Devoir de math´ ematiques n
o6 - 1` ereS
26 janvier 2010 - 2H
Exercice 1 (3 points)
1. Montrer avec la d´efinition, que la fonctionf d´efinie sur R\{2} par :f(x) = 1
x−2, est d´erivable pour touta∈R\{2}; d´eterminer f′(a).
2. Calculer sans calculatrice une valeur approch´ee de 1
2,0002 (penser `a une approximation affine).
Exercice 2 (3,5 points)
Pour chaque fonction, donner son ensemble de d´efinition, ainsi que l’ensemble sur lequel elle est d´erivable.
D´eterminer alors sa fonction d´eriv´ee ainsi que son signe.
1. f(x) = 2x2−1− 3 x2
2. f(x) = 3√x(1−2x)
Exercice 3 (2,5 points)
On consid`ere la fonction f d´efinie sur R dont la courbeCf est donn´ee ci-contre.
On a trac´e les tangentes `a la courbe aux pointsA,B etC de la courbe.
1. D´eterminer graphiquement f(1) etf′(1).
2. D´eterminer graphiquement f(−1) et f′(−1).
3. R´esoudre graphiquementf′(x)<0.
(justifier toutes les r´eponses)
Exercice 4 (11 points)
On consid`ere les fonctions f etg d´efinies respectivement sur R\{1} et surRpar : f(x) =x2+ 3x−5
x−1 et g(x) = 1
3x3−3x2+ 5x+ 5
On noteCf etCg, les courbes repr´esentatives de f et deg dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j ) . Partie A - Etude de la fonction f
1. Etudier les limites def aux bornes de son domaine de d´efinition.
2. Ecriref(x) sous la formeax+b+ c
x−1; en d´eduire que Cf admet une asymptote oblique (d).
Pr´eciser la position relative deCf et de (d).
3. Montrer queCf admet un centre de sym´etrie I dont on pr´ecisera les coordonn´ees.
4. Calculerf′ la d´eriv´ee def, puis dresser le tableau de variations de f. Partie B - Etude de la fonction g
1. Etudier les limites deg aux bornes de son domaine de d´efinition.
2. Calculerg′ la d´eriv´ee deg, puis dresser le tableau de variations deg.
Partie C - Tangentes aux courbes
1. Ecrire l’´equation de la tangenteTA `a Cf au point A de la courbe d’abscisse 1/2.
2. Montrer que Cg admet des tangentes parall`eles `a TA en un ou plusieurs points dont on pr´ecisera les coordonn´ees.
