Problème classique 1

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir sur table n°8 du jeudi 11 février

Durée : 4 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales :

Les candidats sont priés :

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien10pages ;

• de traiter le sujet, classique ou corsé, qui leur incombe :

— sujet classique : problèmes1et 2;

— sujet corsé: problème corsé ;

• de traiter les problèmes dans l’ordre qui leur convient le mieux, à condition de respecter scrupuleusement la numé- rotation ;

• de traiter les questions dans l’ordre ;

• si possible traiter les problèmes différents sur des copies différentes.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

Problème classique 1

On se propose ici d’étudier certaines propriétés des matrices antisymétriques réelles. Après avoir étudié un exemple en dimension 2, on utilise les matrices antisymétriques pour paramétrer un sous-ensemble de matrices orthogonales.

Notations

• Rdésigne l’ensemble des réels etMn(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordrenà coefficients réels.

• On noteIn la matrice identité d’ordren.

• Pour tout entier n > 0, on désigne par An(R) l’ensemble des matrices antisymétriques réelles de taille n et par On(R)celui de matrices réelles orthogonales de taillen.

Le groupespécial orthogonal est constitué des matrices orthogonales de déterminant1.

Partie I - Un exemple en dimension 2

Q1. Soitt un réel et soitA=

0 t

−t 0

. Déterminer les valeurs propres complexes deA.

Q2. CalculerR= (I2+A)(I2−A)⁻¹ et montrer queRest une matrice du groupe spécial orthogonal.

Q3. Pour tout réelθ∈R\πZ, on noteRθ=

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

. CalculerM = (I2+Rθ)⁻¹(I2−Rθ).

Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales

Dans ce qui suit,ndésigne un entier>0.

Q4. Soient B etC dansM_n(R). Montrer que siC est inversible etBC=CB, alorsBC⁻¹=C⁻¹B.

Q5. Soit A ∈ M_n(R)une matrice antisymétrique. Soit λune valeur propre complexe de A et X ∈Cⁿ un vecteur propre associé. En calculant de deux façons

t(AX)X,

montrer queλest un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).

Q6. Déduire de la question précédente que si Aest antisymétrique réelle, alorsIn+Aest inversible et (I_n−A)(I_n+A)⁻¹ = (I_n+A)⁻¹(I_n−A).

Montrer queR= (I_n+A)⁻¹(I_n−A)est une matrice orthogonale.

Q7. Calculer le déterminant deR.

Q8. SoitRune matrice orthogonale telle queIn+Rsoit inversible. Démontrer que la matriceA= (In+R)⁻¹(In−R) est antisymétrique.

Q9. On suppose ici quen= 3 et queR³est muni de sa structure euclidienne orientée par la base canonique.

Soitr une rotation d’angleθ∈]−π, π[autour d’un axe orienté par un vecteur ude norme1 et soitR∈O₃(R) sa matrice dans la base canonique.

Montrer qu’il existe une matrice antisymétriqueA∈ M3(R)telle que R = (I₃+A)⁻¹(I₃−A).

Problème classique 2

Notations et rappels

Soitn un entier supérieur à 1. On désigne pardiag (α1, . . . , αn)la matrice diagonale de Mn(R)dont les coefficients diagonaux sont les réelsα1, . . . ,αn dans cet ordre. SiM ∈ Mn(R), on note ^tM sa transposée.

On munit l’espace vectorielE =Rⁿ du produit scalaire canonique notéh | iet de la norme euclidienne k kassociée.

On noteS(E)le sous-espace des endomorphismes symétriques deE, c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismessde E vérifiant :

∀(x, y)∈E², hs(x)|yi = hx|s(y)i.

Un endomorphisme symétriquesdeE est dit symétrique positif (respectivement symétrique défini positif) si :

∀x∈E, hs(x)|xi ≥ 0 (respectivement∀x∈E\ {0}, hs(x)|xi > 0).

Une matriceS deM_n(R)est dite symétrique positive (respectivement symétrique définie positive) si :

∀X ∈ Mn,1(R), ^tXSX ≥ 0 (respectivement∀X ∈ Mn,1(R)\ {0}, ^tXSX > 0).

On note S_n⁺(R)(respectivement S_n⁺⁺(R)) l’ensemble des matrices symétriques positives (respectivement symétriques définies positives) deMn(R).

On admet qu’un endomorphismesdeEest symétrique (respectivement symétrique positif, symétrique défini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base orthonormée deE est symétrique (respectivement symétrique positive, symétrique définie positive).

On admet que, pour tous réels positifsa1, . . . ,an :

n

Y

i=1

a_i

!^1/n

≤ 1 n

n

X

i=1

a_i (inégalité arithmético-géométrique).

Objectif du problème

On se donne une matrice S de S_n⁺(R) (ou S_n⁺⁺(R)) et on étudie le maximum (ou minimum) de la forme linéaire A7→ tr (AS)sur des ensembles de matrices.

Questions préliminaires

Q1.

Q1.a) Énoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des endomorphismes symétriques de l’espace eucli- dien E et sa version relative aux matrices symétriques réelles.

Q1.b) Toute matrice symétrique à coefficients complexes est-elle nécessairement diagonalisable ? On pourra par exemple considérer la matrice deM2(C):

S =

i 1 1 −i

.

Q2. Soits∈ S(E), de valeurs propres (réelles)λ1, . . . ,λn rangées dans l’ordre croissant : λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn.

Soit β = (ε₁, . . . , ε_n)une base orthonormée de E telle que, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, ε_i est un vecteur propre associé à la valeur propre λ_i. Pour tout vecteurxdeE, on pose :

Rx(x) = hs(x)|xi.

Q2.a) Exprimer Rs(x)à l’aide des λi et des coordonnées dexdans la baseβ.

Q2.b) En déduire l’inclusion : Rs(S(0,1)) ⊂ [λ1, λn], oùS(0,1)désigne la sphère unité deE.

Q3.

Q3.a) On suppose dans cette question que s est symétrique positif (respectivement symétrique défini positif).

Démontrer que les valeurs propres dessont toutes positives (respectivement strictement positives).

Q3.b) SoitS= (s_i,j)∈ S_n⁺(R), de valeurs propresλ₁, . . . ,λ_n rangées dans l’ordre croissant : λ₁ ≤ λ₂ ≤ · · · ≤ λ_n.

On note s l’endomorphisme deE représenté par S dans la base canonique B = (e1, . . . , en). Exprimer le terme généralsi,j deS comme un produit scalaire et démontrer que :

∀i∈ {1, . . . , n}, λ1 ≤ si,i ≤ λn.

Un maximum sur O

( R )

On noteI_n la matrice unité deM_n(R)etO_n(R)le groupe des matrices orthogonales deM_n(R).

Q4. Démontrer que l’application M 7→^tM M−In est continue deMn(R)dansMn(R).

Q5. Justifier que, siA= (ai,j)est une matrice orthogonale, alors :

∀(i, j)∈ {1, . . . , n}², |a_i,j| ≤ 1.

Q6. En déduire que le groupe orthogonal On(R)est une partie fermée et bornée de Mn(R).

On admet le

théorème : dans un espace vectoriel normé de dimension finie,

toute fonction continue sur une partie fermée et bornée est bornée et atteint ses bornes.

Q7. SoitS∈ S_n⁺(R), de valeurs propres (positives)λ1, . . . ,λn. On pose∆ = diag (λ1, . . . , λn).

Si Aest une matrice orthogonale, on noteT(A)le nombre réelT(A) = tr (AS).

Q7.a) SoitA∈ On(R). Démontrer qu’il existe une matrice orthogonaleB telle que : T(A) = tr (B∆).

Q7.b) Démontrer que l’application T deOn(R)dansRadmet un maximum surOn(R)que l’on noterat.

Q7.c) Démontrer que, pour toute matrice orthogonaleAdeOn(R),T(A)≤ tr (S), puis déterminer le réelt.

Inégalité d’Hadamard

SoitS= (s_i,j)∈ S_n⁺(R), de valeurs propres (réelles positives) λ₁, . . . ,λ_n rangées dans l’ordre croissant : 0 ≤ λ₁ ≤ λ₂ ≤ · · · ≤ λ_n.

Q8. Démontrer l’inégalité valable pour toutS ∈ S_n⁺(R): det(S) ≤

1 ntr (S)

ⁿ

. (1)

Q9. Soitα= (α₁, . . . , α_n)∈Rⁿ,D= diag (α₁, . . . , α_n)et S_α=^tDSD.

Démontrer queSα∈ S_n⁺(R)et calculer tr (Sα).

Q10. Dans cette question, on suppose que les coefficients diagonaux si,i deS sont strictement positifs et, pour 1 ≤ i≤n, on poseα_i= 1

√si,i

. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que :

det(S) ≤

n

Y

i=1

si,i.

Q11. Pour tout réelε >0, on poseS_ε=S+εI_n. Démontrer quedet(S_ε)≤

n

Y

i=1

(s_i,i+ε), puis conclure que :

n

Y

i=1

λi ≤

n

Y

i=1

si,i (inégalité d’Hadamard).

Application de l’inégalité d’Hadamard : détermination d’un minimum

SoitS∈ S_n⁺⁺(R), de valeurs propres0< λ1≤ · · · ≤λn, et∆ = diag (λ1, . . . , λn). SoitΩ∈ On(R)telle queS= Ω∆^tΩ.

On désigne parU l’ensemble des matrices deS_n⁺⁺(R)de déterminant égal à1.

Q12. Démontrer que, pour toutA∈ U, la matriceB=^tΩAΩest une matrice deU vérifiant : tr (AS) = tr (B∆).

Q13. Démontrer que{tr (AS)/ A∈ U }={tr (B∆)/ B∈ U }, puis que ces ensembles admettent une borne inférieure que l’on notera m.

Q14. Démontrer que, siB = (b_i,j)∈ U :

tr (B∆) ≥ n(λ₁· · ·λ_n)^1/n(b_1,1· · ·b_n,n)^1/n.

Q15. En déduire que, pourB = (bi,j)∈ U, tr (B∆)≥n(det(S))^1/n. Q16. Pour tout entierktel que 1≤k≤n, on poseµ_k= 1

λ_k(det(S))^1/netD= diag (µ₁, . . . , µ_n).

Déterminer le réelm.

Problème corsé

Notations

Sinetpsont des entiers naturels non nuls, on noteMn,p(R)l’espace vectoriel des matrices réelles ànlignes etp colonnes etM_n(R)l’espace vectoriel des matrices carréesM_n,n(R). On définit de façon analogueM_n,p(C)etM_n(C).

La transposée d’une matrice A de Mn,p(R) est notée A^>. On rappelle qu’une matrice A de Mn(R) est dite symétrique siA^>=Aet qu’elle est diteantisymétriquesiA^>=−A.

Le sous-espace vectoriel deMn(R)constitué des matrices symétriques est notéSn(R). Le sous-espace vectoriel de Mn(R)constitué des matrices antisymétriques est notéAn(R).

Le groupe des matrices orthogonales ànlignes etncolonnes est noté O_n(R).

On noteI_n la matrice identité dansM_n(R).

Pour toute matrice carréeA∈ M_n(R), on noteA_s=1 2

A+A^>

etA_a= 1 2

A−A^>

. Ainsi,A_s est une matrice symétrique,A_a est une matrice antisymétrique etA=A_s+A_a. On dit queA_s est la partie symétrique deA et que Aa est sapartie antisymétrique.

PourA∈ Mn(R), on note sp_R(A)le spectre réel deA, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs propres réelles deA.

Une matrice symétrique réelle est ditepositive si ses valeurs propres sont positives et elle est dite définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives.

On noteS_n⁺(R)l’ensemble des matrices symétriques positives deMn(R)etS_n⁺⁺(R)l’ensemble des matrices symé- triques définies positives deM_n(R).

Objectif

L’objectif du problème est d’étudier certaines propriétés des matrices réelles carrées dont la partie symétrique est définie positive.

La première partie apporte quelques résultats préliminaires.

La deuxième partie, où on étudie les matricesF−singulières, et la troisième partie, qui traite des matrices positi- vement stables, sont largement indépendantes.

I Résultats préliminaires

I.A - Distance de A à A

On munitMn(R)du produit scalaire canonique donné par(M, N)7→ tr (M^>N)où tr désigne la trace. On notek · k2

la norme euclidienne associée.

I.A.1) Montrer que S_n(R) et A_n(R) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux dans M_n(R) et préciser leurs dimensions.

I.A.2) SoitA∈ Mn(R). Montrer que pour toute matriceS∈ Sn(R),kA−Ask2≤ kA−Sk2. Préciser à quelle condition surS ∈ Sn(R), cette inégalité est une égalité.

I.B - Valeurs propres de A

On considèreA∈ M_n(R).

I.B.1) Si M ∈ Mn(R) et X, Y ∈ Mn,1(R), la matrice X^>M Y appartient à M1(R) et on convient de l’identifier au nombre réel égal à son unique coefficient.

Avec cette convention, montrer que As ∈ S_n⁺(R) si et seulement si ∀X ∈ Mn,1(R), X^>AsX ≥ 0 et que As∈ S_n⁺⁺(R)si et seulement si∀X ∈ Mn,1(R)\ {0}, X^>AsX >0.

I.B.2) Pour toute valeur propre réelle λdeA, montrer que min sp_R(As)≤λ≤max sp_R(As).

En déduire que si A_s∈ S_n⁺⁺(R)alorsAest inversible.

I.B.3) On suppose queA_s∈ S_n⁺⁺(R).

a) Montrer qu’il existe une unique matriceB deS_n⁺⁺(R)telle queB²=A_s.

b) Montrer qu’il existe une matriceQdeA_n(R)telle que det(A) = det(A_s) det(I_n+Q).

c) En déduire que det(A)≥det(A_s).

I.B.4) On suppose Ainversible et, conformément aux notations du problème,(A⁻¹)_s désigne la partie symétrique de l’inverse de A.

Montrer que(det(A))²det (A⁻¹)_s

= det(A_s).

On pourra considérer A(A⁻¹)sA^>.

I.C - Partie symétrique des matrices orthogonales

I.C.1) SoitA∈O_n(R). Montrer que les valeurs propres deA_ssont dans[−1,1].

I.C.2) Donner un exemple de matrice symétrique S dans S₂(R) telle que sp_R(S)⊂[−1,1]et pour laquelle il n’existe pas de matriceA∈O2(R)vérifiantAs=S.

I.C.3) SoitS∈ Sn(R).

a) On suppose que sp_R(S)⊂[−1,1]et que pour toute valeur propreλdeS dans]−1,1[, l’espace propre deS associé àλest de dimension paire. Montrer qu’il existeA∈On(R)telle queAs=S.

b) Réciproquement, montrer que s’il existe A ∈On(R) telle queAs =S, alors sp_R(S)⊂[−1,1]et pour toute valeur propreλdeS dans]−1,1[, l’espace propre deS associé àλest de dimension paire.

II Matrices F − singulières

Dans la suite de cette partie, on noteE_n =M_n,1(R)qu’on munit du produit scalaire(· | ·)défini par

∀X, Y ∈En, (X|Y) = X^>Y

où, comme au I.B.1, on identifie la matriceX^>Y à son unique coefficient.

Si 1≤p≤n, on noteGn,p(R)l’ensemble des matrices deMn,p(R)de rang égal àp.

Une matrice deMn(R)est ditesingulière si elle n’est pas inversible.

Si F est un sous-espace vectoriel non réduit à {0}deE_n et siK∈ M_n(R), on dit queK est F−singulière s’il existe X ∈F non nul tel que∀Z∈F, Z^>KX= 0. Dans le cas contraire, on dit queK estF−régulière.

II.A - Cas où F est un hyperplan

II.A.1) Montrer qu’une matrice deMn(R)est singulière si et seulement si elle estE_n−singulière.

Dans cette sous-partie II.A, on suppose désormaisn≥2. SoitF =H un hyperplan deEn et soitN ∈En un vecteur unitaire normal àH.

II.A.2) Montrer que A est H−singulière si et seulement s’il existe un vecteur non nul X de H et un réel λ tels que AX=λN.

II.A.3) En déduire que AestH−singulière si et seulement si la matriceA_N =

A N N^> 0

∈ M_n+1(R)est singulière.

Dans les questions suivantes,A est une matrice inversible deMn(R).

II.A.4) Montrer qu’il existe une matriceB=

B1 B2

B₃ B₄

avecB₁∈ M_n(R),B₂∈ M_n,1(R),B₃∈ M_1,n(R),B₄∈ M₁(R) telle que : A_NB =

In 0 N^>A⁻¹ −N^>A⁻¹N

. II.A.5) En déduire que det(AN) =−N^>A⁻¹Ndet(A).

II.A.6) Montrer que sidet (A⁻¹)s

= 0, alors il existe un hyperplanH deEn tel queAest H−singulière.

II.A.7) En déduire que si det(As) = 0, alors il existe un hyperplanH deEn tel queA estH−singulière.

II.A.8) On suppose queAs∈ S_n⁺⁺(R). Montrer queAest H−régulière pour tout hyperplanH deEn.

II.B - Exemple

On traitera l’exemple

A = A(µ) =





2−µ −1 µ

−1 2−µ µ−1

0 −1 1





II.B.1) Montrer queA(µ)est inversible pour tout réel µ.

II.B.2) CalculerA(µ)s et montrer queA(µ)sest singulière pourµ= 1,1−√

3,1 +√ 3.

II.B.3) Déterminer un hyperplanH tel queA(1)soit H−singulière.

II.C - Cas où F est de dimension n − 2

On suppose icin≥3. SoitF un sous-espace vectoriel de E_n de dimensionn−2. On considère (N₁, N₂) une base de F^⊥ et on pose

N = (N1 N2)∈ Mn,2(R)

II.C.1) Montrer que Aest F−singulière si et seulement s’il existe un élément non nulX de F et deux réels λ1,λ2 tels queAX=λ1N1+λ2N2.

II.C.2) En déduire que AestF−singulière si et seulement si la matrice

A_N =





A N1 N2

N₁^> 0 0 N₂^> 0 0



=

A N N^> 0₂

∈ M_n+2(R)

est singulière.

Dans les questions suivantes,A est une matrice inversible deMn(R).

II.C.3) Montrer qu’il existe une matriceB =

B₁ B₂ B3 B4

avecB1∈ Mn(R), B2∈ Mn,2(R), B3∈ M2,n(R)et B4∈ M2(R)telle que :

A_NB=

In 0 N^>A⁻¹ −N^>A⁻¹N

II.C.4) En déduire que det(A_N) = det(N^>A⁻¹N) det(A).

II.C.5) Montrer qu’il existe P ∈ G_n,2(R)telle que det(P^>A⁻¹P) = 0si et seulement s’il existeP⁰ ∈ G_n,2(R) telle que det(P^0>AP⁰) = 0.

II.C.6) Montrer que siN⁰= (N₁⁰ N₂⁰)alors

det(N^0>AN⁰) = (N₁^0>A_sN₁⁰)(N₂^0>A_sN₂⁰)−(N₁^0>A_sN₂⁰)²+ (N₁^0>A_aN₂⁰)²

II.C.7) En déduire que si As∈ S_n⁺⁺(R), alorsdet(N^>A⁻¹N)>0.

II.C.8) En conclure que siAs∈ S_n⁺⁺(R), alorsAestF−régulière pour tout sous-espace vectorielF de dimensionn−2 deEn.

II.D - Exemple

On reprend l’exemple de la sous-partie II.B avecµ= 1.

II.D.1) Comment choisirN⁰= (N₁⁰ N₂⁰)de façon quedet(N^0>AN⁰) = 0?

II.D.2) Déterminer un sous-espace vectoriel F deE₃ tel quedimF = 1et tel queA(1)soitF−singulière.

II.E - Cas général

SoitF un sous-espace vectoriel de En de dimensionn−p, où1≤p≤n−1.

II.E.1) Montrer queA estF−singulière sidet(N^0>AN⁰) = 0pour une matriceN⁰ ∈ G_n,p(R)que l’on définira.

On suppose désormais queAs∈ S_n⁺⁺(R).

II.E.2) Montrer que siX ∈ Mp,1(R)est non nul alorsX^>N^0>AN⁰X >0.

II.E.3) En déduire que les valeurs propres réelles deN^0>AN⁰ sont strictement positives.

II.E.4) En déduire que det(N^0>AN⁰)>0.

II.E.5) En déduire que AestF−régulière pour tout sous-espace vectorielF 6={0}deEn.

III Matrices positivement stables

On dit qu’une matrice A de Mn(R) est positivement stable si toutes ses valeurs propres complexes ont une partie réelle strictement positive.

III.A - Exemples

III.A.1) SoitA∈ M2(R). Montrer queAest positivement stable si et seulement si tr (A)>0et det(A)>0.

III.A.2)

a) La somme de deux matrices positivement stables deM2(R)est-elle nécessairement positivement stable ? b) SoitA, BdansMn(R)deux matrices positivement stables qui commutent. Montrer queA+Best positivement

stable.

III.A.3) SoitA∈ M_n(R)telle queA_s soit définie positive.

a) SoitX=Y+iZ une matrice colonne deMn,1(C), oùY etZ appartiennent àMn,1(R). On poseX =Y−iZ et on identifie la matriceX^>AX∈ M1(C)au nombre complexe égal à son unique coefficient.

Montrer que, siX 6= 0, alors<

X^>AX

>0, où<(z)désigne la partie réelle dez∈C. b) Montrer queAest positivement stable.

III.A.4) Donner un exemple de matrice Apositivement stable telle queAs n’est pas définie positive.

III.B -

Dans cette sous-partie III.B, on établit un résultat sur l’exponentielle de matrice qui sera utile par la suite.

On rappelle que, pour toute matriceM ∈ M_n(C), l’exponentielle de M est définie par exp(M) =

+∞

X

k=0

M^k k! .

La fonction t7→exp(tM)est définie et de classeC^∞surRet sa fonction dérivée est donnée par t7→Mexp(tM) = exp(tM)M

de plus,exp(−tM) exp(tM) =In pour tout réelt.

III.B.1) Soitλ∈Ctel que<(λ)>0. Soituune fonction à valeurs complexes de classe C¹ surR⁺. On suppose que la fonction v=u⁰+λu est bornée surR⁺. Montrer queuest bornée surR⁺.

On pourra considérer l’équation différentielle y⁰+λy=v.

III.B.2) Soit T ∈ M_n(C) une matrice triangulaire supérieure à coefficients complexes. On suppose que les coefficients diagonaux deT sont des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soitu1, . . . , undes fonctions à valeurs complexes, définies et de classeC¹ surR⁺ et soit, pour toutt∈R⁺,

U(t) =





 u1(t)

... u_n(t)







On suppose que, pour toutt∈R⁺,U⁰(t) +T U(t) = 0.

Montrer que les fonctions uj, où1≤j≤n, sont bornées surR⁺.

III.B.3) Soit A∈ Mn(R) une matrice positivement stable de valeurs propres complexesλ1, . . . , λn et soit αun réel tel que0< α < min

1≤j≤n<(λj).

Montrer que la fonction t7→e^αtexp(−tA)est bornée surR⁺.

On pourra appliquer la question III.B.2 à une matrice triangulaire T semblable à A−αIn.

III.C - Une caractérisation des matrices positivement stables

SoitA∈ Mn(R)une matrice positivement stable. On considère l’endomorphismeΦdeMn(R)tel que

∀M ∈ Mn(R), Φ(M) = A^>M+M A.

III.C.1) Montrer que Φ est positivement stable, c’est-à-dire que sa matrice dans une base quelconque de Mn(R) est positivement stable.

III.C.2)

a) Montrer qu’il existe une unique matriceB∈ Mn(R)telle queA^>B+BA=I_n. b) Montrer queB est symétrique et quedet(B)>0.

III.C.3) Pour tout réelt, on poseV(t) = exp(−tA^>) exp(−tA)etW(t) =

t

Z

0

V(s)ds.

a) Montrer que, pour tout réelt,V(t)∈ S_n⁺⁺(R)et que, si t >0, W(t)∈ S_n⁺⁺(R).

b) Montrer que, pour tout réelt,A^>W(t) +W(t)A=I_n−V(t).

c) Qu’obtient-on en faisant tendre t vers +∞ dans l’égalité précédente ? En déduire que la matrice B de la question III.C.2 est définie positive.

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir sur table n°8 — éléments de correction

Problème classique 1 — d’après CCINP 2017 PSI maths 2 (problème 1)

Partie I - Un exemple en dimension 2

Q1. On a χA(X) =X²+t². Les valeurs propres étant les racines deχA: Sp(A) = (it,−it).

Q2. On obtient sans détour :

(I₂−A)⁻¹ = 1 1 +t²

1 t

−t 1

.

On en déduit que :

R = 1 1 +t²

1−t² 2t

−2t 1−t²

.

Les colonnes de R sont clairement orthogonales. Leur norme vaut1(car(1−t²)²+ 4t² = (1 +t²)²) et donc R est orthogonale. Son déterminant étant égal à 1

(1 +t²)²

(1−t²)²+ 4t⁴

= 1, on en déduit que :

R ∈ SO2(R),

oùSO_n(R)est le groupe spécial orthogonal d’ordre n.

Q3. Après calcul :

(I2+Rθ)⁻¹ = 1 2(1 + cos(θ))

1 + cos(θ) sin(θ)

−sin(θ) 1 + cos(θ)

.

Enfin :

M = (I2+R(θ))⁻¹(I2−R(θ)) = 1 1 + cos(θ)

0 sin(θ)

−sin(θ) 0

.

Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales

Q4. On suppose BC=CB. En multipliant à gauche et droite parC⁻¹ : C⁻¹B = BC⁻¹ . Q5. Méthode analogue à celle du théorème spectral ! Il vient :

t(AX)X = ^t(λX)X = λ

n

X

i=1

|xi|².

Par ailleurs, en utilisant le fait queA est réelle :

t(AX)X = ^tX^tAX = −^tXAX = −^tX(AX) = −λ^tXX = −λ

n

X

i=1

|xi|².

Or

n

X

i=1

|xi|²6= 0(carX est non nul) on aλ=−λce qui prouve queλest imaginaire pur. Ainsi : Sp(A) ⊂ iR.

Q6. En particulier,−1n’est pas valeur propre deAet In+Aest inversible . OrIn−AetIn+Acommutent, donc d’après la Q4.:

(In−A)(In+A)⁻¹ = (In+A)⁻¹(In−A). En outre les égalités ^t(M N) =^tN^tN et^t(M⁻¹) = (^tM)⁻¹ fournissent :

R^tR = (In+A)⁻¹(In−A)(In+A)(In−A)⁻¹.

Mais puisque(I_n−A)et(I_n+A)commutent, on en déduitR^tR=I_n c’est-à-dire R∈O_n(R). Q7. Le déterminant étant un morphisme multiplicatif :

det(R) = det(In−A)

det(I_n+A) = χA(1) (−1)ⁿχ_A(−1).

Notonskla multiplicité de0 comme valeur propre deA(éventuellement nulle). Il existe un polynômeQtel que χA=X^kQetQest sans racine réelle. Par conséquentQ(1)etQ(−1)sont de même signe (théorème des valeurs intermédiaires pour la fonction Qpolynomiale donc continue) etdet(R)est du signe de(−1)^n−k.

Remarquons que n−k est le degré de Q et est donc pair (car Q est un polynôme réel sans racine réelle). Il s’ensuit quedet(R)est positif. En outreRest une matrice orthogonale, d’où det(R) = 1.

Q8. Il vient :

tA = ^t(In−R)^t(In+R)⁻¹ = (In−^tR)(In+^tR)⁻¹ = (In−R⁻¹)(In+R⁻¹)⁻¹. Un calcul sans détour montre que :

(I_n+R)(I_n−R⁻¹) = I_n+R−R⁻¹−I_n = (R−I_n)(I_n+R⁻¹).

Enfin en multipliant par l’inverse deI_n+R⁻¹à droite et l’inverse deI_n+R à gauche :

tA = (In+R)⁻¹(R−In) = −A .

Q9. Dans une base orthonormée directe de premier vecteur orientant et dirigeant l’axe, on connaît la matrice de la rotation r. En notant P la matrice de passage de la base canonique à cette base adaptée, on aP ∈ O3(R) (matrice de changement de BON) et :

P⁻¹RP =

1 0 0 Rθ

. (2)

Posons t = tan(θ/2) (licite car θ 6= 0 moduloπ) et B =

0 0 0 C

où C =

0 t

−t 0

. Un calcul par blocs prouve queI3−B est inversible avec :

(I3+B)⁻¹ =

1 0 0 (I2+C)⁻¹

,

puis que :

(I₃+B)⁻¹(I₃−B) =

1 0

0 (I2+C)⁻¹(I2−C)

.

Avec la première partie, on obtient (il faut changerBen−Bet doncten−tet(I3+B)⁻¹et(I3−B)commutent) : (I₃+B)⁻¹(I₃−B) =







1 0 0

0 ^1−t_1+t²2 −_1+t^2t2

0 _1+t^2t2

1−t² 1+t²





. (3)

Or 1−t²

1 +t² = cos(θ)et 2t

1 +t² = sin(θ), d’où en combinant (2) et (3) : (I3+B)⁻¹(I3−B) = P⁻¹RP.

On en déduit que

R = P(I₃+B)⁻¹(I₃−B)P⁻¹ = (I₃+A)⁻¹(I₃−A) avecA = P BP⁻¹ . Enfin, puisqueB est antisymétrique etP est orthogonale, on en déduit que Aest antisymétrique .

Problème classique 2 — d’après CCINP 2017 MP maths 2

Questions préliminaires

Q1.

Q1.a) Théorème spectral :siE est un espace euclidien de dimension non nulle etuun endomorphisme symé- trique de E, alorsu est diagonalisable et E admet une base orthonormale constituée de vecteurs propres deu.

Théorème :siAest une matrice carrée réelle symétrique de taillen, alorsAest diagonalisable et il existe une matrice orthogonaleΩtelle que la matrice^tΩAΩest diagonale.

Q1.b) La matriceS=

i 1 1 −i

est bien symétrique .

Par contre S² = 0, donc 0 est la seule valeur propre de S. Or rg (S) = 1 puisque S non nulle et non inversible, donc le sous-espace propre associé à0est une droite vectorielle alors que la multiplicité est2. Il s’ensuit que S n’est pas diagonalisable .

Q2.

Q2.a) Écrivons x =

n

X

k=1

xkεk, de sorte que s(x) =

n

X

`=1

λ`x`ε`. Compte tenu de l’expression du produit scalaire dans une base orthonormée :

Rs(x) =

n

X

k=1

λkx²_k .

Q2.b) Soitx∈E de coordonnées(x1, . . . , xn)dansβ. Pour toutk∈[[1, n]]: λ1 ≤ λk ≤ λn,

donc

λ1 n

X

k=1

x²_k ≤

n

X

k=1

λkx²_k ≤ λn n

X

k=1

x²_k.

En particulier six∈S(0,1)alors

n

X

k=1

x²_k= 1d’où :

λ₁ ≤ R_s(x) ≤ λ_n .

Q3.

Q3.a) Soitλ∈Sp(s), alors il existe un vecteur non nulxtel que s(x) =λx. Ainsi : hs(x), xi = hλx, xi = λkxk².

Si on suppose que sest positif alorshs(x), xi ≥0, d’où λ≥0 puisque kxk>0.

De même si on supposesdéfini positif, alors hs(x), xi>0et commex6= 0on a λ >0 . Q3.b) Par définition de la matriceS, on a pour tout(i, j)∈[[1, n]]:

s(e_j) =

n

X

k=1

s_k,je_k.

Par suite, pour touti∈[[1, n]]:

hs(ej), eii = si,j .

En particulier : s_i,i=hs(e_i), e_ii=R_s(e_i). D’aprèsQ2.b): λ₁≤s_i,i≤λ_n .

Un maximum sur O

( R )

Q4. Afin de démontrer la continuité deM 7→^tM M−In, décomposons cette application en composition d’applications élémentaires :

tM M−In= (τ◦h◦g)(M) avec g(X) = (X,^tX), h(X, Y) = XY, τ(X) = X−In.

L’application g est linéaire de sourceMn(R) de dimension finie, donc continue. L’application hest bilinéaire de source (Mn(R)² de dimension finie, donc continue. Enfin τ est une translation donc elle est continue. Par composition : M 7→^tM M−In est continue .

Q5. La matrice A est orthogonale donc ses colonnes forment une base orthonormale de Mn,1(R). Il s’ensuit que

|ai,j| ≤ kCjk= 1.

Q6. L’espace Mn(R)est de dimension finie, donc être fermé ou borné ne dépend pas de la norme.

D’aprèsQ5., l’ensembleO_n(R)est une partie bornée deM_n(R)muni de la norme définie parkAk= sup

1≤i,j≤n

|a_i,j|.

De plus On(R) est un fermé car c’est l’image réciproque du singleton {0} par l’application continue M 7→

tMM−In (d’après Q4.).

Ainsi O_n(R)est fermé et borné dans l’espace vectorielM_n(R). Q7.

Q7.a) D’après le théorème 2 énoncé enQ1.a), il existe Ω∈ On(R)telle queS= Ω∆^tΩ. On en déduit tr (AS) = tr (AΩ∆^tΩ) = tr (^tΩAΩ∆)

d’où tr (AS) = tr (B∆)oùB=^tΩAΩ∈ On(R) puisqueOn(R)est un groupe multiplicatif et(A,Ω,^tΩ)∈ On(R)³.

Q7.b) L’applicationT est linéaire, carA7→AS et la transposition sont linéaires.

De plus T est de source de dimension finie. Par caractérisation des applications linéaires continues : T est continue .

Or sa source estOn(R)qui est fermé et borné (Q6.).

D’après le théorème admis mentionné après laQ6 : T est bornée et atteint ses bornes surOn(R).

En particulier T admet un maximumtsurO_n(R).

Q7.c) Notonsbi,jles coefficients de la matriceB. Les termes diagonaux deB∆sontb⁰_i,i=

n

X

k=1

bi,kdk,i=bi,iλi, de sorte que

T(A) = tr (B∆) =

n

X

i=1

λ_ib_i,i.

Par conséquent

T(A) ≤ |T(A)| ≤

n

X

i=1

λi|bi,i| ≤

n

X

i=1

λi = tr (S).

On a pris en compte que les λi sont positifs et que|bi,i| ≤1d’aprèsQ5..

Ceci prouve que tr (S)est un majorant deT. Or ce majorant est atteint pourA=I_n, d’où finalement : t = tr (S).

Inégalité d’Hadamard

Q8. Puisque S est diagonalisable de valeurs propres λk, k∈[[1, n]], on sait quedet(S) =

n

Y

k=1

λk et tr (S) =

n

X

k=1

λk. Or les λ_k sont positifs, donc l’inégalité demandée n’est autre que l’inégalité arithmético-géométrique admise au début du problème :

det(S) ≤ 1

ntr (S) ⁿ

.

Q9. D’une part

tSα = ^t(^tD·S·D) = ^tD·^tS·^t(^tD) = ^tD·S·D = Sα

doncSα est symétrique. D’autre part, pour toutX∈ Mn,1(R):

hSαX, Xi = ^tX·SαX = ^tX·^tD·S·D·X = hS(DX), DXi

et cette dernière quantité est positive car par hypothèseS est positive.

Par conséquent S_α∈ S_n⁺(R).

Les termes diagonaux deS_α sont less⁰_i,i=α²_is_i,i, d’où

tr (Sα) =

n

X

i=1

α²_isi,i.

Q10. CommeSα∈ S_n⁺(R)d’après la question précédente, on a d’après l’inégalité (1) : det(S_α) ≤

1 ntr (S_α)

ⁿ .

Or pour tout i∈[[1, n]], on a d’une partsi,i>0et d’autre part αi= 1

√si,i

, de sorte que :

det(S_α) = (det(D))²detS =

n

Y

i=1

α_i²

!

detS = detS Qn

i=1si,i

et

tr (Sα) = tr (S) =

n

X

i=1

1

s_i,isi,i = .n Ceci donne l’inégalité :

detS ≤

n

Y

i=1

s_i,i .

Q11. La matrice

Sε=S+εIn

est symétrique comme somme de deux matrices symétriques. Elle est de plus positive puisque S l’est, car pour tout X ∈ M_n,1(R):

hSεX, Xi = hSX, Xi+εhX, Xi ≥ 0.

Ses termes diagonaux s⁰_i,i =si,i+ε sont strictement positifs car si,i ≥λ1 ≥ 0 d’après la question III.3.b et ε >0.

On peut donc appliquer la question précédente : detSε ≤

n

Y

i=1

s⁰_i,i =

n

Y

i=1

(si,i+ε).

Par continuité de detet de l’application ε 7→

n

Y

i=1

(s_i,i+ε), on obtient par passage à la limite quand ε → 0 et compte tenu du fait que detS=

n

Y

k=1

λi :

n

Y

i=1

λ_i ≤

n

Y

i=1

s_i,i .

Application de l’inégalité d’Hadamard

Q12. SoitA∈ U et B=^tΩAΩ. D’une part B est symétrique puisqueAl’est, d’autre part

∀X ∈ Mn,1(R), hBX, Xi = ^tXBX = ^tX^tΩAΩX = hA(ΩX),ΩXi ≥ 0

puisque A∈ S_n⁺(R). AinsiB∈ S_n⁺(R).

De plus, le déterminant étant un invariant de similitude :det(B) = det(A) = 1 carA∈ U. Finalement B∈ U .

En outre tr (B∆) = tr (^tΩAΩ∆) = tr (AΩ∆^tΩ), donc par définition deS :

tr (B∆) = tr (AS). (4)

Q13. L’applicationA7→^tΩAΩdeU vers lui même est bijective (de bijection réciproqueB7→ΩB^tΩ).

Ainsi les ensembles{tr (AS)/ A∈ U }et {tr (B∆)/B∈ U }sont égaux.

Prouvons que ce sont des parties de R⁺. Notons B = (bi,j)_1≤i,j≤n. Les termes diagonaux de B∆ sont les b⁰_i=bi,iλi, avecbi,i≥0carB∈ S_n⁺(R)(question3.b)) etλi≥0(question3.b)aussi), donc tr (B∆)≥0.

Ainsi{tr (B∆)/B∈ U } est une partie non vide deR+. Elle admet donc une borne inférieure : m= inf{tr (B∆)/B∈ U }.

Q14. D’après les calculs de la question précédente : tr (B∆) =

n

X

i=1

b_i,iλ_i. Or lesb_i,i et λ_i sont positifs, donc d’après l’inégalité arithmetico-géométrique rappelée au début de l’énoncé :

tr (B∆) ≥ n

n

Y

i=1

bi,i

!_n¹ _n Y

i=1

λi

!_n¹ .

Q15. Nous avons B ∈ U donc det(B) = 1, puis l’inégalité de Hadamard implique :

n

Y

i=1

bi,i ≥det(B) = 1. D’après l’inégalité de la question précédente :

tr (B∆) ≥ n(detS)ⁿ¹ .

Q16. La matriceD= diag (µ₁, . . . , µ_n)est un élément deU car elle est symétrique positive de déterminant detD =

n

Y

i=1

µi = (detS)ⁿ¹)ⁿ

n

Y

i=1

λi

= 1.

Il en résulte que tr (D∆)≥m. Or

tr (D∆) =

n

X

i=1

µiλi = n(detS)ⁿ¹.

Ainsi :

n(detS)ⁿ¹ ≥ m.

Or d’après laQ15.la quantitén(detS)ⁿ¹ est un minorant de{tr (B∆)/ B∈ U }.

Il s’ensuit que m=n(detS)¹ⁿ .

Problème corsé — d’après CCS 2017 MP maths 1 I Résultats préliminaires

I.A - Distance de A à A

I.A.1) L’application ψ : M 7→ M^> est un endomorphisme de Mn(R) vérifiant ψ² = Id_Mn(R). Il s’agit donc d’une symétrie. OrS_n(R) =E₁(ψ)et A_n(R) =E₋₁(ψ), doncS_n(R)⊕ A_n(R) =M_n(R).

De plus, soit S∈ Sn(R)et A∈ An(R). Avec les propriétés de la trace et par symétrie du produit scalaire : tr (S^>A) = tr (SA) = tr (AS) = tr (−A^>S) = −tr (A^>S) = −tr (S^>A),

donc tr (S^>A) = 0 et ainsiS⊥A. Il s’ensuit que

Sn(R)etAn(R)sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux deMn(R).

Pour 1 ≤i, j ≤n, notons Ei,j = (δα,iδj,β)α,β la matrice dont tous les coefficients valent 0 sauf celui situé à la ligneiet colonne j qui vaut1. La famille (Ei,j)i,j est la base canonique de Mn(R).

La famille(E_i,j+E_j,i)_{1≤i≤j≤n} est une base (libre et génératrice) de S_n(R) constituée de n(n+ 1)

2 vecteurs de Mn(R)qui est de dimensionn². Par conséquent dimSn(R) =n(n+ 1)

2 et dimAn(R) =n(n−1)

2 .

I.A.2) SoitA∈ M_n(R). On aA=A_s+A_a où(A_s, A_a)∈ S_n(R)× A_n(R)et S_n(R)⊕ A^⊥ _n(R) =M_n(R). AinsiA_s est le projeté orthogonal deAsur le sous-espaceSn(R)de dimension finie.

Par caractérisation de la projection par une propriété de minimisation d’une distance :

pour toute matriceS∈ Sn(R),kA−Ask2≤ kA−Sk2, avec égalité si et seulement siS=As .

I.B - Valeurs propres de A

I.B.1) ⇒(cas positif) On supposeAs∈ S_n⁺(R).

D’après le théorème spectral, la matriceA_sest diagonalisable dans une base orthonormée (BON) et ses sous espace propres sont deux à deux orthogonaux. Notonsλ₁, . . . ,λ_rles valeurs propres distinctes deA(éléments deR+) et

⊥

M

1≤i≤r

Eλ_i(As) =Mn,1(R).

SoitX∈ Mn,1(R). On peut écrire X=

r

X

i=1

X_i oùX_i∈E_λi(A_s). Par conséquent :

X^>A_sX = (X|A_sX) =





r

X

i=1

X_i|

r

X

j=1

A_sX_j



 =





r

X

i=1

X_i |

r

X

j=1

λ_jX_j





=

r

X

i=1 r

X

j=1

λ_j(X_i|X_j) =

r

X

i=1

λ_ikX_ik²≥0.

⇒(cas strictement positif) On supposeAs∈ S_n⁺⁺(R).

On utilise les notations précédentes pourX ∈ Mn,1(R)\ {0}. Il existe doncj∈[[1, r]]tel queXj 6= 0. Alors λ_jkX_jk²>0 carλ_j >0. Par conséquentX^>A_sX =

r

X

i=1

λ_ikX_ik²>0.

⇐(cas positif) On suppose que :∀X∈ Mn,1(R), X^>AsX ≥0.

Soit λune valeur propre de As. On considère X un vecteur propre de As associé à λ. Il vient X^>AsX = X^>(λX) =λX^>X=λkXk². Il s’ensuit queλkXk²≥0. OrkXk²>0carX 6= 0. Finalementλ≥0.

⇐(cas strictement positif) On suppose que :∀X ∈ M_n,1(R)\ {0}, X^>A_sX >0.

En reprenant ce qui précède, on obtientλkXk²>0 oùX6= 0. Il vient alorsλ >0.

On a bien montré que :

As∈ S_n⁺(R)si et seulement si∀X ∈ Mn,1(R), X^>AsX≥0 , et A_s∈ S_n⁺⁺(R)si et seulement si∀X ∈ M_n,1(R)\ {0}, X^>A_sX >0.

I.B.2) Notons min sp_R(As) =µ1<· · ·< µr=max sp_R(As)les valeurs propres ordonnées deAs. Soitλ∈sp_R(A)et X un vecteur propre de Aassocié àλ.

On peut écrire X=

r

X

i=1

X_i oùX_i∈E_µi(A_s)d’après le théorème spectral.

D’une part X^>AX=λkXk². D’autre part X^>AX=X^>AsX+X^>AaX.

De plusX^>A_aX∈ M1(R), doncX^>A_aX =

X^>A_aX^>

=X^>A^>_a X^>>

=−X^>A_aX, d’oùX^>A_aX= 0.

Par conséquent : X^>AX=X^>AsX=

r

X

i=1

µikXik² comme à la question précédente.

On en déduit µ₁

r

X

i=1

kX_ik²≤X^>AX≤µ_r

r

X

i=1

kX_ik² carkX_ik²≥0pour touti.

D’après le théorème de Pythagore : kXk²=

r

X

i=1

kXik² car

⊥

M

1≤i≤r

Eλi(As) =Mn,1(R).

D’où µ1kXk²≤λkXk²≤µrkXk². OrkXk²>0, donc en simplifiant : min sp_R(As)≤λ≤max sp_R(As). On supposeAs∈ S_n⁺⁺(R), alors 0<min sp_R(As). On en déduit sp_R(A)⊂]0,+∞[, puisKerA=E0(A) ={0}, et enfin : siAs∈ S_n⁺⁺(R)alorsAest inversible .

I.B.3) On suppose queAs∈ S_n⁺⁺(R).

a) Existence Soitλ1, . . . , λn les valeur propres de Ascomptées avec multiplicité.

Le théorème spectral nous fournitΩ∈On(R)telle queAs= Ω^>diag (λ1, . . . , λn)Ω.

Pour B = Ω^>diag (√

λ₁, . . . ,√

λ_n)Ω, on a B^> = Ω^>diag (√

λ₁, . . . ,√

λ_n)^>(Ω^>)^> =B doncB est symé- trique.

De plus les valeurs propres deB sont par construction strictement positives, doncB∈ S_n⁺⁺(R).

Enfin B² = Ω^>diag (√

λ1, . . . ,√

λn)ΩΩ^>diag (√

λ1, . . . ,√

λn)Ω = Ω^>diag (√

λ1, . . . ,√

λn)²Ω = B car ΩΩ^>=In.

Unicité SoitB ∈ S_n⁺⁺(R)telle que B²=A_s.

Soitλ1, . . . ,λrles valeurs propres distinctes deAs, de sorte que

⊥

M

1≤i≤r

Eλ_i(As) =Mn,1(R).

Notons respectivementaetb les endomorphismes canoniquement associés aux matriceA_set B.

On ab²=adoncaetbcommutent, ainsi les sous-espaces propres deasont stables parb.

Pouri∈[[1, r]], on notebi l’endomorphisme induit parbsurEλ_i(As).

Cet endomorphismebi deEλ_i(As)est diagonalisable carbl’est surMn,1(R).

Soitµune valeur propre debi etX ∈Eλi(As)un vecteur propre debi associé àµ.

On aµ >0car sp(b_i)⊂sp(b).

De plusλ_iX =a(X) =b(b(X)) =b(µX) =µb(X) =µ²X, doncµ²=λ_i carX 6= 0. Ainsiµ=√ λ_i car µ≥0.

On en déduit quebi est diagonalisable surEλ_i(As)avec sp(bi)⊂ {√

λi}, de sorte que la restriction deb àEλ_i(As)est l’homothétie de rapport√

λi (pour touti∈[[1, r]]).

Or M

1≤i≤r

(As) =Mn,1(R), d’où l’unicité de l’endomorphismebvérifiant cette condition.

Finalement il existe une unique matriceB deS_n⁺⁺(R)telle queB²=As . b) On écrit alorsAs=B²oùB∈ S_n⁺⁺(R), ainsiA=B²+Aa.

D’après I.B.2, la matriceB est inversible etB⁻¹∈ S_n(R)car(B⁻¹)^>= (B^>)⁻¹=B⁻¹. AinsiA=B(I_n+B⁻¹A_aB⁻¹)B. ConsidéronsQ=B⁻¹A_aB⁻¹.

AlorsQ^>= (B⁻¹)^>A^>_a(B⁻¹)^>=B⁻¹(−Aa)B⁻¹=−Q, d’oùQ∈ An(R).

En outredet(A) = det(B) det In+B⁻¹AaB⁻¹

det(B) = det(B²) det(In+Q).