Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´ e

Laurent LAFFORGUE

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques 35, route de Chartres

91440 – Bures-sur-Yvette (France) Octobre 2007

IHES/M/07/31

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´ e

Laurent Lafforgue

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette

Introduction :

On s’int´eresse au transfert automorphe entre groupes lin´eaires sur les corps de fonctions.

Ce transfert r´esulte de la correspondance de Langlands sur ces corps, mais on voudrait bien pouvoir le d´emontrer directement par des calculs sur les groupes ad´eliques, comme dans la th´eorie de l’endoscopie.

On montre que l’existence du transfert automorphe entre deux groupes lin´eaires quelconques est ´equivalente

`

a l’´egalit´e de deux fonctionnelles.

Chacune de ces fonctionnelles est d´efinie comme r´esidu d’une certaine s´erie formelle qui v´erifie les deux propri´et´es suivantes :

– c’est une fraction rationnelle, comme cons´equence du th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Lan- glands,

– tous ses coefficients sont donn´es par des expressions explicites et “g´eom´etriques”, c’est-`a-dire obtenues en ´evaluant certaines fonctions ad´eliques en les points rationnels des groupes consid´er´es.

On voit donc que, mˆeme si cela se fait d’une mani`ere compliqu´ee, le principe de fonctorialit´e peut s’exprimer en termes uniquement g´eom´etriques, qui ne font plus r´ef´erence `a l’analyse spectrale.

Nous ´etudions particuli`erement le cas “non ab´elien” le plus simple qui est l’induction automorphe de GL(1)

`

a GL(2) via une extension quadratique.

Mˆeme dans ce cas, nous ne savons pas d´emontrer directement l’´enonc´e g´eom´etrique voulu.

Les cinq expos´es rassembl´es ici ont ´et´e donn´es `a l’IHES en mai et juin 2006 puis r´ep´et´es sous un autre angle dans le cadre de l’´ecole d’´et´e “Autour des motifs” organis´ee `a l’IHES dans la deuxi`eme quinzaine du mois de juillet 2006. Ils seront suivis d’autres publications qui permettront de g´en´eraliser et de pr´eciser les conjectures des expos´es IV et V.

Ce travail est inspir´e par les r´ecentes tentatives de Langlands pour aller “au-del`a de l’endoscopie” (voir dans la bibliographie ses deux articles de 2004 et 2007).

L’auteur adresse ses profonds remerciements `a C´ecile Cheikhchoukh qui a assur´e la frappe du manuscrit avec son efficacit´e habituelle.

Sommaire

Expos´e I : Principe de diagonalisation 1. Groupes lin´eaires ad´eliques

2. Le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands 3. L’expression spectrale des noyaux

4. Isomorphisme de Satake et groupe dual de Langlands 5. Le principe de fonctorialit´e de Langlands

6. Premi`ere id´ee de ce que l’on voudrait faire : comparer deux formules de traces “diagonales”

7. Diagonalisation d’un produit de formules de traces au moyen de s´eries formelles Expos´e II : Travail sur les noyaux

1. Expression locale concr`ete du transfert

2. Disparition des s´eries d’Eisenstein de type cuspidal 3. La formule d’inversion de Shalika

4. Comment retrouver les traces cuspidales Expos´e III : D´eveloppements asymptotiques

1. L’op´erateur de Shalika appliqu´e aux s´eries d’Eisenstein 2. Diagonalisation des noyaux d’Eisenstein transform´es 3. Le casG= GL₂: calcul de r´esidus

4. Le casG= GL₂: d´eplacement des contours d’int´egration 5. Le cas de l’induction automorphe de GL1`a GL2

6. D´eveloppements asymptotiques et formules de traces

7. D´eveloppements asymptotiques et partie spectrale du principe de fonctorialit´e Expos´e IV : Et du cˆot´e g´eom´etrique ?

1. Expression g´eom´etrique des moyennes des noyaux tronqu´es 2. Mod`eles de Whittaker et d´ecompositions spectrales locales

3. Convolution de deux noyaux de Whittaker locaux via un homomorphisme de transfert 4. Une conjecture vague d’interversion d’une limite et d’une somme

Expos´e V : Des calculs g´eom´etriques et une conjecture dans le cas de l’induction automorphe de GL₁`a GL₂ ou GL_r

1. Le cas de l’induction automorphe quadratique de GL1`a GL2

2. Pr´eparation au calcul des int´egrales locales 3. Le cas o`u xest scind´ee etk<sub>1</sub>+k<sub>2</sub>= 0 4. Le cas o`u xest scind´ee etk₁+k₂= 1

5. Le cas o`u xest inerte et non ramifi´ee, ethx=1x

6. Calcul des coefficients de Fourier locaux

7. Une conjecture pour le calcul de la moyenne sur les ´el´ements rationnels, dans le cas de l’induction automorphe de GL₁ `a GL_r

Expos´e I :

Principe de diagonalisation

1 Groupes lin´ eaires ad´ eliques

On se placera toujours sur le corps des fonctionsF d’une courbeX projective, lisse et g´eom´etriquement connexe sur un corps finiFq.

On note|X|l’ensemble des places deF identifi´ees aux points ferm´es deX. Pour toute placex∈ |X|, on note :

• F_xle compl´et´ex-adique deF,

• O_x l’anneau des entiers deF_x,

• deg(x) la dimension surFq du corps r´esiduelκ(x) deOx, avec donc|κ(x)|=q^deg(x)=qx,

• x:F_x^×→Zla valuation qui accorde la valeur 1 aux ´el´ements uniformisants deO_x, et| • |=qx^−vx(•) la norme associ´ee.

On noteraA=AF l’anneau des ad`eles de F et O_A=O_AF son sous-anneau des entiers.

On dispose de l’homomorphisme de degr´e

deg : A^× → Z

(a_x)_x∈|X| 7→ −X

x

deg(x)·x(a_x).

Son noyauA^×0 contientF^× d’apr`es la “formule du produit” et le quotient F^×\A^×0 est compact.

Pour nous, un “groupe lin´eaire surF” sera un groupe alg´ebrique r´eductif quasi-d´eploy´e surF de la forme G= Y

i∈IG

Res_Ei/FGL_ri

o`uI<sub>G</sub> est un ensemble fini d’indices et o`u, pour touti∈I_G, E_i d´esigne une extension finie s´epar´ee deF et Res_Ei/FGL_ri d´esigne le groupe alg´ebrique surF d´eduit de GL_ri par restriction des scalaires `a la Weil deE_i

` aF.

Il lui est associ´e un groupe lin´eaire ad´elique G(A) = Y

i∈IG

GLri(AEi) qui contient le sous-groupe ouvert compact maximal

K₀^G = Y

i∈IG

GL_ri(O_AEi)

= Y

x∈|X|

K_0,x^G .

On noteMGl’ensemble fini des sous-groupes de L´evi “standard” deG, c’est-`a-dire ceux dont la compo- sante dans chaque Res<sub>Ei/F</sub>GLr<sub>i</sub> est un produit de blocs associ´e `a une partition de l’entierri.

Le plus petit des sous-groupes de L´evi standard est le tore diagonal T_G= Y

i∈IG

Res_Ei/FG^rmⁱ.

Puis on notePG l’ensemble fini des sous-groupes paraboliquesP deGdont le sous-groupe de L´eviMP

est ´el´ement deMG. Pour chaqueP ∈ PG, on noteNP son radical unipotent.

On dispose du groupe de Weyl deG

W_G = Y

i∈IG

S_ri

et des sous-groupes de WeylWM ⊆WG des sous-groupes de L´eviM ∈ MG. Pour tousP, P⁰ ∈ PG, on note Isom(P, P⁰) l’ensemble des doubles classes

w∈W_MP0\W_G/W_MP telles que

w⁻¹·MP⁰·w=MP, ce qui implique

w⁻¹·WM_P0·w=WM_P.

Si P, P⁰, P⁰⁰ ∈ PG et w ∈ Isom(P, P⁰), w⁰ ∈ Isom(P⁰, P⁰⁰), w⁰w est bien d´efini en tant qu’´el´ement de Isom(P, P⁰⁰), si bien quePG devient un groupo¨ıde.

2 Le th´ eor` eme de d´ ecomposition spectrale de Langlands

Le centre deGest

ZG= Y

i∈IG

Res_Ei/FGm, et le centre deG(A) est

Z_G(A) = Y

i∈IG

A^×Ei. Il contient comme sous-groupe ferm´e

Y

i∈I_G

A^×_F. On choisit dans celui-ci un sous-groupe discretAG tel que

AG,→ Y

i∈I_G

A^×F

−→deg Z^IG

soit injectif et de conoyau fini, et donc queA_G soit un sous-groupe discret et cocompact deZ_G(F)\ZG(A).

Pour cela, on peut choisir par exemple une placex0∈ |X|, un ´el´ement a0 ∈F_x^×₀ de valuation non nulle, et poserAG= (a^Z₀)^IG.

Le quotient

G(F)\G(A)/A_G

est localement compact et de volume fini pour la mesure de Haardgsur G(A) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximalK₀^G.

On s’int´eresse `a l’espace de Hilbert

L²(G(F)\G(A)/AG) muni de l’action par convolution `a droite de l’alg`ebre de Hecke

H^G =C_c^∞(G(A)). Plus g´en´eralement, siM ∈ M_G et

χ:Z_M(F)\ZM(A)/A_G→C^×

est un caract`ere unitaire du centreZM(A) deM(A), on peut consid´erer l’espace de Hilbert L²(M(F)\M(A)/AG, χ)

des fonctions

ϕ:M(F)\M(A)/AG→C telles que

• ϕ(z·m) =χ(z)·ϕ(m),∀z∈ZM(A),∀m∈M(A),

• |ϕ|est de carr´e int´egrable surM(F)\M(A)/ZM(A).

Cet espace de HilbertL²(M(F)\M(A)/A_G, χ) est muni d’une action par convolution `a droite de l’alg`ebre de HeckeH^M =C_c^∞(M(A)). Il contient comme sous-espace ferm´e invariant l’espace

L²_cusp(M(F)\M(A)/A_G, χ) des fonctionsϕdites cuspidales au sens que

Z

N_P(F)\NP(A)

dnP ·ϕ(nP·m) = 0, ∀m∈M(A),

pour tout sous-groupe paraboliqueP M muni de la mesure de HaardnP deNP(A) qui attribue le volume 1 au quotient compactNP(F)\NP(A).

Une repr´esentation irr´eductible deH^M de caract`ere centralχest dite “automorphe cuspidale” quand elle apparaˆıt comme facteur direct deL²_cusp(M(F)\M(A)/A_G, χ). On sait que cet espace est la somme directe hilbertienne de ces repr´esentations, chacune apparaissant avec la multiplicit´e 1.

Plus g´en´eralement, une repr´esentation irr´eductible de H^M de caract`ere centralχ est dite “automorphe discr`ete” quand elle apparaˆıt comme facteur direct de L²(M(F)\M(A)/AG, χ) lequel, comme nous allons rappeler dans le casM =G, n’est pas somme directe hilbertienne de ces repr´esentations : il contient aussi un spectre continu.

Dans le but de donner la d´ecomposition spectrale de L²(G(F)\G(A)/AG), appelons “paire discr`ete” la donn´ee d’un sous-groupe parabolique standard P ∈ PG et d’une repr´esentation irr´eductible automorphe discr`ete πdeMP(A) dont le caract`ere centralχπ est trivial surAG.

PourP ∈ P_G, on d´esignera par

ρ_P :M_P(A)→R^×+

la racine carr´e du caract`ere modulaire deM_P(A), d´efinie par

m_P·dn_P·m⁻¹_P =ρ_P(m_P)²·dn_P, ∀m_P ∈M_P(A). Pour toute paire discr`ete (P, π), on note

L²_∞(MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π) l’espace des fonctions

ϕ:MP(F)NP(A)\G(A)/AG→C telles que

• ϕest invariante `a droite par un sous-groupe ouvert K deK₀^G,

• pour tout ´el´ement k∈K₀^G, la fonction

ϕk : MP(F)\MP(A)/AG → C

m 7→ ρ_P(m)⁻¹·ϕ(m·k) est dans le sous-espaceπdeL²(M_P(F)\MP(A)/A_G, χ_π). On note

kϕk²= Z

K₀^G

dk· kϕkk²,

sidkest la mesure de Haar de volume 1 surK₀^G, c’est-`a-dire la restriction dedg.

Pour tout P ∈ PG, on note |P| le nombre total de blocs matriciels qui sont les facteurs du groupe alg´ebrique lin´eaireMP; et on note ΛP le tore complexe des caract`eres

MP(A)/AG→C^× qui se factorisent `a travers

MP(A) −−−−−−−−−→^{deg◦Nm◦det} Z^|P|. La dimension de ce tore est|P| − |IG|.

On note Im ΛP le sous-groupe r´eel compact de ΛP constitu´e des caract`eres unitaires, et Re ΛP le sous- groupe r´eel des caract`eres `a valeurs dansR^×+, avec la d´ecomposition

ΛP = Im ΛP ×Re ΛP. On met sur Im Λ_P la mesure de Haardλ_P de volume 1.

On remarque queρP ∈Re ΛP.

Tout caract`ereλ<sub>P</sub> ∈Λ<sub>P</sub> s’´etend en un caract`ere deP(A) via l’homomorphismeP(A)→M_P(A), puis en une fonction surG(A) invariante `a droite parK<sub>0</sub><sup>G</sup> si on utilise la d´ecomposition d’IwasawaG(A) =P(A)·K<sub>0</sub><sup>G</sup> et l’invariance du caract`ere λ_P deP(A) par le sous-groupe P(A)∩K₀^G.

Pour toute paire discr`ete (P, π), notons alors

L²_∞(Im Λ_P×M_P(F)N_P(A)\G(A)/A_G, π) l’espace (dit “de Paley-Wiener”) des fonctions

Φ : Im Λ_P×M_P(F)N_P(A)\G(A)/A_G→C telles que l’application induite

λP 7→Φ(λP,•) soit une combinaison lin´eaire finie `a coefficients dans

L²_∞(MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π) de caract`eres du tore Im ΛP.

On munit cet espace de la norme hilbertienne kΦk²=

Z

Im ΛP

dλP· kΦ(λP,•)k².

Rappelons la d´efinition des s´eries d’Eisenstein : Si (P, π) est une paire discr`ete,ϕ∈L²_∞(MP(F)NP(A)\G(A)/

AG, π) etλP ∈ΛP est vu comme une fonction surG(A) invariante `a droite parK₀^G, la s´erie d’Eisenstein E_P^G(ϕ, λP)

est d´efinie sur un ouvert de Λ_P (constitu´e des λ_P tels que |λP| ρ_P au sens du paragraphe VI.1.b, page 281, du livre [Lafforgue, 1997]) par la s´erie

G(F)\G(A)3g7→ X

δ∈P(F)\G(F)

(ϕ·λ_P)(δg)

qui converge absolument dans cet ouvert, et ailleurs par prolongement analytique ; elle n’a pas de pˆole qui rencontre Im ΛP.

Puis rappelons la d´efinition des op´erateurs d’entrelacement : Soit d’abord une paire discr`ete (P, π) et P⁰ ∈ PG un sous-groupe parabolique tel queMP⁰ =MP. Cette ´egalit´eMP⁰ =MP induit une identification ΛP⁰ = ΛP et on peut noterλP⁰ ∈ΛP⁰ l’image de toutλP ∈ΛP.

L’int´egrale

M_P^P0(ϕ, λ_P) :g7→

Z

(N_P∩N_P0)(A)\N_P0(A)

dnP⁰

dn_P,P⁰ ·(ϕ·λ_P)(n_P⁰·g)·λ⁻¹_P0(g)

(o`udn<sub>P</sub><sup>0</sup> et dn<sub>P,P</sub><sup>0</sup> d´esignent les mesures de Haar de covolume 1 relativement aux r´eseauxN<sub>P</sub><sup>0</sup>(F) et (N<sub>P</sub>∩ NP<sup>0</sup>)(F)) est absolument convergente sur un ouvert de ΛP. Elle se prolonge analytiquement `a ΛP tout entier et aucun de ses pˆoles ne rencontre Im ΛP. Si (P⁰, π⁰) est la paire discr`ete qui correspond `a (P, π) via l’identit´e MP⁰(A) =MP(A), elle prend ses valeurs dansL²_∞(MP⁰(F)NP⁰(A)\G(A)/AG, π⁰).

Si maintenantP⁰∈ PG est un sous-groupe parabolique standard reli´e `aP par un ´el´ement w∈Isom(P, P⁰)⊆W_MP0\W_G/W_MP,

avec doncw⁻¹·M_P⁰·w=M_P, on d´efinit une fonction m´eromorphe sur Λ_P `a valeurs dans L²_∞(MP⁰(F)NP⁰(A)\G(A)/AG, w(π))

par la formule

M_P,w^P0 (ϕ, λP)(g) =M_P^w−1·P0·w(ϕ, λP)(w⁻¹·g), ∀g∈G(A). Pour toute paire discr`ete (P, π), notons Fixe(π) le groupe fini des couples

(w, µP)∈Aut(P)×ΛP

tels quew(π⊗µP)∼=π.

Puis introduisons le sous-espace

L²_∞,fixe(Im ΛP×MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π) de

L²_∞(Im ΛP×MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π) constitu´e des fonctions

Φ : Im ΛP×MP(F)NP(A)\G(A)/AG→C telles que, pour tout fixateur

(w, µ_P)∈Fixe(π),

on ait

M_P,w^P (Φ(λPµP,•), λPµP) = Φ(w(λP),•), ∀λP ∈Im ΛP.

En particulier, pour toutµP ∈Im ΛPtel queπ⊗µP ∼=π, on doit avoir Φ(λPµP,•) = Φ(λP,•),∀λP ∈Im ΛP. Disant que deux paires discr`etes (P, π) et (P<sup>0</sup>, π<sup>0</sup>) sont ´equivalentes s’il existe un w ∈ Isom(P, P<sup>0</sup>) et unλP ∈Im ΛP tels que w(π⊗λP)∼=π<sup>0</sup>, nous pouvons maintenant ´enoncer le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands :

Th´eor`eme I.1.– Pour toute paire discr`ete(P, π), l’application lin´eaire d´efinie sur l’espace L²_∞(Im Λ_P×M_P(F)N_P(A)\G(A)/A_G, π)

par la formule

Φ7→ 1

|Fixe(π)|^1/2· Z

Im ΛP

dλP·E^G_P(Φ(λP,•), λP) induit une isom´etrie du sous-espace

L²_∞,fixe(Im Λ_P×M_P(F)N_P(A)\G(A)/A_G, π) sur un sous-espace de

L²(G(F)\G(A)/A_G)

qui ne d´epend que de la classe d’´equivalence de (P, π). Et elle est nulle sur le suppl´ementaire orthogonal de ce sous-espaceL²_∞,fixe dansL²_∞(Im ΛP×MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π).

Elle induit par suite une isom´etrie du sous-espace compl´et´e

L²_fixe(Im Λ_P ×M_P(F)N_P(A)\G(A)/A_G, π) sur un sous-espace ferm´e deL²(G(F)\G(A)/A_G).

Enfin, L²(G(F)\G(A)/AG) est la somme directe hilbertienne de ces sous-espaces ferm´es quand (P, π) d´ecrit un ensemble de repr´esentants des classes d’´equivalence de paires discr`etes.

3 L’expression spectrale des noyaux

L’alg`ebre de HeckeH<sup>G</sup>=C<sub>c</sub><sup>∞</sup>(G(A)) agit par convolution `a droite sur l’espace de HilbertL²(G(F)\G(A)/

A_G). Elle agit d’ailleurs via l’alg`ebre quotientH^G/A_G=C_c^∞(G(A)/A_G) et l’homomorphisme H^G −→ H^G/A_G

h 7−→ g7→ X

a∈AG

h(g·a)

! .

Consid´erons donc un ´el´ement h∈ H^G/AG. C’est une fonction h:G(A)/AG→C

qui est `a support compact et invariante `a droite et `a gauche par un sous-groupe ouvertK deK₀^G.

L’op´erateur de Hecke associ´e est l’op´erateur de convolution `a droite par h dans l’espace des fonctions localement int´egrables

ϕ:G(F)\G(A)/A_G →C. Il est d´efini par la formule

ϕ7→ϕ∗h

o`u

(ϕ∗h)(g⁰) = Z

G(A)/A_G

dg·ϕ(g⁰·g⁻¹)·h(g). Il admet un noyau qui s’´ecrit

Kh(g⁰, g) = X

γ∈G(F)

h(g⁻¹·γ·g⁰),

ce qui signifie que, pour toute fonction localement int´egrableϕcomme ci-dessus, on a (ϕ∗h)(g⁰) =

Z

G(F)\G(A)/AG

dg·Kh(g⁰, g)·ϕ(g).

Pour tout sous-groupe parabolique standardP ∈ PG, on dispose aussi de l’op´erateur de convolution `a droite

ϕ7→ϕ∗h dans l’espace des fonctions localement int´egrables

MP(F)NP(A)\G(A)/AG→C, et, pour toutλP ∈ΛP, on dispose de l’op´erateur compos´e

ϕ7→((ϕ·λ_P)∗h)·λ⁻¹_P =h(ϕ, λ_P).

Pour toute paire discr`ete (P, π), chacun de ces op´erateurs envoie l’espaceL<sup>2</sup><sub>∞</sub>(M<sub>P</sub>(F)N<sub>P</sub>(A)\G(A)/A<sub>G</sub>, π) dans le sous-espaceL<sup>2</sup><sub>K</sub>(M<sub>P</sub>(F)N<sub>P</sub>(A)\G(A)/A<sub>G</sub>, π) des fonctions invariantes `a droite parK. Ce sous-espace est toujours de dimension finie et il est nul en dehors d’un ensemble fini de classes d’´equivalence de paires discr`etes (P, π).

On a comme cons´equence imm´ediate du th´eor`eme de d´ecomposition spectrale : Corollaire I.2.– Pour toute fonction de Hecke

h:G(A)/A_G→C

`

a support compact et invariante `a droite et `a gauche par un sous-groupe ouvert K de K₀^G, le noyau de l’op´erateur de convolution `a droite par hdansL²(G(F)\G(A)/AG)s’´ecrit comme une somme

Kh(g1, g2) = X

(P,π)

K_h^(P,π)(g1, g2)

de termes de la forme

K_h^(P,π)(g1, g2) = 1

|Fixe(π)|· X

ϕ∈BK(P,π)

Z

Im ΛP

dλP ·E_P^G(h(ϕ, λP), λP)(g1)·E_P^G(ϕ, λP)(g2)

o`u

• (P, π) d´ecrit un ensemble de repr´esentants des classes d’´equivalence de paires discr`etes,

• BK(P, π)d´esigne une base orthonorm´ee finie de chaque espace L²_K(MP(F)NP(A)\G(A)/ AG, π).

4 Isomorphisme de Satake et groupe dual de Langlands

L’alg`ebre de HeckeH^G =C₀^∞(G(A)) de notre groupe lin´eaire G= Q

i∈I_G

ResE_i/FGLri s’´ecrit comme le produit tensoriel infini

H^G= O

x∈|X|

H_x^G

des alg`ebres de Hecke localesH^G_x =C₀^∞(G(F_x)) munies chacune de l’´el´ement idempotent distingu´e1_x qui est la fonction caract´eristique du sous-groupe ouvert compact maximalK_0,x^G = Q

i∈IG

GL_ri(O_Ei,x) deG(F_x).

On noteH^G_x,φ la sous-alg`ebre de Hecke “sph´erique” de H<sup>G</sup><sub>x</sub> constitu´ee des fonctions `a support compact surG(Fx) invariantes `a droite et `a gauche par K_0,x^G .

On dispose dansGdu tore maximal

TG= Y

i∈I_G

Res_Ei/FG^rmⁱ.

Si pour tout entier r, on note Br le sous-groupe de Borel de GLr constitu´e des matrices triangulaires sup´erieures et Nrson radical unipotent, on dispose encore dansGdu sous-groupe de Borel

BG= Y

i∈IG

ResE_i/FBri

et de son radical unipotent

N_B = Y

i∈IG

Res_Ei/FN_ri. Le toreTG est un sous-groupe de L´evi deBG.

En chaque place x, on peut mettre sur N_B(F_x) la mesure de Haar dn_B,x qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact

N_B(F_x)∩K_0,x^G = Y

i∈IG

N_ri(O_Ei,x) =N_B(O_x),

et on peut munirTG(Fx) de la racine carr´eeρB,xdu caract`ere modulaire deBG(Fx), d´efinie par t_x·dn_B,x·t⁻¹_x =ρ_B,x(t_x)²·dn_B,x.

L’isomorphisme de Satake s’´enonce :

Th´eor`eme I.3.– En toute placex, l’application lin´eaire H^G_x,φ3h_x7→

"

t_x7→ρ_B,x(t_x)· Z

N_B(F_x)

dn_B,x·h_x(t_x·n_B,x)

#

d´efinit un isomorphisme d’alg`ebres de H<sup>G</sup><sub>x,φ</sub> sur l’alg`ebre des fonctions `a support compact TG(Fx)→C

qui sont invariantes par le groupe de WeylWG et par le sous-groupe ouvert compact maximal TG(Ox) =TG(Fx)∩K_0,x^G = Y

i∈IG

G^rmⁱ(OE_i,x).

En particulier l’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH^G_x,φest commutative.

R´ef´erence pour la d´emonstration : Voir l’article d’origine [Satake].

Dans notre situation – les groupes lin´eaires sur les corps de fonctions –, on peut lire le paragraphe 4.1 de

[Laumon].

Pla¸cons-nous maintenant en une placex∈ |X|o`uGest non ramifi´e au sens que toutes les extensionsEi

deF, i∈IG, sont non ramifi´ees au-dessus deFx. Autrement dit, on a pour touti∈IG une d´ecomposition canonique

Ei,x=Y

j

Fx,i,j

o`u tous les facteursFx,i,j, qui sont en nombre fini, sont des extensions non ramifi´ees deFx. Le toreT(Fx) contient un plus grand sous-tore d´eploy´e qui est

Tx=Y

i,j

F_x^×ri,→Y

i,j

F_x,i,j^×ri =T(Fx). Et celui-ci contient comme sous-groupe ouvert compact maximal

Tx,0=Y

i,j

O^×r_F ⁱ

x =Tx∩K_0,x^G .

De plus, le quotient T(F_x)/T(O_x) s’identifie `a T<sub>x</sub>/T<sub>x,0</sub> puis, via les homomorphismes de valuation v<sub>x</sub>, `a Q

i,j

Z^ri.

On a prouv´e :

Corollaire I.4.– Soit xune place o`u G est non ramifi´e, c’est-`a-dire o`u tous les Ei sont non ramifi´es sur Fx.

Et pour tout i∈IG, soitIi,xl’ensemble fini des composantes de Ei,x=Ei⊗FFx surFx. Alors l’isomorphisme de Satake s’´ecrit canoniquement

S_x^G :H_x,φ^G −→^∼ O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1

i]^Sri.

Rappelons maintenant que le groupe dual de

G= Y

i∈I_G

Res_Ei/FGLr_i

est

Gˆ= Y

i∈IG

Y

ι:Ei,→F¯

GLr_i(C)

o`u, pour touti∈I<sub>G</sub>, on fait d´ecrire `a ι l’ensemble fini des plongements deE_i dans la clˆoture alg´ebrique ¯F deF.

Chacun de ces ensembles {ι : Ei ,→ F}¯ est muni d’une action naturelle du groupe de WeilWF de F, donc ˆGest lui-mˆeme muni d’une action deW_F et on peut poser

LG= ˆGoWF.

Consid´erons une placex∈ |X|. Le choix d’une clˆoture alg´ebrique ¯FxdeFxd´etermine un groupe de Weil localWF_x, et le choix d’un plongement ¯F ,→F¯x induit une immersionWF_x ,→WF. Celle-ci ne d´epend des choix qu’`a conjugaison pr`es par un ´el´ement deWF.

Le groupeWF_x est muni d’un homomorphisme surjectif canonique WF_x W_κ(x)= Frob^Z_x

vers le groupe de Weil du corps r´esiduelκ(x) en le point ferm´exde la courbe X.

Supposons que les extensionsE_i deF sont toutes non ramifi´ees en la placex. Alors l’action deW_Fx sur Gˆ se factorise `a traversW_κ(x)et on peut consid´erer le produit restreint

LGx= ˆGoW_κ(x).

On note encore ˆGxla fibre de^LGxau-dessus de l’´el´ement g´en´erateur Frobx deW_κ(x) (d´efini comme l’auto- morphisme d’´el´evation `a la puissance|κ(x)|=q^deg(x)=qxdans n’importe quelle clˆoture alg´ebrique du corps finiκ(x)). Comme le groupeW_κ(x) est commutatif, elle est invariante par conjugaison par les ´el´ements de

LGx et en particulier par ceux de ˆG.

On a encore :

Proposition I.5.– Soitxune place o`u tous les E_i sont non ramifi´es surF_x.

Alors l’isomorphisme de Satake induit un isomorphisme de l’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH<sup>G</sup><sub>x,φ</sub>sur l’alg`ebre des fonctions r´eguli`eres surGˆx qui sont invariantes par conjugaison par les ´el´ements de G.ˆ

D´emonstration.Il suffit de remarquer que pour touti∈I_G, l’ensembleI_i,xdes facteurs deE_i,x=E_i⊗FF_x s’identifie `a l’ensemble des orbites de Frob_xagissant sur l’ensemble des plongements{ι:E_i ,→F¯}.

5 Le principe de fonctorialit´ e de Langlands

Une repr´esentation deG(A) [resp.G(F_x) pour une placex∈ |X|] est dite “lisse admissible” si

• tout vecteur de cette repr´esentation est invariant par un sous-groupe ouvert deG(A) [resp.G(Fx)],

• pour tout tel sous-groupe ouvert, le sous-espace de la repr´esentation constitu´e des vecteurs invariants par ce sous-groupe est de dimension finie.

Une repr´esentation lisse admissible de G(A) [resp. G(Fx)] peut aussi bien ˆetre consid´er´ee comme une repr´esentation de l’alg`ebre de HeckeH^G=C_c^∞(G(A)) [resp.H^G_x =C_c^∞(G(Fx))].

Toute repr´esentation lisse admissible irr´eductible π de G(A) se d´ecompose canoniquement comme un produit tensoriel infini

π= O

x∈|X|

π_x, o`u

• chaque facteurπx,x∈ |X|, est une repr´esentation lisse admissible irr´eductible deG(Fx),

• pour presque toute place x (c’est-`a-dire pour toute place x sauf un nombre fini), la repr´esentation localeπxest “non ramifi´ee” au sens que son sous-espaceπx,φdes vecteurs invariants par le sous-groupe ouvert compact maximalK_0,x^G = Q

i∈IG

GLr_i(OE_i,x) est non nul.

R´eciproquement, si desπx sont des repr´esentations des groupes locauxG(Fx),x∈ |X|, qui v´erifient ces propri´et´es, leur produit tensoriel est une repr´esentation lisse admissible irr´eductible deG(A).

On a :

Lemme I.6. – Se donner une repr´esentation lisse, admissible, irr´eductible et non ramifi´ee πx de G(Fx)

´equivaut `a se donner son sous-espaceπx,φ comme espace de dimension1 muni de l’action par un caract`ere de l’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH^G_x,φ.

D’apr`es l’isomorphisme de Satake

S_x^G :H_x,φ^G −→^∼ O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1

i]^Sri, cela revient `a se donner une famille de nombres complexes

z(πx)∈ Y

i∈IG j∈Ii,x

(C^×)^(ri)

appel´es les valeurs propres de Hecke de πx.

On pourra appeler “spectre automorphe” deG(A)/A_Get on notera Π_aut(G(A)/A_G) l’ensemble des classes d’isomorphie de repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles deG(A) qui apparaissent (discr`etement ou continˆument) dans le Th´eor`eme I.1 de d´ecomposition spectrale de Langlands deL²(G(F)\G(A)/A_G).

Ses ´el´ements sont index´es par

• une paire discr`ete (P, π) (dans l’ensemble de repr´esentants des classes d’´equivalence choisi),

• un caract`ere λP ∈Im ΛP,

modulo l’action des groupes finis Fixe(π).

On dispose des sous-ensembles naturels de Πaut : Πcusp qui correspond `a P =Getπ cuspidale, Π<sub>disc,nc</sub> qui correspond `aP =Get πnon cuspidale, Πdisc qui est la r´eunion de Πcusp et Πdisc,nc,

ΠEis qui correspond `a P G,

ΠEis,cuspqui correspond `aP Getπcuspidale, Π_Eis,nc= Π_Eis−Π_Eis,cusp.

On connaˆıt encore le th´eor`eme de rigidit´e de Piatetski-Shapiro (pour lequel on renvoie au court expos´e [Piatetski-Shapiro] et `a l’article [Jacquet, Shalika], p. 553) :

Th´eor`eme I.7.– SoitS ⊂ |X| un ensemble fini de places et π, π⁰ ∈Π_aut deux repr´esentations du spectre automorphe deGtelles que, en toute place x /∈S,π_x etπ_x⁰ soient non ramifi´ees et z(π_x) =z(π⁰_x).

Alorsπ=π⁰.

Consid´erons maintenant un second groupe lin´eaireH surF, et un homomorphisme

LG= ˆGoWF

−→ρ ^LH = ˆHoWF

rendant commutatif le diagramme :

LG

ρ //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

WF

En passant aux composantes connexes des ab´elianis´es, on en d´eduit un homomorphisme de tores Y

i∈IG

C^×→ Y

i⁰∈IH

C^×

puis un homomorphisme dual

Y

i⁰∈I_H

G^m→ Y

i∈I_G

G^m.

On supposera toujours que les sous-groupes discretsAGetAHdeG(A) etH(A) sont tels queAH⊂ Q

i⁰∈I_HA^×F

s’envoie dansA_G⊂ Q

i∈IG

A^×F par l’homomorphisme induit entre tores ad´eliques.

En toute placex∈ |X|o`u les groupes lin´eairesGet H sont non ramifi´es, l’homomorphisme

LG−→^{ρ L}H

est dit lui-mˆeme non ramifi´e quand sa restriction au-dessus du groupe de Weil localW_Fx se factorise en un homomorphisme r´eduit :

LG_x= ˆGoW_κ(x) ^ρx //

''O

OO OO OO OO

OO ^LH_x= ˆHoW_κ(x)

wwooooooooooo

Wκ(x)

Il r´esulte de la Proposition I.5 queρxinduit alors un homomorphisme entre alg`ebres de Hecke sph´eriques ρ^∗_x:H^H_x,φ→ H^G_x,φ.

Comme les repr´esentations irr´eductibles non ramifi´ees correspondent aux caract`eres des alg`ebres de Hecke sph´eriques, l’homomorphisme ρ^∗_x permet d’associer `a toute repr´esentation irr´eductible non ramifi´ee π_x de G(Fx) une repr´esentation irr´eductible non ramifi´eeπ⁰_xdeH(Fx), ce qu’on notera

π_x⁰ = (ρx)_∗(πx) ou encore

z(π⁰_x) = (ρ_x)_∗(z(π_x)). Par d´efinition, on a donc

π_x⁰ = (ρ_x)_∗(π_x) si et seulement si, pour toute fonctionhx∈ H^H_x,φ,

Tr_π⁰

x(h_x) = Tr_πx(ρ^∗_x(h_x)).

On supposera toujours que l’homomorphismeρest non ramifi´e en presque toutes les places.

D´efinition I.8.–Etant donn´es deux ´el´ements des spectres automorphes π∈Π_aut(G(A)/A_G), π⁰∈Π_aut(H(A)/A_H),

on dira queπ⁰ est un transfert deπ si, en presque toute placex∈ |X|o`uG, H, ρ, π etπ⁰ sont non ramifi´es, on a

π⁰_x= (ρx)_∗(πx).

Siπ∈Πaut(G) admet un transfertπ⁰∈Πaut(H), il est n´ecessairement unique et on pourra noter π⁰=ρ∗(π).

Rappelons maintenant l’´enonc´e du principe de fonctorialit´e, qui est connu dans le cas des groupes lin´eaires sur les corps de fonctions, comme cons´equence de la correspondance de Langlands :

Th´eor`eme I.9.–

(i)Dans les conditions o`u nous sommes, toute repr´esentation automorphe cuspidale π ∈Π_cusp(G(A)/A_G) admet un transfertπ⁰=ρ_∗(π) dansΠ_cusp(H(A)/A_H)ouΠ_Eis,cusp(H(A)/A_H).

(ii)Il est mˆeme possible de d´efinir en toute placex∈ |X| un homomorphisme lin´eaire (mais qui ne respecte pas en g´en´eral la structure d’alg`ebre)

ρ^∗_x:H^H_x → H^G_x tel que :

• il prolonge celui d´ej`a d´efini H^H_x,φ→ H^G_x,φ quandGetH sont non ramifi´es enx,

• siπ∈Πcusp(G),π⁰=ρ_∗(π) ethx∈ H^H_x, on a

Trπ_x⁰(hx) = Trπ_x(ρ^∗_x(hx)).

Remarque. En combinant ce th´eor`eme avec la description du spectre automorphe r´esiduel dans l’article [Moeglin, Waldspurger, 1989] on montre que toute repr´esentation du spectre automorpheπ∈Πaut(G(A)/AG)

admet un transfert dans le spectre automorphe Πaut(H(A)/AH).

D´emonstration.

(i) Choisissons un nombre premier`et un isomorphisme alg´ebrique entre Cet une clˆoture alg´ebrique ¯Q`de Q`.

D’apr`es le th´eor`eme VI.9, page 158, de l’article [Lafforgue, 2002], il existe une bijection, ´echangeant valeurs propres de Hecke et valeurs propres de Frobenius en les places sans ramification, entre l’ensemble des repr´esentations automorphes cuspidales de G(A) et l’ensemble des rel`evements continus, non ramifi´es presque partout et irr´eductibles :

W_F → ^LG( ¯Q`) =G( ¯<sup>∨</sup> Q`)oW_F

A une repr´` esentation π ∈ Π<sub>cusp</sub>(G(A)/A<sub>G</sub>), on peut donc associer un rel`evement W_F → ^LG( ¯Q`) puis l’homomorphisme compos´e :

WF → ^LG( ¯Q`)→<sup>ρ L</sup>H( ¯Q`)

Si celui-ci est irr´eductible, il correspond `a une repr´esentationπ<sup>0</sup> =ρ∗(π) dans Πcusp(H(A)/AH). Sinon, sa semi-simplification correspond `a une repr´esentation π⁰=ρ∗(π) dans ΠEis,cusp(H(A)/AH).

(ii) Il r´esulte de la proposition VII.4, page 196, de l’article [Lafforgue, 2002] que siπ⁰=ρ_∗(π), la composante π_x⁰ de π⁰ en toute place xne d´epend que de la composante π_x de π et de la restriction deρ au-dessus de W_Fx. L’assertion r´esulte alors de l’ind´ependance lin´eaire des fonctionnelles de traces associ´ees aux diff´erentes

repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles deG(F_x).

Le premier cas “non-ab´elien” est celui de l’induction automorphe de GL₁ `a GL₂ via une extension quadratiqueE deF.

Cette extension correspond `a un homomorphisme surjectif W_F →Z/2Z=S₂.

On prendG= Res_E/FGL1 etH = GL2 avec donc

Hˆ = GL2(C),

LH = ˆH×WF, Gˆ=C^××C^×

muni de l’action deW_F induite par W_F S₂ et la permutation des 2 facteurs,

LG= ˆGoW_F.

Alorsρ: ^LG→ ^LH est d´efini en associant `a tout ((λ1, λ2), σ)∈GˆoWF

•

λ1 0 0 λ2

, σ

si l’image deσdansS2est triviale,

•

0 λ1

λ2 0

, σ

si l’image deσdansS₂est non triviale.

Voyons maintenant ce qui se passe entre alg`ebres de Hecke sph´eriques.

En toute placex∈ |X|, l’isomorphisme de Satake pourH s’´ecrit S_x^H :H_x,φ^H −→^∼ C[Y₁^±, Y₂^±]^S2.

En toute placex∈ |X|o`uE est scind´ee surF, l’isomorphisme de Satake pourGs’´ecrit S_x^G:H^G_x,φ−→^∼ C[X₁^±]⊗C[X₂^±1] =C[X₁^±1, X₂^±1]

et l’homomorphismeρ^∗_x:H^H_x,φ→ H^G_x,φconsiste `a substituerY₁7→X₁,Y₂7→X₂.

Enfin, en toute place x∈ |X| o`u E est non ramifi´ee et inerte surF, l’isomorphisme de Satake pourG s’´ecrit

S_x^G:H^G_x,φ−→^∼ C[X^±2] =C[X^±1,−X^±1]^S2 et l’homomorphismeρ^∗_x:H^H_x,φ→ H^G_x,φconsiste `a substituerY₁7→X,Y₂7→ −X.

6 Premi` ere id´ ee de ce que l’on voudrait faire : comparer deux formules de traces “diagonales”

Nous voudrions imaginer une approche purement ad´elique du Th´eor`eme I.9, qui ne fasse pas appel `a la g´eom´etrie des chtoucas de Drinfeld.

Consid´erons toujours notre groupe alg´ebrique lin´eaire G= Y

i∈IG

Res_Ei/FGLr_i.

Si K = Q

x∈|X|

Kx est un sous-groupe ouvert du sous-groupe compact maximal K₀^G = Q

x∈|X|

K_0,x^G , on peut consid´erer la sous-alg`ebre de Hecke H^G_K = N

x∈|X|

H^G_x,K de H^G = C_c^∞(G(A)) constitu´ee des fonctions inva- riantes `a droite et `a gauche parK, ainsi que les sous-ensembles Πaut,K(G(A)/AG), Πcusp,K(G(A)/AG),. . .de Πaut(G(A)/AG), Πcusp(G(A)/AG),. . . constitu´es des repr´esentations irr´eductiblesπdu spectre automorphe dont le sous-espaceπK des vecteurs invariants parK n’est pas nul. Les sous-ensembles Πcusp,K et Πdisc,K

sont finis.

On rappelle que la formule des traces d’Arthur-Selberg (que l’on ne donne pas sous une forme pr´ecise car ce n’est finalement pas d’elle que l’on se servira) consiste en une ´egalit´e entre deux sommes finies de fonctionnelles lin´eaires sur les fonctionsh∈ H^G_K/AG :

X

π∈Πcusp,K(G(A)/AG)

Trπ(h) + X

π∈Πdisc,nc,K(G(A)/AG)

Trπ(h) + X

(P,π) P G

Tr^Ar_P,π(h)

= Z

G(F)\G(A)/A_G

dg·ΛK_h(g, g) o`u

• Ar est un certain op´erateur lin´eaire “de troncature d’Arthur” qu’on applique au noyau de l’action de hr´eduit `a la diagonale

g7→Kh(g, g) = X

γ∈G(F)

h(g⁻¹·γ·g),

• les (P, π) d´ecrivent l’ensemble fini des repr´esentants des classes de paires discr`etes tels que P Get queπ_K 6= 0,

• chaque Tr^Ar_P,π(h) est un op´erateur lin´eaire en h(qui n’est pas une trace), il d´epend de l’op´erateur de troncature Ar et de l’action dehsur l’espace de Paley-Wiener

L²_K(Im Λ_P×M_P(F)N_P(A)\G(A)/A_G, π).

Dans cette ´egalit´e, la partie gauche est appel´ee “partie spectrale” et celle de droite “partie g´eom´etrique”.

En faisant passer les autres termes spectraux de l’autre cˆot´e, on a donc en principe une formule pour Tr_cusp(h) = X

π∈Πcusp,K

Tr_π(h) ou pour

Tr_disc(h) = X

π∈Πdisc,K

Tr_π(h).

Consid´erons maintenant un autre groupe lin´eaireH et un homomorphisme non ramifi´e presque partout

LG

ρ //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

WF

tel que l’homomorphisme induit

Y

i⁰∈IH

Gm→ Y

i∈IG

Gm

envoieA_H dansA_G.

Fixons un sous-ensemble fini S0 ⊂ |X| tel que, en toute place x /∈ S0, les groupes G et H soient non ramifi´es sur F, ρ soit non ramifi´e etKx =K_0,x^G . Puis choisissons un sous-groupe ouvert K⁰ = Q

x∈|X|

K_x⁰ de K₀^H = Q

x∈|X|

K_0,x^H tel que

• K_x⁰ =K_0,x^H ,∀x /∈S0,

• pour toute placex∈S0,K_x⁰ est assez petit en fonction deKxet de la ramification deG,H etρ.

Toute repr´esentation automorphe cuspidale π ∈ Πcusp,K(G) doit admettre un transfert par ρ dans Πcusp,K(H) ou ΠEis,cusp,K(H).

Premi`ere id´ee de d´emarche I.10. –

(i)A partir de la formule des traces d’Arthur-Selberg pourG, trouver une formule g´eom´etrique pour (Trcusp∗Trcusp)(h1, h2) = X

π∈Πcusp,K

Trπ(h1)·Trπ(h2)

comme fonctionnelle enh₁, h₂∈ H^G_K.

(ii)A partir des formules des traces d’Arthur-Selberg pourGetH, trouver une formule g´eom´etrique pour (Tr_cusp∗ρTr)(h, h⁰) = X

π∈Πcusp,K(G) π⁰∈Πaut,K(H) π⁰=ρ_∗π

Tr_π(h)·Tr_π⁰(h⁰)

comme fonctionnelle enh∈ H^G_K eth⁰∈ H^H_K0. (iii)D´efinir des homomorphismes lin´eaires

H_x,K^H 0 x

ρ^∗_x

−→ H^G_x,Kx

prolongeant celles d´ej`a sp´ecifi´ees en toutes les placesxo`uGet H sont non ramifi´es H^H_x,φ ^ρ

∗

−→ Hx ^G_x,φ

telles que soit v´erifi´ee l’´egalit´e

(Trcusp∗ρTr)(h, h⁰) = (Trcusp∗Trcusp)(h, ρ^∗h⁰) entre fonctionnelles enh∈ H^G_K eth⁰ ∈ H^H_K0.

Remarque.Pour mettre en œuvre une telle strat´egie, on rencontrera in´evitablement les questions suivantes : (1) Comment r´ealiser ces restrictions `a la diagonale ou au graphe deρ_∗?

(2) Comment faire disparaˆıtre les termes de la formule des traces pour G qui proviennent des s´eries d’Eisenstein ?

(3) Comment faire disparaˆıtre les termes discrets non cuspidaux de la formule des traces ?

(4) Comment ne pas faire disparaˆıtre les repr´esentations cuspidales π ∈ Π_cusp(G) dont le transfert ρ_∗π n’est pas dans Πcusp(H) mais dans ΠEis,cusp(H) ?

(5) Comment comparer les formules “g´eom´etriques” obtenues ?

Dans cet expos´e et les suivants, nous allons apporter des r´eponses (parmi d’autres possibles sans doute) pour les questions (1) `a (4), mais pas pour la question (5).

Commen¸cons par la question (1).

7 Diagonalisation d’un produit de formules de traces au moyen de s´ eries formelles

Consid´erons toujours notre homomorphisme compatible

LG

ρ //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

WF

ainsi que les sous-groupes ouverts K = Q

x∈|X|

K_x de K₀^G et K⁰ = Q

x∈|X|

K_x⁰ de K₀^H, et que la partie finie S₀⊂ |X|en dehors de laquelleG,H, ρ,K et K⁰ sont non ramifi´es.

On a le lemme facile suivant :

Lemme I.11.–On peut trouver une partie finie S⊂ |X| −S0telle que pour toute paire de repr´esentations des spectres discrets

π∈Π_disc,K(G(A)/A_G), π⁰∈Π_disc,K⁰(H(A)/A_H), v´erifiant

π⁰_x= (ρx)_∗(πx), ∀x∈S , on ait n´ecessairement

π⁰_x= (ρx)_∗(πx), ∀x∈ |X| −S0, et doncπ⁰=ρ_∗(π).

D´emonstration.Cela r´esulte simplement de ce que les ensembles Πdisc,K(G(A)/AG) et Πdisc,K⁰(H(A)/AH)

sont finis.

Avec les notations du Corollaire I.4, consid´erons en n’importe quelle place x∈S les isomorphismes de Satake pour les alg`ebres de Hecke sph´eriques deGetH

S_x^G:H^G_x,φ−→^∼ O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1

i]^Sri,

S_x^H :H^H_x,φ−→^∼ O

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

C[X_i^±10,j⁰,1;. . .;X_i^±10,j⁰,r_i0]^Sri0 .

On a encore :

Lemme I.12.– Pour tout x∈ S, on peut trouver une s´erie formelle ∆^G,H_x (•,•, Z) en la variable Z et `a coefficients dans le produit tensoriel





 O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1_i]^Sri





 O







 O

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

C[X_i^±10,j⁰,1;. . .;X_i^±10,j⁰,r_i0]^Sri0









telle que :