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On considère la fonction f :R2 →R définie par f(x, y

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Academic year: 2022

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Université Lille 1, Sciences et Technologies 2012/2013 – Licence M, GM, GC – Semestre 3

Éléments de Calcul Différentiel – Math 32

Interrogation 2

19 novembre 2012 à 9h15. Durée : 45min.

Documents, calculatrices, téléphones et appareils électroniquesinterdits.

Barème indicatif : 2+4+4=10. On justifiera ses réponses soigneusement.

Question de Cours.

Énoncer le théorème de Poincaré pour un champ de vecteurs V~(x, y) = V1(x, y)~i + V2(x, y)~j.

Exercice 1

Soit a6= 0 un réel non nul. On considère la fonction f :R2 →R définie par f(x, y) = y(x2+y2−2ay).

(1) Déterminer les points critiques de la fonction f.

(2) Étudier suivant les valeurs du paramètre a la nature du point critique vérifiant y6= 0.

Exercice 2 Pour tout (x, y)∈]0,+∞[×]0,+∞[, on pose

Φ(x, y) =

y− 1 x,x

y

.

(1) Calculer le jacobien de Φ.

(2) Montrer que Φ établit une bijection de ]0,+∞[×]0,+∞[ dans R×]0,+∞[. Quelle est sa fonction réciproque ?

(3) Montrer que Φest un C1-difféomorphisme de ]0,+∞[×]0,+∞[ dans R×]0,+∞[.

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