Limites simples et uniformes de fonctions

Licence de Math´ematiques Universit´e de Grenoble

Topologie, L31 1^er semestre 2007/2008

Feuille d’exercices n

2

Continuit´ e

Exercice 1 : Soit f une application de Rdans R, monotone.

1) En utilisant la propri´et´e de la borne sup´erieure, d´emontrer que f admet en tout point x∈R une limite `a gauche et une limite `a droite.

2) En d´eduire que sif(R) est un intervalle, alors f est continue.

Exercice 2 : Soit I = [0,1]. Soitf une application continue de I dans lui-mˆeme. Montrer que f admet (au moins) un point fixe (i.e. un point xtel que f(x) =x).

Exercice 3 : Un randonneur gravit une montagne. Sachant qu’il a mont´e les 1200m de d´enivel´e en 3h, montrer qu’il a durant son parcours mont´e 400m de d´enivel´e en 1h exactement.

Limites simples et uniformes de fonctions

Exercice 4 : Donner la limite des suites de fonctions suivantes et dire si cette limite est simple ou uniforme.

1) f_n(x) =xe^−nx, x≥0, n∈N.

2) f_n(x) =n²x si x∈[0,_n¹] ; f_n(x) =n²(²_n−x) si x∈[_n¹,_n²] et f_n(x) = 0 si x≥ _n². 3) f_n(x) = ln(x+ ¹_n), x≥1 et n ∈N.

Exercice 5 : Pourn ≥2, calculer l’int´egraleI_n =R1

0 f_n(x)dx o`uf_n est la fonction d´efinie dans le 2) de l’exercice pr´ec´edent. Quelle est la limite de I_n ? Qu’en conclure ?

Exercice 6 : Soit f une fonction continue de R dans R. On note f_n la fonction d´efinie par f_n(x) = f(x+ ¹_n). La suite de fonctions (f_n)n∈N converge-t-elle simplement ? Uni- form´ement ? Que dire si f est suppos´ee de plus uniform´ement continue ?

Exercice 7 : Premier th´eor`eme de Dini

On dit qu’une suite de fonctions (fn) `a valeurs r´eelles est croissante si n≥p implique que pour tout x, f_n(x)≥f_p(x).

On s’int´eresse au th´eor`eme suivant :

1

Soit (fn)n∈N une suite croissante de fonctions continues de [0,1] dans R. Si cette suite converge simplement vers une fonction f et que cette limite f est continue sur [0,1], alors la suite (fn) converge uniform´ement vers f.

1) Donner un contre-exemple au th´eor`eme si on retire l’hypoth`ese que la suite (fn) est croissante.

2) Donner un contre-exemple au th´eor`eme si on retire l’hypoth`ese que la limite f est continue.

3) On raisonne par l’absurde : montrer que si le r´esultat est faux, on peut trouverε >0, une extraction ϕ : N → N et une suite de points x_n ∈ [0,1] tels que pour tout n ≥ 0,

|f_ϕ(n)(xn)−f(xn)| ≥ε.

4) Prouver le th´eor`eme de Dini. Indication : extraire une sous-suite (x_ψ(n)) convergeant vers un point x∈[0,1] et appliquer la d´efinition de la continuit´e en ce point.

Normes sur les espaces vectoriels

Exercice 8 : L’expression kfk=R1

0 |f(x)|dx d´efinit-elle une norme 1) sur l’ensemble des polynomes r´eels d’une variable r´eelle d´efinis sur R? 2) sur l’ensemble des fonctions r´eelles continues sur R ?

Exercice 9 : Trouver la distance de l’origine deR² `a S¹ ={(cosθ,sinθ), θ∈R} pour les normes k.k₁,k.k₂ etk.k_∞.

Exercice 10 :

1) Soit R_n[X], l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n ∈ N. On choisit x₀, x₁, x₂, . . . , x_n, (n+ 1) r´eels distincts. Montrer que

kPk= sup

i=0..n

|P(xi)|

d´efinit une norme.

2) Pourn = 1, x₀ = 0 et x₁ = 1, d´eterminer et dessiner l’ensemble des (a, b)∈R² tels que les polynˆomes aX+b forment la boule unite de R₁[X] relativement `a la norme ci-dessus.

Exercice 11 : Soit E un espace vectoriel norm´e. Montrer que, pour tout x₀ ∈ E, pour tout r >0, la boule B(x₀, r) de centre x₀ et de rayon r v´erifie

B(x0, r) = {x0 +ry, y ∈B(0,1)} .

Exercice 12 : Soient (Ei,|.|Ei), i = 1,2, deux espaces vectoriels norm´es et E = E₁×E₂ l’espace vectoriel produit muni d’une des normes

k(x₁, x₂)kE = max(|x₁|E₁,|x₂|E₂), ou k(x₁, x₂)kE = |x₁|^p_E1 +|x₂|^p_E2¹_p

, p≥1.

2

1) V´erifier que ce sont bien des normes sur E.

2) Montrer qu’une suite d’´el´ements de E converge si et seulement si chaque composante converge.

3) Pour n ∈ N, soit x_n = (x1,n, x_2,n) dans E. Montrer que, si x = (x1, x₂) ∈ E est une valeur d’adh´erence de la suite (xn)n dans E, alors, pour chaque i= 1,2,x_i est une valeur d’adh´erence de la suite (xi,n)n dans E_i. Etudier la r´eciproque.

Exercice 13 :

1) SoitE =R^d. Montrer que pour tout x∈E, kxkp −→ kxk∞ quand p−→ ∞.

2) Soit E =C([0,1]), l’espace vectoriel des fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies et continues sur [0,1]. Montrer que si pest un r´eel avec p≥1, et si

kfk_p = Z b

a

|f(x)|^{p 1}p

alors kfkp −→ kfk_∞≡sup_x∈[a,b]|f(x)| quand p−→ ∞.

Equivalence de normes ´

Exercice 14 : Soit E un espace vectoriel et soient k.k et k.k⁰ deux normes sur E. Soit C >0, montrer l’´equivalence des trois propositions suivantes.

i) ∀x∈E, kxk ≥Ckxk⁰. ii) infx∈E−{0} kxk

kxk⁰ ≥C. iii) infx∈E−{0},kxk⁰=1 kxk

kxk⁰ ≥C.

Exercice 15 : On se place surR². Trouver les meilleures constantes α >0 etβ >0 telles que αk.k₁ ≤ k.k_∞≤βk.k₁.

Exercice 16 : Soit k.k la norme sur les polynˆomes de degr´e au plus un introduite dans la question 2) de l’exercice 9. Montrer que cette norme est ´equivalente `a la norme kP = aX+bk1 =|a|+|b| et trouver les meilleures constantes d’´equivalence.

Exercice 17 : Soit ρ une fonction continue, positive ou nulle sur [0,1] (appel´ee “poids”).

Pour toute fonction f continue sur [0,1], `a valeurs r´eelles, on pose kfkρ =

Z 1

0

|f(x)|ρ(x)dx .

Soit Z_ρ ={x∈[0,1], ρ(x) = 0}l’ensemble des z´eros de ρ.

1) On suppose qu’il n’existe pas d’intervalle ]α, β[⊂ [0,1] tel que ]α, β[⊂ Z_ρ (on dit que Z_ρ est d’int´erieur vide). Montrer que k.kρ d´efinit une norme sur l’espace vectoriel C([0,1])

3

des fonctions `a valeurs r´eelles, d´efinies et continues sur [0,1].

2) Lorsque Z_ρ v´erifie la propri´et´e ci-dessus, montrer que norme k kρ est ´equivalente `a la norme

kfk1 = Z 1

0

|f(x)|dx

si et seulement si Z_ρ =∅.

Exercice 18 : Donner des exemples d’applications bijectives continues dont la r´eciproque n’est pas continue.

Espaces euclidiens et pr´ ehilbertiens

Exercice 19 : Soit < .|. > un produit scalaire sur un espace vectoriel E et soit k.k la norme associ´ee. Retrouver les ´egalit´es suivantes et les interpr´eter g´eom´etriquement.

kxk²+kyk²+ 2< x|y >=kx+yk² et kx+yk²+kx−yk² = 2kxk²+ 2kyk² .

Exercice 20 : Dans Rⁿ, caract´eriser les normes qui proviennent d’un produit scalaire (indication : si la norme provient d’un produit scalaire, comment `a partir de la norme pouvez-vous red´efinir le produit scalaire ?).

Parmi les normes que vous connaissez, quelles sont celles qui proviennent d’un produit scalaire ?

Exercice 21 : Soit E un espace vectoriel norm´e, et k k une norme sur E.

1) Montrer que la boule ferm´ee B(0,1) = {x ∈ E,kxk ≤ 1} est convexe c’est-`a-dire que pour toutx etydans B(0,1), le segment [x, y] = {tx+ (1−t)y∈E |t∈[0,1]}appartient

`a B(0,1).

2) On suppose dans cette question que la normek.kprovient d’un produit scalaire< .|. >. Montrer que la boule ferm´ee est strictement convexe c’est-`a-dire que pour toutxety dans B(0,1), le segment ]x, y[= {tx+ (1−t)y ∈ E | t ∈]0,1[} appartient `a la boule ouverte B(0,1) ={x∈E,kxk<1}.

3) En d´eduire que les normesk.k1etk.k∞surR³ ne peuvent provenir d’un produit scalaire.

Montrer de mˆeme que sur l’espace des fonctions r´eelles continues sur [0,1], la norme kfk_∞= sup

x∈[0,1]

|f(x)|

ne provient pas d’un produit scalaire.

4