Une collection de perpendiculaires Problème D158 de Diophante
Soit un triangle ABC acutangle dont O est le centre du cercle circonscrit et H est l'orthocentre. On désigne par P, Q, R les pieds des hauteurs issues de A, B, C sur les côtés opposés et par I, J et K les points d'intersection des droites QR, RP et PQ avec les droites BC, CA et AB.
A partir des onze points ainsi tracés A, B, C, O, H, P, Q, R, I, J et K, trouver sept couples de droites perpendiculaires entre elles. Justifier la réponse.
Solution
Faisons une figure en mettant en évidence, de manière classique, les angles a, b et c complémentaires des angles A, B et C.
A
B C
O H
P
Q R
I
J
K
b c
a b c
ab c
c a
b
a
En plus des trois couples de droites perpendiculaires (BC,AP), (CA,BQ), (AB,CR), apparaissent les trois couples (OA,QR), (OB,RP), (OC,PQ).
De manière moins classique, montrons que I, J et K sont alignés sur une droite perpendiculaire à OH.
En effet, PA et PC sont les bissectrices de PQ et PR donc le faisceau de ces quatre droites est harmonique et la division (AC,QJ) aussi. Donc les quatre droites KA, KC, KQ, KJ forment un faisceau harmonique qui découpe sur BC une division harmonique, qui n’est autre que (BC,PI).
Remarquons que I a la même puissance par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC et au cercle d’Euler (en vert) du fait que la quadrilatère BCQR est inscriptible. Il en va de même pour J et K. Donc I, J, K sont sur l’axe radical de ces deux cercles (ce qui confirme l’alignement IJK) et la droite OH est perpendiculaire à cet axe car le centre du cercle d’Euler est le milieu de OH.
