Correspondance de Langlands semi-simple pourGL(n, F) modulo`6=p Marie-France Vign´eras
3 janvier 2000 revis´e aout 2000
A Jacques Martinet SoientF un corps local non archim´edien de caract´eristique r´esiduellep et`un nombre premier6=p. La correspondance semi-simplede Langlands consiste en bijections entre les repr´esentations semi-simples com- plexes de dimensionndu groupe de WeilWF, et les supports supercuspidaux des repr´esentations irr´eductibles complexes de GL(n, F), pour tous les entiers n≥1. On peut remplacer le corps Cdes nombres complexes par une clˆoture alg´ebriqueQ`du corpsQldes nombres`-adiques, en choisissant un isomorphismeQ`'C.
La correspondance de Langlands semi-simple sur Q` que l’on obtient, d´epend du choix de l’isomorphisme uniquement si l’ordre qdu corps r´esiduel de F n’est pas un carr´e; dans ce cas, elle d´epend uniquement de l’´el´ement α ∈ Q∗` correspondant `a √q. Soit Z` l’anneau des entiers de Q` et F` son corps r´esiduel (une clˆoture alg´ebrique d’un corps finiFl`a `´el´ements).
Le but de cet article est de montrer “la correspondance de Langlands semi-simple modulo `”, c’est-`a- dire l’existence et l’unicit´e d’une correspondance semi-simple de Langlands surF`compatible `a la r´eduction modulo `de la correspondance de Langlands semi-simple surQ`.
On sait comment en d´eduire “la correspondancecompl`etede Langlands modulo`” entre lesF`-repr´esenta- tions de dimension ndu groupe de Weil-Deligne W DF et lesF`-repr´esentations irr´eductibles de GL(n, F) lorsque le corps des nombres complexes est remplac´e par un corps commutatif alg´ebriquement clos quelconque de caract´eristique6=p.
On sait que les fonctionsLetεde paires sont compatibles avec la r´eduction modulo`, la conjecture de Langlands surF`est une fa¸con d’exprimer les congruences modulo `entre ces fonctions.
La correspondance de Langlands modulo ` est d´emontr´ee dans [Vig1] seulement si ` > n et F est de caract´eristique 0. La restriction est impos´ee par l’utilisation de l’induction automorphe et de l’analyse harmonique locale modulaire de SL(n, F). Nous allons donner une autre d´emonstration, valable sans re- strictions, qui ´evite totalement l’emploi de ces outils, et les remplace par l’existence de congruences entre repr´esentations automorphes pour des groupes de type compact. L’id´ee de cette d´emonstration est due `a Khare.
On montre qu’une repr´esentation automorphe pour un groupe de type compact, triviale `a l’infini, dont une composante locale π est une repr´esentation supercuspidale de GL(n, F), est congruente modulo ` `a une repr´esentation automorphe, triviale `a l’infini, de composante locale une repr´esentationπ0quelconque de mˆeme r´eduction que π modulo ` ou dans un bloc quelconque du `-bloc de π. Des congruences analogues s’en d´eduisent par les th´eor`emes de changement de base pour les repr´esentations automorphes cuspidales pourGL(n) pour toutn≥2. On rappelle que les congruences entre formes automorphes pourGL(2) jouent un rˆole important dans la construction de repr´esentations galoisiennes associ´ees aux formes modulaires de Hilbert et dans la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat.
Les congruences - ainsi que les th´eor`emes de correspondance de Langlands globale de Harris-Taylor et de Laumon-Rapoport-Stuhler - permettent de montrer [Kh] que siπ, π0 sont deux repr´esentations supercus- pidales enti`eres correspondant `a des repr´esentations`-adiques deWF de mˆeme r´eduction modulo`, alors les r´eductions modulo`deπ, π0 ont le mˆeme support supercuspidal.
La th´eorie locale des repr´esentations modulo`permet d’enlever la restriction queπ, π0 sont supercuspi- dales, de montrer une r´eciproque de cette propri´et´e, de construire par r´eduction modulo`une correspondance de Langlands semi-simple sur F`, et enfin de montrer la compatibilit´e des correspondances de Langlands semi-simples surQ` et surF`avec la r´eduction modulo`.
La th´eorie (l´eg`erement g´en´eralis´ee) des types de Bushnell-Kutzko sur Q` ou sur F` jouent un rˆole essentiel dans toutes les constructions.
Je remercie Lafforgue, Harris, Khare, Rouquier, Venkataramana et tous les auditeurs de mon cours au semestre automorphe du centre Emile Borel qui ont permis d’am´eliorer la version originale de cet article, l’Institut de Math´ematiques de Jussieu, et le Mathematical Sciences Research Institute `a Berkeley qui m’a permis de r´ediger une partie de ce travail dans des conditions et une atmosph`ere remarquables.
Cet article est d´edi´e `a mon patron de th`ese Jacques Martinet, en reconnaissance de son aide enthousiaste et de sa g´en´erosit´e lors de mes d´ebuts en math´ematiques.
1. Th´eor`eme principal
2. R´eduction au th´eor`eme faible
3. Congruences entre repr´esentations automorphes
4. Repr´esentations galoisiennes associ´ees `a des repr´esentations automorphes 5. Preuve du th´eor`eme faible
Appendice A Produit tensoriel et repr´esentations enti`eres Appendice B Repr´esentations non ramifi´ees
Appendice C Conducteurs
1 Th´eor`eme principal On note
ql’ordre du corps r´esiduelkF de l’anneau d’entiersOF deF,
R un corps commutatif alg´ebriquement clos de caract´eristique6=p(muni de la topologie discr`ete), IrrRGL(n, F) l’ensemble des classes d’isomorphisme desR-repr´esentations lisses irr´eductibles deGL(n, F), ScuspRGL(n, F) le sous-ensemble engendr´e par lesR-repr´esentations supercuspidales (voir ci-dessous), IrrRGLF=∪n≥1IrrRGL(n, F), ScuspRGLF =∪n≥1ScuspRGL(n, F),
MScuspRGLF l’ensemble des sommes formelles finies π1+. . .+πrd’´el´ements de ScuspRGLF, IrrRWF(n) l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations continues irr´eductibles deWF de dimension finien,
ModRWF l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations continues semi-simples de di- mension finie deWF.
UneR-repr´esentation est souvent identifi´ee `a sa classe d’isomorphisme. Elle est toujours lisse (le stabil- isateur de tout vecteur est ouvert).
L’isomorphisme de r´eciprocit´e du corps de classes
(1.1) F∗→WFab
(WFab est le plus grand quotient s´epar´e ab´elien) qui envoie une uniformisante pF de F sur l’image d’un Frobenius g´eom´etrique Fr nous permet d’identifier les R-caract`eres de F∗ et de WF (c’est la bijection de Langlands pourn= 1).
1.2 Support supercuspidal
UneR-repr´esentation irr´eductible deGL(n, F) est ditecuspidalesi elle n’est pas isomorphe `a unquotient d’une induite parabolique propre. Elle estsupercuspidalesi elle n’est pas isomorphe `a unsous-quotientd’une induite parabolique propre; c’est l’analogue d’une R-repr´esentation irr´eductibledu groupe de Weil WF de dimension n.
La correspondance de Langlands semi-simple sur F` repose sur le support supercuspidal. Le support supercuspidal [Vig2] est l’application surjective `a fibres finies
sc: IrrRGLF →MScuspRGLF
qui associe `aπ∈IrrRGL(n, F) la somme formelle finiesc(π) =π1+. . .+πk o`uπi∈ScuspRGL(ni, F) pour 1 ≤i ≤k et P
ni =n, d´efinie par la propri´et´e queπ est un sous-quotient de la R-repr´esentation induite parabolique normalis´eeπ1×. . .×πk. Le support supercuspidal sc(π) deπ est lecaract`ere infinit´esismalde π dans la terminologie de Bernstein, et l’analogue de lapartie semi-simple σd’uneR-repr´esentation (σ, N) du groupe de Weil-Deligne W DF de dimensionn.
Remarque SoitGle groupe des points rationnels d’un groupe r´eductif connexe surF. La transitivit´e de l’induction parabolique normalis´ee implique que toute repr´esentation π∈IrrRG(F) est un sous-quotient de l’induite parabolique normalis´ee d’une repr´esentation ρ ∈ ScuspRL(F) supercuspidale, L ´etant un F- sous-groupe de Levi d’un F-sous-groupe parabolique. Lorsque (L, ρ) est unique modulo conjugaison par G(F), on dit que la classe de conjugaison de (L, ρ) est le support supercuspidal deπ.
On ne sait pas montrer en g´en´eral que le couple (L, ρ) est unique modulo conjugaison parG(F) lorsque G 6= GL(n) (mˆeme dans le cas fini). Autrement dit, on ne sait pas montrer que les ensembles des sous- quotients irr´eductibles de deux induites paraboliques normalis´ees de repr´esentations irr´eductibles supercus- pidales sont disjoints ou confondus.
Par contre, l’existence du support cuspidal est toujours connue : un couple (L0, ρ0) pourL0 unF-sous- groupe de Levi d’unF-groupe parabolique deG,ρ0∈IrrRL(F) cuspidale,π quotient ou sous-repr´esentation de l’induite parabolique normalis´ee deρ0, est unique modulo conjugaison parG(F) [Vig3]. La classe de con- jugaison de (L0, ρ0) est le support cuspidal deπ. Il est clair que si le support cuspidal deπ est supercuspidal, alors π a un support supercuspidal ´egal `a son support cuspidal. C’est le cas par exemple lorsque π a un vecteur invariant par un sous-groupe d’Iwahori (Appendice B).
1.3 Un ensemble de bijections quelconques
π↔σ: ScuspRGL(n, F)↔IrrRWF(n)
pour tout n ≥ 1, induit une bijection MScuspRGLF ↔ ModRWF et via le support supercuspidal une application surjective `a fibres finies
(1.3.1) π→sc(π)↔σ: IrrRGLF →ModRWF
telle que σ=σ1+. . .+σk siσi↔πi pour tout 1≤i≤ket sc(π) =π1+. . .+πk. Lacorrespondance de Langlands semi-simple surQ`est l’application IrrQ
`GLF→ModQ
`WF d´eduite des bijections de Langlands ScuspQ
`GL(n, F) ↔ IrrQ
`WF(n) pour tout n ≥1 d´emontr´ees par Harris et Taylor [HT], et Henniart [He1] siF est de caract´eristique 0 et par Laumon, Rapoport et Stuhler [LRS] siF est de caract´eristique p.
1.4 Q`-repr´esentations enti`eres
UneQ`-repr´esentation lisse (le stabilisateur de tout vecteur est ouvert) de longueur finieπ d’un groupe localement fini G est appel´ee enti`ere s’il existe une extension finie E/Q` d’anneau des entiers OE et une OE-repr´esentationLdeGqui est unOE-module libre tel queQ`⊗OEL'πet tel queLest unOEG-module de type fini. On dit queLest uneOE-structure enti`ere deπ, queπestOE-enti`ere. SoitkE le corps r´esiduel de OE. On dit que kE ⊗OE L est la r´eduction de L et que F` ⊗OE L est la r´eduction modulo ` de L.
Lorsque Gest un groupe r´eductifp-adique ou un groupe profini ou WF, lasemi-simplifi´eedeF`⊗OEL est uneF`-repr´esentationr`(π) deGde longueur finie qui ne d´epend pas du choix deL(le principe de Brauer- Nesbitt est vrai [Vig3]). On appeller`(π) la r´eduction modulo` de π. La r´eduction modulo ` ne respecte pas l’irr´eductibilit´e dans le cas galoisienG=WF, et ne respecte pas la supercuspidalit´e dans le cas lin´eaire G=GL(n, F) (cependant la r´eduction modulo`d’une repr´esentation irr´eductible supercuspidale enti`ere est irr´eductible et cuspidale). UneQ`-repr´esentation irr´eductible enti`ere deWF (resp. deGL(n, F)) sera appel´ee
`-irr´eductible(resp. `-supercuspidale) si sa r´eduction modulo`est irr´eductible (resp. supercuspidale).
UneQ`-repr´esentation irr´eductibleσdeWF de dimensionnest de la formeσ0⊗χo`uχ:WF →Q∗` est un caract`ere, etσ0 se prolonge `a Gal(F /F) [Tate]. Doncσest enti`ere si et seulement si sond´eterminant
σ→det(σ) : IrrQ
`WF(n)→IrrQ
`WF(1) = IrrQ
`WFab
est entier. On sait [Vig3 II.4.12] qu’une Q`-repr´esentation irr´eductible supercuspidale π de GL(n, F) est enti`ere si et seulement si soncaract`ere central
π →ωπ: ScuspQ
`GL(n, F)→ScuspQ
`GL(1, F) = IrrQ
`F∗ est entier. Une Q`-repr´esentation semi-simple de dimension finie σ∈ModQ
`WF est enti`ere si et seulement si ses constituents irr´eductibles sont entiers. Le r´esultat analogue pourGLF est vrai : uneQ`-repr´esentation irr´eductible π ∈ IrrQ
`GLF est enti`ere si et seulement si les constituents irr´eductibles de son support su- percuspidal sc(π) sont entiers. Le caract`ere central et le d´eterminant se correspondent par les bijections de Langlands sur Q` et par l’isomorphisme de r´eciprocit´e (1.1). Donc la correspondance de Langlands semi-simple surQ` respecte la propri´et´e d’ˆetre enti`ere.
1.5 Si π ∈ IrrQ
`GLF est enti`ere, les sous-quotients irr´eductibles de r`(π) ont le mˆeme support supercuspidal dans MScuspF
`GLF ´egal `a
sc(r`π1) +. . .+sc(r`πk)
sisc(π) =π1+. . .+πk est le support supercuspidal deπ. On dit que c’est lesupport supercuspidal der`π et on le note sc(r`π). L’´egalit´esc(r`π) =r`(scπ) a lieu si et seulement si toutes les repr´esentations enti`eres π1, . . . , πk sont`-supercuspidales. On a
sc◦r`(π) = sc◦r`◦sc(π).
Nous allons d´emontrer que les bijections de Langlands sur Q` se r´eduisent modulo `, qu’il existe des bijections de Langlands sur F` et que la correspondance de Langlands semi-simple sur F` associ´ee est compatible avec la r´eduction modulo`de la correspondance de Langlands semi-simple surQ`.
1.6 Th´eor`eme principal SoientF un corps local non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle p, et l 6=p un nombre premier. Soient π, π0 ∈IrrQ
`GLF, σ, σ0 ∈ModQ
`WF des Q`-repr´esentations enti`eres en correspondance de Langlands semi-simple sc(π)↔σ, sc(π0)↔σ0. Alors
(i) sc(r`π) =sc(r`π0)si et seulement sir`σ=r`σ0. (ii) Il existe un unique ensemble de bijections
π↔σ: ScuspF
`GL(n, F)↔IrrF
`WF(n) pour tout n≥1, qui induit par le support supercuspidal sc : IrrF
`GLF →MScuspF
`GLF une correspon- dance de Langlands semi-simple sur F` :
π →sc(π)↔σ: IrrF
`GLF →ModF
`WF compatible avec la r´eduction modulo`: soitπ∈IrrQ
`GLF, σ∈ModQ
`WF, sc(π)↔σentiers en correspon- dance de Langlands semi-simple surQ`, alorssc(r`π)↔r`σpar la correspondance de Langlands semi-simple surF`.
1.7 Il n’est pas difficile de passer des deux cas R=Q`,F` au cas d’unR g´en´eral. La correspondance de Langlands surQ` donne par restriction une correspondance de Langlands sur clˆoture alg´ebriqueQdeQ dansQ`. Posonsk=QsiRest de caract´eristique 0 etk=F`siRest de caract´eristique`et choisissons un homomorphisme non nulj:k→R.
On dispose donc d’une correspondance de Langlands semi-simple sur k. L’homomorphisme j permet d’identifier une k-repr´esentation `a une R-repr´esentation. L’ensemble ScuspRGLF est ´egal `a ScuspkGLF modulo torsion par un caract`ere non ramifi´e. En effet, soit π ∈ ScuspRGLF. Il existe alors un caract`ere
non ramifi´e χ : F∗ → R∗ tel que le caract`ere central de π0 = π ⊗(χ◦det) ∈ ScuspRGLF est d’ordre fini, π0 de caract`ere central d’ordre fini est d´efinie sur k [Vig3 4.9]. On prolonge uniquement la bijection ScuspkGLF↔IrrkWFen une bijection ScuspRGLF ↔IrrRWFcompatible avec la torsion par les caract`eres non ramifi´es. Les v´erifications n´ec´essaires sont tr`es faciles. On en d´eduit comme en (1.3) une correspondance de Langlands semi-simple surR. Elle ne d´epend pas du choix de l’homomorphismejsiqest un carr´e, sinon elle d´epend uniquement du choix d’une racine carr´ee deq dansR.
1.8 Correspondance de Langlands compl`ete Nous indiquons tr`es bri`evement comment on peut d´eduire de la correspondance de Langlands semi-simple sur R une correspondance de Langlands compl`ete sur R, compatible avec la r´eduction modulo `. Les classes d’isomorphie desR-repr´esentations irr´eductibles deGL(n, F) de support supercuspidal donn´e forment un ensemble fini d´ecrit par lath´eorie de Zelevinski sur R [Vig2]. Notons
(1.8.1) ν:WF →R∗
le caract`ere non ramifi´e correspondant au module deF∗via l’isomorphisme de r´eciprocit´e (1.1),ν est trivial sur le sous-groupe d’inertie IF deWF etν(Fr) =ν(pF) =q−1. On a [Vig2], [Vig5]:
1.8.2 Th´eor`eme Si σ∈ModRWF, les π ∈IrrRGLF de support supercuspidal sc(π)↔σ, sont en bijection avec les endomorphismes nilpotents N de l’espace deσ(modulo isomorphisme) qui v´erifient
σ(w)N =N σ(w)ν(w) pour toutw∈WF.
On dit que (σ, N) est uneR-repr´esentation du groupe de Weil-DeligneW DF. Il existe donc une bijection de IrrRGLF sur les classes d’isomorphisme des R-repr´esentations du groupe de Weil-Deligne W DF (1.6), (1.8.2).
Il reste a d´efinir la bijection de Langlands.
1.8.3 Le choix de l’´el´ement nilpotent N associ´e `a π ∈ IrrF
`GLF est compatible avec la r´eduction modulo `, mais pas naivement. Cela se voit d´eja sur les caract`eres. La partie nilpotente d’un Q`-caract`ere est nulle. Montrons sur un exemple que la partie nilpotente d’unF`-caract`ere ne sera pas toujours nulle.
SoitG=GL(2,Q5) et`= 3. Consid´erons le caract`ere trivial id deGet le caract`ereν◦det deG(on les note de la mˆeme fa¸con surQ`,F`). Leurs parties semi-simples sontν1/2+ν−1/2etν1/2+ν3/2surQ`ou sur F` (1.6). Mais surF`, les parties semi-simples sont ´egales puisque 5 =−1 mod 3, tandis que les caract`eres sont diff´erents puisque −16= 1 mod 3. Leurs partie nilpotentes surF` doivent ˆetre diff´erentes.
1.8.4 La d´efinition de l’´el´ement nilpotent N associ´e `a π ∈ IrrRGL(n, F) se fait en utilisant la th´eorie des d´eriv´ees, la th´eorie des mod`eles de Whittaker g´en´eralis´es. La partie nilpotente N de π dans la
“correspondance de Zelevinski” (qui n’est pas la correspondance de Langlands) d´ecrit les degr´es des plus grandes d´eriv´ees successives de π. Siπ est g´en´erique (par exemple siπ est cuspidale ou de Steinberg) alors N = 0.
Siπ est enti`ere, la r´eduction modulo` deπ admet un uniquesous-quotient J`(π)∈IrrF
`GL(n, F)
ayant les mˆemes degr´es des plus grandes d´eriv´ees successives. L’application J` respecte la propri´et´e d’ˆetre g´en´erique, elle coincide avecr` sur les repr´esentations `-irr´eductibles enti`eres. On a [Vig2]:
Th´eor`eme Toute repr´esentation de IrrF
`GL(n, F) est de la forme J`(π) pour une repr´esentation enti`ere π∈IrrQ
`GL(n, F).
Autrement dit, si nous notons IrrentQ
` GLFl’ensemble des repr´esentations enti`eres de IrrQ
`GLF, l’application J`: IrrentQ
` GLF →IrrF
`GLF est surjective.
La correspondance de Zelevinski surF` est compatible avec la r´eduction modulo`naive. Siπ↔(σ, N) par la correspondance de Zelevinski sur Q`. AlorsJ`(π)↔(r`σ, N) pour la correspondance de Zelevinski surF`.
1.8.5 La correspondance de Langlands surQ` est compos´ee de la correspondance de Zelevinski avec l’involution de Zelevinski sur Q`. L’involution de Zelevinski est une involution de ModQ
`GL(n, F) qui respecte IrrQ
`GL(n, F), fixe le support supercuspidal (donc respecte la partie semi-simple), ´echange les caract`eres avec les repr´esentations de Steinberg. Cette involution a ´et´e calcul´ee explicitement par Moeglin- Waldspurger, elle se g´en´eralise `a tous les groupes r´eductifs surF (Aubert, Bezrukavnikov, Schneider-Stuhler).
Pour obtenir la correspondance de Langlands surR, on utilise l’existence d’une “involution de Zelevinski”
sur IrrRGL(n, F) (elle ne peut pas ˆetre d´efinie dans ModRGL(n, F)) qui fixe le support cuspidal [Vig5].
Elle respecte donc la partie semi-simple, et un peu mieux. Cette involution a ´et´e calcul´ee explicitement par Leclerc-Thibon-Vasserot. On d´efinit alors la correspondance de Langlands surF`.
Soit ZR l’involution de Zelevinski deIrrRGLF. Supposons que π ↔ (σ, N)par la correspondance de Langlands surQ`. Alors la correspondance de Langlands surF` est telle queZF
` ◦J`◦ZQ
`(π)↔(r`σ, N) pourπ ∈IrrQ
`GLF enti`ere.
1.8.6 Congruence modulo` Soientπ, π0∈IrrQ
`GL(n, F) enti`eres, (σ, N),(σ0, N0) les repr´esentations du groupe de Weil-Deligne associ´ees par la correspondance de Langlands (σ, N)↔π,(σ0, N0)↔π0.
On dira que π, π0 sont congruentes modulo ` si les repr´esentations du groupe de Weil-Deligne sont congruentes modulo `, i.e. si l’on a les propri´et´es ´equivalentes:
a)r`σ=r`σ0, N =N0, b)J`◦ZQ
`(π) =J`◦ZQ
`(π0).
On dira que π, π0 sont faiblement congruentes modulo `si les parties semi-simples des repr´esentations du groupe de Weil-Deligne sont congruentes modulo` (1.6):
a’) leurs parties semi-simples sont congruentes modulo `: r`σ=r`σ0. b’)sc(r`π) =sc(r`π).
La congruence modulo `faible est ´equivalente `a la congruence modulo`pour - les repr´esentations supercuspidales,
- les repr´esentations non ramifi´ees,
car N = 0 est constant sur ces repr´esentations. Pour les repr´esentations non ramifi´ees, elle est aussi
´equivalente `a l’´egalit´e de la r´eduction modulo` des caract`eres de Satake (appendice B).
1.8.7 Reprenons l’exemple (1.8.3) G=GL(2,Q5), `= 3.
a) L’involution de Zelevinski ´echange la repr´esentation triviale et la repr´esentation de Steinberg St sur Q`
b) L’involution de Zelevinski ´echange la repr´esentation triviale et le caract`ereν◦det surF`.
c) Sur Q`, la partie semi-simple de St est ν−1/2+ν1/2, la partie nilpotenteN de St sur Q` n’est pas triviale, son noyau est la droite propre pour ν1/2. On note St↔(ν−1/2→ν1/2).
d) On aZF
` ◦J`◦ZQ
`(St) =ν◦det, donc surF` on a ν◦det↔(ν−1/2→ν1/2).
e) On v´erifiera tout aussi simplement que id↔(ν1/2→ν−1/2).
f) Il est clair qu’il y a trois F`-repr´esentations non isomorphes du groupe de Weil-Deligne de partie semi-simple ν−1/2+ν1/2. Il nous manque celle de partie nilpotente nulle. C’est la repr´esentation cuspidale unipotenteJ`St∈CuspF
`GLF (non supercuspidale).
2 R´eduction au th´eor`eme faible
Nous allons d´emontrer dans ce paragraphe que le th´eor`eme faible ci-dessous implique le th´eor`eme prin- cipal 1.6. En gros, on va se r´eduire `a montrer le th´eor`eme principal 1.6 lorsque π est supercuspidale, et uniquement dans un sens.
2.1 Th´eor`eme faible Soit π ∈ ScuspQ
`GLF, σ ∈ IrrQ
`WF, π ↔ σ enti`eres en bijection de Langlands. Alors
(i) Pourπ0∈ScuspQ
`GLF, σ0 ∈IrrQ
`WF, π0 ↔σ0 enti`eres en bijection de Langlands, on a r`π =r`π0 impliquer`σ=r`σ0.
(ii) Siσest `-irr´eductible, alorsπ est`-supercuspidale.
(iii) Siπ n’est pas`-supercuspidale, il existe des rel`evements `aQ`desc◦r`π et der`σen bijection de Langlands, autrement dit il existe π1, . . . , πk ∈ ScuspQ
`GLF, σ1, . . . , σk ∈IrrQ
`WF, π1 ↔σ1, . . . πk ↔σk tels que
sc◦r`π=r`(π1+. . .+πk)et r`σ=r`(σ1+. . .+σk).
2.2 Soientπ ∈ScuspQ
`GL(n, F) etσ∈IrrQ
`WF(n) enti`eres en bijection de Langlands π↔σ. On rappelle le crit`ere num´erique permettant de reconnaitre siπ est `-supercuspidale ou si σest `-irr´eductible.
On consid`ere
-B(σ) l’ensemble des repr´esentations σ0 ∈IrrQ
`(WF) enti`eres de mˆeme d´eterminant sur un Frobenius (g´eom´etrique) Fr, et de mˆeme r´eduction modulo`queσ,
- B(π) l’ensemble analogue pour π, en remplacant le d´eterminant par le caract`ere central, et Fr par l’uniformisante pF qui lui correspond par l’application de r´eciprocit´e du corps de classes (1.1).
- le nombre tde caract`eres non ramifi´esχ∈IrrQ
`F∗ tels queπ⊗(χ◦det)'π. C’est aussi le nombre deQ`-caract`eres non ramifi´esχdeWF tels queσ⊗χ'σ, puisque les bijections de Langlands surQ` sont compatibles avec la torsion par les caract`eres.
Crit`ere num´erique [Vig1 2.3]Les deux nombresCardB(π)et CardB(σ)sont major´es par`ao`u a= (n/t)(qt−1).
π est`-supercuspidale si et seulement siCardB(π) =`a. σest`-irr´eductible si et seulement siCardB(σ) =`a. Le crit`ere num´erique permet de montrer:
2.3 Lemme Les parties (i) et (ii) du th´eor`eme faible impliquent a)π est `-supercuspidale si et seulement siσest `-irr´eductible, b) siσest`-irr´eductible, alorsr`σ=r`σ0 impliquer`π =r`π0.
Preuve 1) La propri´et´e (i) du th´eor`eme faible, et la compatiblit´e des bijections de Langlands sur Q` avec le caract`ere central, le d´eterminant et la propri´et´e d’ˆetre enti`ere (1.4), montrent que la bijection de Langlands induit une application injective
b:B(π)→B(σ).
Avec le crit`ere num´erique (2.2), on d´eduit CardB(π)≤CardB(σ)≤`a. Supposons queπest`-supercuspidale, i.e. CardB(π) =`apar (2.2). On a alors CardB(π) = CardB(σ) =`a,best bijective etσest`-irr´eductible par (2.2). La propri´et´e a) du lemme est d´emontr´ee (l’autre sens est donn´e par la partie (ii) du th´eor`eme faible).
2) Inversement, supposons que σ est `-irr´eductible. La partie (ii) du th´eor`eme faible montre que π est `-supercuspidale. Par 1) l’application b est bijective, autrement dit les deux conditions r`σ0 = r`σ et detσ0(Fr) = detσ(F r) impliquentr`π=r`π0. L’´egalit´e des d´eterminants sur Fr peut ˆetre supprim´ee. En effet sir`σ0=r`σ, il existe un caract`ere non ramifi´eχdeWF trivial modulo`, tel que det(σ0⊗χ)(Fr) = detσ(Fr), et les bijections de Langlands sont compatibles `a la torsion par un caract`ere. La propri´et´e b) du lemme est d´emontr´ee. ¦
Il est fondamental de savoir que :
2.4 Rel`evement Toute repr´esentationπ∈ScuspF
`GL(n, F)ouσ∈IrrF
`WF(n)se rel`eve `a Q`. Preuve Dans le cas lin´eaire c’est difficile, car cela r´esulte de la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko surF`[Vig3 III.5.10], dans le cas galoisien c’est une cons´equence facile de la th´eorie de Clifford [Vig1 4] car le groupeWF est `-r´esoluble [Vig5 1.7]. ¦
2.5 Corollaire Les parties (i) et (ii) du th´eor`eme faible impliquent qu’il existe des bijections uniques de Langlands sur F`
ScuspF
`GL(n, F)↔IrrF
`WF(n) compatibles avec la r´eduction modulo`.
Preuve [Vig1 1.2] On dit queπ∈ScuspF
`GL(n, F) etσ∈IrrF
`WF(n) se correspondent s’ils ont des rel`evements `aQ`(2.4) qui se correspondent par la bijection de Langlands surQ`. Alors (2.3) et la partie (i) du th´eor`eme principal montrent que l’on a bien d´efini une bijection ScuspF
`GL(n, F)'IrrF
`WF(n) [Vig1 6.1]. ¦
Donc les parties (i) et (ii) du th´eor`eme faible fournissent une bijection MScuspF
`GLF ↔ModF
`WF et une application π→sc(π)↔σ: IrrF
`GLF →ModF
`WF via le support supercuspidal (1.3). La partie (iii) du th´eor`eme faible permet de montrer que cette application est compatible avec la r´eduction modulo `. En effet, elle signifie que
(2.5.1) sc(r`π)↔r`σ
pourπ ∈ScuspQ
`GLF, σ∈IrrQ
`WF, π↔σ entiers, siπ n’est pas`-supercuspidale (on le sait d´eja siπ est
`-supercuspidale). On obtient (2.5.1) par lin´earit´e pour toutπ ∈IrrQ
`GLF entier, carsc(r`π) = sc(r`(scπ)) (1.5). Donc le th´eor`eme faible 2.1 implique le th´eor`eme principal 1.6.
La suite de cet article est consacr´ee `a la d´emonstration du th´eor`eme faible (2.1). Une m´ethode globale d´evelopp´ee dans les chapitres 3 et 4 fournit le lemme crucial 5.1. La d´emonstration de (2.1) est donn´ee en 5.3.
3 Congruences entre repr´esentations automorphes
Nous montrons dans ce chapitre des congruences faibles modulo ` entre repr´esentations automorphes d’un groupe r´eductif G de type compact, enti`eres, triviales `a l’infini, en utilisant la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko.
On pourrait probablement enlever la condition “triviale `a l’infini”.
3.1 Congruence modulo `
Soient F un corps local non archim´edien d’anneau des entiers OF,G un groupe r´eductif connexe non ramifi´e surFtel queG(OF) est d´efini, ´egal `a un sous-groupe ouvert compact maximal sp´ecial deG(F),E/Q`
une extension finie contenue dansQ`d’anneau des entiersOE, etπ, π0∈IrrQ
`G(F) non ramifi´eesOE-enti`eres (Appendice B). La Z-alg`ebre de Hecke sph´eriqueHdeG(F) par rapport `aG(OF) est commutative et agit sur l’espace vectorielπG(OF)de dimension 1 par lecaract`ere de Satake deπ
λ:H →OE.
La r´eduction deλest le caract`ereH →kEqui s’en d´eduit sur le corps r´esiduelkEdeOE. Notonsλ0 :H →OE le caract`ere de Satake deπ0. On dira queπ, π0 sontcongruentes modulo` si leurs caract`eres de Satake ont la mˆeme r´eduction.
Oublions le cas local. D´esormais dans ce chapitre, F un corps global de caract´eristique 0 ou p > 0.
Soient
X l’ensemble des places finies deF, ∞celui des places infinies (vide siF est de caract´eristiquep >0) Fv le compl´et´e deF env∈X,Ov l’anneau des entiers deFv, A= ˆF×F∞ l’anneau des ad`eles deF, ˆF sa partie finie,F∞ sa partie infinie (triviale etA= ˆF siF est de caract´eristique p >0),
Gun groupe r´eductif connexe surF,
T ⊂X de compl´ementaire fini, tel que pour toute placev ∈T, G(Fv) est non ramifi´e, G(Ov) est bien d´efini, ´egal `a un groupe compact maximal sp´ecial deG(Fv); on note GT la composante en T deG(A),HT
laZ-alg`ebre de Hecke sph´erique deGT par rapport `aG(OT) =Q
v∈TG(Ov),
E/Q` une extension finie contenue dans Q`, d’anneau des entiers OE, de corps r´esiduelkE, etpE une uniformisante.
πA, π0A∈IrrQ
`G(A) de composantes en T, not´eesπT, π0T, non ramifi´ees et OE-enti`eres (appendice A).
L’action de HT sur la droiteπG(OT T)est donn´ee par le caract`ere de Satake deπT λT :HT →OE.
On noteλ0T le caract`ere de Satake deπ0T. On dit que πA, πA0 ∈IrrQ
`G(A) sont T-congruentes modulo` oufaiblement congruentes modulo` si πT, πT0 sont congruentes modulo`, i.e. si leurs caract`eres de Satake ont la mˆeme r´eduction.
3.2 Groupe de type compact On suppose d´esormais que G est de type compact. On note Z le centre de G. Le groupe G(F) se plonge diagonalement en sous-groupe discret de G(A). Etre de type compact signifie :
(3.2.1) G(F)Z(A)\G(A) etZ(F∞)\G(F∞) sont compacts
Rappelons queGest dit anisotropesur un corps k(contenantF) siGne contient pas de tore d´eploy´e surknon trivial [Sp 3.4 page 12]. On sait [Sp 4.2 page 16, 4.11 page 19] que (3.2.1) est ´equivalent `a:
(3.2.2) G/Z est anisotrope sur F et sur Fv pour toute place infinie v deF SiF est un corps de nombres, les quatre propri´et´es : (3.2.1), (3.2.2),G(F∞)/Z(F∞)compact,G/Z est anisotrope sur Fv pour toute place infiniev deF, sont ´equivalentescar siG/Zest anisotrope surFv en une place deF, alorsG/Zest anisotrope sur F.
On appelle cas exceptionnel la situation o`u F est de caract´eristique p >0 etG admet un tore central maximal F-d´eploy´e non trivial. Dans le cas exceptionnel, on suppose que le rang de Z est 1. On choisit alors une placeo∈X, une uniformisantepo deFo, un homomorphisme rationnelt:GL(1)→Z et l’on note Γo=t(pZo). Alors ΓoZ(F)\Z(A) est compact.
Le groupeG(F) se plonge diagonalement dans le groupe localement profiniG( ˆF). On pose dans le cas exceptionnel
Y :=G(F)Γo\G( ˆF).
et dans le cas non exceptionnel,
Y :=G(F)\G( ˆF).
Alors (3.2.1) implique (en fait, est ´equivalente `a):
(3.2.3) G(F)est un sous-groupe discret de G( ˆF)etY est compact On donne des exemples de groupes de type compact en (3.14).
3.3 Formes automorphes Les fonctions localement constantes f : Y → Asont des formes auto- morphes pourG. Elles forment unA-module que l’on noteC∞(Y;A). Le groupeG( ˆF) agit surY donc sur C∞(Y;A), cette action est not´eeρA, ouρsiA=Z.
(3.3.1)LeZ-module C∞(Y;Z)est libre.
Preuve On choisit un syst`eme fondamental de voisinages de l’unit´e de G( ˆF) form´e par une suite d´ecroissante d´enombrable (Kn)n≥0 de sous-groupes ouverts compacts, et pour tout entier n≥ 0 une base Bn duZ-module Ln:=C∞(Y /Kn;Z) libre de rang fini ´egal au nombre d’´el´ements deY/Kn, telle que
Bn⊂Bn+1
(une fonction surY /Kn s’identifie `a une fonction surY qui est Kn-invariante). C’est possible carLn+1/Ln
est libre doncLn est un facteur direct de Ln+1. AlorsB=∪nBn est une base deC∞(Y;Z). ¦ (3.3.2) La repr´esentation ρQ
` est admissible et semi-simple. Chaque sous-quotient irr´eductible πX ∈ IrrQ
`G( ˆF)deρQ
` estOE-entier pour une extension finie E/Q`.
Preuve La repr´esentation ρsur Z est d´eja admissible [Vig3 I.4.17] car Y /K est fini pour tout sous- groupe ouvert compactKdeG( ˆF). Pour la semi-simplicit´e, on utilise l’isomorphismeQ`'C, la conjugaison complexez→zet l’unimodularit´e deG( ˆF). Une mesureG( ˆF)-invariantedysur l’espace compactY fournit un produit hermitien non d´eg´en´er´eG( ˆF)-invariant sur C∞(Y;R)
(f1, f2) :=
Z
Y
f1(y)f2(y)dy (f1, f2∈C∞(Y;R)).
On en d´eduit la semi-simplicit´e. Montrons maintenant l’int´egralit´e. Soit f non nul dans l’espace V(πX) de πX. Comme f n’a qu’un nombre fini de valeurs, il existe une extension finie E/Q` et a ∈ OE tel af ∈C∞(Y;OE)∩V(πX). Le OEG-module engendr´e par af est OE-libre car il est contenu dans le OE- module libreC∞(Y;OE) etOE est principal. C’est uneOE-structure de πX (1.4). ¦
LorsqueF est un corps de nombres, les composants irr´eductiblesπXdeρQ
`sont les parties finies desQ`- repr´esentations automorphes deG(A) [B1 14.1 page 52] triviales `a l’infini. LorsqueF est de caract´eristique p >0, ce sont les repr´esentations automorphes deG(A), modulo torsion par un caract`ere non ramifi´e dans le cas exceptionnel (pour se ramener au cas o`u Γoagit trivialement).
3.4 Donc toute repr´esentation automorphe πA de G(A) triviale `a l’infini (oublier cette condition si F est de caract´eristique p > 0) est enti`ere dans le cas non exceptionnel. Dans le cas exceptionnel, une repr´esentationπAautomorphe deG(A) est enti`ere si et seulement si son caract`ere central est entier (cela est
´equivalent `aχ entier siπA⊗χ est trivial sur Γo).
3.5 Hypoth`eses Soit πA ∈ IrrQ
`G(A) automorphe, enti`ere, triviale `a l’infini. Soit K ⊂G( ˆF) un sous-groupe ouvert (on ne le suppose pas compact) et Λ∈IrrQ
`K contenue dans la restriction deπA `aK (on dit que Λ est contenu dansπA).
On suppose que l’ensemble des places finies deF est une union disjointeX =v1∪S∪T, avecS fini et πv non ramifi´e pour toutv∈T, telle que :
K=Kv1×KS×KT, Λ = idv1⊗ΛS⊗idT
avec KT = G(OT) compact maximal sp´ecial, Kv1 un sous-groupe ouvert compact de Gv1 de pro-ordre premier `a` etπKv1v1 6= 0, dans le cas exceptionnel Γo⊂KS, la composante de Λ surKv1×KT est triviale.
On suppose que
(3.5.1) gKg−1∩G(F) est finipour toutg∈G( ˆF), On se donne Λ0S ∈IrrQ
`KS enti`ere telle que (ΛS,Λ0S) v´erifient:
(3.5.2) Il existe une extension finieE/Q`, des structuresOE-enti`eresLS, L0S deΛS,Λ0S et uneinclusionde kEKS-modules
kE⊗OELS⊂kE⊗OEL0S.
On note Λ0 := idv1⊗Λ0S⊗idT ∈IrrQ
`K. Alors (Λ,Λ0) v´erifient (3.5.2).
3.6 Congruences Sous les hypoth`eses ci-dessus, il existe πA0 ∈ IrrQ
`G(A) automorphe, enti`ere, triviale `a l’infini, (π0v1)Kv1 6= 0,T-congruente `a πA modulo `et contenantΛ0.
Ceci g´en´eralise un r´esultat de Khare [Kh]. La preuve donn´ee en 3.7 est essentiellement celle de Khare.
Nous donnons des exemples de groupes Gen (3.14), de groupesK en (3.8), de repr´esentations (ΛS,Λ0S) en (3.11) utilisant la th´eorie des types, et de repr´esentations automorphes (πA, πA0 )T-congruentes modulo`en (3.13).
Par les diff´erentes fonctorialit´es de Langlands entre repr´esentations automorphes, on d´eduit de (3.6) des congruences entre formes automorphes pour des groupes r´eductifs ne v´erifiant pas les conditions de compacit´e (3.2).
Remarque. Une m´ethode similaire permettrait de construire des congruences faibles modulo ` entre repr´esentations automorphes non triviales `a l’infini.
3.7 Preuve de (3.6)
On rappelle le lemme de Deligne-Serre [DS lemma 6.11].
3.7.1 Lemme Soient E/Q` une extension finie, M un OE-module libre de type fini muni d’une action d’uneZ-alg`ebre commutativeH, etf ∈M/pEM un vecteur propre (non nul) de Hde valeur propre λ:H →kE. Il existe une extension finieE0/E et un vecteur propre deHdansM⊗OEOE0 de valeur propre λ0:H →kE0 telle que λ0 =λmodulo pE0OE0.
On appliquera ce lemme `a un moduleM du type ci-dessous et `a l’alg`ebre de Hecke sph´erique HT de GT relative `aKT.
3.7.2 Lemme Soit Λ ∈ IrrQ
`K enti`ere triviale sur KT. Il existe une extension finie E/Q` et une OE-structure enti`ere Lde Λ telle que les valeurs propres de HT dans le OE-module libre de type fini M =CK(Y, L), form´e par les fonctionsK-´equivariantes
f :Y →L, f(yk) = Λ(k)f(y) (y∈Y, k∈K)
sont en bijection avec les caract`eres de Satake des composantes enT des sous-quotients irr´eductibles deρQ contenantΛ∈IrrQ `
`K.
Preuve On choisit une extension finie E/Q` telle que Λ a une structure OE-enti`ere L (1.4). Alors M =CK(Y, L) est une structureOE-enti`ere deCK(Y,Λ) stable parHT. La dimension duQ`-espace vectoriel CK(Y,Λ) est finie carY /K est fini et la dimension de Λ est finie. Les valeurs propres deHT dansCK(Y,Λ) appartiennent `aOE0 pour une extension finieE0/E. En remplacantE parE0, on se ram`ene `a supposer que toute valeur propre deHT dansCK(Y,Λ) a un vecteur propre dansM. Soit
ρ0Q
` = ⊕πX
la somme directe des sous-quotients irr´eductibles de ρQ
` contenant Λ. La repr´esentation ρQ
` ´etant semi- simple et admissible (3.3.2), cette somme est finie. NotonsK=KT×KT,Λ = ΛT⊗idT etπX =πX−T⊗πT. La restriction `a Kd’une Q`-repr´esentation irr´eductible deρQ
` est semi-simple, carK est compact modulo le centre. On a
HomK(ρQ
`,Λ) = HomK(ρ0Q
`,Λ)' ⊕πX[HomKT(πX−T,ΛT)⊗πKTT] et aussi
HomK(ρQ
`,Λ)'CK(Y,Λ)'CKT(Y,ΛT)KT.
Ces isomorphisme sont ´equivariants pour l’action de l’alg`ebre de Hecke sph´erique HT qui op`ere naturelle- ment sur CKT(Y,ΛT)KT, πKTT et trivialement sur HomKT(πX−T,ΛT). Donc les caract`eres de Satake des composantes enT des sous-quotients irr´eductibles deρ0Q
` sont les valeurs propres deHT dansCK(Y,Λ). ¦ On choisit une extension E/Q` “assez grosse”. On applique le lemme au OE-module M d´efini avec L = LS muni de l’action naturelle de K, triviale sur Kv1 ×KT et prolongeant l’action de KS (3.5). Le caract`ere de Satake λT de la composante enT d’un sous-quotient irr´eductible deρ0
Q` est une valeur propre deHT agissant sur M. On peut consid`ere leOE-moduleM0 d´efini avecL0S (3.5). Le but des conditions de (3.5) est d’obtenir
M/pEM ⊂M0/pEM0. Il suffit de montrer le lemme suivant.
3.7.3 Lemme On a des isomorphismes deE oukE-espaces vectoriels :
E⊗OECK(Y;L)'CK(Y;E⊗OEL), kE⊗OECK(Y;L)'CK(Y;kE⊗OEL).
Les isomorphismes (s’ils existent) sont clairementHT-´equivariants.
Preuve L’espace compact Y =∪yK est une union finie des orbites de K. On a un isomorphisme de OE-modules
(3.7.4) CK(Y;L)' ⊕y LKy
o`uKy={k∈K |yk=y}est le fixateur deydansK. CommeOEest principal etLestOE-libre de type fini, le OE-moduleLKy est libre de type fini pour touty, doncCK(Y;L) est libre de type fini. Tout revient
`
a montrer les isomorphismes d’espaces vectoriels surE oukE
(3.7.5) (E⊗OEL)Ky 'E⊗OE(LKy), (kE⊗OEL)Ky 'kE⊗OE(LKy).
Pour cela, il suffit que l’imageHy deKy dans AutLsoit d’ordre fini premier `a `.
Montrons queHy est d’ordre fini premier `a`. Comme KS agit trivialement sur L,Hy est un quotient de la projectionCy deKy dansKS 'K/KS (resp. KS/Γo'K/KSΓodans le cas exceptionnel). Il suffit de montrer queCy est d’ordre fini premier `a `. Soitg∈G( ˆF) tel quey=G(F)g dans le cas non exceptionnel ety =G(F)Γogdans le cas exceptionnel. La projection de
C:=g−1G(F)g∩K
dansKS, ouKS/Γodans le cas exceptionnel, estCy. En effet pour k∈KS, les relations a)G(F)gkKS =G(F)gKS
b)kKS ⊂CKS
sont clairement ´equivalentes dans le cas non exceptionnel. Dans le cas exceptionnel il faut remplacerKSpar ΓoKS dans a) et b). Il suffit de montrer queC est d’ordre fini premier `a`. Par hypoth`ese (3.5.1) le groupe C est fini. Il s’identifie `a un sous-groupe deKv pour toute place finiev. Par les hypoth`eses de (3.5)Kv1 est un groupe profini de pro-ordre premier `a `, donc l’ordre deC est premier `a`. ¦
On d´eduit alors les congruences (3.6) du lemme de Deligne-Serre (3.7.1) lorsqueπX⊂ρQ
`.
Dans le cas exceptionnel il existe unQ`-caract`ere entierχtrivial surKv1×KT deG( ˆF) trivial surGF tel que πX ⊗χ ⊂ ρQ
`. Les repr´esentations πX ⊗χ,Λ⊗χ|K et Λ0⊗χ|K v´erifient les propri´et´es requises.
Par hypoth`ese il existe un un sous-quotient irr´eductible deρQ
` v´erifiant (3.6) pour ces donn´ees. On le note π0X⊗χpourπX0 ∈IrrQ
`G( ˆF). La repr´esentation πX0 v´erifie (3.6). Ceci termine la d´emonstration de (3.6) ¦ 3.8 Nous examinons maintenant l’hypoth`ese (3.5.1) sur les conjugu´es du sous-groupe ouvertK⊂G( ˆF).
Si K est compact, comme G(F) est discret dans G( ˆF), (3.5.1) est trivial. Le lemme suivant donne une condition surK, invariante par conjugaison parg∈G( ˆF), qui assure (3.5.1) lorsqueK n’est pas compact.
Lemme SoitKun sous-groupe ouvert deG( ˆF)de la formeK=Kv×Kv o`uKv est un sous-groupe ouvert compact de GX−v, et Kv est un sous-groupe ouvert de G(Fv) compact modulo le centre de G(Fv) pour une place finiev deF. AlorsG(F)∩Kest un groupe fini.
La preuve montrera que lorsque F est un corps de nombres, on peut remplacer v par un ensemble fini de places de caract´eristiques r´esiduelles diff´erentes.
Preuve On peut supposer que Kv ⊃ Zv o`u Zv est le tore d´eploy´e central maximal de G(Fv). Le groupeKadmet un unique sous-groupe compact maximalK(o), carKv a cette propri´et´e. En effet, le groupe Zv a un unique sous-groupe compact maximal Zv(o), et si Kv(o) est le sous-groupe deKv engendr´e par ses sous-groupes compacts, alors Kv(o)/Zv(o) est un sous-groupe ferm´e du sous-groupe compact Kv/Zv. Donc Kv(o)/Zv(o) est compact, etKv(o)est compact. On va montrer que
G(F)∩K=G(F)∩K(o)
doncG(F)∩K est un groupe fini. Il suffit de plongerG(F) dansGL(n, F) pour un entiernassez grand et de montrer que les valeurs propres des ´el´ements deG(F)∩Ksont des racines de l’unit´e. Soitg∈G(F)∩K etλune valeur propre degdansF. AlorsE:=F(λ) est une extension finie deF, et l’on veut montrer que
|λ|w= 1 pour toute valeur absolue| − |wdeE. Commeg se plonge dans le sous-groupe compactKvon sait que|λ|w= 1 si la place correspondantewdeE ne divise pasv. La formule du produit [W IV§4 th.6]
Y
w
|λ|w= 1
montrera|λ|w= 1 pour toutw|v. Comme le sous-groupeZvKv(o)deKvest d’indice finim, on agm∈ZvKv(o). Comme Zv est un tore central d´eploy´e et comme Kv(o) est compact, la valeur propreλm de gm est de la
formexupourx∈Fv∗ et une unit´eude l’anneau des entiers deF∗v. Donc|λ|w=|x|[Ev w:Fv] pour toute place
wdeE qui divise vet Y
w|v
|λ|w=|x|[E:F]v .
Par la formule du produit 1 =|x|[E:F]v donc|x|v=|λ|w= 1 pour toutw|v. ¦
Le but du paragraphe 3.11 est de donner des exemples non triviaux de Λ,Λ0 ∈ IrrQ
`K v´erifiant les hypoth`eses de (3.5). On s’y pr´epare avec les paragraphes (3.10) et (3.11). Le lemme suivant si simple m’a
´et´e donn´e par Raphael Rouquier.
3.9 Lemme SoientH un groupe fini etτ, τ0 ∈IrrQ
`H telles quer`τ est un sous-quotient irr´eductible de r`τ0. Pour toute extension finieE/Q` telle que τ, τ0 sont OE-enti`eres, il existe des OE-structures L, L0 deτ, τ0 telles que l’action deH surL/pEL est isomorphe `a unesous-repr´esentation deL0/pEL0.
Preuve On choisit desOE-structuresL, N0deτ, τ0. Par le principe de Brauer-NesbittL/pEL∈IrrkEH est isomorphe `a un sous-quotient de N0/pEN0. Soit Q→ L/pEL une couverture projective. Il existe un homomorphisme non nul f :Q → N0/pEN0 et un OEH-module projectif P qui rel`eve Q' P/pEP. Par la propri´et´e caract´eristique des modules projectifs f se rel`eve en un OEH-homomorphisme φ : P → N0. L’imageL00 deφest uneOE-structure enti`ere deτ0 et L/pEL est unquotientdeL00/pEL00. Par dualit´e on obtient uneOE-structure enti`ere L0 deτ0 et L/pELest une sous-repr´esentationdeL0/pEL0 ¦
Un exemple de repr´esentationsτ, τ0∈IrrQ
`H v´erifiant le lemme 3.9 est fourni par la th´eorie de Dipper- James [James] pour les repr´esentations du groupe lin´eaire fini H:=GL(n,Fq).
3.10 Lemme a) Toute repr´esentation deScuspF
`GL(n,Fq)se rel`eve `aQ`. b) Soitτ∈ScuspQ
`GL(n,Fq). Alorsr`τest irr´eductible, etsc(r`τ) =bτ1 pourτ1∈ScuspQ
`GL(a,Fq) etab=n.
c) Soit τ0 ∈IrrQ
`GL(n,Fq). Alors r`τ est un sous-quotient der`τ0 si et seulement si τ0 est g´en´erique etsc(r`τ0) =sc(r`τ).
Preuve Pour a) et b) voir [Vig3 III.2]. Pour c) utiliser [Vig3 III.1.10, III.1.11] queτ, r`τsont g´en´eriques, la formule de Leibniz et l’unicit´e du mod`ele de Whittaker. ¦
3.11 Types de Bushnell-Kutzko Soitv∈X une place finie du corps global F de caract´eristique r´esiduellepv etR un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente depv. Rappelons quelques pro- pri´et´es fondamentales des types de Bushnell-Kutzko (´etendus) deGL(n, Fv). Pour toutπ ∈CuspRGL(n, Fv) (cuspidal) il existe un sous-groupe ouvert Kv ⊂ GL(n, Fv) compact modulo le centreet Λ ∈ IrrRKv (un type ´etendu) tel que [BK 8.4] [Vig3 III.5.3, III.5.10]:
π= indGL(n,FKv v)Λ
(l’induite `a support compact de Λ est ´egale `a l’induite sans conditions de support). Ainsi π est l’unique R-repr´esentation irr´eductible deGL(n, Fv) contenant Λ. LorsqueR=Q`, alors cuspidale=supercuspidale.
3.11.1 Th´eor`eme Soientπ, π0∈ScuspQ
`GL(n, Fv)enti`eres.
1)r`Λet r`π sont irr´eductibles.
2) On ar`π =r`π0si et seulement s’il existe un type ´etendu de Bushnell-KutzkoΛ0∈IrrQ
`Kv(le mˆeme Kv) deπ0 tel quer`Λ =r`Λ0.
Preuve Cela se d´eduit de la classification [Vig3 III.4.23, III.5.3, III.5.10] ¦ Rappelons que Λ =κ⊗τ, avec les d´efinitions suivantes. Il existe
