Montrer que la suite (vn)n∈Nest une suite arithmético-géométrique

ECE2 Analyse 2 - Suites Septembre 2021

- EXERCICE1 -

Soit (u_n)_n∈Nla suite définie paru0=0 et pour tout entiern∈N:u_n+1=2u_n+3ⁿ. On introduit pour tout entiern∈N: v_n=u_n

3ⁿ.

1. Montrer que la suite (v_n)_n∈Nest une suite arithmético-géométrique.

2. En déduire le terme général de la suite (u_n)_n∈N. - EXERCICE2 -

On considère une suite (u_n) définie par son premier termeu0=0 et par la relation suivante, valable pour tout entiern: u_n+1=u_n+1

6(3n+2).

1. Pourquoi cette suite n’est-elle pas arithmético-géométrique ?

2. Déterminer, par sommation téléscopique, l’expression deu_npour tout entiern.

- EXERCICE3 -

Soit la suite (u_n)_n∈Nla suite définie par son premier termeu0⩾1 et la relationu_n+1=f(u_n) oùfest la fonction définie surR^∗₊par : f(x)=x²+2

x.

1. Écrire un programme SciLab pour qu’il calcule et afficheu_npour une valeur denentrée par l’utilisateur lorsqueu0=2.

2. Montrer que pour toutn∈N,u_nest bien défini etu_n⩾1.

3. Déterminer le sens de variation de (u_n)_n∈N.

4. Prouver par l’absurde que la suite (u_n)_n∈Nne converge pas.

- EXERCICE4 -

On considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxpositif ou nul par :f(x)=1−e^−x.

On considère la suite (u_n)_n⩾1définie paru1=1 et pour tout entier naturel non nulnpar :u_n+1=f(u_n).

1. Étudier les variations def.

2. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on a : u_n>0.

3. Étudier la monotonie de la suite (u_n)_n⩾1.

4. En déduire que la suite (u_n)_n⩾1est convergente puis déterminer sa limite.

On pourra étudier la fonction x7→f(x)−x.

- EXERCICE5 -

Soit (u_n)_n⩾0la suite définie par : u0=1 et pour toutndeN, u_n+1=ln(1+u²_n).

1. Montrer que pour tout entierndeN: 0⩽^un⩽1.

2. Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0, 1], à valeurs réelles, telle que : f(x)=ln(1+x²)−x.

(a) Déterminer le signe defsur l’intervalle [0, 1] et montrer quef(x)=0 si et seulement six=0.

(b) En déduire que la suite (u_n)_n⩾0est décroissante.

(c) Montrer que la suite (u_n)_n⩾0converge et déterminer sa limite.

3. (a) Justifier pour tout réelx⩾0, l’inégalité : ln(1+x)⩽^x.

(b) Pour tout entierndeN, établir l’inégalité : u_n+1⩽^u2_n^. (c) En déduire pour tout entiern⩾1, l’inégalité : u_n⩽^{(ln 2)n.} (d) Retrouver la valeur de la limite de la suite (u_n)_n⩾0. (e) Établir pour tout entiern⩾2, l’inégalité :

n−1X

k=0

u_k⩽^{1−(ln 2)}

n

1−ln 2 .

4. Écrire un programme SciLab permettant d’obtenir le plus petit entiernvérifiantu_n<10⁻⁴.

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- EXERCICE6 -

Soit (u_n)_n⩾0la suite définie par :u0=1 et pour tout entiern: u_n+1=u_n+1 4

¡2−u²_n¢

=f(u_n).

1. Étudier les variations defet montrer quef([1, 2])⊂[1, 2].

2. Montrer que :∀n∈N, 1⩽^un⩽^2.

3. Montrer que si (u_n)_n⩾0converge versℓ, alorsℓ=p 2.

4. Montrer que :∀t∈[1; 2],¯

¯f^′(t)¯

¯⩽¹ 2. 5. Montrer que pour toutn∈N, on a : ¯

¯

¯u_n+1−p 2¯

¯

¯⩽¹ 2

¯

¯

¯u_n−p 2¯

¯

¯. 6. En déduire que :

¯

¯

¯u_n−p 2

¯

¯

¯⩽ µ1

2

¶_n .

7. Montrer alors que la suite (u_n)_n⩾0est convergente et déterminer sa limite.

8. Écrire un programme SciLab permettant d’obtenir une valeur approchée dep

2 à 10⁻⁵près.

- EXERCICE7 -

Pour tout entier naturelnnon nul, on définit la fonctionfpar : ∀x∈R,f_n(x)= 1 1+e^x+nx.

1. (a) Déterminer pour tout réelx,f_n^′(x) etf_n^′′(x).

(b) En déduire que la fonctionf_nest strictement croissante surRet calculer lim

x→+∞f_n(x) et lim

x→−∞f_n(x).

2. (a) Montrer que l’équationf_n(x)=0 possède une seule solution surR, notéeu_n. (b) Montrer que l’on a :∀n∈N^∗,−1

n<u_n<0 puis déterminer la limite de la suite (u_n).

(c) En revenant à la définition deu_n, montrer queu_n ∼

+∞−1 2n. - EXERCICE8 -

Soitn∈N^∗. On se propose d’étudier les racines de l’équation (E_n) : lnx+x=npourx>0.

1. Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surR^∗₊par :f:x7→lnx+x. 2. En déduire que, pour toutn∈N^∗, (E_n) admet une unique racinex_n. Donner la valeur dex1. 3. Montrer que la suite (x_n)_n∈Nest strictement croissante puis quex_n⩾1 pour toutn∈N^∗. 4. (a) Justifier quefest bijective et donner le tableau de variation def⁻¹.

(b) En déduire la limite de la suite (x_n)_n∈N∗.

5. (a) En utilisant (sans le redémontrer) que : ∀x∈R^∗₊, lnx<x, prouver que : ∀n∈N^∗,n

2⩽^xn⩽^n.

(b) En déduire que ln(x_n)

n tend vers 0 quandntend vers+∞. (c) En déduire que : x_n ∼

+∞n.

(d) Montrer que : ∀n∈N^∗,x_n+1−x_n=1−ln µx_n+1

x_n

¶ . (e) En déduire la limite de x_n+1−x_n.

- EXERCICE9 -

Pour tout entiern∈N^∗, on définit la fonctionf_nsurR+par : f_n(x)=xⁿ+9x²−4.

1. (a) Montrer que l’équationf_n(x)=0 n’a qu’une seule solution strictement positive, notéeu_n. (b) Vérifier que : ∀n∈N^∗,u_n∈

¸ 0,2

3

· .

2. (a) Montrer que, pour toutxélément de ]0, 1[, on a : f_n+1(x)<f_n(x).

(b) En déduire que f_n(u_n+1)>f_n(u_n) puis déterminer la monotonie de la suite (u_n)_n∈N∗. (c) Montrer que la suite (u_n)_n∈N∗est convergente. On noteℓsa limite.

3. (a) Déterminer la limite de (u_n)ⁿlorsquentend vers+∞.

(b) En revenant à la définition deu_n, déterminer la valeur deℓ.

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- EXERCICE10 -

On considère la fonction f définie sur [0; 1] par : f(x)=2xe^x.

1. Montrer quefréalise une bijection de [0; 1] sur un ensemble à déterminer.

2. On notef⁻¹la bijection réciproque def. Donner les tableaux des variations complets defet def⁻¹ 3. Montrer qu’il existe dans [0; 1] un unique réel notéαtel que αe^α=1 et montrer queα̸=0.

On définit la suite (u_n)_n∈Npar :

(u0=α

u_n+1=f⁻¹(u_n) , ∀n∈N. 4. Montrer que pour tout entier natureln,u_nexiste etu_n∈]0, 1].

5. (a) Montrer que pour toutx∈[0; 1] : f(x)−x⩾0. Vérifier que l’égalité ne se produit que pourx=0.

(b) En déduire que la suite (u_n)_n∈Nest strictement décroissante.

(c) Montrer que la suite (u_n)_n∈Nest convergente et qu’elle a pour limite 0.

6. On se propose de déterminer limu_nd’une autre manière. On pose pour tout entier natureln:S_n= Xn k=0

u_k (a) Montrer que :∀n∈N,u_n+1=1

2u_ne^−un+1. (b) En déduire par récurrence que :∀n∈N,u_n=e^−Sn

2ⁿ (c) Montrer que :u_n≤

µ1 2

¶n

puis conclure.

- EXERCICE11 -

On considère l’applicationf: [0;+∞[→Rdéfinie, pour touttde [0;+∞[, par : f(t)=

(t²−tln(t) sit̸=0

0 sit=0.

On noteCla courbe représentative defdans un repère orthonormal (O,⃗ı,⃗ȷ) et on admet : 0,69<ln(2)<0,70.

1. (a) Montrer quefest continue sur [0;+∞[.

(b) Justifier quefest de classeC²sur ]0;+∞[ et calculer, pour touttde ]0;+∞[,f^′(t) etf^′′(t).

(c) Dresser le tableau des variations def. On précisera la limite def en+∞. (d) Montrer queCadmet une tangente verticale en O.

(e) Montrer queCadmet un point d’inflexion et un seul, notéI, et préciser les coordonnées deI. (f ) Déterminer l’équation de la tangente au pointIpuis tracer l’allure deC.On fera apparaître la tangente (g) Montrer que l’équationf(t)=1, d’inconnuet∈[0;+∞[, admet une seule solution et que celle-ci est

égale à 1.

2. On considère la suite (u_n)_n∈Ndéfinie par :u₀=1

2 et ∀n∈N, u_n+1=f(u_n).

(h) Montrer :∀n∈N, u_n∈

·1 2; 1

¸ .

(i) Montrer par récurrence que la suite (u_n)_n∈Nest croissante.

(j) Résoudre l’équationf(t)=tsur

·1 2; 1

¸

.On pourra étudier la fonction g:t7→t−ln(t).

(k) Déduire des questions précédentes que la suite (u_n)_n∈Nconverge et déterminer sa limite.

(l) Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturelNtel que 1−u_N<10⁻⁴. 3. Soit (x,y)∈]0;+∞[². On considère le système suivant : S :





 x

y−ln(x)=0 ln(y)−y

x=0 .

(a) Montrer que (x,y) est solution deS si et seulement si : x>1, y= x

ln(x) et f(ln(x))=1.

(b) En déduire, à l’aide de la question 1g, que le systèmeS admet une unique solution et qu’il s’agit de (e,e).

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- EXERCICE12 -

Soitfla fonction définie surRparf(x)= x

x²+x+1, etCsa courbe représentative.

1. (a) Justifier que la fonctionfest bien définie surR. (b) Dresser le tableau de variations def limites comprises.

(c) Construire une allure de la courbeC.On fera apparaitre la tangente en0.

On considère désormais la suite (u_n) définie paru0=1 et∀n∈N,u_n+1=f(u_n).

2. (a) Déterminer le signe def(x)−xen fonction dexpuis en déduire la monotonie de la suite (u_n).

(b) Soitp∈N^∗. Montrer que : f µ1

p

¶

⩽_p¹ +1. (c) Montrer par récurrence que :∀n∈N, 0<u_n⩽_n¹

+1. (d) Déterminer la limite de la suite (u_n).

(e) Vérifier que : 1

u_n+1=u_n+1+ 1 u_n.

(f ) En déduire, à l’aide du résultat de la question 2c que : ∀n⩾^{1, 1}

u_n⩽ⁿ+1+

k=n

X

k=1

1 k. On pose, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1,v_n=

n

X

k=2

1 k. 3. (a) Montrer que :∀k∈N^∗, 1

k+1⩽ Z_k+1

k

d t t . (b) En déduire que :∀n∈N^∗, v_n⩽^ln(n).

(c) En déduire, à l’aide des résultats des questions 2f et 2c la limite denu_n. (d) Donner enfin un équivalent deu_n.

- EXERCICE13 -

Pour tout entiernnon nul, on noteh_nla fonction définie surR^∗₊par : ∀x>0, h_n(x)=xⁿ+1+ 1 xⁿ. 1. Démontrer que la fonctionh_nest strictement décroissante sur ]0, 1][ et strictement croissante sur [1,+∞[.

2. En déduire que pour tout entiernnon nul, l’équation : h_n(x)=4 admet exactement deux solutions, notéesu_netv_net vérifiant : 0<u_n<1<v_n.

3. (a) Démontrer que :∀x>0,∀n∈N^∗,h_n+1(x)−h_n(x)=(x−1)(x²ⁿ⁺¹−1) xⁿ⁺¹ . (b) En déduire que : ∀n∈N^∗ h_n+1(v_n)⩾^4.

(c) Montrer alors que la suite (v_n) est décroissante.

4. (a) Démontrer que la suite (v_n) converge vers un réelℓet montrer queℓ≥1.

(b) En supposant queℓ>1, démontrer que : lim

n→+∞v_nⁿ= +∞puis en déduire une contradiction.

(c) Déterminer la limite de (v_n).

5. (a) Montrer que : ∀n≥1,v_n≤3 (b) Montrer que : ∀n≥1, (v_n)ⁿ=3+p

5 2 (c) Retrouver ainsi le résultat de la question 4c.

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Pour aller plus loin...

- EXERCICE14 -

On admet que, si une suite (a_n)_n∈Nconverge vers le réelℓ, alors on a : lim

n→+∞

1 n

n−1X

j=0

a_j=ℓ.

On se propose d’étudier la suite (u_n)_n∈Ndéfinie par la donnée deu0=0 et par la relation, valable pour tout entier natureln,u_n+1=u²_n+1

2 .

1. (a) Montrer que, pour tout entier naturelnon a , 0⩽^un<1.

(b) Étudier les variations de la suite (u_n)_n∈N.

(c) Déduire des questions précédentes que la suite (u_n)_n∈Nconverge et donner sa limite.

2. Pour tout entier naturelnon pose,v_n=1−u_n. (a) Montrer que lim

n→+∞

µ 1 v_n+1− 1

v_n

¶

=1 2.

(b) Utiliser le résultat admis en début d’exercice pour trouver un équivalent dev_nlorsquentend vers+∞. (c) En déduire queu_n=1−2

n+o µ1

n

¶ .

- EXERCICE15 -

On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=e^x−x.

Pour tout entiern⩾2, on considère l’équation notée (E_n) :g(x)=n, d’inconnue le réelx.

1. (a) Dresser le tableau des variations degen précisant les limites aux bornes.

(b) Montrer que l’équation (E_n) admet exactement deux solutions, l’une strictement négative notéeαnet l’autre strictement positive notéeβn.

2. Dans cette question on note (u_k)_k∈Nla suite définie par :

(u0= −1

u_k+1=e^uk−2 ∀k∈N

(a) On rappelle queα2est le réel strictement négatif obtenu à la question 1b) lorsquen=2.

Calculerg(−1) etg(−2) puis montrer que : −2⩽α2⩽−1.

(b) Justifier que : e^α2−2=α2.

En déduire par récurrence surkque pour tout entier naturel : α2⩽^uk⩽−1.

(c) Montrer que la suite (u_k)_k∈Nest décroissante.On rappelle que : e>2.

(d) En utilisant l’inégalité des accroissement finis, montrer que pour tous (a,b)∈R²tels quea⩽^b⩽−1, on a :

0⩽^eb−e^a⩽¹ e(b−a).

(e) Montrer que pour tout entier naturelk: u_k+1−α2=e^uk−e^α2.

En déduire par récurrence surkque pour tout entier naturelk: 0⩽^uk−α2⩽ µ1

e

¶k

. (f ) Montrer que la suite (u_k)_k∈Nest convergente et de limiteα2.

(g) Ecricre un programme Scilab permettant d’obtenir une valeur approchée deα2à 10⁻³près 3. On revient au cas général oùn⩾2.

(a) Montrer quegréalise une bijection deR+sur [1,+∞[ puis dresser le tableau de variations deg⁻¹. (b) En déduire que : lim

n→+∞βn= +∞. (c) Montrer que : 1⩽^g(lnn)⩽^n.

(d) En déduire que : g(ln(2n))⩾^{n.On donneln 2}≈0, 69.

(e) En déduire que : ln(n)⩽βn⩽ln(2n), puis établir que :βn ∼

n→+∞ln(n).

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- EXERCICE16 -

Dans cet exercice, la lettrendésigne un entier naturel non nul.

On notef_nla fonction définie surRpar :

f_n(x)=xe^−n/xsi x̸=0 et f_n(0)=0.

1. (a) Calculer les limites def_nen+∞,−∞, 0⁻et 0⁺.

(b) En déduire que la fonctionf_nest continue à droite en 0 mais qu’elle n’est pas continue surR. (c) Montrer quef_nest dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en 0 def_n. 2. (a) Montrer quef_nest dérivable surR^∗puis, pour tout réelxnon nul, calculerf_n^′(x).

(b) Montrer quef_n^′est négative sur ]−n, 0[ et positive sur ]−∞,−n[∪]0,+∞[ puis dresser le tableau de variation complet def_n.

3. (a) Rappeler le développement limité à l’ordre 2 dee^ulorsqueuest au voisinage de 0.

(b) En déduire que, lorsquexest au voisinage de+∞ou au voisinage de−∞, on a : f_n(x)=x−n+n²

2x+o µ1

x

¶ .

On note (C1) la courbe représentative def1dans un repère orthonormé etT1la droite d’équation y=x−1.

(c) Déduire de la question précédente les limites def1(x)−(x−1) lorsquextend vers−∞et vers+∞. On précisera le signe de ces limites.

Que peut-on en déduire graphiquement ?

(d) Tracer sur le même graphique la droiteT₁et l’allure de la courbe (C1).

4. (a) Montrer qu’il existe un unique réel, que l’on noterau_n, tel quef_n(u_n)=1.

(b) Vérifier que, pour toutndeN^∗,u_nest strictement supérieur à 1 et queu_nest solution de l’équation : xln(x)=n.

(c) Soitgla fonction définie sur [1,+∞[ par :g(x)=xlnx.

Montrer quegest bijective puis dresser les tableaux de variation deget deg⁻¹. (d) En déduire, en utilisant la fonctiong⁻¹, que : lim

n→+∞u_n= +∞.

(e) Justifier la relation

lnu_n+ln(lnu_n)=lnn puis montrer que : lnu_n ∼

n→+∞lnn.

(f ) En déduire un équivalent deu_nlorsquenest au voisinage de+∞.

5. (a) Montrer que la suite (u_n)_n⩾1est strictement croissante.

(b) Montrer que : f_n(u_n+1)=e^un+11 . 6. Pourn∈N^∗, on pose I_n=

Zun+1 un

f_n(t) dt.

(a) Montrer, à l’aide des variations de la fonctionf_nque pour toutn⩾^{1 :} 1⩽ ^In

u_n+1−u_n⩽^eun+11 (b) En déduire queI_nest équivalent àu_n+1−u_nen+∞.

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