D1941 – Une jolie miniature
On trace deux droites perpendiculaires qui passent par l’orthocentre d’un triangle ABC sans être parallèles à l’un quelconque des côtés du triangle.
Elles déterminent trois segments sur les droites portant les côtés du triangle.
Démontrer que les milieux de ces segments sont sur une même droite.
Solution de Jean Nicot
Soit le cercle circonscrit à ABC d’orthocentre H. On note A’, B’, C’ les symétriques de H par rapport aux côtés BC, AC, AB, situés sur .
Soit H’ un point de .La médiatrice de HH’ coupe BC, AC, AB respectivement en L, M et N
Le cercle de centre L passant par H coupe BC en J et K. HJ et HK sont perpendiculaires.
HJ coupe AB en E.HK coupe AB en F. Le cercle circonscrit à EFH, de centre N1, passe aussi par C’. Le cercle de centre N passant par H asse également par C’
et H ’et les droites HJ et HK y délimitent aussi un diamètre sur AB; cela n’est possible que si N et N1 sont confondus, donc N milieu de EF.
Pour la même raison, les points I et G, intersections de AC avec HJ et HK ont pour milieu M.
Les cercles passant par H et les extrémités de chacun des trois segments
déterminés par les deux perpendiculaires ont un second point commun, symétrique de H par rapporte à la droite reliant les milieux de ces segments.
Remarque. Quand l’orientation des deux perpendiculaires varie, la droite LMN reste tangente à une ellipse de foyers l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit à ABC et tritangente au triangle.
