Activit´e de math´ematiques
Ph´enom`enes exponentiels en Physique
D´ esint´ egration radioactive
La d´esint´egration des atomes d’un corps radioactif est mod´elis´ee par l’´equation diff´erentielle N′(t) =−λN(t) o`u la variabletrepr´esente le temps et N(t) le nombre d’atomes au temps t, la constanteλ >0 est la constante radioactive du corps consid´er´e.
1. On appelleN0 le nombre d’atomes au temps t= 0, prouver queN(t) =N0e−λt. 2. On appelledemi-vie ou p´eriode et l’on noteτ1
2 le temps n´ecessaire `a la d´esint´egration de la moiti´e des atomes du corps consid´er´e. Prouver queτ1
2 = ln 2 λ . 3. Le Carbone 14 a une demi-vie de 5730 ann´ees.
(a) Calculer la constante radioactiveλdu Carbone 14.
(b) Repr´esenter graphiquement la quantit´e N(t)
N0 en fonction du temps (unit´es : 1cm pour 1000 ans en abscisse et 10 cm pour 1 en ordonn´ee).
(c) Estimer graphiquement puis calculer le temps n´ecessaire `a la d´esint´egration de 70%
des atomes de Carbone 14 d’un corps.
(d) On appelle temps caract´eristique et l’on noteτ l’abscisse du point d’intersection de la tangente `a la courbe repr´esentative de la quantit´e N(t)
N0 avec l’axe des abscisses.
Estimer graphiquementτ puis le calculer.
Refroidissement d’un corps
La vitesse de refroidissement d’un corps inerte est proportionnelle `a la diff´erence de temp´e- rature entre ce corps et le milieu ambiant.
1. Prouver que T(t) = (Ti −T0)e−K t +T0 o`u la variable t repr´esente le temps, T(t) la temp´erature au tempst,Ti la temp´erature du corps au tempst= 0,T0 la temp´erature du milieu ambiant et K une constante positive.
2. Un corps plong´e dans un milieu ambiant de temp´eratureT0= 20◦Cpasse de 100◦C`a 80◦C en 10 minutes. Au bout de combien de temps sa temp´erature arrivera-t-elle `a 60◦C ?
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