PanaMaths
[1 - 2]Février 2009
On considère la fonction f définie sur \
*+par :
( ) 3lnxx
f x =
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.
2. En déduire les variations de f.
Analyse
Le calcul est assez simple (dérivée d’une fonction composée) et l’étude du signe de la fonction dérivée ne requiert que quelques connaissances relatives au logarithme népérien.
Résolution
1. La fonction lnx
x6 x est dérivable sur \*+ comme rapport de deux fonctions définies et dérivables sur cet intervalle. Elle prend par ailleurs ses valeurs dans \.
La fonction x63x est dérivable sur \ (exponentielle de base 3. Cf. le cours).
On en déduit que la fonction f est dérivable sur \*+.
Pour tout x réel strictement positif, il vient alors, en partant de
ln ln
3 ln 3
x x
x =e x :
( )
2 ln ln 3 2 ln1 ln
' ln 3 ln 3 1 ln 3
x x
x x
x x
x x
f x e
x x
× − −
= × × = × ×
( )
ln*
2
, ' ln 3 1 ln 3
x
x x
x f x
+ x
∀ ∈\ = × − ×
2. Pour tout x réel strictement positif, on a :
ln
2
ln 3 3 0
x x
× x > .
On en déduit que le signe de f '
( )
x est identique à celui de 1 ln− x.PanaM
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•
•
•
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En g
Maths
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]
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( )
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*
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[
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( )
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[
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( )
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] ]
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3
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![Fonction logarithme népérien I. La fonction logarithme népérien 1) Définition La fonction logarithme népérien est une fonction, notée ln, qui vérifie les propriétés suivantes : elle est définie sur l’intervalle ]0 ; +¥](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)