Corrigé de l’interrogation écrite n◦6
Exercice 1
1. On peut écriref =v ◦uoù u:x7→1 + ex et v :x7→x4. Ainsi, pour tout réel x,
f0(x) = u0(x)×v0(u(x)) = ex×4(1 + ex)4 = 4ex(1 + ex)4. 2. On peut écriref =v ◦uoù u:x7→1 +x+x2 et v :x7→√
x. Ainsi, pour tout réelx,
f0(x) =u0(x)×v0(u(x)) = (1 + 2x)× 1 2√
1 +x+x2 = 1 + 2x 2√
1 +x+x2.
Exercice 2
1. a. La fonctionf semble croissante sur i−∞;12i et décroissante sur h12; +∞h.
b. La fonction f semble concave sur ]−∞; 1] et convexe sur [1 ; +∞[. La courbe Cf
semble présenter un point d’inflexion au point d’abscisse 1.
2. a. Pour tout réel x,
f0(x) = 1×e−2x+x×−2e−2x= e−2x−2xe−2x = (1−2x)e−2x.
Or, pour tout réel x, e−2x >0 donc le signe de f0(x) est le signe de 1−2x. On en déduit que f0(x) > 0 pour tout x 6 12 et f0(x) 6 0 pour tout x > 12 et ainsi f est croissante sur i−∞;12i et décroissante sur h12; +∞h.
b. Pour tout réel x,
f00(x) =−2×e−2x+ (1−2x)×−2e−2x=−2e−2x+ (4x−2)e−2x = (4x−4)e−2x
i.e. f00(x) = 4e−2x(x−1).
Comme précédemment pour tout réel x, le signe de f00(x) est le signe de x−1 donc f00(x)60 si x61 et f00(x)>0 six>1 donc f est concave sur ]−∞; 1] et convexe sur [1 ; +∞[. Ainsi, f change convexité en 1 donc le point de coordonnées (1 ; e−2) est une point d’inflexion à la courbe de f.
