A524. Deux passages obligés
Soit un entier naturel N positif à 2009 chiffres. On calcule la somme des carrés de ses chiffres et on poursuit cette opération avec le nombre ainsi obtenu. Démontrer qu'après un nombre fini d'opérations, on est certain de passer par l'un ou l'autre des deux entiers a et b à un seul chiffre que l'on déterminera.
Soit u
nla suite définie par u
n+1= sommes des carrés des chiffres de u
nSoit u
n= a
0+ a
1.10
1+ a
2.10
2+ ... + a
p.10
p(avec a
p> 0) On a u
n+1= a
0² + a
1² + a
2² + ... + a
p²
En minorant u
non a : u
n>= 10
pet en majorant u
n+1on a : u
n+1>= 9²(p+1) Donc :
௨శభ
௨
≤
଼ଵ(ାଵ)ଵ
qui est < 1 dès que p > 2.446 soit p >= 3
Maintenant, on vérifie par programme, que : 100 <= u
n<= 9999 fl u
n+1< u
nDonc u
n>= 100 fl u
n+1< u
nEt avec a
0= un nombre de 2009 chiffres ou même davantage, il existe un n tel que u
n< 100
Par programme, on examine comment se comporte la suite (u
n) à partir d’un de ses termes (u
i) inférieur à 100, et on constate que pour chacun d’entre eux on trouve un terme u
i+kqui est égal à 1 ou à 4. (cf tableau ci-après).
Ce qui répond à la question.
Ph laugerat
1 1 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
2 4 52 29 85 89 145 42 20 4
3 9 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4 53 34 25 29 85 89 145 42 20 4
4 16 37 58 89 145 42 20 4 54 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4
5 25 29 85 89 145 42 20 4 55 50 25 29 85 89 145 42 20 4
6 36 45 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 56 61 37 58 89 145 42 20 4
7 49 97 130 10 1 57 74 65 61 37 58 89 145 42 20 4
8 64 52 29 85 89 145 42 20 4 58 89 145 42 20 4
9 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4 59 106 37 58 89 145 42 20 4
10 1 60 36 45 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4
11 2 4 61 37 58 89 145 42 20 4
12 5 25 29 85 89 145 42 20 4 62 40 16 37 58 89 145 42 20 4
13 10 1 63 45 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4
14 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 64 52 29 85 89 145 42 20 4
15 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4 65 61 37 58 89 145 42 20 4
16 37 58 89 145 42 20 4 66 72 53 34 25 29 85 89 145 42 20 4
17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 67 85 89 145 42 20 4
18 65 61 37 58 89 145 42 20 4 68 100 1
19 82 68 100 1 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
20 4 70 49 97 130 10 1
21 5 25 29 85 89 145 42 20 4 71 50 25 29 85 89 145 42 20 4
22 8 64 52 29 85 89 145 42 20 4 72 53 34 25 29 85 89 145 42 20 4
23 13 10 1 73 58 89 145 42 20 4
24 20 4 74 65 61 37 58 89 145 42 20 4
25 29 85 89 145 42 20 4 75 74 65 61 37 58 89 145 42 20 4
26 40 16 37 58 89 145 42 20 4 76 85 89 145 42 20 4
27 53 34 25 29 85 89 145 42 20 4 77 98 145 42 20 4
28 68 100 1 78 113 11 2 4
29 85 89 145 42 20 4 79 130 10 1
30 9 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4 80 64 52 29 85 89 145 42 20 4
31 10 1 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4
32 13 10 1 82 68 100 1
33 18 65 61 37 58 89 145 42 20 4 83 73 58 89 145 42 20 4
34 25 29 85 89 145 42 20 4 84 80 64 52 29 85 89 145 42 20 4
35 34 25 29 85 89 145 42 20 4 85 89 145 42 20 4
36 45 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 86 100 1
37 58 89 145 42 20 4 87 113 11 2 4
38 73 58 89 145 42 20 4 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
39 90 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4 89 145 42 20 4
40 16 37 58 89 145 42 20 4 90 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4
41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 91 82 68 100 1
42 20 4 92 85 89 145 42 20 4
43 25 29 85 89 145 42 20 4 93 90 81 65 61 37 58 89 145 42 20 4
44 32 13 10 1 94 97 130 10 1
45 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 95 106 37 58 89 145 42 20 4
46 52 29 85 89 145 42 20 4 96 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
47 65 61 37 58 89 145 42 20 4 97 130 10 1
48 80 64 52 29 85 89 145 42 20 4 98 145 42 20 4
49 97 130 10 1 99 162 41 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4
50 25 29 85 89 145 42 20 4
