ (n−p)². II. Voir 1.18.

Exercice 0.66 : intégrale abélienne – Mines-TELECOM MP 2012 – Henri Flavigny (? ?) I. Voir 1.29.

II. Soientaetb deux réels tels quea < b. Calculer Z b

a

xp

(b−x)(x−a)dx.

Exercice 0.67 : Saint-Cyr MP 2017 maths 2 – Olivier Foult (?) I. Voir 16.6.

II. Voir 11.56.

III. Déterminer les fonctionf continues surRet vérifiant f(x) = 1−

Z x 0

(x−t)f(t)dt.

Exercice 0.68 : Mines-TELECOM MP 2014 – Ghislain Le Dain (?) I. Voir 7.41.

II. Notonsun=

n

X

p=1

1

p^α+ (n−p)^α, α >0. Nature de la sérieP un?

(16)

0.9. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS MP 2020-21

0.9 Développements limités

Exercice 0.69 : DL de la bijection réciproque — Mines-TELECOM PC 2012 — Lucie Ribeyre (?)

I. Voir 5.19.

II. Soitf(x) =x+ ln(1 +x).

1. Montrer quef est une bijection. On noteg sa bijection réciproque.

2. Calculer sans réflexiong(0)et g⁰(0).

3. Montrer quegadmet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0.

4. Exprimer le développement limité deg à l’ordre3.

Exercice 0.70 : Mines-TELECOM MP 2017 – Alexandre Trochon (?)

I. Sur 14 points.

Voir 18.9.

II. Sur 6 points.

Déterminer les développements limités en0 à l’ordrendesinxetln(1 +x).

Exercice 0.71 : TPE/EIVP MP 2014 maths 1 – Antoine Diab-Maalouf (?)

I. Voir 12.32.

II. Soitf la fonction définie surR^∗ parf(x) =e^x²−1

x etf(0) = 0.

1. Démontrer quef réalise une bijection deRdansR.

2. Démontrer quef⁻¹ admet un développement limité à tout ordre en0et calculer celui à l’ordre5.

Exercice 0.72 : Telecom Sud’Paris MP 2013 – Henri Mirande (? ?)

I. Voir 12.58.

II. Montrer que la famille de fonctions

(x7→1, x7→exp(x)th (x), x7→exp(x)th²(x), . . . , x7→exp(x)thⁿ(x)) est libre.

(17)

0.10 Probabilités et combinatoire

Exercice 0.73 : ENSIIE MP 2015 – Philippe Raad (?) I. Voir 7.8.

II. Démonstration de la valeur de l’espérance dans le cas d’une loi binomiale puis dans le cas d’une loi uniforme.

Exercice 0.74 : Telecom Sud’Paris MP 2015 – Charles Wième (?) I. Voir 0.40.

II. Considérons une urne contenant2N boules numérotées de1à 2N, avecN entier impair.

On tireN boules sans remise. NotonsSla somme des numéros desN boules tirées, etS⁰la somme des numéros desN boules restantes. DéterminerP(S > S⁰).

Exercice 0.75 : Navale MP 2015 maths 2 – Gaïane Floch (?)

I. On lancemdés à six faces non truqués. On relance les dés n’ayant pas obtenu un6de manière identique, jusqu’à ce qu’on n’ait que des6.

1. On fixe un dé. NotonsA_n l’événement « ne pas obtenir de6ennlancers de ce dé ».

Calculerp(A_n).

2. Soit l’événementB_n : « obtenir finalement lesm6en au plus nlancers ». Déterminerp(B_n).

3. Calculer lim

n→+∞p(B_n). Commenter.

II. Voir 5.4.

(18)

0.10. PROBABILITÉS ET COMBINATOIRE MP 2020-21

(19)

Chapitre 1

Groupes

1.1 Loi de composition interne

Exercice 1.1 : monoïde (?)

Soit(E,∗)un monoïde, c’est-à-dire un ensemble muni d’une LCI associative et unitaire. Supposons la loi ∗commutative.

Soit(x, y)∈E². On supposex∗y symétrisable. Montrer quexety sont symétrisables.

Exercice 1.2 : une LCI exotique sur R(?) Soit∗la LCI définie sur Rpar :

x∗y=xy+ (x²−1)(y²−1).

1. Vérifier que∗ est commutative, non associative, et admet un élément neutre.

2. Résoudre les équations suivantes, d’inconnuex∈R: (a) 2∗x= 5. (b) x∗x= 1.

Exercice 1.3 : symétrisabilité ⇒régularité (sous condition) (?)

SoitE un ensemble muni d’une LCI∗associative et admettant un élément neutre ; démontrer que tout élément de Esymétrisable pour ∗est régulier pour∗. Donner un exemple où la réciproque est fausse.

Exercice 1.4 : régularité⇒ symétrisabilité (sous condition) (?) SoitE un ensemble fini muni d’une LCI∗ associative.

Pour toutaélément deE, on note γa : E −→ E

x 7−→ a∗x et δa : E −→ E x 7−→ x∗a . On suppose qu’il existe dansEun élémentxrégulier pour∗.

1. Démontrer queγx etδx sont injectives.

2. En déduire que∗ admet un élément neutre et quexest symétrisable pour∗.

19

(20)

1.1. LOI DE COMPOSITION INTERNE MP 2020-21

Exercice 1.5 : deux LCI (?)

SoitE un ensemble,∗une LCI associative sur E, >une LCI dansE distributive sur∗.

1. Démontrer que six,x⁰, y,y⁰, éléments de E, sont tels quex>x⁰ et y>y⁰ soient réguliers pour∗, alors x>y⁰ et y>x⁰ commutent pour∗.

(On pourra calculer(x∗y)>(x⁰∗y⁰)de deux façons différentes).

2. En déduire que si>possède un élément neutreε, alors deux éléments réguliers pour∗ commutent pour∗.

3. En déduire que si >possède un élément neutre et si tous les éléments de E sont réguliers pour ∗, alors∗ est commutative.

Exercice 1.6 : quotient d’un groupe par un sous-groupe (?) Voir 1.31.

Soit(G,×)un groupe et H un sous groupe de (G,×).

On définit une relation binaireRsurGpar :

xRy⇔xy⁻¹∈H

Montrer queRest une relation d’équivalence et en décrire les classes d’équivalence.

Exercice 1.7 : loi de composition surF(X, X)(???)

SoitX un ensemble etE =F(X, X)l’ensemble des applications deX dansX, muni de la loi◦ (composition des applications).

Montrer que ◦ est une LCI sur E, associative, unitaire, et en déterminer les éléments symétrisables (à droite, à gauche).

Exercice 1.8 : une LCI exotique sur {1,2,3,4} (?)

SoitE={1,2,3,4}. On munitE de la loi de composition définie par :

pour tout(x, y)∈E²,x∗y est le reste de la division euclidienne dex^y par5.

1. Vérifier que∗ est une loi de composition interne dansE. Le couple(E,∗)est-il un groupe ?

2. Résoudre dansE les trois équations d’inconnuex: (3∗x)∗2 = 1 ; 4∗(2∗x) = 2 ; (3∗x)∗3 = 3.

Exercice 1.9 : centre d’un p-groupe – X MP (???)

SoitGun groupe multiplicatif de cardinalp^αavecppremier etα∈N^∗. Montrer que Z(G)6={1}.

Indication : on considèrera la relationy₁Ry2 ssi∃x∈G,xy₁=y₂x.

(21)

CHAPITRE 1. GROUPES MP 2020-21

1.2 Groupe

Exercice 1.10 : translation d’un groupe (?)

Soit(G,·)un groupe noté multiplicativement,H un sous-groupe deGetA une partie non vide deG.

Démontrer :A·H =H⇐⇒A⊂H. (A·H désigne l’ensemble {a·h, a∈A, h∈H}).

Exercice 1.11 : intersection et réunion de sous-groupes (? ?) Soit(G,∗)un groupe ,H etK deux sous-groupes deG.

1. Montrer queH∩K est un sous-groupe deG.

2. Montrer queH∪K est un sous-groupe deGsi et seulement si :H ⊂K ouK⊂H.

Exercice 1.12 : centre d’un groupe (?)

Soit(G,·)un groupe. On appelle centre deGl’ensembleC={a∈G; ∀x∈G, ax=xa}.

Montrer queC est un sous-groupe deG.

Exercice 1.13 : groupe engendré par une partie (?) Considérons les applications deR\ {0,1}dans lui-même :

f1:x7→x, f2:x7→1−x, f3:x7→ 1

1−x, f4:x7→ 1

x, f5:x7→ x

x−1, f6:x7→ x−1 x .

Démontrer queG={f1, f2, f3, f4, f5, f6}est un groupe pour la composition. Déterminer tous ses sous-groupes. Quel est le plus petit sous-groupe deGcontenantf₂?f₃?f₂ etf₃?

Exercice 1.14 :HK =KH (? ?)

Soit(G,·)un groupe noté multiplicativement,H et Kdeux sous-groupes deG. On noteHK l’ensemble : HK= {hk;h∈H, k∈K}.

Montrer queHK est un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH.

Exercice 1.15 : toute partie stable finie d’un groupe est un sous-groupe (? ?) Soit(G,·)un groupe,H une partie stablefinie non vide deG.

Montrer queH est un sous-groupe deG(pourh∈H, considérer les applicationsγh:x7→hxetδh:x7→xhdeH dansH).

Application : ((? ? ?), nécessite l’exercice 1.44) Quelles sont les parties finies non vides de C^∗ stables pour la multiplication ?

(22)

1.2. GROUPE MP 2020-21

Exercice 1.16 : Mines-TELECOM MP 2016 – Damien Habets (? ?) MunissonsE=R^∗×Rde la loi ∗définie par :

∀(x, y)∈E,∀(u, v)∈E, (x, y)∗(u, v) = xu,v

x+yu .

1. Démontrer que(E,∗)est un groupe.

2. Pour toute applicationf :R^∗→R, on poseG_f ={(x, f(x))/ x∈R^∗}.

Déterminer des conditions surf pour queG_f soit un sous-groupe deE.

Exercice 1.17 : TPE/EIVP MP 2015 maths 2 – Clémentine Cazenave (? ?) I. Voir 10.19.

II. Soit(G,·)un groupe. Considérons l’applicationf :x7→x³. On suppose quef est un endomorphisme du groupe Get qu’il est surjectif. L’objectif de l’exercice est de démontrer queGest commutatif.

1. Démontrer que :∀(x, y)∈G², x³y³(x⁻¹)³=xy³x⁻¹. 2. a) Démontrer que :∀(x, y)∈G²,x²y³=y³x².

b) Démontrer que :∀(x, y)∈G²,x²y=yx². c) Démontrer que :∀(x, y)∈G²,x²y²=yxyx.

d) Conclure.

Commentaire :examinateur gentil qui tend des perches.

Exercice 1.18 : un sous-groupe deGL_n(R)– Mines-TELECOM MP 2012 – Paul Bernard (? ?) I. Voir 0.65.

II. SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie. Soit Gun sous-groupe fini deGL_n(E). Démontrer que : dim





\

g∈G

ker(g−Id_E)



 = 1 Card (G)

X

g∈G

trg.

Remarque :également donné à l’X option MP en 2001 !

Exercice 1.19 : un groupe géométrique – Centrale MP (? ?)

SoientA(1,0) etB(0,1). Les pointsM0(x0, y0)etM1(x1, y1)sont donnés. On construit le pointP0 par les conditions :

— les droites (P0M0)et(Ox)sont parallèles ;

— P0∈(AB).

On construit le pointQ₀ par les conditions :

— les droites (P0Q0)et (M1B)sont parallèles ;

— Q0∈(AM1).

Soit le pointM₂(x₂, y₂)tel que le quadrilatère(M₀P₀Q₀M₂)soit un parallélogramme. On pose M₂ = M₀∗M₁.

(23)

1. Démontrer quex2=x0+x1y0 ety2=y0y1.

2. Démontrer que la loi∗est associative, admet un élément neutre et que, siy06= 0, le pointM0 admet un inverse.

3. On définit une suite de points(Mn)_n∈_Npar la donnée deM0, deM1 et de la relation de récurrence valable pour tout entiern≥2

Mn = Mn−1∗Mn−2. Détermineryn en fonction dey0>0et dey1>0.

Exercice 1.20 : points sur une hyperbole (?) Montrer que

n x+y√

3 ;x∈N, y ∈Z, x²−3y²= 1o est un sous-groupe de(R^∗+,×).

Exercice 1.21 : groupe engendré par le complémentaire d’un sous-groupe (? ?)

SoitH un sous-groupe strict d’un groupe(G,∗), de complémentaireKdansG. Déterminer le groupehKiengendré parK.

Exercice 1.22 : sous-groupes deR – X MP classique (???) Voir 4.4.

Montrer que tout sous-groupe de(R,+) est soit dense, soit de la formeaZ, pour un uniquea≥0.

Exercice 1.23 : application des sous-groupes deR – X MP classique (???) Voir 1.22.

1. Soitx∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de(p, q)∈Z×N^∗ tel que

x−p q

< 1 q².

2. (???) Montrer la divergence de la suite de terme généralun= 1 nsinn.

Exercice 1.24 : une loi de groupe (? ?)

1. Montrer queR²est un groupe non abélien pour la loi∗ définie par :

∀((x, y),(x⁰, y⁰))∈(R²)², (x, y)∗(x⁰, y⁰) = (x+x⁰, ye^x⁰+y⁰e^−x).

2. Trouver les applicationsf :R→Rdont le graphe est un sous-groupe de(R²,∗).

(24)

1.3. MORPHISME DE GROUPES MP 2020-21

Exercice 1.25 : éléments involutifs d’un groupe (?)

1. Montrer qu’un groupeGdans lequel tout élément est involutif (i.e∀x∈G,x²=eG), est abélien.

2. Montrer qu’un groupeGdans lequel :∀(x, y)∈G²,(xy)²=x²y², est abélien.

Exercice 1.26 : élément de torsion (?)

Un élémentad’un groupe(G, ?)est dit élément de torsion lorsqu’il existen∈N^∗ tel queaⁿ=e.

Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de torsion d’un groupe abélien en est un sous-groupe.

Exercice 1.27 : bijections de E ayant un point fixe (?) SoitE un ensemble non vide eta∈E. On note

G = {f ∈ B(E, E), f(a) =a},

oùB(E, E)désigne l’ensemble des bijections deE dansE. Démontrer queGmuni de la loi◦est un groupe.

Exercice 1.28 : (?)

Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes ?

1.3 Morphisme de groupes

Exercice 1.29 : deux groupes isomorphes ? – Mines-TELECOM MP 2012 – Henri Flavigny (?) I. Les groupes(Z/8Z,+) et(Z/2Z×Z/4Z,+)sont-ils isomorphes ?

II. Voir 0.66.

Exercice 1.30 : automorphismes intérieurs (? ?)

Soit(G,·)un groupe, soita∈G. On considère l’application fa :G→G, x7→axa⁻¹. 1. Montrer quef_a est un automorphisme de G.

2. On considèreI(G) ={fa, a∈G}.

Montrer que I(G),◦

est un groupe. Donner un morphismeϕ: (G,·)−→ I(G),◦ .

Exercice 1.31 : sous-groupes distingués (? ?) Voir 1.6.

Un sous-groupeH de(G,·)est dit distingué lorsque

∀x∈H, ∀a∈G, axa⁻¹∈H.

(25)

1. Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de(G,·)est distingué.

2. Démontrer queH est distingué dans Gsi et seulement si pour toutx∈G, Hx=xH.

3. SoientH,K deux sous-groupes de(G,·). On supposeH distingué.

Montrer que l’ensembleHK = {xy; x∈H, y∈K} est un sous-groupe de(G,·).

4. Considérons l’ensembleG/Hdes classes deGsousH(c’est-à-dire pour la relationxRyssixy⁻¹∈H). Démontrer qu’on le munit d’une structure de groupe en posantHx∗Hy=Hxy.

Exercice 1.32 : morphismes sur le groupe symétrique (?)

Soitn∈Ntel quen≥2. Déterminer les morphismes du groupe(S_n,◦)vers(C^∗,×).

Exercice 1.33 : une structure de groupe exotique surR (?) SurR², on définit l’application(a, b)7−→a>b= (a³+b³)¹³. 1. Démontrer que(R,>)est un groupe commutatif.

2. Soitϕ:R−→R,a7−→a³. Démontrer queϕest un isomorphisme du groupe(R,>)sur le groupe(R,+).

Exercice 1.34 : morphismes sur Z, surQ (grand classique !) (?)

1. Trouver tous les morphismes du groupe(Z,+)vers lui-même. Lesquels sont des isomorphismes ? 2. Démontrer que tout morphisme de(Q,+)dans(Z,+) est l’application nulle.

Exercice 1.35 : somme des images d’un morphisme à valeurs dansC^∗ (? ?) Soitϕun morphisme non constant d’un groupe fini(G,∗)vers(C^∗,×). Calculer X

x∈G

ϕ(x).

Exercice 1.36 : des groupes non isomorphes (?)

1. Démontrer que les groupes(Q,+)et (Q^∗+,×)ne sont pas isomorphes.

2. Démontrer que les groupes(R^∗,×)et (C^∗,×)ne sont pas isomorphes.

1.4 Groupe monogène, groupe cyclique, le groupe Z /n Z

Exercice 1.37 : somme des chiffres en base10 (?)

On écrit en base10le nombre2011²⁰¹¹. On effectue la somme de ses chiffres, puis la somme des chiffres du nombre obtenu, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul chiffre. Quel est ce chiffre ?

(26)

1.4. GROUPE MONOGÈNE, GROUPE CYCLIQUE, LE GROUPEZ/NZ MP 2020-21

Exercice 1.38 : congruences simultanées & pirates (?)

Une bande de17pirates dispose d’un butin composé deN pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui-ci reçoit3pièces.

Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors4pièces.

Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin,6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit5pièces.

Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?

Exercice 1.39 : dernier chiffre (?)

Quel est le dernier chiffre dex= 7⁷⁷⁷

777

?

Exercice 1.40 : divisibilité (?)

Démontrer que, pour tout entiern∈N: 10³ⁿ−1 = 0 (3ⁿ⁺²).

Exercice 1.41 : groupes de cardinal inférieur à quatre (?)

Déterminer tous les groupes de cardinal inférieur à quatre. On retiendra en particulier qu’il n’existe que deux groupes de cardinal quatre, à savoirZ/4Zet le groupe de Klein :Z/2Z×Z/2Z.

Exercice 1.42 : plus petit groupe non commutatif (?)

Quel est le plus petit entierntel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal n?

Exercice 1.43 : élément d’ordre 2 dans un groupe de cardinal pair (? ?) Soit(G,·)un groupe de cardinal2n.

1. Justifier que l’on définit une relation d’équivalenceRsurGen posant xRy ⇐⇒ x=youx=y⁻¹. 2. En déduire l’existence dansGd’un élément d’ordre 2.

Exercice 1.44 : tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique (? ?) On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.

On introduit(G,·)un groupe cyclique de générateuraet H un sous-groupe de (G,·).

1. Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel queaⁿ ∈H.

2. Établir qu’alorsH est le groupe engendré paraⁿ.

(27)

Exercice 1.45 : les sous-groupes d’un groupe cyclique (? ?) SoitGun groupe cyclique de cardinaln.

Montrer que pour tout diviseurd∈N^∗den, le groupe Gpossède un et un seul sous-groupe de cardinal d.

Exercice 1.46 : produit de groupes cycliques (? ?) SoientH etK deux groupes notés multiplicativement.

1. Montrer que si h est un élément d’ordre pde H et k un élément d’ordre q de K alors (h, k) est un élément d’ordreppcm(p, q)deH×K.

2. On supposeH etK cycliques. Montrer que le groupe produitH×K est cyclique si, et seulement si, les ordres deH et K sont premiers entre eux.

Exercice 1.47 : groupe quasi-cyclique de Prüfer (???) Soitpun nombre premier. On pose

Gp = n

z∈C;∃k∈N, z^p^k = 1o .

1. Montrer queGp est un sous-groupe de(C^∗,×).

2. Montrer que les sous-groupes propres deGp sont cycliques et qu’aucun d’eux n’est maximal pour l’inclusion.

Pour alléger les notations, on posera Up^k={z∈C; z^p^k = 1}.

3. Montrer queGp n’est pas engendré par un système fini d’éléments.

Exercice 1.48 : démonstration rapide du théorème de Lagrange dans le cas abélien (?) Soient(G,∗)un groupe fini commutatif d’ordreneta∈G.

1. Justifier que l’applicationx7→a∗xest une permutation deG.

2. En considérant le produit des éléments deG, établir queaⁿ=e.

Exercice 1.49 : ordre d’un produit d’éléments d’un groupe abélien (utile pour 2.40 et 2.41) (? ?) Soientaet bdeux éléments d’ordre respectifspetq, d’un groupe abélien(G,∗).

1. Soitdun diviseur dep. Montrer qu’il existe un élément d’ordreddans(G,∗).

2. On suppose dans cette question seulement que p et q sont premiers entre eux. Montrer que l’élément ab est d’ordrepq.

3. On ne suppose pluspetq premiers entre eux.

(a) L’élémentab est-il nécessairement d’ordreppcm(p, q)? (b) Existe-t-il dansGun élément d’ordrem= ppcm(p, q)?

(28)

1.4. GROUPE MONOGÈNE, GROUPE CYCLIQUE, LE GROUPEZ/NZ MP 2020-21

(29)

Chapitre 2

Anneaux, corps, algèbres

2.1 Anneaux

Exercice 2.1 : condition pour que deux éléments d’un anneau soient inversibles (?)

Soit(A,+,×)un anneau. Soit(a, b)∈A². On suppose queabest inversible et queba n’est pas diviseur de zéro à gauche.

Montrer qu’alorsaet bsont inversibles. (sixest l’inverse deab, on pourra former le produit ba(bxa−1)).

Exercice 2.2 : inversibilité de1−xy et de1−yx (?)

Soit(A,+,×)un anneau. Soit(x, y)∈A². Montrer que, si1−xy est inversible, il en est de même de1−yx, et comparer leurs inverses (si 1−xy a pour inverse z, on a z(1−xy) = 1; multiplier alors par y à gauche et par xà droite).

Exercice 2.3 : endomorphismes de l’anneauZ (?)

Trouver tous les morphismes d’anneaux de l’anneau(Z,+,×)vers lui-même.

Exercice 2.4 : lorsquea7→a² est un morphisme surjectif (?)

Soit (A,+,×) un anneau. On suppose que l’application ϕ : A −→ A, a 7−→ a², est un morphisme surjectif.

Démontrer queA est commutatif.

Exercice 2.5 : anneau de Boole (? ?)

SoitAun anneau dans lequel, pour tout élémentx∈A, on ax²=x. Un tel anneau est appelé anneau de Boole.

1. Montrer que, pour touta∈A, on a2a= 0. En déduire queAest commutatif.

2. Montrer queAne peut se réduire à trois éléments.

3. On suppose queAest fini et de cardinal strictement supérieur à3. Montrer queApossède des diviseurs de zéro.

(On considèrera un élément de la formexy(x+y).)

29

(30)

2.1. ANNEAUX MP 2020-21

4. Démontrer que(P(E),∆,∩)(où∆est la différence symétrique) est un anneau booléen.

Exercice 2.6 : endomorphisme de l’anneauC laissantR invariant (?) Soitf :C→Cun morphisme d’anneaux tel que∀x∈R,f(x) =x.

Montrer quef est l’identité ou la conjugaison complexe.

Exercice 2.7 : description des sous-anneaux de Z² (? ?) Pourd∈N, on note

Ad =

(x, y)∈Z²/d divise(y−x) . 1. Montrer queA_d est un sous-anneau de(Z²,+,×).

2. Inversement, soitAun sous anneau de(Z²,+,×). Montrer que H ={x∈Z/(x,0)∈A} est un sous-groupe de (Z,+).

3. En déduire qu’il existed∈Ntel queH =dZetA=Ad.

Exercice 2.8 : un anneau d’entiers (? ?) On considèreZ[√

2] ={a+b√

2 ; (a, b)∈Z²}.

1. Montrer que(Z[√

2],+,×)est un anneau.

2. On noteN(a+b√

2) =a²−2b². Montrer que, pour tousxety deZ[√

2], on aN(xy) =N(x)N(y).

3. En déduire que les éléments inversibles deZ[√

2]sont ceux s’écrivanta+b√

2 aveca²−2b²=±1.

Exercice 2.9 : les sous-anneaux deQ (???)

On note P l’ensemble des nombres premiers. On se propose d’établir l’existence d’une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau(Q,+,×)et l’ensemble des parties de P.

PourA un sous-anneau de(Q,+,×), on note P(A) =

p∈ P/1 p∈A

.

1. SoientAet B deux sous-anneaux de(Q,+,×). Établir

P(A) =P(B) ⇒ A=B.

2. SoitP un sous-ensemble deP. Déterminer un sous-anneauAde(Q,+,×)vérifiantP(A) =P.

3. Conclure.

Indication :

1. Vérifier que sia/best élément irréductible deA alors1/pl’est aussi pour tout facteur premier deb.

2. ConstruireAen précisant les facteurs premiers possibles des dénominateurs des éléments de A.

(31)

CHAPITRE 2. ANNEAUX, CORPS, ALGÈBRES MP 2020-21

2.2 Corps

Exercice 2.10 : corps ? (?)

Les ensembles suivants sont-ils des corps commutatifs ?

1. (Q,+,∗)avec+l’addition usuelle et∗définie para∗b=a+b−ab.

2. (R²,+,×)avec(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)et(a, b)×(c, d) = (ac−bd, ad+bc).

3. (Z²,+,×)avec(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)et (a, b)×(c, d) = (ac+ 2bd, ad+bc).

Exercice 2.11 : des corps de nombres non isomorphes (?) SoitA=

a+b√

7,(a, b)∈Q² etB= a+b√

11,(a, b)∈Q² . 1. Démontrer queAetB sont des sous-corps de (R,+,×).

2. Démontrer que l’applicationϕ: A → B a+b√

7 7→ a+b√

11 n’est pas un isomorphisme deAsurB.

Exercice 2.12 : corps algébriquement clos (?)

Le corps des fractions rationnellesK=C(t)est-il algébriquement clos ? Indication :

Considérer le polynômeX²−t.

Exercice 2.13 : produit de corps (? ?)

SoitKetK⁰ deux corps. Démontrer que l’anneauK×K⁰ n’est pas un corps. Déterminer les idéaux de cet anneau.

Exercice 2.14 : une CNS pour qu’un anneau soit un corps (? ?)

1. Démontrer qu’un anneau commutatifAest un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont{0A}et A.

2. En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Exercice 2.15 : deux lois exotiques (?)

DansR, on considère les deux lois de composition interne suivantes :

( a ? b = a+b−1

a◦b = ab−(a+b) + 2 . Quelle est la structure de(R, ?,◦)?

Exercice 2.16 : corps de nombres (?)

(32)

2.3. IDÉAL MP 2020-21

1. SoitKun sous-corps deC, etnun entier naturel tel que√

n /∈K. On poseK[√

n] ={a+b√

n /(a, b)∈K²}.

Montrer queK[√

n]est un sous-corps deC. 2. Montrer queK={a+b√

2 +c√ 3 +d√

6/(a, b, c, d)∈Q⁴}, muni de l’addition et de la multiplication usuelles, est un corps.

Exercice 2.17 : automorphismes deR, deC (? ?)

1. Soit (K,+,×) un corps. Montrer que l’ensembleAut(K)des automorphismes du corpsKest un groupe pour la loi◦.

2. Déterminer tous les automorphismes du corpsR.

3. Déterminer tous les automorphismes du corpsCqui laissentRglobalement invariant.

2.3 Idéal

Exercice 2.18 : description des idéaux d’un corps (?) Quels sont les idéaux d’un corpsK?

Exercice 2.19 : description des idéaux des sous-anneaux deQ(? ?)

Démontrer que les idéaux d’un sous-anneauAde(Q,+,×)sont de la formexA, pour x∈A.

Indication :

Pour un idéalI, considérer l’intersection de Iet de (Z,+).

Exercice 2.20 : description des idéaux de Z² (? ?) SoitIun idéal de l’anneau produit(Z²,+,×).

1. On poseI1={x∈Z/(x,0)∈I}et I2={y∈Z/(0, y)∈I}.

Montrer queI₁ et I₂ sont des idéaux de(Z,+,×).

2. ÉtablirI=I₁×I₂.

3. Conclure que les idéaux de l’anneau(Z²,+,×)sont de la formexZavecx∈Z².

Exercice 2.21 : idéal engendré par un élément idempotent (?)

SoitAun anneau commutatif eteun élément idempotent deA, c’est-à-diree²=e).

1. Montrer queJ ={x∈A / xe= 0} est un idéal deA.

2. On noteI=Ael’idéal principal engendré pare. DéterminerI+J et I∩J. 3. Établir que pour tout idéalK deA: (K∩I) + (K∩J) = K.

(33)

Exercice 2.22 : idéal premier (? ?)

Un idéalI d’un anneau commutatif(A,+,×)est dit premier lorsque :

∀(x, y)∈A²,

xy∈I ⇒ x∈I ouy∈I .

1. Donner un exemple d’idéal premier dansZ.

2. SoitP∈K[X]un polynôme irréductible. Montrer queP·K[X]est premier.

3. SoitJ et Kdeux idéaux deAet I un idéal premier deA. Montrer J∩K = I ⇒

J =IouK=I .

4. Soit(A,+,×)un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Établir que A est intègre puis queA est un corps.

Exercice 2.23 : l’anneau Zest noethérien (?)

Un anneau commutatifA est noethérien lorsque tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux deAest station- naire. Prouvez queZest noethérien.

Exercice 2.24 : un anneau intègre n’ayant qu’un nombre fini d’idéaux est un corps (?)

SoitAun anneau intègre. On suppose que l’anneauAne possède qu’un nombre fini d’idéaux. Montrer que A est un corps.On étudiera les idéaux de la forme xⁿA.

Exercice 2.25 : éléments nilpotents d’un anneau (? ?)

Soit(A,+,×)un anneau. Un élémentxde A est dit nilpotent lorsqu’il existe n∈Ntel quexⁿ = 0_A. 1. Démontrer que sixet y sont nilpotents et commutent, alorsx+yest nilpotent.

Déterminer un contre-exemple lorsquexy6=yx. (On cherchera dansM2(K).) 2. Démontrer que, sixest nilpotent etxy=yx, alorsxyest nilpotent.

Déterminer un contre-exemple lorsquexy6=yx. (On cherchera dansM2(K).)

3. Soitx∈A nilpotent. Démontrer que1−xet1 +xsont inversibles et calculer leur inverse.

4. On suppose iciAcommutatif. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents deA est un idéal deA.

5. On suppose ici queAest uneR-algèbre. Six∈Aest nilpotent, alors on poseexp(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ

n! (somme en réalité finie. . . ).

Montrer que sixet y sont nilpotents etcommutent, alorsexp(x+y) = exp(x) exp(y).

(34)

2.3. IDÉAL MP 2020-21

Exercice 2.26 : produit et somme d’idéaux (? ?)

Soit(A,+,×)un anneau commutatif. SiI etJ sont deux idéaux deA, on note I+J = {i+j; i∈I, j∈J},

I·J = {i₁j₁+· · ·+i_nj_n;n≥1,∀k∈[[1, n]], i_k ∈I, j_k ∈J}. On dit que deux idéauxI etJ sont étrangers lorsqueI+J =A.

1. Montrer queI+J etIJ sont encore des idéaux de A.

2. Montrer queI·J ⊂I∩J.

3. Montrer que(I+J)·(I∩J)⊂I·J.

4. Montrer que siI etJ sont étrangers, alorsI·J =I∩J. Indication :

1. Il suffit d’écrire la définition.

2. i∈I,j∈J impliqueij∈Ipar exemple.

3.

4. Écrirex= 1·x.

Exercice 2.27 : radical d’un idéal (? ?)

SoitAun anneau commutatif (unitaire). SiI est un idéal deA, on appelle radical deIl’ensemble

√

I = {x∈A; ∃n≥1, xⁿ ∈I}.

1. Montrer que√

I est un idéal deA.

2. SoientI etJ deux idéaux deAetp≥1. Montrer que

√

I·J = √

I∩J = √ I∩√

J , q√

I = √ I, √

I^p = √ I.

3. SiA=Zet I=kZ,k≥1, déterminer le radical deI.

Indication :

1. Pour montrer la stabilité par la loi+, on pourra utiliser la formule du binôme à une bonne puissance de(x+y).

2. Pour les trois premières égalités, raisonner par inclusions successives (1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ 1 fonctionne. On pourra remarquer que sixⁿ∈Iet x^m∈J, alorsx^n+m∈I·J.

3. Décomposer k en produits de facteurs premiers k = p^α₁¹. . . p^α_r^r et prouver que ∃n ≥ 1, k|xⁿ est équivalent à x∈(p₁. . . p_r)Z.

Exercice 2.28 : idéaux premiers, idéaux maximaux (???)

SoitA un anneau commutatif. On dit qu’un idéal I est premier lorsquexy∈ I impliquex∈I ou y ∈I. On dit qu’un idéalI est maximal lorsque, pour tout idéalJ deAtel queI⊂J, on a J =I ouJ =A.

1. Déterminer les idéaux premiers deZ.

2. SoitIun idéal etx∈A\I. SoitJ l’idéal engendré par I etx. Montrer que J ={a∈A; ∃i∈I, ∃k∈A, a=i+kx}.

(35)

3. En déduire que tout idéal maximal est premier.

4. Montrer que si tous les idéaux deAsont premiers, alorsAest un corps.

5. Un idéal est principal lorsqu’il est de la formexApour un certain x∈A. Un anneau est principal lorsque tous ses idéaux sont principaux. Montrer que siAest principal alors tout idéal premier est maximal.

6. Soit I un idéal deA. Montrer queI est premier si et seulement siA/I est intègre. Montrer queIest maximal si et seulement siA/I est un corps. En déduire une autre preuve queI maximal entraineIpremier.

Indication :

1. Factoriser en produits de facteurs premiers un générateur deI.

2. PoserK={a∈A;∃i∈I,∃k∈Z, a=i+kx}, vérifier queK est un idéal, puis que tout idéal deAcontenant I etxcontientK.

3. Soit(x, y)∈A²tel que xy∈I et x /∈I. Considérer l’idéal engendré parI etx.

4. Montrer d’abord queAest intègre en utilisant l’idéal engendré par0. Puis, pour un élémentxnon nul, considérer l’idéal engendré parx².

5. SoitI= (a)un idéal etI⊂J = (b). Écrire quea=bcet doncb∈Iouc∈Iet discuter.

6. Pour la partie intègre, un raisonnement direct convient. Pour la partie maximale, on peut utiliser que les idéaux deA/I sont en bijection avec les idéaux deAcontenantI.

2.4 L’anneau Z /n Z

Exercice 2.29 : (? ?) Soitn≥3un entier.

1. Montrer que pour tout entier impaira, on a : a²ⁿ⁻² ≡ 1 [2ⁿ].

2. Le groupe(U(Z/2ⁿZ),×)des inversibles de l’anneauZ/2ⁿZest-il cyclique ?

Exercice 2.30 : éléments inversibles deZ/12Z (?)

Démontrer que l’ensemble des éléments inversibles de l’anneauZ/12Zest isomorphe au groupe additifZ/2Z×Z/2Z.

Exercice 2.31 : inversibles de l’anneau Z/20Z (? ?)

Donner l’ensembleGdes inversibles de l’anneauZ/20Z. Montrer que(G,×)est isomorphe à(Z/2Z×Z/4Z,+).

Exercice 2.32 : Navale MP 2016 maths 2 – Florian Szczepaniak (???) I. Notonsϕl’indicatrice d’Euler.

1. Montrer que sid|navecn≥2 alorsϕ(d)représente le nombre d’entiers d’ordreddans(Z/nZ,+).

2. En déduire queX

d|n

ϕ(d) =n.

II. Voir 0.12. Voir 0.13.