Activit´e de math´ematiques
Formules trigonom´etriques
Le but de l’activit´e est de d´emontrer les formules trigonom´etriques suivantes : 1. Formules d’addition
cos(a+b) = cosacosb−sinasinb (1)
cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb (2)
sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb (3)
sin(a−b) = sinacosb−cosasinb (4)
2. Formules de duplication
cos(2a) = cos2a−sin2a = 2 cos2a−1 = 1−2 sin2a (5)
sin(2a) = 2 sinacosa (6)
Preuve des formules trigonom´ etriques d’addition et de duplication
1. On consid`ere le plan orient´e muni d’un rep`ere orthonormal (O,−→i ,−→j) et du cercle trigonom´etrique.
Soient aetb deux nombres r´eels.
(a) Placer les pointsA etB de coordonn´ees polaires A(1;−a) etB(1;b).
(b) Prouver que (−→
OA,−−→
OB) =a+b[2π] , en d´eduire que−→
OA . −−→
OB = cos(a+b).
(c) Exprimer les vecteurs −→
OA et−−→
OB en fonction des vecteurs−→i et−→j, en d´eduire que
−→OA . −−→
OB = cosacosb−sinasinb.
(d) Conclure.
2. Prouver la formule (2).
3. En remarquant que sin(a+b) = cos[(π2 −a)−b] , d´emontrer la formule (3).
4. Prouver la formule (4).
5. Prouver les formules (5) et (6).
Calcul de valeurs exactes du cosinus et sinus de certains angles
1. D´emontrer les formules de lin´earisation :
cos2a = 1 + cos(2a) 2 sin2a = 1−cos(2a)
2 2. Calculer les valeurs exactes de cosπ8 et sinπ8.
3. (a) Calculer la valeur exacte de cos12π `a l’aide des formules de lin´earisation.
(b) En remarquant que 12π = π3 −π4, calculer la valeur exacte de cos12π `a l’aide de la formule (2).
(c) Que penser de ces deux r´esultats ?
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